第12章变化的电磁场

1、 http:/第第3篇篇 电磁学电磁学 第十二章变化的电磁场孙云卿孙云卿2 真空中的静电场真空中的静电场 电磁学电磁学 静电静电场场 稳恒磁场稳恒磁场 电磁感应电磁感应 介质中的静电场介质中的静电场 稳恒电路静电场稳恒电路静电场 金属中的静电场金属中的静电场 磁现象的电本质磁现象的电本质 介质中稳恒磁场介质中稳恒磁场 真空中稳恒磁场真空中稳恒磁场 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 变化的电场产生磁场变化的电场产生磁场 变化的磁场产生电场变化的磁场产生电场 静电场的散度、旋度静电场的散度、旋度 稳恒磁场稳恒磁场散度旋度散度旋度 时变电磁场的散度和旋度时变电磁场的散度和旋度 磁场对电荷的作用力

2、磁场对电荷的作用力 洛伦兹力洛伦兹力 经典电磁学理论体系经典电磁学理论体系 电磁学电磁学内容结构内容结构3结构框图结构框图法拉第电磁感法拉第电磁感应定律应定律感应电动势感应电动势的计算的计算磁场磁场能量能量麦克斯韦的麦克斯韦的两条假设两条假设涡旋电场涡旋电场位移电流位移电流经典电磁理论经典电磁理论的基本方程的基本方程412.1 电磁感应定律电磁感应定律 首先介绍几种简单的电磁感应现象。首先介绍几种简单的电磁感应现象。 IiIi共同点：共同点：当一个闭合回路面积上的当一个闭合回路面积上的磁通量磁通量发生发生变化变化时，回路中时，回路中便产生便产生感应电动势感应电动势(感应电流感应电流)。这就是。

3、这就是电磁感应现象电磁感应现象。I(t)Ii51.法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 tmidd (2) 式中负号表示感应电动势的方向与磁通量变化的关系：式中负号表示感应电动势的方向与磁通量变化的关系：若若 m ( i 0), 则则 i 的方向与原磁场的的方向与原磁场的正正方向组成右手螺旋关系方向组成右手螺旋关系.0dd tm ，0dd tmi iB如如 m 则则 i与与B反方向反方向符合右手螺旋关系。符合右手螺旋关系。说明：说明： (1) 是穿过回路面积的磁通量是穿过回路面积的磁通量(取正值取正值) ； SmSBd 感应电动势感应电动势6(3)若若回路是面积相同的回路是面积相同的N 匝线圈

4、，匝线圈，则则ttNmidddd =N m称为称为线圈的磁通链数简称线圈的磁通链数简称磁链磁链。 (4)如果闭合回路的总电阻为如果闭合回路的总电阻为R, 则回路中的则回路中的感应电流感应电流tRRImiidd1 则在则在t1t2这段时间内这段时间内, 通过回路任一截面的通过回路任一截面的感应电量感应电量为为mttiiRtIqd1d2121 ）（211R 72.楞次定律楞次定律 闭合导体回路中感应电流的方向闭合导体回路中感应电流的方向, 总是企图使它自身产生总是企图使它自身产生的磁场的磁场, 去去反抗反抗引起感应电流的磁通量的引起感应电流的磁通量的改变改变。 反抗反抗的意思是：的意思是： 所以感

5、应电流所以感应电流Ii与原磁场与原磁场B的的反方向反方向成右手螺成右手螺旋关系。旋关系。BIiBIi若若 m增加增加, 感应电流的磁场线感应电流的磁场线应与应与B反向反向;若若 m减少减少, 感应电流的磁场感应电流的磁场线应与线应与B同向同向; 所以所以感应电感应电流流Ii与原磁场与原磁场B的的正方向正方向成右成右手螺旋关系。手螺旋关系。8楞次定律是能量守恒定律的必然结果。楞次定律是能量守恒定律的必然结果。 要想维持回路中要想维持回路中电流，必须有外力不断作功。这符电流，必须有外力不断作功。这符合能量守恒定律。合能量守恒定律。 按楞次定律，按楞次定律，如果把楞次定律中的如果把楞次定律中的“反抗

6、反抗”改为改为“助长助长”，情况会怎样？，情况会怎样？f按楞次定律，在磁棒的上下运动过程按楞次定律，在磁棒的上下运动过程中，外界都要克服磁阻力而作功。正中，外界都要克服磁阻力而作功。正是这部分机械功转化成感应电流所释是这部分机械功转化成感应电流所释放的焦耳热。放的焦耳热。灯泡发光发热，能量从哪里来？灯泡发光发热，能量从哪里来？9(i)首先求出通过回路面积上的磁通量首先求出通过回路面积上的磁通量(取正值取正值)：3.法拉第电磁感应定律的应用法拉第电磁感应定律的应用 SSmSBSBdcosd 对对匀强磁场匀强磁场中的中的平面线圈平面线圈：BSSBmcos tmidd (ii)求出回路的中感应电动势

