极值最值凹凸等等(第1--次课)

1、定理定理1 1 ( (极值第一充分条件极值第一充分条件) ),)(0的的某某邻邻域域内内连连续续在在设设函函数数xxf且在空心邻域且在空心邻域内有导数内有导数, ,0时时由小到大通过由小到大通过当当xx(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值取极小值在在则则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值取极大值在在则则xxf, 0)(0 xfxx时，时，即即, 0)(0 xfxx时，时，, 0)(0 xfxx时，时，即即, 0)(0 xfxx时，时，（3）左左右右的的导导数数符符号号相相同同，在在若若0)(xxf)(xf则则.不取极值不取极值xyoxyo0

2、x0 x (是极值点情形是极值点情形) )xyoxyo0 x0 x (不是极值点情形不是极值点情形) )求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数不不存存在在的的点点；的的根根以以及及即即方方程程求求驻驻点点)(0)(,)2(xfxf ;,)()3(从从而而判判断断极极值值点点在在这这些些点点左左右右的的正正负负号号检检查查xf .)4(求极值求极值例例1 1. . 求函数求函数32) 1()(xxxf的极值的极值 .解解: :1) 求导数求导数 32)(xxf3132)1( xx35235xx 2) 求极值可疑点求极值可疑点令令,0)( xf得得;521 x令令,)( xf

3、得得02 x3) 列表判别列表判别x)(xf )(xf 0520 033. 0 )0,(),0(52),(52 0 x是极大点是极大点， 其极大值为其极大值为0)0( f是极小点，是极小点， 其极小值为其极小值为52 x33. 0)(52 f定理定理2 2( (第二充分条件第二充分条件) )证：证：)1(仅证仅证xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异异号号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 .0)()30时时，则则不不能能判判断断当当（ xf例例2. 求函数求函数1

4、)1()(32 xxf的极值的极值 . 解解: : 1) 求导数求导数,)1(6)(22 xxxf)15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻点求驻点令令,0)( xf得驻点得驻点1,0,1321 xxx3) 判别判别因因,06)0( f故故 为极小值为极小值 ;0)0( f又又,0)1()1( ff故需用第一充分条件判别故需用第一充分条件判别. .,1)(左右邻域内不变号左右邻域内不变号在在由于由于 xxf.1)(没有极值没有极值在在 xxf1xy1例例3.满满足足：对对一一切切已已知知xxyy)( xeyxyx 1)(32则则此此极极值值必必为为有有极极值值在在某某一一点点试试证证：若若,

5、0)(0 xxy.极小值极小值证证:, 0)()(00 xyxxy处处取取极极值值，则则在在设设,1)(000 xexyx ,1)(000 xexyx , 1000 xex时，时，当当; 0)(0 xy, 1000 xex时，时，当当，0)(0 xy时，时，00 x，0)(0 xy.0)(0取取极极小小值值在在故故 xxy定理定理3(判别法的推广判别法的推广)阶导阶导点有直到点有直到在在若函数若函数nxxf0)(,0)()()(0)1(00 xfxfxfn则则: :数数, ,且且1) 当当 为偶数为偶数时时, ,n,0)(0)(时时 xfn0 x是极小点是极小点 ; ;,0)(0)(时时 xf

6、n0 x是极大点是极大点; ;2) 当当 为奇数为奇数时时, ,n0 x不是极值点不是极值点 . .,0)(0)( xfn0 x为极值点为极值点 , , 且且例例4.有有实实根根？方方程程为为何何值值时时问问02, axeax.)(0)(的的零零点点的的实实根根就就是是方方程程xfxf 下面归纳求函数零点的方法下面归纳求函数零点的方法.10., 0)()(,)( bfafbaxf上连续，上连续，在在若若使使（则则),ba 介介值值定定理理 0)( f20., 0)(min),()(:),( xfmxf上连续且上连续且在在若若推广推广,)(lim,)(lim xfxfxx又又.)(必必有有零零点

7、点则则xf零点是否唯一还得看零点是否唯一还得看时时当当,0 m.的符号的符号y 30.,)(max),(0 xfM若若,)(lim,)(lim xfxfxx又又.)(必必有有零零点点则则xfxyo0 x yo0 x x解解:),(, 02)( xaxexfx令令xxexfexf )(, 2)(，由由2ln0)( xxf，又又02)2(ln f.)(2ln的的极极小小值值点点为为故故xfx ,),()(内内仅仅有有一一个个极极小小值值在在由由于于 xf因而它是因而它是最小值，最小值，即即afxfm 2ln22)2(ln)(min),(,)(lim,)(lim xfxfxx又又有零点，有零点，所以

