第九章弯曲刚度

1、第九章第九章 弯曲刚度弯曲刚度一、弯曲变形与位移一、弯曲变形与位移二、小挠度微分方程及其积分二、小挠度微分方程及其积分四、弯曲刚度计算四、弯曲刚度计算五、简单静不定梁五、简单静不定梁三、变形叠加原理三、变形叠加原理一、弯曲变形与位移一、弯曲变形与位移 在平面弯曲的情况下，梁的轴线弯曲成平面曲在平面弯曲的情况下，梁的轴线弯曲成平面曲线，梁的横截面变形后仍然为平面，与梁的轴线垂线，梁的横截面变形后仍然为平面，与梁的轴线垂直。由于弯曲变形使梁的横截面发生位置改变，称直。由于弯曲变形使梁的横截面发生位置改变，称为位移。梁的位移包括三部分：为位移。梁的位移包括三部分： 横截面形心处垂直于轴线方向的位移，

2、称为横截面形心处垂直于轴线方向的位移，称为挠挠度度； 变形后横截面相对于变形前位置绕中性轴转过变形后横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为的角度，称为转角转角； 横截面形心沿轴线方向的位移，成为横截面形心沿轴线方向的位移，成为轴向位移轴向位移。1 1、变形和挠度有关概念、变形和挠度有关概念2 2、弯曲变形的挠度曲线、弯曲变形的挠度曲线 在弹性范围内，梁的轴线在弯曲变形在弹性范围内，梁的轴线在弯曲变形变成一条连续光滑的曲线，称为变成一条连续光滑的曲线，称为弹性曲线弹性曲线或挠度曲线。或挠度曲线。 挠度曲线上某一点的曲率半径与这一挠度曲线上某一点的曲率半径与这一点横截面上的弯矩、弯曲刚度的

3、关系：点横截面上的弯矩、弯曲刚度的关系：EIM1 在小变形情况下，在小变形情况下，轴向位移轴向位移与挠度相与挠度相比为高阶小量，通常不考虑。比为高阶小量，通常不考虑。x)(x)(xx)(x 如图：挠度如图：挠度与转角的关系与转角的关系tandxd小变形情况下：小变形情况下：tandxd挠度与转角的关系：挠度与转角的关系：挠度方程挠度方程二、小挠度微分方程及其积分二、小挠度微分方程及其积分MNTAxyo1 1、弧微分、弧微分)(xf函数函数)(xf在区间在区间（a,b）上上连续可导。在曲线上取一连续可导。在曲线上取一点点A(x0，y0)作为基点，对于作为基点，对于曲线上任意一点曲线上任意一点M(

4、x，y)，规定：规定： 曲线的正向为曲线的正向为x增大的增大的方向；方向；MAs)(xfs 是是x的单调增函数的单调增函数)(xfs 的导数与微分：的导数与微分：MNTAxyo)(xfx0 xxx)(yyxxN，为曲线上另为曲线上另 一点，一点，NMs有：有：222222222221xyMNNMxyxMNNMxMNMNNMxNMxs2221xyMNNMs得：得：当：当：MNx，0yxyMNNMxMN02lim1lim，dxyds21)(xfs 是是x的单调增函数的单调增函数由于：由于：弧微分公式弧微分公式2 2、曲率的定义、曲率的定义描述曲线局部弯曲程度的量描述曲线局部弯曲程度的量)(xfxy

5、MMos如图：如图：切线的转角为，MMMMs则弧段则弧段s的平均曲率：的平均曲率：sK点点M处的曲率：处的曲率：dsdsKs0lim设设)(xfy 二阶可导，有：二阶可导，有：tan yy arctandxyydxyd21)(arctan dxyds21由：由：23222)1(11yydxydxyydsdK 当当yKy ，有：1EIM13 3、小挠度微分方程及其积分、小挠度微分方程及其积分dxddxddsdK122dxddxd221dxdEIMdxd22yKEIM 1方法一：方法一：方法二：方法二：EIMdxd22挠度曲线近似微分方程。挠度曲线近似微分方程。EIMdxd22式中的正负号与坐标取

