关于卫星和和飞船跟踪测控问题的数学模型 - 副本

1、关于卫星和和飞船跟踪测控问题的数学模型朱诗磬，叶骏，陈资辛编者按：本文能基于椭圆轨道建立卫星和飞船的跟踪测控问 量。本文能较好地研究了球冠的表面积和蜂巢式覆 盖数学模型，利用MATLB软件。计算跟踪所需的最 少测控站数量，并用神舟五号飞船的相关资料进行 模型检测。摘要： 本文针对卫星和飞船的跟踪和测控问题。对不同的 情形建立不同的模型，利用MATLB软件求得了对卫 星和飞船进行全程测控所需要的最少测控数量，并 搜集了神舟五号飞船的相关信息，对其观测站的测 控范围进行分析，较完善的解决了本问题，针对问 题1，未考虑地球自转的影响，首先给出了一种轨道 为椭圆时的求解算法，当轨道为圆形时，我们给出

2、了一种更简单的数学模型利用MTALB软件，求得了 不同的模型，利用MATLB软件求出对不同类型不同 轨道倾角的卫星实现全程跟踪测控时的最少测控站 数量而且可以求得在不同纬度上测控站的数量。针 对问题3，搜索了神舟五号飞船的运行资料和发射时 测控站的分布资料，用时间表示测控站的测控范围。关键词：跟踪测控；轨道椭圆；测控站；1 问题分析（略）2 符号说明 H： 卫星或飞船运行时离地面的高度 E： 测控站测量卫星的起，止俯仰角， n： 全程跟踪时所需要建立的测控站数量 G： 表示万有引力， ： 表示卫星或飞船相对地面的偏移角度 s： 表示一个观测站所观测到的面积 S： 卫星或飞船运行球体的表面积 M

3、： 地球的质量， R： 地球半径， T： 卫星或飞船的运行周期 V： 卫星或飞船的运行速度 ： 测控站测量卫星时的地心角 W： 地球自转角速度 P： 表示覆盖率 ： 椭圆的弧长3 模型假设 1）地球近似的看做为球体 ； 2）忽略除地球以外的其他因素对卫星或飞船运动的 影响； 3）测量设备只能测量到与地平面夹角为以上的空 域； 4）把卫星视为一个质点； 5）不考虑地球公转的影响。4 模型的建立和求解 4.1 问题1模型建立和求解 补充问题一的假设，不考虑地球自转对卫星或飞船 的运行带来摄动的影响。 4.1.1 模型准备公式1 把直线依逆时针方向旋转到与重合时所转过的角度，叫做转到的角，简称到角：

4、 （1）公式2 长半轴为a，短半轴为b，焦点在x轴上的标准椭圆方程为： （2）公式3 椭圆的弧度微分公式为：公式44.1.2 基于椭圆轨道下的模型建立于求解 若卫星或飞船的运行轨道为椭圆，设卫星运行近地点为A。远地点为A,近地点的距离为远地点的距离为，测控站测量卫星的起，止俯仰角为E，地球半径为r。如图1所示。 由几何关系求得 ， 卫星运行的轨道满足的方程式为（2）式。为尽可能减少建立测控站的个数，要使每个测控站尽可能的测控较大的范围，其中测控站位于点时刻测控站的范围最广，因此不妨设在点建立一个测控站。由于卫星轨道为椭圆模型较为复杂，为此我们给出了一个启发式算法求解。启发式算法的步骤如下：步骤

5、1 已知，点坐标已知，根据点斜式方程求得的直线方程，再与（2）式联立求得p点的坐标（，），当在建立一个测控站的弧度为优弧PP，再根据（3）式求得弧长为；步骤2 设在地球表面某一点处建立测控站，可以求得和的斜率为，直线到的夹角为的夹角为，因此，利用到角公式(1)式，即可求得的坐标，确定的位置，与对称，在此利用到角公式即可求得A点的位置，位于点处的测控站的范围为劣弧，然后再根据（3）式求得弧长；步骤3 若，则停止，建立2个测控站，分别为点与点；否则转步骤2；步骤4 达到，满足此条件的最小数数值i既是至少需要建立的测控站的个数。4.1.3 基于圆轨道时的模型建立于求解 若卫星或飞船的运行轨道为圆形轨

