复变函数-孤立奇点及分类

1、第五章第五章 留数及其应用留数及其应用 孤立奇点的概念孤立奇点的概念 留数的定义、计算、留数定理留数的定义、计算、留数定理 留数定理的应用（积分计算）留数定理的应用（积分计算）5.1 孤立奇点的分类孤立奇点的分类1、孤立奇点的定义、孤立奇点的定义00( )f zzz若在 点不解析，但在 的某个去心邻域内解析的的孤孤立立奇奇点点。为为则则称称)(0zfz例如：例如：的的孤孤立立奇奇点点。、是是zezzz1sin0 )1)(1)( zizzf1, ziz有有两两个个孤孤立立奇奇点点点点，的的奇奇点点，但但不不是是孤孤立立奇奇是是函函数数zz1sin10 1()zkk因为为非零整数 都是它的奇点，时

2、时）当当 kk(01 00zz注：当 为不解析点，又是一系列奇点的极限点，则 为非孤立奇点。例2、孤立奇点的分类、孤立奇点的分类的的孤孤立立奇奇点点，是是设设)(0zfz 000zzz 的的去去心心邻邻域域则则存存在在在该邻域内解析。在该邻域内解析。)(zf内可展开为洛朗级数内可展开为洛朗级数在在于是于是 00)(zzzf nnnzzazf)()(0 0100)()(nnnnnnzzazza（1）可去奇点）可去奇点的的负负幂幂项项，若若洛洛朗朗展展开开式式中中不不含含有有)(0zz , 0 na即即的的可可去去奇奇点点。为为则则称称孤孤立立奇奇点点)(0zfz例如：例如：zzsin由由于于 z

3、zz0.! 5! 3142的的可可去去奇奇点点。是是所所以以，zzzsin0 ,.)2 , 1( n351(.)3!5zzzz！可去奇点的判别法：可去奇点的判别法：(i) 展开为洛朗级数；展开为洛朗级数；(ii)0lim( )(zzf zl有限值），0( )zf z为的可去奇点的充分必要条件是21cos0zzz是的什么类型的孤立奇点？.)!2()1(.! 4! 21cos242 nzzzznn由于由于 z.)!2()1(.! 4! 21cos122122 nzzzznn于是于是为为可可去去奇奇点点。所所以以0 z解法一20cos1limzzz 由于由于212sin2lim220 zzz为为可可

4、去去奇奇点点。所所以以0 z例解法二（2）极点）极点的的负负幂幂项项，有有限限项项若若洛洛朗朗展展开开式式中中只只含含有有)(0zz 100( -)()mz zzzm 且其中关于的最高幂为，这里是正整数，级级极极点点。的的为为则则称称mzfz)(00( )zf z则称为的极点。的的负负幂幂项项，有有限限项项若若洛洛朗朗展展开开式式中中只只含含有有)(0zz 例如：例如：2)(zezfz 因为因为.)! 21(122 zzz.! 4! 3! 21212 zzzz的的二二级级极极点点。是是所所以以，)(0zfz 极点的判别法：极点的判别法：(i)展开为洛朗级数，用定义判别；展开为洛朗级数，用定义判

5、别；(iii)级极点级极点的的为为mzfz)(0mzzzhzf)()()(0 00()0( )h zh zz其中，且在解析；（iv)000-( )lim()( )0mmzzmzf zmzzf zccm为的 阶极点，这里， 为正整数（ii) )(lim)(00zfzfzzz的的极极点点为为例如：例如：22)1)(1(2)( zzzzf的的一一级级极极点点。是是的的二二级级极极点点，为为)()(1zfizzfz 注意判别条件注意判别条件21)(zezfz 例如：例如：的的二二级级极极点点，不不是是)(0zfz .)!3!2(1)(322 zzzzzf因因为为.! 3! 211 zz的的一一级级极极