6、向相关。式中的正负号与坐标取向相关。对于等截面梁，对上式进行不定积分，得：对于等截面梁，对上式进行不定积分，得：转角方程：转角方程：CdxxMEIdxdEIl)(挠度方程：挠度方程：DCxdxdxxMEIll)(4 4、积分常数的确定、约束条件及连续条件、积分常数的确定、约束条件及连续条件 在上面的转角方程和挠度方程中，积分常数在上面的转角方程和挠度方程中，积分常数由梁的约束条件和连续条件确定。由梁的约束条件和连续条件确定。 约束条件约束条件是指约束对挠度和转角的限制，也是指约束对挠度和转角的限制，也称边界条件。称边界条件。常见约束条件：常见约束条件：在固定铰链支座和辊轴支座处，有：在固定铰链

7、支座和辊轴支座处，有：0在固定端处，有：在固定端处，有：00和 连续条件是指在梁的弹性范围内，其轴线弯曲变连续条件是指在梁的弹性范围内，其轴线弯曲变形为一条连续光滑曲线，因此在集中力、集中力偶以形为一条连续光滑曲线，因此在集中力、集中力偶以及分布载荷的间断处，两侧的挠度和转角相等。及分布载荷的间断处，两侧的挠度和转角相等。x)(xaPlCABPlaFBPlalFAAC段弯矩方程：段弯矩方程：axPxlalxM0)()(1；BC段弯矩方程：段弯矩方程：lxaPxllaxM；)()(2palalMCABC点的挠度和转角相等。点的挠度和转角相等。P214，例题，例题8-1PxlalxMdxdEI)(

8、1212axpxlalxM0)(1；1212)(ClxalPEIlxaPxllaxM；)()(2PaxlPaPxllaxMdxdEI)()(22222223226DxCxPaxlPaEI11316)(DxClxalPEI2222CPaxxlPaEI0A01D：lx 0B03222lPaDlC：0 x212221PaCC23216)(DPaaCC21：ax 22322CPalPaEI123122CPalPaEI1134166DaCPalPaEI2234226DaCPalPaEI根据边界条件和连续条件可求出积分常数。根据边界条件和连续条件可求出积分常数。例：已知梁的抗弯刚度例：已知梁的抗弯刚度EI

9、EI，求图示简支梁在均布，求图示简支梁在均布载荷载荷q q作用下的转角方程和挠度曲线方程，并确作用下的转角方程和挠度曲线方程，并确定最大转角和挠度。定最大转角和挠度。xqABl解：解：2BqlFFAqxqlFqxqlFyqqi20202022)(02)(0 xqxqlxMqxdxxqlxMMxi222212qxxqldxdEICxqxqlEI3264DCxxqxqlEI432412有：有：由边界条件：由边界条件：0A：lx 0B：0 x0D0241244DCllqql243qlC转角方程：转角方程：挠度曲线方程：挠度曲线方程：)2464(1332qlxqxqlEI)242412(1343xql

10、xqxqlEI最大转角为最大转角为A和和B处：处：最大挠度发生在中间：最大挠度发生在中间：EIqlBAMax243EIqlMax38454三、变形叠加原理三、变形叠加原理杆件变形：杆件变形：其轴线为一光滑连续曲线；其轴线为一光滑连续曲线；位移是杆件变形累加的结果；位移是杆件变形累加的结果；小变形下力的作用是独立的。小变形下力的作用是独立的。叠加原理：叠加原理：，1313 工程中将典型载荷作用下梁的挠度和转角表达式工程中将典型载荷作用下梁的挠度和转角表达式制成表，挠度表。制成表，挠度表。多个载荷作用时，分解为各载荷单多个载荷作用时，分解为各载荷单独作用状态，根据挠度表查得相应挠度和转角，再进独作