8、要使所以要使)(xf则必须则必须02ln22 a或或).2ln1(2 a一一. 最大值与最小值问题最大值与最小值问题 ,)(上连续上连续在闭区间在闭区间若函数若函数baxf则其最值只能则其最值只能在在极值点极值点或或端点端点处达到处达到 . .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求求 在在 内的极值可疑点内的极值可疑点)(xf),(ba驻驻点点或或导导数数不不存存在在的的点点 mxxx,21(2) 最大值最大值 max M, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值最小值 min m, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf注注: :

9、当当 在在 内只有内只有一个一个极值可疑点时极值可疑点时, ,)(xf),(ba 当当 在在 上上单调单调时时, ,)( xf,ba最值必在端点处达到最值必在端点处达到. .若在此点取极大若在此点取极大 值值 , ,则也是最大则也是最大 值值 . . ( (小小) ) 对应用问题对应用问题 , , 有时可根据有时可根据实际意义实际意义判别求出的判别求出的可疑点是否为最大可疑点是否为最大 值点或最小值点值点或最小值点 . .( (小小) )例例5.5.解解:)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程,

10、 0)( xf. 1, 221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f，最大值最大值142)4( f比较得比较得. 7)1( f最小值最小值上的上的在在1 ,0)(xf试求试求，设设Nnxxnxfn ,)1()().(limnMn 解解: )(xf,0)( xf令令内的唯一驻点内的唯一驻点得得)1 ,0()1(1)1(1xnxnn 例例6.6. nxn)1( 1)1( nxnxn,)(由增变减由增变减通过此点时通过此点时易判别易判别xfx及及最大值最大值)(nM故所求最大值为故所求最大值为1)1( nnn)11()( nfnM )(limnMn1 e1)1

11、11(lim nnn11 nx例例7.如果长为如果长为相交相交的走廊与另一走廊垂直的走廊与另一走廊垂直设宽为设宽为,a问另一走廊宽度至少为问另一走廊宽度至少为的细竿能水平运过拐角的细竿能水平运过拐角,8a?多少多少a8ab 解解:,b设另一走廊宽为设另一走廊宽为如图如图则则细细竿竿与与墙墙壁壁夹夹角角为为, aab8cossin sin)cos8(aab), 0(),1cos8(tan2 a0)1cos8(cos)(32 ab.3 .)3(,为为它它的的最最大大值值显显然然 b是是故另一走廊的宽度至少故另一走廊的宽度至少.33)3(ab 清楚清楚(视角视角 最大最大) ? ) ? 观察者的眼睛

12、观察者的眼睛1.8 m ,例例8. 一张一张 1.4 m 高的图片挂在墙上高的图片挂在墙上 , , 它的底边高于它的底边高于x4 . 18 . 1解解: : 设观察者与墙的距离为设观察者与墙的距离为 x m ,则则 x8 . 14 . 1arctan ,8 . 1arctanx ),0( x 222 . 32 . 3 x228 . 18 . 1 x)8 . 1)(2 . 3()76. 5(4 . 122222 xxx令令,0 得驻点得驻点),0(4 . 2 x根据问题的实际意义根据问题的实际意义, , 观察者最佳站位存在观察者最佳站位存在 , , 唯一唯一, ,因此观察者站在距离墙因此观察者站

13、在距离墙 2.4 mm 处看图最清楚处看图最清楚 . .问观察者在距墙多远处看图才最问观察者在距墙多远处看图才最二二. 曲线的凹凸性曲线的凹凸性问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC 1.曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义定义定义1:.)x(fy;)(b,axfABABB,A)x(fy,)b,a()x(f是是凹凹（或或凸凸）曲曲线线而而称称曲曲线线函函数数，或或凸凸）内内是是凹凹（）在在（末末

14、称称的的上上侧侧（或或下下侧侧），那那恒恒在在曲曲线线段段的的弦弦上上任任意意两两点点如如果果对对连连接接曲曲线线内内连连续续在在设设 xyo)(xfy 1x2x凹（或下凸）凹（或下凸）xyo1x2x)(xfy 凸（或上凸）凸（或上凸）等价定义等价定义:有：有：与与若对若对)1 , 0()(,(, tba )()()1)()1( tfftttf （上上的的凹凹函函数数（严严格格）；为为则则)b,a()x(f为为若若)x(f .()x(f),()b ,a严严格格）为为凸凸函函数数则则称称严严格格上上的的凹凹函函数数（2.曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增