7、：求出回路的中感应电动势：(iii)判断判断 i的方向。的方向。或大小：或大小：tmidd 求感应电动势、感应电流求感应电动势、感应电流10 例例12-1 一长直螺线管横截面的半径为一长直螺线管横截面的半径为a, 单位长度上密绕了单位长度上密绕了n匝线圈，通以电流匝线圈，通以电流I=Iocos t (Io、 为常量为常量)。一半径为。一半径为b、电电阻为阻为R的单匝圆形线圈套在螺线管上，求圆线圈中的感应电动的单匝圆形线圈套在螺线管上，求圆线圈中的感应电动势和感应电流。势和感应电流。 解解 由由 m=BScos 得得 m=onI b2 a2tmidd tIanoosin2 tIanRRIooii

8、sin12 BIab如果如果b0顺时针，顺时针， i 0, 则则 i 沿沿 方向，即方向，即ab的方向；的方向； 若若 i 0，与，与l 同向。同向。 bai llBd)( lB )( abB l )(B )2/cos( Bl abB inBls ldl (2)闭合导体回路在闭合导体回路在匀强磁场匀强磁场中中平动平动，回路中总电动势为零。，回路中总电动势为零。20例例12-5：导线在匀强磁场中运动导线在匀强磁场中运动， B。求求 ua-uc= ? ab= Bl Bab bc= Blcos = - Bl , cbcos ,bac解：解：(1) ab=bc=l, abc(1)la点的电位高于点的电

9、位高于c点点)cos1(Bluubcabca lBi )( abc= adc= ad = - Bl(1-cos )方向方向d a; a点比点比c点电势高。点电势高。所以所以 ua-uc= Bl(1-cos )d abc另法另法整个回路整个回路 =0，所以，所以21 ua-uc= ac= ac BR 2 BR2 方向方向ac(2)4545 Rcao(2)a点的电位低于点的电位低于c点点= Bl ua-uc= Bl sin d abc= dc若导线向右运动，若导线向右运动，ua-uc= ?= - Bl sin abc电动势的方向电动势的方向c d; a点比点比c点电势高。点电势高。22例例12-6

10、一长直电流一长直电流I与直导线与直导线ab(ab=l)共面，如图所示。共面，如图所示。ab以速以速度度 沿垂直于长直电流沿垂直于长直电流I的方向向右运动，求图示位置时导线的方向向右运动，求图示位置时导线ab中的动生电动势。中的动生电动势。Iabd 解解,(dlsin =dr) sindcot2lddorrIdldIo sinlncot2 由于由于 ab0, 所以所以 ab的方向的方向a b，b点电势高。点电势高。dlrlBid)(d BB cosdlB cotd20rrI abdiab 23解解:20po21ddlBxxBlii 221lBuupo 此结论可作为公式记住此结论可作为公式记住:2

11、21lBi 例例12-7 一条金属细直棒一条金属细直棒op(长为长为l)绕绕o点以角速度点以角速度 在垂直于匀在垂直于匀 强磁场强磁场B的平面内匀速转动的平面内匀速转动, 求求uo-up=?xBid)(d opBxdx转动转动导线上各处的线速度不同，任取一线段元导线上各处的线速度不同，任取一线段元 , 则则xdxxBd 适用于在垂直于磁场适用于在垂直于磁场平面内绕导线一端匀平面内绕导线一端匀速转动的直导线。速转动的直导线。负号说明：负号说明： i 的的方向方向p o，即即 的方向，的方向，o点电势高点电势高。B 24Ao=l1, oC=l2，uA-uC=)(212221llB 若若l1l2,

12、则则A点电势高；点电势高；若若l10，方向为顺时针方向。，方向为顺时针方向。 ABBAlBd)( b+vta+vtvIABCDOB27 tbtarlrI d20任意时刻任意时刻t 每匝线圈中的磁通量每匝线圈中的磁通量用法拉第电磁感应定律计算用法拉第电磁感应定律计算若若t=0 ，即图示位置即图示位置 balNIi1120 解法二：解法二：bavIABCDlBb+vta+vtvIABCDOB SSmSBSBdd rdrtatbIl ln2028线圈内的感应电动势为线圈内的感应电动势为tNmidd 根据楞次定律可判断电动势方向为顺时针方向。根据楞次定律可判断电动势方向为顺时针方向。若若t=0 即图示

13、位置即图示位置bavIABCDl balNIi1120 tbtalNI 112029 i =Bl RBlRIiicos Ii例例12-10 有一很长的有一很长的U形导轨形导轨, 位于均匀磁场中，裸导线位于均匀磁场中，裸导线ab可在导轨上无摩擦地下滑。设可在导轨上无摩擦地下滑。设ab的质量为的质量为m, 长度为长度为l, 导轨上导轨上串接有一电阻串接有一电阻R，导轨和导线，导轨和导线ab的电阻略去不计。的电阻略去不计。 t=0, =0; 试求试求: 导线导线ab下滑的速度下滑的速度 与时间与时间t的函数关系。的函数关系。 导线导线ab在在安培力安培力(变力变力)和和重力重力作用下，沿导轨斜面运动

14、。作用下，沿导轨斜面运动。sin( +90)RabcdBlBi )(由由解解 先分析导线先分析导线ab的运动过程的运动过程30安培力：安培力：,cos22RlB 沿斜面方向应用牛顿第二定律：沿斜面方向应用牛顿第二定律：tmRlBmgddcossin222 0 t0 mRBlg2)cos(sind- dtRBlIicos BmgFmtmFmgmddcossin Fm=IilB方向水平向右方向水平向右。IiRabcdB31tgmRBlgBlmR sin/ )cos(sinln()cos(22)1()cos(sin2)cos(2tmRBleBlmgR 0t0 mRBlg2)cos(sind- dt匀