6、点点。是是所所以以，)(0zfz 极极点点和和零零点点的的关关系系：零零点点：的的零零点点。称称为为的的点点使使解解析析函函数数)(0)(0zfzzf 级级零零点点：m),()()()(0zgzzzfzfm 可可表表示示为为若若为为正正整整数数点点解解析析，且且在在其其中中，mzgzzg,0)()(00 级级零零点点。的的为为则则称称mzfz)(0零零点点的的判判别别：级级零零点点的的为为的的解解析析点点，则则为为若若mzfzzfz)()(00)1,.1 , 0(0)(0)( mkzfk0)(0)( zfm而而例如：例如：3( )1,f zz1( )zf z所以，为的一级零点。21(1)0,(

7、1)3|30zffz（v)级级零零点点；的的为为级级极极点点的的为为mzfzmzfz)(1)(00(vi)点点解解析析，在在且且若若00)(0)(,)()()(zzPzPzQzPzf 级级极极点点。的的级级零零点点，则则必必为为的的是是若若mzfmzQz)()(0例例的的奇奇点点类类型型。试试确确定定函函数数1)1tan()( zzzf解：解：)1cos()1()1sin(1)1tan()( zzzzzzf由于由于显显然然，函函数数的的奇奇点点是是1,1(0, 1, 2.)2kzzkk 1)1tan(lim1 zzz由于由于)1cos(11)1sin(lim1 zzzz1 为为可可去去奇奇点点

8、。所所以以，1 zkkzzzz)1sin( )1cos( sin()2k 1k （）110k （）的的一一级级极极点点。的的一一级级零零点点，是是是是所所以以)()1cos(zfzzk , 01)1sin( kzzz又又0)1cos( kzz3、本性奇点、本性奇点的的负负幂幂项项，穷穷多多项项的的洛洛朗朗展展开开式式中中含含有有无无若若)()(0zzzf 的本性奇点。的本性奇点。为为则称则称)(0zfz判别法：判别法：(i)( )f z把展开为洛朗级数，用定义判别；(ii) 不不存存在在，也也不不是是的的本本性性奇奇点点是是)(lim)(00zfzfzzz例如：例如：为为本本性性奇奇点点，因因

9、为为以以函函数数0)(1 zezfz的负幂项。的负幂项。中含有无穷多中含有无穷多zznzzenz.!1.! 211211 1sin1z 例讨论的孤立奇点及类型。解：解： ）（1的孤立奇点。的孤立奇点。是是11sin1 zz120)1()!12(1)1(11sin nnnznz由于由于 10z的负幂项，的负幂项，有无穷多个有无穷多个1 z的本性奇点。的本性奇点。是是所以，所以，)(1zfz 例的的孤孤立立奇奇点点的的类类型型。讨讨论论)1(sin)( zezzzf解：解：:)(的的孤孤立立奇奇点点为为zf）,.2, 1(2, 0 kikzzk )(.! 5! 3sin53 zzzzz由于由于)(

10、.! 3! 2132 zzzzez).1.1(1)(!3!2!5!3242 zzzzzzf于是于是 zzhz)(1(0)0h其中，且在0解析，( )f z于是，0为的一级极点。,.)2, 1(2 kikzk 以下考察以下考察)1(sin)( zezzzf)1(sin zzze解析，解析，在在且且由于由于kzzzzzzksin0sin 0)1(, 0)1( kkkzzzzzeee而而的一级零点。的一级零点。是是于是于是1,.)2, 1(2 zkekikz 的的一一级级极极点点。因因此此是是)(zf定义10( )( )tfmtzfzm 如 果是的 可 去 奇 点 ，阶 极 点 或 本 性 奇 点 ，则 称为的 可 去 奇 点 ，阶 极 点 或 本 性 奇 点4、函数在无穷远点的性态、函数在无穷远点的性态( )|0( )f zzRzRf z 在扩充的复平面上，如果函数 在 的去心邻域 内解析（）, 则称点 为 的孤立奇点231