15、递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y弦弦AB的方程的方程凸凹凸定理定理1:1:.)x(f),b,a(x),)x(f()x(fb,a)x(f)();b,a(x)x(f()x(fb,a)x(f)(b,a,)b,a(,b,a)x(f的的点点不不形形成成为为区区间间且且或或是是严严格格凹凹（或或凸凸）函函数数在在，或或是是凹凹（或或凸凸）函函数数在在内内）（若若在在二二阶阶导导数数内内具具有有在在上上连连续续在在如如果果0002001 此定理证明从略此定理证明从略.3. 曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法定义定义2:1) 1) 若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐

16、点的定义及上述定理根据拐点的定义及上述定理, ,可得可得拐点的判别法拐点的判别法如下如下: :若曲线若曲线)(xfy ,0连续连续在点在点x0)(0 xf或不存在或不存在, ,但但)(xf 在在 两侧两侧异号异号, ,0 x则点则点)(,(00 xfx是曲线是曲线)(xfy 的一个拐点的一个拐点. .则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 . .在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号, ,注注:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. .例例9.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36

17、xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹凹凸凸凹凹拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凹凸区间为凹凸区间为例例10. .3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解:,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx , 0,)0 ,( y内内但在但在;,(上上是是凹凹的的曲曲线线在在0 , 0,), 0( y内内在在.),上是凸的上是凸的曲线在曲线在 0.)0 ,0(3的的拐拐点点是是曲曲线线点点xy 1050510321123y x(

18、 )x证明证明: :20 x当当时，.2sinxx 有有证明证明: :xxxF 2sin)( 令令, 0)0( F, , 则则 )(xF )(xF)( xF是是凹凹函函 数数 )(xF即即xx 2sin )20( x 例例11 .0)2( F 2cos xxsin 0 )2(),0(min FF0 (自证)2xy 无渐近线无渐近线 .点点 M 与某一直线与某一直线 L 的距离趋于的距离趋于 0, ,三三. 曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义2 . 若曲线若曲线 C上的点上的点M 沿着曲线无限地远离原点沿着曲线无限地远离原点时时, ,则称直线则称直线 L 为为曲线曲线C 的的渐近线渐近线 . .例

19、如例如, , 双曲线双曲线12222 byax有渐近线有渐近线0 byax但抛物线但抛物线或为或为“纵坐标差纵坐标差”xyoNLbxkyMxyoC)(xfy P1. 水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若若,)(limbxfx 则曲线则曲线)(xfy 有水平渐近线有水平渐近线.by )(x或或若若,)(lim0 xfxx则曲线则曲线)(xfy 有垂直渐近线有垂直渐近线.0 xx )(0 xx或或例例9. 求曲线求曲线211 xy的渐近线的渐近线 . .解解: :2)211(lim xx2 y为水平渐近线为水平渐近线; ;,)211(lim1 xx1 x为垂直渐近线为垂直渐近线. .21x=1y=2

20、2. 斜渐近线斜渐近线有有则曲线则曲线)(xfy 斜渐近线斜渐近线.bxky )( x或或若若,0)(lim xfx)(bxk 0)(lim xbkxxfxx0)(lim xfx由由)(bxk 0)(lim xbkxxfx)(limxbxxfkx xxfkx)(lim )(limxkxfbx )(x或)(x或或注注: :;)(lim)(不不存存在在如如果果xxfx 1,)(lim,)(lim)(不不存存在在但但存存在在axxfaxxfxx 2.)(不存在斜渐近线不存在斜渐近线可以断定可以断定xfy 例例1.)ln(的的渐渐近近线线求求xexy1 解解 )ln(limxexex11.为铅垂渐近线

21、为铅垂渐近线ex1 ,时时 x, y.无水平渐近线无水平渐近线xxfkx)(lim 又又,)ln(lim11 xex)(limaxxfbx )ln(limxxexx 1,)ln(limexexx1111 :斜渐近线斜渐近线.exy1 不是垂铅渐近线不是垂铅渐近线注注0:x例例2. 求曲线求曲线3223 xxxy的渐近线的渐近线 . .解解: :,)1)(3(3 xxxy,lim3 yx)1(x或或所以有铅直渐近线所以有铅直渐近线3 x及及1 x又因又因xxfkx)(lim 32lim22 xxxx1 )(limxxfbx 3232lim22 xxxxx2 2 xy为曲线的斜渐近线为曲线的斜渐近

22、线 . .312 xy二二.弧微分弧微分一一. 函数图形的描绘函数图形的描绘步骤步骤 : :1. 确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域 , ,期性期性 ; ;2. 求求, )(, )(xfxf 并求出并求出)(xf 及及)(xf 3. 列表判别增减及凹凸区间列表判别增减及凹凸区间 , , 求出极值和拐点求出极值和拐点 ; ;4. 求渐近线求渐近线 ; ;5.5. 确定某些特殊点确定某些特殊点 , , 描绘函数图形描绘函数图形 .为为0和不存在和不存在的点的点 ;并考察其对称性及周并考察其对称性及周例例3. 描绘方程描绘方程044)3(2 yxyx的图形的图形. .解解: : 1),)1