15、速匀速，当当2)cos(sin,BlmgRt 320)(, 0)( BuqAuBqAfF即洛仑兹力的合力不做功。即洛仑兹力的合力不做功。但分力要做功，单位时间内但分力要做功，单位时间内可见：可见：)()()(uBuqfF 即分力即分力 作为产生动生电动势的非静电力做正功，而分力作为产生动生电动势的非静电力做正功，而分力 (它在宏观上表现为安培力它在宏观上表现为安培力)做负功，使导体运动的机械能转做负功，使导体运动的机械能转化为电能。化为电能。Ff电源内部的电子同时参与两种运动电源内部的电子同时参与两种运动,随导体以速度随导体以速度 运动运动:BqF Buqf 沿导体的漂移运动沿导体的漂移运动u

16、:a bB-+Fu fF 2.动生电动势过程中的能量转换动生电动势过程中的能量转换uf33 导体不动导体不动, 磁场磁场随时间随时间变化变化, 在导体中产生感应电动势在导体中产生感应电动势。二二. 感生电动势感生电动势 感应电场感应电场1.感生电动势感生电动势2.产生机理产生机理产生感生电动势的非静电力是什么？产生感生电动势的非静电力是什么？ 麦克斯韦认为：麦克斯韦认为：变化的磁场变化的磁场要在其周围的空间激发一种要在其周围的空间激发一种电场电场, 叫做叫做感应电场感应电场(涡旋电场涡旋电场)Ei。 带电粒子处于此电场中，无论运动与否都要受到该电场的带电粒子处于此电场中，无论运动与否都要受到该

17、电场的作用，这一作用力就是产生感生电动势的非静电力。作用，这一作用力就是产生感生电动势的非静电力。 根据电动势的定义，导体上的根据电动势的定义，导体上的感生电动势：感生电动势： liilEd 34 liilEd根据法拉第电磁感应定律根据法拉第电磁感应定律tlEmliddd 式中式中 m是通过闭合回路所围面积的磁通量，即是通过闭合回路所围面积的磁通量，即 SmSBdStBlESlidd 上式给出了感应电场与变化磁场之间的一般关系。上式给出了感应电场与变化磁场之间的一般关系。 liilEd 感生电动势：感生电动势：如何求感应电场如何求感应电场 Ei ？或或tmidd 35StBlESlidd 感应

18、电场是感应电场是非非保守场保守场, 电场线是闭合曲线；电场线是闭合曲线；(1)0d lEli(3)式中负号说明感应电场与式中负号说明感应电场与 的方向呈的方向呈左手螺旋左手螺旋。tB 0dd tBB感感E感感EB感感E感感E0dd tB(2)0d siSE感感应应电场电场是无源是无源场；场；感应电场的方向也可根据楞次定律确定。感应电场的方向也可根据楞次定律确定。讨论讨论36rElEili 2d 由上式可求出感应电场的大小由上式可求出感应电场的大小tmdd trEmidd21 (4)当均匀磁场分布在圆柱形空间内，且磁场沿轴线方向当均匀磁场分布在圆柱形空间内，且磁场沿轴线方向，则，则磁场变化产生的

19、感应磁场变化产生的感应电场，场线在垂直于磁场的平面内是电场，场线在垂直于磁场的平面内是圆圆心在轴线上的一系列同心圆，且圆上各点心在轴线上的一系列同心圆，且圆上各点 的大小相等。的大小相等。iE取取半径半径为为r的感应电场线为的感应电场线为闭合路径，则闭合路径，则方向由楞次定律判定。方向由楞次定律判定。 SmSBd373.两种电场比较两种电场比较静止电荷静止电荷变化磁场变化磁场 S01d内内qSEs 0d llE有源，保守有源，保守场场(无旋无旋)无源，非保守场无源，非保守场(涡旋涡旋)不能脱离源电荷存在不能脱离源电荷存在可以脱离可以脱离“源源”在空间传播在空间传播EqF 静静iEqF 感感 作

20、为产生感生电动势的非静电力，可以引起导体作为产生感生电动势的非静电力，可以引起导体中电荷堆积，从而建立起静电场。中电荷堆积，从而建立起静电场。感感F起源起源性质性质特点特点对场中电对场中电荷的作用荷的作用联系联系静电场静电场感应电场感应电场0d SEisStBlESlidd 38例题例题12-11 一半径为一半径为R的圆柱形空间区域内存在着一均匀磁的圆柱形空间区域内存在着一均匀磁场场, 磁场方向垂直纸面向里。当磁感应强度以磁场方向垂直纸面向里。当磁感应强度以dB/dt的变化率的变化率均匀减小时均匀减小时, 求圆柱形空间区域内、外各点的感应电场。求圆柱形空间区域内、外各点的感应电场。 由由楞次定

