空间曲线及投影二次曲面

1、一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程* * 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第三节第三节空间曲线及其在坐标面上的投影空间曲线及其在坐标面上的投影一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1OC2又如, ,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线C. 022222xayxyxazzyxaOCCzyxO二、空间曲线的参数方程*将曲线将曲线C上的动点坐标上

2、的动点坐标 x, y, z表示成参数表示成参数 t 的函数的函数: :称它为空间曲线的 参数方程.)(txx 例如,圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为上升高度, 称为螺距螺距 .)(tyy )(tzz M例*. 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根据第一方程引入参数 , txcostysin)cos26(31tz(2) 将第二方程变形为,)(42222aayx故所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos21

3、21)20( t)20( t三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线设空间曲线C的一般方程为的一般方程为消去 z 得投影柱面则C在xOy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲线方程消去y 得C在zOx 面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCCO例例3.3.曲线在曲线在xOy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为22236:0 xyzyz解解 先消去先消去z , 得得22236xy222360 xyz22136180 xyz在在xoy和和yoz 面上的投影面上的投影.例例3.3.曲线

4、在曲线在yoz 面上的投影是直线的一段面上的投影是直线的一段22236:0 xyzyz解解 求在求在yoz面的投影应该是消去面的投影应该是消去x , 恰好恰好y+z=0中中18183 23 2yy 0( 3 23 2)0yzyx不含不含x , 所以所以y+z=0 即为所求，在即为所求，在yoz面上其是一条面上其是一条直线直线. .例例4.4.曲线在曲线在xOy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为222222:3zxyzxy解解 消去消去z , 得得221xy2210 xyz在在xoy面上的投影面上的投影区域区域.曲线在曲线在xOy 面上的投影曲线面上的投影曲线区域区域为为2210 xyz

5、zyx1OC例例5.5.在在xOy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为222200 xyyz1) 1() 1(1:222222zyxzyxCzxy1例例6.6.所围的立体在 xOy 面上的投影区域.求上半球面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在 xOy 面上的投影曲线)(34:2222yxzyxzC二者交线2210 xyz解解xOy 面上的投影曲线所围区域COxzy2zyx1 (2)21x2y(1)224yxz0 xyOO 1.请欣赏下列曲线在第一卦限内的图形zxy(3)aa222azx222ayxO22yxz122zyxyxz122yxyx0122zyxyx备用题求曲线绕

6、 z 轴旋转的曲面 的交线在 xOy 平面的投影曲线方程. 1zyx解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xOy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xOy 面上的投影曲线方程为 2yz 0 x,它与所给平面的与平面266页1.22(1)1(1)16yxz 平面上的圆13122)2(22yxz上的双曲线平面习题习题7-37-3266页2(1).1) 1(4222yxyxz两曲面的交线01) 1(22zyx在xOy 面上的投影曲线2 , 00)(4224zxyzz在yOz 面上的投影曲线222222242,1122(1)1xyzzzxxxy 22224(1)1zxyxy两曲面的交线2 , 00222z

7、yzx在zOx 面上的投影曲线221) 1(422222zxyxzyx2(2).222222azyayx两曲面的交线0222zayx在xOy 面上的投影曲线0222xazy在yOz 面上的投影曲线0,22yaxazx在zOx 面上的投影曲线267页3.双曲柱面22531xy267页4(1).22222) 1 (yxzyxz与0122zyx在xOy 面上的投影区域-1,10222yxyzy在yOz 面上的投影区域)2()(2222yxzyx立体-1,10222xyxzx在zOx 面上的投影区域（为两条抛物线围成的区域）4(2).01,)2(2222zyxyxz与10 z0122zyx在xOy 面

8、上的投影区域在yOz 面上的投影区域yzzy第四节第四节 二次曲面二次曲面)(2222yxaz上一节我们得到圆锥面的方程上一节我们得到圆锥面的方程那么，以下方程表示什么样的曲面呢？那么，以下方程表示什么样的曲面呢？22222xyzab复习二次曲面的定义：复习二次曲面的定义：在三维坐标（在三维坐标（x、y、z）下三元二次代数方程对应）下三元二次代数方程对应的所有图形的统称。的所有图形的统称。1. 椭圆锥面椭圆锥面zxy),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .1)()(2222t byt axtz ,可以证明, 椭圆上任一点

