第6章测量误差基本知识

1、Northwest University for Nationalities土木工程测量土木工程测量西北民族大学土木工程学院西北民族大学土木工程学院Northwest University for Nationalities第六章第六章 测量误差基本知识测量误差基本知识 主要目的： 了解误差的来源与分类，中误差公式；理解观测值中误差、相对误差、极限误差；掌握由一组等精度观测值计算观测值中误差的公式。主要内容： 测量误差的分类、偶然误差的特征，观测精度的定量指标、观测值函数中误差。研究测量误差的目的：分析测量误差产生的原因及其 性质，合理处理含有误差的测 量数据，求出最可靠值，正确 评估测量成果

2、的精度。 Northwest University for Nationalities第六章 测量误差的基本知识测量误差概述测量误差概述偶然误差特性偶然误差特性衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准误差传播定律误差传播定律等精度直接观测平差等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差Northwest University for Nationalities6.1 6.1 测量误差概述测量误差概述通过一定的仪器、工具和方法对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实值， 简称真值真值。对该量进行观测得到观测值观测值。 二、测量误差及其

3、来源二、测量误差及其来源一、测量与观测值一、测量与观测值 1、测量误差定义、测量误差定义真误差观测值真值真误差观测值真值 = l - X观测值与真值之差，称为真误差真误差。Northwest University for Nationalities2、 误差来源误差来源仪器设备不尽完善仪器设备不尽完善人的感官不稳定人的感官不稳定如：整平误差、照准误差、读数误差等。如：用只刻有厘米分划的普通水准尺进行水准测量、水准仪的视准轴不平行于水准管轴等。自然环境的影响自然环境的影响如：温度、风力、大气折光等因素Northwest University for Nationalities三、研究目的三、研究

4、目的衡量精度衡量精度（评定精度）评定观测结果质量的优劣，即评定精度。这项工作在测量上称为测量平差，简称平差平差。求取最可靠值求取最可靠值（最或是值最或是值）最接近未知量真值的估值，称为最或是值最或是值。测量工作由于受到上述三方面因素的影响，观测结果总会产生这样或那样的观测误差，也就是说测量工作中观测误差是不可避免的。Northwest University for Nationalities按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误差分为粗按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误差分为粗差、系统误差和偶然误差三类。差、系统误差和偶然误差三类。四、测量误差分类四、测量误差分类 粗差也称

5、错误，是由于观测者不正确地使用仪器或疏忽大意，如测错、读错、听错、算错等造成的错误或因外界条件意外的显著变动引起的差错，其数值往往偏离较大，使观测结果显著偏离真值，直接影响到观测结果的正确与否。（一）粗差（一）粗差Northwest University for Nationalities（二）系统误差（二）系统误差在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变，或按一定规律变化的误差，称为系统误差系统误差。系统误差具有累积性，它随着单一观测值观测次数的增多而积累。系统误差的存在必将给观测成果带来系统的偏差，反映了观测结果的准确度。准确度是指观测值对真值的偏离程度或接

6、近程度。准确度是指观测值对真值的偏离程度或接近程度。Northwest University for Nationalities1、测定系统误差的大小对观测值加以改正。、测定系统误差的大小对观测值加以改正。如用钢尺量距时，通过对钢尺的检定求出尺长改正数，对观测结果加尺长改正数来消除尺长引起的系统误差。2、采用对称观测的方法、采用对称观测的方法 使系统误差在观测值中以相反使系统误差在观测值中以相反的符号出现，加以抵消的符号出现，加以抵消。如水准测量时，采用前、后视距相等的对称观测，经纬仪测角时，用盘左、盘右两个观测值取中数的方法可以消除视准轴误差等系统误差的影响。如果系统误差的大小在允许范围以内

7、，可采用适当的措施消除或减弱其影响，通常有以下三种方法：Northwest University for Nationalities3、检校仪器、检校仪器 将仪器存在的系统误差降低到最小限度将仪器存在的系统误差降低到最小限度，或限制在允许的范围内，以减弱其对观测结果的，或限制在允许的范围内，以减弱其对观测结果的影响。影响。如经纬仪照准部管水准轴不垂直于竖轴的误差对水平角的影响，可通过精确检校仪器，并在观测中仔细整平的方法来减弱其影响。（三）偶然误差（三）偶然误差在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性，这种误差称为称为偶然

8、误差偶然误差，又称为随机误差。Northwest University for Nationalities对剔除了粗差的观测值，首先应排除系统误差，然后根据偶然误差的特性对该观测值进行数学处理，求出最或是值，同时评定该观测值精度。 如：经纬仪测角时，由于受照准差、读数误差、外界条件变化及仪器自身不完善而引起的误差等综合影响。就单一观测值而言，测角误差无论是数值的大小或符号的正负不能预知，具有偶然性。研究测量误差主要是针对偶然误差而言研究测量误差主要是针对偶然误差而言。Northwest University for Nationalities一、偶然误差的四个特性一、偶然误差的四个特性举例：举