21、律判定，感应电场的方向是顺时针方楞次定律判定，感应电场的方向是顺时针方向。向。RrrR:tBrEidd2 tRBrEid)(d212 tBrREidd22 rR:iERABo cosdlEiBA tBrREidd22 lEBAiid dcosdrl 由由于于tBRtBRidd4ddd222402 rdliE l i0，由由A指向指向B，B点电势高。点电势高。41另法：另法： 连接连接oA、oB组成回路。组成回路。241RBm tmidd tBRdd42 由楞次定律知，回路电动势方向为逆时针，因此导线由楞次定律知，回路电动势方向为逆时针，因此导线AB中的感生电动势由中的感生电动势由A指向指向B。

22、B点电势高。点电势高。由于由于oA和和oB中的电动势为零中的电动势为零, 故整个故整个回路电动势就是导线回路电动势就是导线AB中的电动势。中的电动势。 cosdlEiAoOA =0iERABo42o.ABAB(填填、或或=)tBSid)(d 连接连接oA、oB组成回路组成回路, 由由得知。得知。AB (2)如图所示的长直导线中的感如图所示的长直导线中的感生电动势生电动势:tBRidd22 tBSdd o.R问题问题: 圆柱形空间区域内存在着均圆柱形空间区域内存在着均匀磁场，匀磁场， (1)对直导线对直导线AB和弯曲的和弯曲的导线导线AB：43 4. 应用实例应用实例(1)电子感应加速器电子感应

23、加速器1947年世界第一台，年世界第一台， 能量能量70MeV100MeV的电子感应加速器可将电子加速的电子感应加速器可将电子加速0.999986C 在交变电流的在交变电流的1/4周期内，完成对带电粒子的周期内，完成对带电粒子的加速加速44实验实验原理原理 电子在电子在交变的非均匀磁场交变的非均匀磁场中运动时，将受到两方面的作用中运动时，将受到两方面的作用力：感生电场的切向加速作用力与指向环心的力：感生电场的切向加速作用力与指向环心的洛仑兹力。洛仑兹力。 电子感应加速器电子感应加速器的核心问题是如何保证带电粒子的核心问题是如何保证带电粒子在固定的圆在固定的圆周上运动。周上运动。根据例题根据例题

24、12-11，在半径，在半径r的圆周上感应电场强度的圆周上感应电场强度tBrEidd2 切向的切向的感应电场感应电场力力rP.131tBereEFidd2 设设带电粒子在半径为带电粒子在半径为r的圆周上运动时的圆周上运动时感受到的磁感应强感受到的磁感应强度为度为Br，在，在半径半径为为r的圆周内的平均磁感应强度为的圆周内的平均磁感应强度为B45切切向向:径向的洛伦兹力径向的洛伦兹力于是于是径向径向:r对上式两边求导：对上式两边求导： 电子电子运动处的运动处的B应等于该路径所围面积应等于该路径所围面积内平均磁感应强内平均磁感应强度度的的一半一半，这就是保证电子在环形真空室内运动被加速而又，这就是保

25、证电子在环形真空室内运动被加速而又不改变其轨道半径，对磁场分布的要求。不改变其轨道半径，对磁场分布的要求。tmtBerdddd2 rBeBqf rmBer2 merBr tmtBerrdddd BBr21 46I I(2)涡电流涡电流 涡电流的磁效应涡电流的磁效应电磁阻尼电磁阻尼电磁制动器电磁制动器涡电流的热效应涡电流的热效应 根据电流的热效应，可利用涡电流产生热量，如冶炼根据电流的热效应，可利用涡电流产生热量，如冶炼特种钢及电磁炉等。特种钢及电磁炉等。热量热量2 Q危害：能量损失，设备发热危害：能量损失，设备发热片状铁芯片状铁芯 粉末状粉末状4712.3 自感和互感自感和互感 LIot变化的

26、电流变化的电流 变化磁场变化磁场 感生电动势感生电动势直接联系直接联系1.自感现象自感现象 自感系数自感系数ARBLR ,K48 由于回路电流变化，引起由于回路电流变化，引起自身自身回路的回路的磁通量变化磁通量变化，而在回，而在回路中激起感应电动势的现象叫做路中激起感应电动势的现象叫做自感现象自感现象。相应的电动势叫做。相应的电动势叫做自感电动势自感电动势。 设回路有设回路有N匝线圈，通过线圈面积匝线圈，通过线圈面积上的磁通量为上的磁通量为 m, 则通过线圈的磁通则通过线圈的磁通链数链数: 式中比例系数式中比例系数L, 叫做线圈的叫做线圈的自感系数自感系数, 简称自感。简称自感。N m =LI

27、在非铁磁介质的情况下在非铁磁介质的情况下, 自感自感系数系数L与电流无关，与电流无关，仅与线圈仅与线圈的几何形状、大小、匝数及周围磁介质有关。的几何形状、大小、匝数及周围磁介质有关。在铁磁质中在铁磁质中, L 将将受线圈中电流的影响。受线圈中电流的影响。 IN m I49根据法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律，自感电动势自感电动势为为tLItNmLd)(dd)(d 如果线圈自感系数如果线圈自感系数L为常量为常量, 则则tILLdd 若电流若电流I 增加，增加， L的方向与电流方向相反；的方向与电流方向相反；若电流若电流I 减小，减小， L的方向与电流方向相同。的方向与电流方向相同。负号