23、(4)3(2 xxy定义域为定义域为),1( , )1 ,( 2) 求关键点求关键点)3(2 xy 4044 yxy)1(223 xyxy2)1(4)1)(3( xxxy 42048 yxy)1(241 xyy3)1(2 x得得令令0 y;3,1 x1 13)1,( )1 ,1( )3,1(),3( xy y y 2 0,)1(4)3(2 xxy,)1(4)1)(3(2 xxxy3)1(2 xy3) 判别曲线形态判别曲线形态00( (极大极大) )( (极小极小) )4) 求渐近线求渐近线,lim1 yx为铅直渐近线为铅直渐近线无定义无定义1 x又因又因xyx lim,41 41 k即即)41

24、(limxybx 41)1(4)3(lim2xxxx )1(495lim xxx45 ) 1(4)3(2xxy5) 求特殊点求特殊点xy049 241为斜渐近线为斜渐近线4541 xy2) 1(4) 1)(3(xxxy3) 1(2 xy6）绘图绘图( (极大极大) )(极小)斜渐近线斜渐近线1 x铅直渐近线铅直渐近线4541 xy特殊点特殊点2 无定义无定义xy1 13)1,( )1 ,1( )3,1(),3( 0 xy049 24111302) 1( 4) 3(2 xxy1 x二. .弧微分弧微分NRTA0 xMxxx .),()(内内具具有有连连续续导导数数在在区区间间设设函函数数baxf

25、xyo),(:00yxA基点基点,),(为任意一点为任意一点yxM规定：规定：;)1(增增大大的的方方向向一一致致曲曲线线的的正正向向与与 x,)2(sAM .,取取负负号号相相反反时时取取正正号号一一致致时时的的方方向向与与曲曲线线正正向向当当ssAM为为)(xss 单调增函数单调增函数,显然显然,? dxds下面求下面求)(xfy 设设在在(a , b)内有连续导数内有连续导数, , 其图形为其图形为 AB,弧长弧长)(xsAMs xs MMMM xMM MMMM xyx 22)()(MMMM 2)(1xy xsxsx 0lim)(2)(1y x AB)(xfy abxoyxMxxMy）（

26、可以证明：（可以证明：1lim0 MMMMx则弧长微分公式为则弧长微分公式为tsdd22 )(xs即即2)(1y xysd)(1d2 或或22)(d)(ddyxs xxdxdxoyxMydT几何意义几何意义: : sdTM;cosdd sx sindd sy若曲线由参数方程表示若曲线由参数方程表示: : )()(tytx 弧微分公式弧微分公式ds三.曲率及其计算公式曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度弯曲程度）的量）的量.1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度与弧段弯曲程度与弧长及转角有关弧长及转角有关转角相同弧段越转角相同弧段

27、越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1.曲率的概念曲率的概念1 )曲率的弯曲程度与哪些量有关呢曲率的弯曲程度与哪些量有关呢?.转角转角1 2 1M2M0M弧段相同转角越弧段相同转角越大弯曲程度越大大弯曲程度越大) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的平均曲率为的平均曲率为弧段弧段（设曲线设曲线C是光滑的是光滑的( (有连续变动有连续变动的切线的切线) ).0是基点是基点M,sMM （. 切切线线转转角角为为MM定义定义1:sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的处的曲率曲率:,lim0存在的条件下存在的条件下在在dsdss .dsdK 2.曲率的定义曲率的定义例例4. 求半径为求半径为R

28、的圆上任意点处的曲率的圆上任意点处的曲率 . .解解: : 如图所示如图所示 , , RssKs 0limR1 可见可见: : R 愈小愈小, , 则则K 愈大愈大 , , 圆弧弯曲得愈厉害圆弧弯曲得愈厉害 ; ;R 愈大愈大, , 则则K 愈小愈小 , , 圆弧弯曲得愈小圆弧弯曲得愈小 .sRMM由定义由定义, ,显然直线的曲率处处为零显然直线的曲率处处为零.3. 曲率的计算公式曲率的计算公式,)(二二阶阶可可导导设设xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yydsdK ,arctany 有有.12dxyds ,),(),(:二二阶阶可可导导设设 tytxC.)()()()()()(2322ttttttK ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 例例5 5.?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxaK 显然显然, ,2时时当当abx .最大最大K,)44,2(2为抛物线的顶点为抛物线的顶点又又aacbab .最大最大抛物线在顶点处的曲率抛物线在顶点处的曲率，若若)(: rrC .)(2232222rrr rrrK 则则x