极限的求法及技巧

1、本科毕业论文(设计)题目 极限的求法及技巧 The Method and Techniques of the Limit 山东财经大学学士学位论文原创性声明本人郑重声明 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.本声明的法律结果由本人承担.学位论文作者签名 年 月 日山东财经大学关于论文使用授权的说明本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校

2、可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文.指导教师签名 论文作者签名 年 月 日 年 月 日极限的求法摘 要求数列和函数的极限是数学分析的基本运算，而对极限的求法也是多种多样.本文首先阐述了数列极限以及函数极限的定义，然后着重归纳分析了求解极限的各种方法，包括四则运算求极限法则、利用函数连续性求极限、利用两个重要极限求极限是求极限的基本方法，夹逼定理和单调有界定理是重要的定理，而洛必达法则求极限、利用泰勒公式求极限方法等是针对某些特殊函数或数列的求极限方法，以及一些常用的求极限方法，总共归纳了十三种求极限的主要方法，并针对每种方法作了详尽阐述，配以例题，对各种求极限方法

3、及技巧进行了归纳总结，从而帮助我们掌握极限的求法.关键词 极限；泰勒公式；函数连续性；夹逼定理；洛必达法则；The Method and Techniques of the Limit ABSTRACTFor the sequence and the limit of a function is a mathematical analysis of basic operation，Ultimate solution to a wide range. First described has series limit and function limit of defines, then focu

4、ses on antibody analysis has solution limit of several method, arithmetic begged limit rule, and uses function continuity begged limit, and uses two important defines begged limit is begged limit of basic method, clip forced theorem and monotone has defined acting is important of theorem, and L '

5、; hospital rule begged limit, and uses Taylor formula begged limit method, is for some special function or series of begged limit method, and some common of begged limit method, Antibody in a total of 12 primary approaches to the limit.Keywords： Limit；Taylor formula；function continuity；both sides cl

6、ip law；L ' hospital rule目录一、引言1二、极限的定义1（一）数列极限的定义1（二）函数极限的定义21当时的极限定义22当时的极限定义23当时的极限定义24当时的极限定义2三、极限的求法3（一）四则运算求极限法则3（二）利用函数连续性求极限4（三）复合函数求极限法则5（四）利用两个极限准则求极限51利用夹逼定理求极限52利用单调有界准则求极限6（五）利用两个重要极限求极限71当极限含有三角函数时72极限中含有幂指函数时7（六）利用洛必达法则求极限71型未定式72型未定式83其他未定式形式极限9（七）利用等价无穷小因子替换求极限9（八）利用无穷小量的性质求极限10（

7、九）利用导数的定义求极限10（十）利用定积分的定义求极限11（十一）利用泰勒公式求极限12（十二）利用函数极限求数列极限14（十三）利用拉格朗日中值定理求极限14参考文献16一、引言极限是学习数学分析的过程中最基本的概念之一，极限是指变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的极限值.极限的概念最终是由柯西和维尔斯特拉斯等人严格阐述的.而在现代的数学分析中，几乎所有的基本概念都是建立在极限概念的基础之上的，例如连续、微分、积分.极限的求法是研究函数的一种基本的方法，学好极限在学习数学分析的过程中具有重要意义.本文首先阐述了极限的定义，分别叙述了数列极限的定义以及函数

8、极限的定义，然后着重分析归纳了求极限的方法，主要有四则运算求极限法则、复合函数求极限法则、利用两个极限准则求极限、利用两个重要极限求极限、利用洛必达法则求极限、利用等价无穷小因子替换求极限、利用无穷小量的性质求极限、利用导数的定义求极限、利用定积分的定义求极限、利用泰勒公式求极限、利用函数的连续性求极限、利用拉格朗日中值定理求极限十二种方法求极限，在做求解极限的题目时，必须要透彻清晰的明白以上方法所需的条件，同时细心分析，选择出适当的方法，提高做题的准确率.在求极限的过程中，会经常发现一道题可以运用多种方法求解，我们从中可以得到的其实是每种方法之间都有一定的联系，特殊题型也有特殊方法求解，同时

9、也可以利用变量替换，化简等方法转变成另一种方法求解.我们在解题时，四则运算求极限、函数连续性求极限是最基本的方法，洛必达法则求极限、等价无穷小因子替换、两个重要极限求极限是常用的方法，但是等价无穷小因子替换定理只能应用在乘除因式中，不能在和差中替换，而洛必达法则求未定式的极限只能在求型和型未定式时使用，其他形式的未定式求解需要转化成为求型和型未定式的形式，这都是我们需要注意的.求极限必须在极限存在的基础下进行，根据不同的形式选择不同的方法，合理利用各种计算方法，或者可以进行适当的结合，以期能够准确、简单、快捷地求出答案. 二、极限的定义（一）数列极限的定义定义1.1 设为数列，为定数.若对任给

10、的正数，总存在正整数N，使得当n>N时有，则称数列收敛于,定数称为数列的极限，并记作 或 ，读作“当n趋于无穷大时，的极限等于或趋于”.（二）函数极限的定义1.当的极限定义定义1.2 设为定义在上的函数，为定数.若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作 或.2当的极限定义定义1.3 设为定义在上的函数，为定数.若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作 或.3当的极限定义定义1.4 设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数.若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作 或.4.当的极限定义定义1.5 设函数在内有定义，为定