28、说明：负号说明： L总是阻碍总是阻碍(或者反抗或者反抗)I的变化的变化。L有使回路保持原有电流不变的性质，称为有使回路保持原有电流不变的性质，称为“电磁惯性电磁惯性”。50 在在SI制中制中, 自感自感L的单位为亨利的单位为亨利, 简称亨简称亨(H)。求自感系数的方法：求自感系数的方法：即当线圈中通有单位电流时，穿过线圈的即当线圈中通有单位电流时，穿过线圈的磁通链数磁通链数。IINLmm (1)即当线圈中电流变化率为一个单位时，线圈中自感电动势即当线圈中电流变化率为一个单位时，线圈中自感电动势的大小。的大小。)d/d(tILL (2)计算步骤：计算步骤：设设 分布分布 求求BI smSBNdI

29、Lm 51 例例12-13 一单层密绕、长为一单层密绕、长为l、截面积为、截面积为S的长直螺线管的长直螺线管, 单单位长度上的匝数为位长度上的匝数为n, 管内充满磁导率为管内充满磁导率为 的均匀磁介质。求的均匀磁介质。求该长直螺线管的自感系数。该长直螺线管的自感系数。 解解 设在长直螺线管中通以电设在长直螺线管中通以电流流I，则则B = nI m =BS= nISINLm ,2SlnnSN Sl=VVnL2 最后得最后得问题：问题：如何用线绕方法制作纯电阻？如何用线绕方法制作纯电阻？ 双线并绕。双线并绕。52例例12-14 一矩形截面螺线环，共一矩形截面螺线环，共N匝，匝， 求它的自感求它的自

30、感。解解rNIB 2 smSB cosddrr 12ln2RRNIh 122ln2RRhNINLm 21RRrNI 2rhd532.互感现象互感现象 互感系数互感系数211221 II2 1 由于一个线圈中电由于一个线圈中电流发生变化而在附近的流发生变化而在附近的另外一个线圈中产生感另外一个线圈中产生感应电动势的现象叫做应电动势的现象叫做互互感感现象。这种感应电动现象。这种感应电动势叫做势叫做互感电动势互感电动势。2I变化变化 变化变化线圈线圈1 1中产生中产生21 变化变化 变化变化1I线圈线圈2中产生中产生12 211254实验证明，实验证明，M21=M12=M。比例系数比例系数M, 叫做

31、两线圈叫做两线圈的的互感系数互感系数, 简称互感。简称互感。121221IN 212112IN 12121IM 21212IM 令令 在非铁磁介质的情况下在非铁磁介质的情况下, 互感系数互感系数M与电流无关，与电流无关， 仅仅与仅仅与两线圈的形状大小、相对位置及周围的磁介质有关。在铁磁质两线圈的形状大小、相对位置及周围的磁介质有关。在铁磁质中中, M将受线圈中电流的影响。将受线圈中电流的影响。211221 II2 155当当M不变时，互感电动势为：不变时，互感电动势为：求互感系数的方法：求互感系数的方法： 12=N1 12=MI2 21= N2 21=MI1212121IIM (1)d/d/(

32、212tI )d/d/(121tIM (2)步骤：步骤： 设设I1 I1的磁场分布的磁场分布1B得得121IM 21穿过回路穿过回路2的的,dd121tIM tIMdd212 56例例12-15 一无限长直导线与一矩形线框在同一平面内，如图一无限长直导线与一矩形线框在同一平面内，如图所示。当矩形线框中通以电流所示。当矩形线框中通以电流I2=Iocos t (式中式中Io和和 为常量为常量)时，时，求求长直导线中的感应电动势。长直导线中的感应电动势。解解 先求互感系数先求互感系数M假定长直导线中通以电流假定长直导线中通以电流I1, 则则rIBo 21 sSB cosd21drr cbaIoln2

33、1 cbaINMoln21212 cbaI2bcrIo 21radc57tIMdd212 tIcbaoosinln2 问题：问题：两线圈怎样放置，两线圈怎样放置，M =0？cbaINMoln21212 cbaI2b=cM=058例例12-16 一长直磁棒上绕有自感分别为一长直磁棒上绕有自感分别为L1和和L2的两个线圈，如的两个线圈，如图所示。在理想耦合的情况下，求它们之间的互感系数。图所示。在理想耦合的情况下，求它们之间的互感系数。解解 设自感设自感L1的线圈长的线圈长l1、N1匝，匝，L2的线圈长的线圈长l2、N2匝，并在匝，并在 L1 中通以电流中通以电流I1。在理想耦合的情况，有。在理想

34、耦合的情况，有SIn1121 1212INM 21SNn 211111NSllNNn 12121NNVn ,11InB ,1211VnL 121NNLM 1L2L1234I159同理，若在同理，若在 L2 中通以电流中通以电流I2，则有，则有,212NNLM 前已求出前已求出121NNLM 得得21LLM 必须指出必须指出, 只有在理想耦合的情况只有在理想耦合的情况下下, 才有才有 的关系的关系; 一般一般情形时情形时, , 而而0k1, k称为耦合系数称为耦合系数, 视两线圈的相对视两线圈的相对位置而定。位置而定。 21LLM 21LLkM 1L2L1234I260 1. 将将2、3端相连接