9、与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到)xyzOozyx2. 椭球面椭球面1222222 czbyax,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1

10、(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：122222 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )| (1cz ,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为3. 双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyaxzxyOby 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆.时, 截痕为22122221byczax1yy 1y

11、y 平面 上的截痕情况:双曲线: (实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）虚轴平行于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy 相交直线: 双曲线: 0zxyOzxyO 双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面Ozxy双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyaxxyo4. 抛物面抛物面2222xyzab(1) 椭圆抛物

12、面zyxO特别,当 a = b 时为绕 z 轴的旋转抛物面.(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）2222xyzabzyxOxyzo2222xyzab第七章向量代数与空间解析几何第七章向量代数与空间解析几何第五节第五节 向量及其线性运算向量及其线性运算.a或表示法:向量的模 : 向量的大小,21MM记作一、向量的概念向量:(又称矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量称为向量向径 (矢径):自由向量: 与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量: 模为 1 的向量.零向量: 模为 0 的向量,.00或，记作有向线段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与

13、b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .记作a ; 向量 a 与 b的夹角 向量 a 与 b的夹角. 向量 a 与 b的起点重合后,它们所在的射线之间的夹角 称为)20( 向量 a 与 b的夹角通常把 记为),(ba二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .bbabbacba )()(cb

14、acbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba s3a4a5a2a1a54321aaaaas2. 向量的减法三角不等式ab)( ab有时特别当,ab aa )( aababaabababa0babaaa3. 向量与数的乘法 是一个数 ,.a规定 :时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa 与 a 的乘积是一个新向量, 记作，反向与aa总之:运算律 : 结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a则有单位向量.1aa因此aaa 定理1. 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)abab例例1. 设 M 为MBACD解解:ABCD 对角线

15、的交点,ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD三、利用坐标作向量的线性运算设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数四、向量的坐标表示,向量的模、方向角在空间直角坐标系下,向量 用 表示,a21MM21MM在在 轴轴, 轴轴, 轴上的投影为轴上的投影为xzy:21MM以以 为起点为起点, 为终点的有向线段为终点的

16、有向线段),(1111zyxM),(2222zyxM,12xxax,12yyay12zzaz21MM有序数组有序数组),(zyxaaa 1122221zyxaaaMM即即21MM的长度是的长度是21221221221zzyyxxMM模模任意向量任意向量21MM可用坐标表示为可用坐标表示为:21MM121212,zzyyxxzyxaaa,zyxaaa,轴上的投影轴上的投影.称为向量的坐标称为向量的坐标(或分量或分量),也叫做向量在坐标也叫做向量在坐标),(zyxaaa21MM与与 轴轴, 轴轴, 轴的正向的夹轴的正向的夹xzy角角,:,cos222zyxxaaaa,cos222zyxyaaaa.

17、cos222zyxzaaaa方向角方向角1coscoscos22221MM向量向量 的单位向量的单位向量: :)cos,cos,(cos),(1222zyxzyxaaaaaa2121MMMM例例2. 已知两点)5,0,4(A和, )3, 1 ,7(B解解:求141)2,1,3(142,141,143.BABABABA例3. 已知两点已知两点)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20计算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM例4. 设点设点 A 位于第一卦限位

18、于第一卦限,解解: 已知角依次为,43求点 A 的坐标 . ,43则222coscos1cos41因点 A 在第一卦限 , 故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点 A 的坐标为 . )3,23,3(向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 ,6AO且OAOAAO五、向量的分向量表示式) 1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (kji分别是 的基本单位向量, 轴轴, 轴轴, 轴轴xzykajaiaaaaazyxzyx),(zyxaaa,就是该向量的坐标. kajaiazyx,的分向量, 分别叫做向量 在三个坐标轴上 a课堂练习课堂练习280页页二阶行列式22211211aaaaD 21122211aaaa 称记号称记号为为二阶行列式二阶行列式22211211aaaaD 引进引进记号记号补充行列式以备下节向量积计算时用称之为称之为三阶行列