9、例：abci=ai+bi+ci-180（i=1,2, 358） 将观测得到的将观测得到的358个误差，取区间个误差，取区间d为为 ，按数，按数值大小及符号进行排列，统计结果列表值大小及符号进行排列，统计结果列表 2. 0 6.2 6.2 偶然误差特性偶然误差特性Northwest University for Nationalities 负 误 差 正 误 差 误差区间 d 个数k 相对个数k/n 个数k 相对个数k/n 0.0 0.2 0.2 0.4 0.4 0.6 0.6 0.8 0.8 1.0 1.0 1.2 1.2 1.4 1.4 1.6 1.6 以上 45 40 33 23 17 1

10、3 6 4 0 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0.000 46 41 33 21 16 13 5 2 0 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0.000 总 和 181 0.505 177 0.495 Northwest University for Nationalities结论结论1. 有界性：有界性： 在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；2. 集中性：集中性： 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的

11、机会多；绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；3. 对称性：对称性： 绝对值相等的正负误差出现的机会相等；绝对值相等的正负误差出现的机会相等；4. 抵偿性：抵偿性： 偶然误差的算术平均值趋近于零，即偶然误差的算术平均值趋近于零，即 021nlinnlinnnnNorthwest University for Nationalities二、误差概率分布曲线二、误差概率分布曲线+knd(频率频率/组距组距)00.20.40.60.81.01.21.41.6-0.4-0.6-0.8-1.0-1.2-1.4-1.6-0.2k/n(频率频率)频率直方图频率直方图Northwest Universi

12、ty for Nationalities偶然误差分布曲线偶然误差分布曲线（正态分布曲线）（正态分布曲线）偶然误差出现在微小区间（偶然误差出现在微小区间（ , ）内的概率）内的概率21di21di)()(dfPii(称为概率元素) +ydiy=f()p (i) =f(i) dNorthwest University for Nationalities偶然误差出现在微小区间d内的概率的大小与f (i)值有关，f (i)越大，表示偶然误差出现在该区间内的概率也越大，反之则越小。高斯根据偶然误差的统计特性，推导出偶然误差分布的概率密度函数（即偶然误差分布曲线方程偶然误差分布曲线方程） 22221ef概

13、率密度自然对数底标准差偶然误差偶然误差Northwest University for Nationalities三、分析标准差三、分析标准差1. 与观测误差与观测误差及偶然误差概率密度及偶然误差概率密度f()的关系的关系愈小愈小 ， f()愈大，愈大，=0 ， 有最大值21f愈大愈大 ， f()愈小，愈小， f() 0即横轴是曲线的渐近线即横轴是曲线的渐近线22221efNorthwest University for Nationalities2. 与误差分布曲线拐点的关系与误差分布曲线拐点的关系 拐得：01012122222322efy=f()y-+Northwest Universit

14、y for Nationalities3. 标准差标准差的概率值的概率值P（ ）683.0dfP+y=f()y-+Northwest University for Nationalitiesf()+1211 2精度高精度高精度低精度低-4. 标准差标准差的大小与误差分布曲线的形态关系的大小与误差分布曲线的形态关系221离散程度Northwest University for Nationalities6.3 6.3 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准一、方差和中误差一、方差和中误差方差方差nDnlim观测误差平方总和i=liX方差和标准差的关系方差和标准差的关系2222221deDNor

15、thwest University for Nationalities中误差中误差（用用m表示表示）就是标准差就是标准差标准差标准差的计算公式的计算公式nDnlim中误差中误差估算值估算值的计算公式的计算公式nmi= liX观测次数一组观测值的中误差6.3 6.3 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准Northwest University for Nationalities应用中误差公式衡量精度的计算实例应用中误差公式衡量精度的计算实例 例：对同一三角形，在同精度条件下两个同学进行例：对同一三角形，在同精度条件下两个同学进行 观测，每次闭合差观测，每次闭合差（i =ai+bi+ci-18

16、0）分别为：分别为： 甲同学甲同学（i ）： + 3 -2-4 +2 0 +4 +3 +2 -3- 1 乙同学乙同学（i ） ： 0 -1 -7 +2 +1 -3 0 +3+1+17. 21013234024232222222222 甲m同理计算得：同理计算得：m乙乙=3.6 m甲甲m乙乙 甲同学的观测精度高于乙同学的观测精度甲同学的观测精度高于乙同学的观测精度6.3 6.3 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准Northwest University for Nationalities二、平均误差二、平均误差nnlim三、极限误差（容许误差）三、极限误差（容许误差）m容许容许 =3m 2