35、，这个线圈的端相连接，这个线圈的自感是多少？自感是多少？ 设线圈中通以电流设线圈中通以电流I，则穿过线圈，则穿过线圈面积的磁通链为面积的磁通链为MLLIL221 2. 将将2、4端相连接，这个线圈的端相连接，这个线圈的自感是多少？自感是多少？MLLL221 MIIL 21L2L12341L2L1234问题问题MIIL 16112.4 磁场能量磁场能量1.通电线圈中的储能通电线圈中的储能 当开关当开关K1后后, 回路方程为回路方程为IRtIL dd tIttRIILItI0002ddd电源发出电源发出 的总功的总功电源反抗电源反抗自感的功自感的功电阻上的电阻上的 焦耳热焦耳热221LIRItIL

36、I I2dd ALR ,K12 L62可见，在线圈电流的建立过程中，电源可见，在线圈电流的建立过程中，电源克服自感电动势所作克服自感电动势所作的功，就转化为的功，就转化为线圈线圈L中的储能中的储能: 221LIWm 2. 磁场能量磁场能量 设螺线管单位长度上设螺线管单位长度上n匝，体积为匝，体积为V，其中充满磁导率为，其中充满磁导率为的均匀磁介质的均匀磁介质,L= n2V, B= nI= H2221VInWm VHVB 222121 线圈电流的建立过程也是线圈中磁场的建立的过程。线圈电流的建立过程也是线圈中磁场的建立的过程。63 因为长直螺线管内磁场是均匀的因为长直螺线管内磁场是均匀的, 所以

37、磁场能量的分布也所以磁场能量的分布也是均匀的。于是是均匀的。于是磁场能量密度磁场能量密度为为 上式虽然是从载流长直螺线管为例导出的上式虽然是从载流长直螺线管为例导出的, 但可以证明该但可以证明该式适用于一切磁场式适用于一切磁场(铁磁质除外铁磁质除外)。HBBHHBVWwmm 2121212122 VHVBWm 222121VBHVBVwWVVVmmd21d2d2 非均匀非均匀磁场：磁场：Vwm 64电场能量与磁场能量比较电场能量与磁场能量比较电容器储能电容器储能221CV自感线圈储能自感线圈储能221LI电场能量密度电场能量密度202121EEDwre 磁场能量密度磁场能量密度rmBBHw 0

38、22121 能量法求能量法求CL能量法求能量法求电场能量电场能量 VeeVwWd磁场能量磁场能量 VmmVwWd电场能量电场能量磁场能量磁场能量65例例12-17 一根长直同轴电缆由两个同轴薄圆筒构成一根长直同轴电缆由两个同轴薄圆筒构成, 其半径分其半径分别为别为R1和和R2, 流有大小相等、方向相反的轴向电流流有大小相等、方向相反的轴向电流I, 两筒间为两筒间为真空。试计算电缆单位长度的自感系数和所储存的磁能。真空。试计算电缆单位长度的自感系数和所储存的磁能。 2211020RrRrRrIRrBo IIR2R1解解根据安培环路定理根据安培环路定理 loIlB内内 dr方向由如图所示。方向由如

39、图所示。66 mWrrIRRod4212 122ln4RRIo 由由 221LIWm 21RRmw1d2 rr 得单位长度的自感系数得单位长度的自感系数120ln2RRL IIR2R11drromBw22 22208rI 212RrRrIBo 67例例12-18 设有自感分别为设有自感分别为L1和和L2的两个相邻线圈，分别通以电的两个相邻线圈，分别通以电流流I1、I2。求。求(1)两线圈的储能；两线圈的储能；(2)证明证明M21=M12。解解(1)两线圈中的储能是电流从两线圈中的储能是电流从0达到稳态值达到稳态值(I1、I2)的过程中，的过程中，由电源由电源反抗反抗自感和互感电动势作功而得。自

40、感和互感电动势作功而得。先给线圈先给线圈1通电：通电：0I1线圈线圈1的电源的电源反抗反抗自感自感电动势作功：电动势作功：211121ILW 再给线圈再给线圈2通电：通电：0I2线圈线圈2的电源的电源反抗反抗自感自感电动势作功：电动势作功：222221ILW R1L1MK1 1R2L2K2 2I1I2线圈线圈1的电源的电源反抗反抗互感互感电动势作功：电动势作功：68在上述两过程中，电源作功转化为磁场能的总值为在上述两过程中，电源作功转化为磁场能的总值为212122221112212121IIMILILWWWW (2)证明证明M21=M12如果先让线圈如果先让线圈2通以电流通以电流I2，然后保持

41、，然后保持I2不变，再给线圈不变，再给线圈1通电流通电流I1，则同样的方法可以得到系统储存的总能量为，则同样的方法可以得到系统储存的总能量为212122221121212121IIMILILWWWW 显然，两种情况下最终的状态完全相同，因而储能相同，即显然，两种情况下最终的状态完全相同，因而储能相同，即WW 1221MM 21120211212012122ddddIIMiIMtItiMWIt 69 前面讲到，变化的磁场激发电场前面讲到，变化的磁场激发电场(涡旋电场涡旋电场)。那么，变化。那么，变化的电场是否也会激发磁场？的电场是否也会激发磁场？ 麦克斯韦在研究了安培环路定律应用于麦克斯韦在研究