11、用状态，根据挠度表查得相应挠度和转角，再进行叠加，可得综合作用结果。行叠加，可得综合作用结果。 P220，例题，例题8-3xqABxqABxABxqAB四、弯曲刚度计算四、弯曲刚度计算 maxmax弯曲刚度条件弯曲刚度条件: : rad:,单位许用转角许用挠度 计算变形计算变形 校核刚度校核刚度 确定最大载荷确定最大载荷 五、简单静不定梁五、简单静不定梁静不定静不定：约束数量超过方程数量。约束数量超过方程数量。变形协调方程：位移或变形之间的几何关系变形协调方程：位移或变形之间的几何关系物理方程物理方程：力与位移或变形之间的关系力与位移或变形之间的关系平面汇交力系：两个独立方程，只能求解两个未知

12、数平面汇交力系：两个独立方程，只能求解两个未知数0iM0)(00iOyxFMFF平面力偶系：一个独立方程，只能求解一个未知数平面力偶系：一个独立方程，只能求解一个未知数00yxFF平面任意力系：三个独立方程，只能求解三个未知数平面任意力系：三个独立方程，只能求解三个未知数当独立方程数当独立方程数 未知数数量未知数数量：静定问题静定问题当独立方程数当独立方程数 未知数数量未知数数量：静不定问题，超静定问题静不定问题，超静定问题物体系统平衡的特点：物体系统平衡的特点：平衡系统中的每个单体（构件）也是平衡的；平衡系统中的每个单体（构件）也是平衡的； 平衡系统中每个单体（构件）可以列出平衡系统中每个单

13、体（构件）可以列出3个独立个独立平衡方程，整个系统可以有平衡方程，整个系统可以有3 n个方程。（设系统中个方程。（设系统中有有n个物体）个物体） 面接触约束限制面接触约束限制2个自由度；个自由度； 线和点接触限制线和点接触限制1个自由度。个自由度。 约束限制构件的自由度，构件在空间有约束限制构件的自由度，构件在空间有6个自由个自由度，平面有度，平面有3个自由度。个自由度。在平面情况下：在平面情况下：关于静不定的次数：关于静不定的次数：静不定的次数，即多余约束的数量静不定的次数，即多余约束的数量独立方程数：独立方程数：3个个约束数（未知力个数）：约束数（未知力个数）：3个个独立方程数：独立方程数

14、：3个个约束数（未知力个数）：约束数（未知力个数）：4个个物体系统的自由度数：物体系统的自由度数：HLPPnF23 当当物体系统的自由度数物体系统的自由度数F0，为静不定系统，为静不定系统，F即为物体系统的即为物体系统的静不定的次数。静不定的次数。P222，例题，例题8-4xqAC2l2lB 如图：已知均布载荷集度如图：已知均布载荷集度q=15N/mm，l=4m，梁为圆截梁为圆截面，直径面，直径d=100mm，材料的许，材料的许用应力用应力 =100MPa，校核该，校核该梁是否安全。梁是否安全。解：该梁有多余约束，为一次静不定问题，受力如图解：该梁有多余约束，为一次静不定问题，受力如图xqAC

15、BCFAxFAyFBF将将C处约束解除，以处约束解除，以FC取代取代力平衡方程：力平衡方程：02121:00:00:0qllFlFMqlFFFFFFBAyCCBAyyiAxxixqAC2l2lB变形协调条件：变形协调条件：梁在梁在C处的挠度必须为零。处的挠度必须为零。由叠加原理：由叠加原理：0)()(CccCFqxqAC2l2lBxAC2l2lBCF再根据叠加原理，其中：再根据叠加原理，其中：)()()(21qqqcccEIqlllEIqllllllllEIlqqc3847)8345(48)22(4)23(42242)(433221EIqllEIlqlqBc3842124)21(21)(432

16、EIlFllllEIlFFCCCc12)32(2412)(32xqAC2l2lBxqAC2l2lBEIqlEIqlEIqlqqqccc38463843847)()()(444210)()(CccCFq由由038461243EIqlEIlFCqlFC163qlFB85qlFAy163xqACBCFAyFBF求求AB段弯矩：段弯矩：x210121163)(0163)(:0qxqlxxMqxdxqlxxMMxi0163)(1qxqlxMlx163lx163当当mkNxM22. 410153291691015214341015163)(3331求求BC段弯矩：段弯矩：22202165211613)(0)21(85163)(:0qlqxqlxxMqxdxlxqlqlxxMMxilx1613当当mkNxM22. 4161015165