17、m 中误差中误差m容许容许 的概率含义的概率含义997.033955.022PP注意：应从概率的意义去理解注意：应从概率的意义去理解m容许容许 6.3 6.3 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准Northwest University for Nationalities四、用相对误差来衡量精度四、用相对误差来衡量精度NDmk1例：量测距离例：量测距离100m和和200m，分别都量测，分别都量测6次，算得量测值中误次，算得量测值中误差均为：差均为：m=0.01m，求各段量测值的中误差。，求各段量测值的中误差。10000110001.0100m20000120001.0200m m100m2

18、00量测量测200米的精度高于量测米的精度高于量测100的精度的精度6.3 6.3 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准Northwest University for Nationalities6.4 6.4 误差传播定律误差传播定律 一、倍乘一、倍乘xzkmmxznnmkmnxknZxkZxkZxkZxkZkxZ2222222211Northwest University for Nationalities二、和或差二、和或差02lim2222222111nyxnyxnxnxnZyxZyxZyxZyxZyxZyxZnnnn22222yxZyxZmmmmmmNorthwest Unive

19、rsity for Nationalities例：例：设在三角形A、B、C中，直接观测了A、和B。mA=3、 mB=4，由A、 B计算C，求mC。C =180A Bm2 C= m 2A+ m 2B=（ 3 ）2+（ 4 ）2mC= 5推广推广22232322222121332211nnznnmkmkmkmkmxkxkxkxkz注意：各观测值必须是相互独立的变量注意：各观测值必须是相互独立的变量Northwest University for Nationalities三、一般函数三、一般函数2222222121222112211,32,1,nnZnniiinnnmxfmxfmxfmxxfxxf

20、xxfZdxdzxzxzdxxfdxxfdxxfdzzxxxxfZ及代替及可近似用都很小，及取全微分，得对函数）（2222222121nnzmxfmxfmxfmNorthwest University for Nationalities 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmXNorthwest U

21、niversity for Nationalities四、误差传播定律公式应用实例四、误差传播定律公式应用实例ymymDDy 的中误差求：，已知：函数式02030015706.085.225sinmcmmmDmmmymDymDyDyyDyDy031. 01 . 33 . 48 . 552062602)0300157cos22585(6)0300157(sincossincossin22222222222222 解：例1：Northwest University for Nationalities例2：有一长方形独立地观测得其边长a=20.000m0.004m , b=15.000m0.003m

22、,求该面积 s 及 ms 。22222222222222222085.0000.300085.0003.020004.015,000.300000.15000.20mmsmmambmmbsmasmabsbasmbasbasbasNorthwest University for Nationalities例例3：确定限差确定限差 普通水准测量中，由实验知仪器至标尺75m时，一次读数中误差约2mm，试确定高差闭合差的容许值。mmnfmmnnmfmmnmnmnmmmmmhhhhmmmmmmmmbahhhhhnhhhniii84.88.2338.28.222222222122122取限差为：闭合差：每

23、一站容站站读读读站Northwest University for Nationalities解：mdD25.1172345.0500500mmmdD10.00002.0500500 xzkmm 例例4：在1：500地形图上量得某两点间的距离d=234.5mm，其中误差 ，求该两点间的地面水平距离D的长度及其中误差mD。 mm2 . 0dmNorthwest University for Nationalities6.5 6.5 等精度直接观测平差等精度直接观测平差一、求最可靠值（最或是值）一、求最可靠值（最或是值） nlnlllxn21最可靠值最可靠值观测次数观测次数观测值观测值证明证明 1

24、=l1X 2=l2X n=lnX nnXnln nlXnn0lim nlx 由此可得：Northwest University for Nationalities二、评定精度二、评定精度求观测值的中误差求观测值的中误差求最可靠值中误差求最可靠值中误差1. 求观测值的中误差求观测值的中误差nm真值未知怎么办？真值未知怎么办？i= liX用最或是值误差求观测值的中误差用最或是值误差求观测值的中误差vi= li- x最或是值观测值最或是值误差最或是值误差真误真误差差用真误差用真误差求观测值的求观测值的中误差中误差1nvvmNorthwest University for Nationalities公

25、式推导公式推导i= liX vi = li- xi vi= x X1= v1+ 2= v2 + n= vn+ 2 = vv2+n 2+2 v v1= l1 - x v2= l2 - x vn= ln - x v= l - nxn n nv=0令：令：x X = Northwest University for Nationalities = x X 2= (x X)2 11222111222222223121231212222122212212222nvvmmnnvvmnnvvnnnvvnvvnnnnnXlXlXlnnnXnlXnlnnn此项等于此项等于0 2 = vv2+n 2+2 vNor