6、道，也即偏心率e=0是的椭圆轨道，此时仍然可以使用上述算法求解，但对于圆形轨道，可以建立更简单的模型。 将本问题转化为数学问题，如图2，假设测控站建立在C点，O点为地球的地心，1F为测控站所在的地平面，GO为地球半径r，GB为卫星运行的高度H,E为测控站卫星的高度G，E为测控站测量卫星的起，止偏仰角，也即使测量范围与地平面的最小夹角，连接AO,BO,由假设（3）客栈劣弧AB既是一个测控站观测卫星的运行的范围，为测控站测量卫星时的地心角，2a是劣弧对应的圆心角，利用代数和几何的相关知识建立数学模型。在三角形BOC中，由正弦定理得 （5）对（5）式化简可以得到劣弧AB所对应的圆心角2 （6）要实现

7、测控站对卫星全过程跟踪测量，必须满足 或 （7）由于测控站的数量为整数，因此需要建立的测控站力量为满足（3）式的条件下的最小整数值 （8）4.14 模型求解 地球的平均半径r已知，r=6371.004km，测控站测量卫星的起，止俯仰角已知，,进行全程跟踪测控时所需测控站的数量虽卫星的高度不同而不同，人造卫星的轨道就高度而言分为低轨、中轨、高轨三种。 当轨道为椭圆时，对于各种轨道分别举例，利用MATLB软件求得了不同高度时需要建立测控站的数量，见表1所示。 当轨道为圆时，对于各种轨道分别列举，利用MATLB软件求得了不同软件对不同高度时所需测控站的数量，见表2所示。表1： 不同高度的椭圆轨道的测

8、控站的数量低轨道运行测控点中轨道运行测控点高轨道运行测控点神舟六号东方红号嫦娥一号远地点近地点远地点近地点远地点近地点200km347km439km2384km200km51000km1472不同高度的圆轨道的测控站的数量类别低轨道中轨道高轨道高度范围1000km1000km20000km20000km以上轨道平均高度343km500km1000km2000km1tm1.5tm2tm30780km测控站个数1210783333问题2 问题二的模型建立于求解4.2.1 模型准备 补充问题二的假设：1） 假设卫星或飞船的运行只受到地球自转的影响，不考虑其他的摄动或扰动；2）假设地球自转角速恒定；3

9、)卫星的运行轨道近似为圆。 设A点为轨道上一枚卫星，在地球表面的投影为B，当卫星环绕地球运行一周之后，由于地球自转地影响，B点已到达C点，因此A点是绕高地球高度为H的球面S上运行的，在运行过程中相续两圈就会存在经度差异，但纬度无差异。 把本问题转化为数学问题，如图3所示。 卫星A的运行轨道倾角为，运行最高点为P与最低点为p在地球球体表面的投影分别为Q与Q，卫星仅在Q与Q范围内运行，因此只需考虑在Q与Q之间的球冠表面建立测控站，由此可以较少测控站的数量。其中Q与Q的位置与卫星轨道倾角有关，卫星A相对地球O环绕一周之后,相继两圈后经度差为，当时，卫星运行轨道在地球表面的投影见图4阴影部分所示，当时

10、，将Q与Q之间的表面全部覆盖，见图5阴影部分。4.2.3 基于测控站数目最少小原则的模型建立A绕球O旋转一周所用的时间T为 （9）其中 (10)经过时间T后地球自转的角度为 (11)当运行国道的倾角为，绕球O环绕m圈时，A相对地球的偏移角度为 （12）卫星相对地球运行时的球面表面积S为 (13)当，即时，测控站的数量与m有关，A相对地球偏移时运行的面积为 （14）有（1）式可得到一个测控站测量A时的地心角 (15)利用球冠表面积公式，可得到一个测控站能测看的范围 （16）只要将 全部覆盖，即可满足对卫星进行全程跟踪控制，因此至少建立测控站个数n为 （17）当，即时，A相对地球偏移时运行面积为，

11、此时卫星可以运行的面积全部覆盖，因此建立测控站的数量与m无关运行面积为 （18）至少要建立测控站的数量n为 （19）4.2.3 基于测控站数码最小原则的模型求解 地球的平均半径r已知，r=6371.004km，地球的质量M已知，万有引力已知，,测控站侧卫星的起，止俯仰角已知，进行全程测控时所需的测控站的数量不仅与卫星的高度有关，而且和轨道倾角有关人造卫星根据轨道倾角划分为：与赤道同平面的，也即是赤道轨道；极地轨道，；顺行轨道，逆行轨道，。并对于不同运行高度与轨道倾角分别讨论，利用MATLB软件求解，列举出对于一些不同类型的卫星进行全程跟踪测控所需测控站个数，见表3所示。表3：测控不同类型卫星的