42、了安培环路定律应用于非稳恒非稳恒电路中出现电路中出现的矛盾以后，的矛盾以后，又又提出了提出了一重要假设一重要假设位移电流位移电流。12.5 位移电流位移电流 在在稳恒电流稳恒电流条件下条件下, 安培环路定律为安培环路定律为式中式中, I0内内是穿过以闭合回路是穿过以闭合回路l为边界的任意曲面为边界的任意曲面S的的传导电传导电流流的代数和。的代数和。 lIlH内内0d1.问题的提出问题的提出70I (圆面圆面S1)0 (曲面曲面S2) llHdkIlE非稳恒电路：非稳恒电路：以电容器充电为例以电容器充电为例矛盾！矛盾！出现矛盾的原因：出现矛盾的原因： 非稳恒电路中传导电流不连续，非稳恒电路中传导

43、电流不连续，即即 210dSSISj( ( I 流入流入S1，不流出，不流出S2 ) )传导电流不连续的结果：传导电流不连续的结果： 电荷在极板上堆积，从而在电荷在极板上堆积，从而在极板间出现变化电场极板间出现变化电场 。S2S171寻找传导电流与极板间变化电场之间的关系寻找传导电流与极板间变化电场之间的关系解决问题思路解决问题思路：kIlES2S1qSDSS 21dtqISjSSddd21 对上式两边求导：对上式两边求导：tqStDSSddd21 代入方程：代入方程：0d)(21 SSStDj根据高斯定理根据高斯定理得到：得到：满足稳恒电流的条件满足稳恒电流的条件72位移电流密度：位移电流密

44、度：位移电流强度：位移电流强度：即即:电场中某点的位移电流密度等于该点电位移矢量对时间的电场中某点的位移电流密度等于该点电位移矢量对时间的变化率；通过电场中某曲面的位移电流强度等于通过该曲面的变化率；通过电场中某曲面的位移电流强度等于通过该曲面的电位移通量对时间的变化率。电位移通量对时间的变化率。 把变化的电场看作是一种电流，把变化的电场看作是一种电流，这就是麦克斯韦位移电流的概念。这就是麦克斯韦位移电流的概念。kIlE+q-q 2.位移电流的概念位移电流的概念 SddSjIdtDjddd tSDtDSddddd 73全电流全电流=全电流总是连续的。全电流总是连续的。 因此因此, 安培环路定律

45、的一般形式为安培环路定律的一般形式为传导电流传导电流位移电流位移电流tIlHDolddd 内内 lIlH全全dkIlES2S1Id=I (曲面曲面S2)I (圆面圆面S1)传导电流传导电流+位移电流位移电流不矛盾！不矛盾！上式可写为上式可写为 SSSdlStDSjSjjlHddd)(d00又称为又称为全电流安培环路定理全电流安培环路定理。74 麦克斯韦指出：麦克斯韦指出：位移电流位移电流(变化的电场变化的电场)与传导电流一样，与传导电流一样，也要在周围的空间激发磁场。也要在周围的空间激发磁场。3.位移电流的磁场位移电流的磁场若空间磁场仅由位移电流产生，则根据全电流安培环路定理若空间磁场仅由位移

46、电流产生，则根据全电流安培环路定理StDlHSlddd HtD 感应电场的环流感应电场的环流StBlESlidd 上述两方程非常类似。上述两方程非常类似。75传导电流与位移电流的传导电流与位移电流的比较比较起源起源特点特点共同点共同点传导电流传导电流I I0 0位移电流位移电流I Id d自由电荷宏观自由电荷宏观定向运动定向运动变化电场和极化变化电场和极化电荷的微观运动电荷的微观运动产生焦耳热产生焦耳热只在导体中存在只在导体中存在无焦耳热，无焦耳热，在导体、电介质、真在导体、电介质、真空中均存在空中均存在都能激发磁场都能激发磁场tqIdd00 tPtEtDjd 0 76例例12-19 给电容为

47、给电容为C的平行板电容器充电，电流的平行板电容器充电，电流i=0.2e-t (SI), t=0时电容器极板上无电荷，求：时电容器极板上无电荷，求： (1)极板间的电压；极板间的电压；(2)两板间的位移电流强度。两板间的位移电流强度。(忽略边缘效忽略边缘效应应)解解 (1)CqV 由由所以所以 ttttetiq00d2 .0d)1(2 . 0teCCqV (2)由全电流的连续性，得由全电流的连续性，得tdeiI 2 . 0)1(2 . 0te 77例例12-20 如图所示如图所示, 一电量为一电量为q的点电荷的点电荷, 以匀角速度以匀角速度 作半径作半径R的圆周运动。设的圆周运动。设t=0时，时

48、，q所在点的坐标为所在点的坐标为(R, 0), 求圆心求圆心o处处的位移电流密度。的位移电流密度。解解 roeRqED24 ,42roeRqE tDjd )sincos(42tjtiRq )cossin(42tjtiRq xyR oq tretDjd 78例例12-21 一圆形极板的平行板电容器一圆形极板的平行板电容器, 极板半径极板半径R=0.1m, 板间为板间为真空。给电容器充电的过程中真空。给电容器充电的过程中, 板间电场对时间的变化率板间电场对时间的变化率dE/dt=1.01013V/m.s, 求求:(1)两板间的位移电流强度；两板间的位移电流强度；(2)离中离中心心r(rR)处的磁感