11、数.若对任给的，存在正数，使得当时有，则称数为函数当趋于时的左极限，记作 或 .定理1.1 定理1.2 定理1.3（海因定理）对任何数列，有.三、 极限的求法（一）四则运算求极限法则利用四则运算求极限法则是最基本、最直接的方法，但需要注意的是各个函数的极限必须存在且分母的极限不能为零.在无法直接使用四则运算法则求极限的情况下，需要先化简变形，之后再利用四则运算求极限法则. 定理2.1（四则运算法则） 设，则,例1 求解 = = = = = 注 若，不存在，则不存在也不为0；，则，均不存在.（二）利用函数连续性求极限定义2.1 设函数在某内有定义.若则称在点连续.为引入函数在点连续的另一种表述，

12、记.称为自变量（在点）的增量或改变量.设，相应的函数（在点）的增量记为注 自变量的增量或函数的增量可以是正数，也可以是0或负数.引进了增量的概念后，易见“函数在点连续”等价于结论 若函数在点连续，则函数在点有极限，且极限值等于函数值.推广定理 设复合函数是由函数，复合形成的，并且，则在x=点处的极限存在且例2 求解 令，则，当，时，于是有=（三）复合函数求极限法则 定义2.2 对于一些结构较为复杂、变元较多的数学问题 ，引入一些新的变量进行代换，以简化其结构，从而达到解决问题的目的,这种方法叫做变量代换法.常用的变量代换主要有局部代换、整体代换、三角代换、分式代换、对称代换、增量代换等.例3

13、求解 先做变量替换，令，则，且时，有所以= =（四）利用两个极限准则求极限1利用夹逼定理求极限定理2.2（夹逼定理） 设有三个数列、，若存在自然数，当时，恒有且，则.例3 求解 因为又因为 所以用夹逼定理得 利用夹逼定理求极限时，应注意做适当的放大或缩小，且放大和缩小后所得两个数列（或函数）的极限相同.2.利用单调有界准则求极限定理2.3 单调有界数列必有极限.结论 单调递增数列有上界必有极限；单调递减有下界数列必有极限.例4 设数列满足，证明存在，并求出.解 因为，则.假设，由，可推得，则此数列有界.又（因为当时，），则有，可见数列单调递减，因此由定理2.4，数列有极限，设，在两边同时取极限

14、，解得.即.解得，即.利用单调有界定理求极限的一般步骤为 第一步证明单调性；第二步证明有界性；第三步设出极限，利用递推公式求出极限值.（五）利用两个重要极限求极限1.当极限形式中含有三角函数时当极限形式中含有三角函数时，一般可通过三角公式恒等变换，然后利用重要公式来求解.例5 求解 = 2.函数中含有幂指函数时函数中含有幂指函数时，可通过变换化成的形式，然后利用求解.例6 求解 =（六）利用洛必达法则求极限洛必达法则是以导数为工具研究不定式极限，只能求型和型未定式时使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再用洛必达法则.1.型未定式定理2.4 设（1）；（2）在的空心领域中可导，；（3）

15、，则例7 设常数，求解 此题属于型未定式，可用洛必达法则来求解.= = =2.型未定式定理2.5 设（1）；（2）在的空心领域中可导，；（3），则例8 求解 此题属于未定式，可用洛必达法则求解.=而= =3.其他类型未定式极限未定式极限还有等类型.经过简单变换，它们一般均可化为型或型极限.例9 求解 这是一个型未定式极限，用恒等变形将它化为型的未定式极限，并应用洛必达法则得到例10 求解 这是一个型未定式极限.作恒等变形指数部分的极限是型未定式极限，可先求得从而得到=注 当洛必达法则所求极限不存在时，不能说明原极限不存在.（七）利用等价无穷小替换求极限在求乘除表达式的极限时，如果巧妙地运用等价

16、无穷小因子替换，可大大减少计算量且求出的极限值不变.当时，常用的等价无穷小替换，.例11 求解 因为=， 而= =，所以，=注 等价无穷小因子替换只在极限的乘除运算中使用，不能随意在极限的加减运算中使用.利用（八）无穷小量的性质求极限定理2.6 无穷小量与有界量之积仍为无穷小量.例12 求极限解 因为=0 所以当时是无穷小量.而，则是有界函数.根据定理2.6，则.(九） 利用导数的定义求极限定义2.3 设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作令，则上式可写成所以，导数是函数增量与自变量增量之比的极限.例13 设在可导，求极限解 = = =

17、=（十）利用定积分的定义求极限定义2.4 设是定义在上的一个函数.对于的一个分割，任取点，并作和式 并称和式为函数在上的一个积分和，也称黎曼和.定义2.5 设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数.若对任给的正数，总存在某一个正数，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有则称函数在区间上可积或黎曼可积；数称为在上的定积分或黎曼积分，记作其中，称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，分别称为这个定积分的下限和上限.注 我们常用极限符号来表达定积分，即把它写成例14 求解 =所以，原式=（十一）利用泰勒公式求极限在处理某些特殊函数的极限时，用其他方法会受到一定的限制或计算过于繁琐，

18、这是考虑用泰勒展开式或迈克劳林公式来求解.定理2.7 若函数在点存在阶导数，则有.注 用的较多的是泰勒公式在时的特殊形式 它也称为（带有佩业诺余项）迈克劳林公式.常用的迈克劳林公式 （1）(2）(3) (4) (5) (6) 例15 求极限.解 本题可用洛必达法则求解，但是较繁琐.考虑到极限式的分母为，我们用迈克劳林公式表示极限式的分子（取=4）用替换公式（1）中的，便得 则 因而求得 =（十二）利用函数极限求数列极限若，则对于，有.由这一结论，可以得到求数列极限的如下方法 若数列可以看成某函数在数列上的值，即，且，若，则.特别的，若，则.例16 求数列极限解 由.用等价无穷小因子替换得引入函数，则.(十三)利用拉格朗日中值定理求极限定理2.8 （拉格朗日中值定理）若函数满足如下条件：（1） 在闭区间