26、thwest University for Nationalities nmnnvvMx12. 求最可靠值中误差求最可靠值中误差公式推导公式推导 nlnlllxn21式中：式中： l1、 l2 ln 为同等精度的一组观测值为同等精度的一组观测值 m 为同等精度一组观测值的为同等精度一组观测值的中误差中误差最可靠最可靠值中误值中误差差观测值观测值中误差中误差观测次数观测次数Northwest University for Nationalities nmmnnmnmnmnMmllllnlnlnnlxxnn222221211111111差为为等精度观测值，中误，Northwest Universi

27、ty for Nationalities用用最或是值误差求观测值中误差最或是值误差求观测值中误差及及最可靠值中最可靠值中误差的计算实例误差的计算实例例：设对某角进行五次同精度观测，观测结果如下表， 试求其观测值的中误差，及最或是值的中误差。 观 测 值 V v v 351828 +3 9 351825 0 0 351826 +1 1 351822 -3 9 351824 -1 1 5281350 nlxv=0vv=20 2 .215201 nvvm0.152.2 nmMx0 .15281350 xNorthwest University for Nationalities算术平均值的中误差与观

28、测次数的平方根成反比。算术平均值的中误差与观测次数的平方根成反比。 nmMx 不同的观测次数对应的不同的观测次数对应的M值值 因此，增加观测次数可以提高算术平均值的精度。因此，增加观测次数可以提高算术平均值的精度。n观测次数 246810121416算术平均值中误差（米）0.710.500.410.350.320.290.270.25Northwest University for Nationalities 当观测次数达到了一定数值后（如6次以后）随着观测次数的增加,中误差减小得愈来愈慢。因此，测量一般精度的角，要求观测13测回，对中等精度要求的角，观测36测回，只是对于精度要求很高的角才观

29、测924测回。 以观测次数为横坐标，算术平均值中误差M 为纵坐标，并令m=1，nmMxNorthwest University for Nationalities6.6 6.6 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差例：ABCS=4kmS=2kmS=2.5kmE已知：已知：HA、 HB、 HC ， 求：求： HENorthwest University for Nationalities一、权（用一、权（用 p 表示）表示） 权是表示观测值可靠程度的一个相对性数值权是表示观测值可靠程度的一个相对性数值权的特性权的特性权愈大表示观测值愈可靠权愈大表示观测值愈可靠权是相对数值，故单独一个值无意义

30、权是相对数值，故单独一个值无意义权始终取正号权始终取正号权可以用一数乘除其意义不变权可以用一数乘除其意义不变Northwest University for Nationalities怎样定权？怎样定权？取中误差定权取中误差定权2iimp从实际出发从实际出发任意常数任意常数观测值中误差观测值中误差iiLp水准测量的线路长度水准测量的线路长度测角取测回数测角取测回数iinp测回数测回数Northwest University for Nationalities在不同精度观测中引入“权”的概念，可以建立各观测值之间的精度比值，以便更合理地处理观测数据。例如，设一次观测值的中误差为m，其权为p0，2

31、m1220mmp 等于1的权称为单位权，而权等于1的中误差称为单位权中误差，一般用（m0）表示。对于中误差为 mi 的观测值，其权为 pi22iimp2iimp并设则Northwest University for Nationalities设单位长度（一公里）的丈量中误差为m，则长度为 s公里的丈量中误差为 。取长度为c公里的丈量中误差为单位权中误差，即 。权在距离丈量工作中的应用权在距离丈量工作中的应用smmscm1)(22220cmcmmpc说明距离丈量的权与长度成反比 则得距离丈量的权为: scmpss22Northwest University for Nationalities在定

32、权时，并不需要预先知道各观测值中误差的具体数值。在确定了观测方法后权就可以预先确定。这一点说明可以事先对最后观测结果的精度给予估算,在实际工作中具有很重要的意义。Northwest University for Nationalities二、求不同精度观测值的最可靠值二、求不同精度观测值的最可靠值 加权算术平均值加权算术平均值加权算术平均值加权算术平均值 pplppplplplpxnnn212211一组不同精度的观测值一组不同精度的观测值相应观测值的权相应观测值的权加权算术平均值加权算术平均值Northwest University for Nationalities三、最可靠值（最或是值）的

33、精度评定三、最可靠值（最或是值）的精度评定 pplppplplplpxnnn212211 222222212122.1nnxmpmpmppM 若令单位权中误差0等于第一个观测值 l1 的中误差m1 ，即 0=m1 ，则各观测值的权为 （一）最或是值的中误差（一）最或是值的中误差22iimpiipm22iipm 22Northwest University for Nationalities pppppppMnx2202202220212.最或是值的中误差最或是值的中误差 pMx加权加权平均值的中误差平均值的中误差 222222212122.1nnxmpmpmppMNorthwest University for Nationalities （二）单位权观测值中误差（二）单位权观测值中误差 m0nnpmpmpm2222221212. .pmmpmpmpmnnn22221212.npmmm0npm0 当n时