49、应强度。处的磁感应强度。解解 (1)位移电流密度的大小为位移电流密度的大小为tEtDJoddddd R两板间的位移电流强度：两板间的位移电流强度：tERRJIodddd22 =2.78A 由于由于E ，所以，所以位移流密度位移流密度 与与E 的方向相的方向相 同，即从正极流向负极。同，即从正极流向负极。tEJoddd 79H 2 r = Jd. r2tEtDJoddddd rtEHo dd2 rHB 5010181 (2)电流呈柱形分布，磁场的分布具有轴对称性电流呈柱形分布，磁场的分布具有轴对称性, 磁感应线如图磁感应线如图中的圆周。中的圆周。由安培环路定律得由安培环路定律得RrB lIlH内

50、内d80 麦克斯韦在总结前人成就的基础上麦克斯韦在总结前人成就的基础上, 再结合他极富创见再结合他极富创见的涡旋电场和位移电流的假说的涡旋电场和位移电流的假说, 建立起了系统完整的电磁场建立起了系统完整的电磁场理论理论, 理论的核心就是理论的核心就是麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组。 在一般情况下，在一般情况下， 12.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组(静静)电场电场涡旋电场涡旋电场空间任一点的电场：空间任一点的电场： 电场电场电荷电荷变化磁场变化磁场)2()1(DDD )2()1(EEE )2()2()1()1(,DEDE81=qo(自由电荷代数和自由电荷代数和)(涡旋电场的电场线是闭合曲线涡旋

51、电场的电场线是闭合曲线)电场的电场的环量环量:电场电场的通量的通量: sllSDSDSDddd)2()1( sSDd)1()1(d0 sqSD llllElElEddd)2()1(tmdd 内内oq0其中其中 sSDd)2()2(ddddStBtlESml =0 SSBtddd82在一般情况下，在一般情况下，空间任一点的磁场：空间任一点的磁场：则磁场则磁场的通量：的通量：(磁场线是闭合曲线磁场线是闭合曲线)传导电流传导电流(运动电荷运动电荷)位移电流位移电流(变化电场变化电场) 磁场磁场)2()1(HHH )2()1(BBB )3(0d sSB)2()2()1()1(,HBHB83磁场的磁场的

52、环量：环量： llllHlHlHddd)2()1( llHd)1( llHd)2()4(d)(ddd sDolStDjtIlH(传导传导电流的代数和电流的代数和) SoSjIdtDdd(位移位移电流的代数和电流的代数和)StDsd )d( sDSD其中其中84于是就得于是就得麦克斯韦方程组：麦克斯韦方程组：(积分形式积分形式)EjHBED ,对各向同性介质：对各向同性介质：EB , 定义：定义：BqEqF )1(d soqSD)3(0d sSB)2(ddddStBtlESml )4(d)(ddd sDolStDjtIlH85 利用矢量分析中的高斯公式和斯托克斯公式，可推导利用矢量分析中的高斯公

53、式和斯托克斯公式，可推导出麦克斯韦方程组的微分形式出麦克斯韦方程组的微分形式., 0,tDjHtBEBD 原则上，根据麦克斯韦微分方程组，由已知的边界条件原则上，根据麦克斯韦微分方程组，由已知的边界条件和初始条件，就能求解任一时刻空间任一点的电磁量。和初始条件，就能求解任一时刻空间任一点的电磁量。 SLVSSAlAVASAd)(dd)(d86麦克斯韦方程组的意义：麦克斯韦方程组的意义：(1)概括、总结了一切宏观电磁现象的规律。概括、总结了一切宏观电磁现象的规律。(2)预见了电磁波的存在。预见了电磁波的存在。变化的磁场变化的磁场变化的电场变化的电场 变化的电场和磁场相互激发交替产生，由近及远，以

54、有限变化的电场和磁场相互激发交替产生，由近及远，以有限的速度在空间传播，从而形成电磁波。的速度在空间传播，从而形成电磁波。i(3)预言了光的电磁本性。预言了光的电磁本性。871.电磁波的产生和传播电磁波的产生和传播 (1)波源：波源：LC振荡电路振荡电路12LCKUI得得0dd222 qtqtqICqUtILUdd, 0dd 简谐振荡简谐振荡( )LC1 称为振荡角频率称为振荡角频率 1868年麦克斯韦从电磁场方程推导出的结果预言了电磁年麦克斯韦从电磁场方程推导出的结果预言了电磁波的存在，波的存在，20年后赫兹用实验证实了这个预言。电磁波的发年后赫兹用实验证实了这个预言。电磁波的发现是经典电磁学的最重要成果。现是经典电磁学的最重要成果。12.7 电磁波电磁波)cos(0 tqq)sin(0 tII88(3)电路必须开放：电路必须开放：12LCUI 减小电容器极板面积、增大极板间距，减小线圈匝数减小电容器极板面积、增大极板间距，减小线圈匝数，最后振荡电路化为一根直导线，相当于，最后振荡电路化为一根直导线，相当于振荡偶极子振荡偶极子。)cos()cos(00 tp