12、所需测控站数量轨道倾角0306090120150卫星运行圈数353535353535卫星近轨道运行（高度范围：1000km以下）300km12295162618301626915500km10106101117122011176101000km774661071161046卫星中高轨道运行（高度范围：100030000km）3000km44233435342310000km331222232212卫星高轨道运行（高度范围：20000km以上）30000km331112121111 对于低轨，例如神舟七号轨道倾角为，运行高度为343km，临界圈数为12，环绕圈数小于12时，带入（13）式即可求得

13、所需测控站的个数，当环绕全书大于12时，若要实现全程跟踪测控，至少需要建立48个人测控站。 对于中轨，例如东方红号，轨道倾角为，运行的高度为2300km，临界圈数为9，环绕圈数小于9，代入（13）式即可求得所需测控站个数，当测控站数大于9时，如要实现全册跟踪测控，至少需要建立6个测控站。 对于高轨，例如地球同步卫星，轨道倾角为，运行高度为35786km由于同步卫星位于赤道上方，时刻与赤道共面，如要实现全程跟踪测控，至少需要建立3个测控站， 对于不同高度及倾斜角时覆盖全程的所需测控站数如表4所示。表4： 不同高度及倾斜角时覆盖全程的所需测控站数 343km500km1000km10000km倾斜

14、角为271892倾斜角为4731163倾斜角为3436204 4.24 基于蜂巢覆盖法的模型建立 模型一球的的是覆盖全部可能飞行区域是建立测控站数量的下限利率上可以实现对卫星全程的跟踪测控，但模型为能考虑测控站设定的位置，操作较为复杂，为此我们建立模型二来避免模型一的一些不足。只考虑卫星的覆盖面积为图4所似的情况，将Q和Q之间的球冠表面全部覆盖，卫星在轨道倾角r固定时，运行到任何位置都可以满足对进行全程跟踪测控。 假如从赤道开始建立测控站，利用一个监控站可以观测范伟的地心角，求得在同一程度上全都覆盖时测控站的数量，然后平均分配测控站，在根据测控站所在的纬度，分别求不同纬度下的最少测控站的数量，

15、例如在赤道上，根据一个测控站观测范围的地心角，求得在同一程度上全都覆盖时测控站的数量，其他纬度采用同样的计算方法，由于南北半球对称，不妨对北半球进行研究，如图6所示。 图先由赤道开始建立测控站，由（2）式得到一个测控站所能测控的地心角，在赤道上需建立的测控站数量n1为其中i表示从赤道向上第i个测控站，bi表示第i个测控站所在纬度平面上的半径。,其中c表示一个测控站所能观测范围的半径。,其中表示第i个测控站在所在平面观测范围的地心角。,由（16）式和（17）式得到总考虑地球自转时对卫星进行全程跟踪时的最少测控站数量n为,4.2.5 基于 的模型求解代入已知数据，地球的平均半径r已知，r=6371

16、.004km，对于不同的高度利用Matelab软件求得最少测控站数量见表6所示，例如当某卫星一倾角为30度，运行高度为500km时，需要建立26个观测站，赤道需要建立10个，在男北纬86度上需要建立8个。 表四 测控不同类型卫星的所需测控站数量4.3问题三的模型建立与求解4.3.1问题三的模型建立依据参考文献【3-5】,收集到神州五号飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，信息表格省略。神舟五号飞船运行在轨道倾角42.4度，近地点高度350km的椭圆轨道上，实施变轨后，进入343km的圆轨道，查得神舟五号在咯什站第一次跟踪10：30左右，观测整个过程只有六分钟，第二次看到飞船是12点左右，已经绕地球飞行第三圈。由于地球的自转角速度与飞船的加速度相比比较慢，因此假设飞船经过一个测控站的可测范围内，不考虑地球自转的影响。 由（1），（5），（6）式可求得一个测控站点测控范围的地心角和神舟五号飞船运行线速度，由弧长公式求得一个测控点可以测控的范围，再有位移公式求得一个测控站点可以测控的时间。 （23）4.3.2 测控点测控范围的分析当变轨后神舟五号的飞行轨道为圆形，且离地面的高度为H=343km，地球半径为r=6371km,地球质量为kg，引力常量N/把数据代入模型可得飞船的运行周期T=1.52h经过没个测控站的最大时间为7.8892min.飞船的线速