第四章4.2.3直线与圆的方程的应用.

1、4.2.3 直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用 直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，下面通过几个例子说明直线中有着广泛的应用，下面通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.问题：问题：赵州桥的跨度是赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为，圆拱高约为7.2m你能用一个适当的方程描绘该桥的圆拱吗？你能用一个适当的方程描绘该桥的圆拱吗？用坐标法解决几何问题的步骤：用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程

2、表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果第三步：将代数运算结果“翻译翻译”成几何结论成几何结论. 例例1：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m， 拱高拱高OP=4m，在建造时每隔，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的的长度（精确到长度（精确到0.01m)yx解解：建系如图，建系如图，02+(4b)2= r2102+(0b)2=r2解得：

3、解得：b= 10.5 ， r2=14.52 .所以圆的方程是：所以圆的方程是： x2 +(y+10.5)2 = 14.52把点把点P2的横坐标的横坐标 x = 2 代入圆的方程，得代入圆的方程，得 (2)2+(y+10.5)2=14.52因为因为y0,所以所以y=14.52 (2)2 10.514.3610.5=3.86(m)答：支柱答：支柱A2P2的长度约为的长度约为3.86m。由题意可设圆的方程：由题意可设圆的方程：x2 + (y-b)2 = r2因因P(0，4)、B(10，0)都在圆上，都在圆上，例例1：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱

4、跨度AB=20m， 拱高拱高OP=4m，在建造时每隔，在建造时每隔4m需用一个支柱需用一个支柱支撑，求支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到的长度（精确到0.01m)yxC1解解2：练习：练习：赵州桥的跨度是赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为，圆拱高约为7.2m你能用一个适当的方程描绘该桥的圆拱吗？你能用一个适当的方程描绘该桥的圆拱吗？建立如图所示的直角坐标系建立如图所示的直角坐标系. 解解：即有即有A(18.7，0)，B (18.7，0)，P(0，7.2) .OCxy则由题意：则由题意：|OP| = 7.2m，|AB| = 37.4m.设所求圆的方程是设所求圆的方程是(x a)2 + (y

5、 b)2 = r2. 222222222(18.7),(18.7),(7.2)abrabrabr则则解方程组得解方程组得a = 0，b = 20.7，r = 27.9.所以这圆拱桥的拱圆的方程是所以这圆拱桥的拱圆的方程是: x2 + (y + 20.7)2 = 27.92(0y7.2)2.如图，等腰梯形如图，等腰梯形ABCD的底边长分别为的底边长分别为6和和4，高，高为为3，求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求这个，求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径长圆的圆心坐标和半径长.xyOEABCD解：解：建立直角坐标系如图，建立直角坐标系如图， 则则, )03( ，B).32( ，

6、CBC边的中点：边的中点：),2325( ，M直线直线BC的斜率：的斜率：3203 BCk. 3 线段线段BC的中垂线：的中垂线：)25(3123 xy线段线段AB的中垂线：的中垂线：0 x),320( ，圆心圆心E半径长半径长:22)02()30(| EB.385 等腰梯形的外接圆的方程：等腰梯形的外接圆的方程：.985)32(22 yx. 例例2. 已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，求证它的对角线互相垂直平方和，求证它的对角线互相垂直.xyO证明：证明：已知四边形已知四边形ABCD（如图），（如图），|AB|2 + |CD|2 =

7、|BC|2 + |AD|2求证：求证：AC BD .ABCD建系如图建系如图:设设A(a, 0) , B(0 , b)，C(c ,0) , D(x , y) .|AB|2 + |CD|2 = |BC|2 + |AD|222222222)()(yaxcbycxba 即即0)( xca,0 ca. 0 x从而从而D(0 , y) 在轴上在轴上. AC BD .例例3.已知圆已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线直线l: (2m+1)x +(m+1)y = 7m +4 (mR).（1）求证：不论）求证：不论m取什么实数，直线取什么实数，直线l与圆与圆C恒相交；恒相交；（2）求直线）求直线

8、l 被圆被圆C截得的弦长最短长度以及此时直线截得的弦长最短长度以及此时直线 l 的方程的方程.的方程变形得：的方程变形得：）将直线）将直线（l1解：解：.，方方程程成成立立对对任任意意实实数数m 04072yxyx.13），（恒恒过过定定点点，直直线线对对任任意意实实数数Alm.13 yx22)21()13( AC又又，内内在在圆圆点点CA.恒相交恒相交与圆与圆，直线，直线对任意实数对任意实数Clm，）（）（0472 yxmyx5 5 分析：分析：（1）若对于任意的实数）若对于任意的实数m，直线，直线l与圆与圆C恒相交，则直线恒相交，则直线l必必过圆内过圆内(上上)一定点，因此应从直线一定点，

9、因此应从直线l过定点的角度去考虑问题；过定点的角度去考虑问题；.2垂直的弦垂直的弦直径直径被圆截得最短的弦是与被圆截得最短的弦是与）由平几知识可得，）由平几知识可得，（ACl3112 ACk2 lk)3(21 xyl：直线直线.052最短时的直线方程最短时的直线方程被圆截的线段被圆截的线段为直线为直线即即lyx |2|ABBD 最短弦长为最短弦长为.CABD的距离为的距离为到直线到直线，此时圆心此时圆心052)21( yxC22)1(2|52112| CA5252 分析：分析：（2）根据平面几何定理，过圆内一点最短的弦，应是过这）根据平面几何定理，过圆内一点最短的弦，应是过这点的与弦心距垂直的

10、弦。点的与弦心距垂直的弦。21 5 .54 （2）求直线）求直线 l 被圆被圆C截得的弦长最短长度以及此时直线截得的弦长最短长度以及此时直线 l 的方程的方程.解解.2垂直的弦垂直的弦直径直径被圆截得最短的弦是与被圆截得最短的弦是与）由平几知识可得，）由平几知识可得，（ACl3112 ACk2 lk)3(21 xyl：直线直线.052最短时的直线方程最短时的直线方程被圆截的线段被圆截的线段为直线为直线即即lyx .CABD21 （2）求直线）求直线 l 被圆被圆C截得的弦长最短长度以及此时直线截得的弦长最短长度以及此时直线 l 的方程的方程.解解0322 xx221221)()(|yyxxAB

11、 则则得得设设 A(x1, y1), B(x2, y2),最短时的直线方程最短时的直线方程. 25)2()1(05222yxyx由由221221)52()52()( xxxx2212)(21(xx |21212xx 212214)(5xxxx )3(4)2(52 .54 |1212xxk 2122124)(1xxxxk 若直线若直线l:y=kx+b与与圆圆C: (xa)2 + (yb)2=r2交于交于A(x1, y1), B(x2, y2)，弦长公式：弦长公式：则则221221)()(|yyxxAB 221221)()()(bkxbkxxx 2212)(1(xxk |1|212xxkAB y=

12、kx+b(xa)2 + (yb)2=r202 mqxpx课堂练习课堂练习教材教材132页页 1, 3, 4课后作业课后作业2. 教辅课时作业教辅课时作业36页页 4.2.31. 教材第教材第132页页 习题习题4.2 B组组 1 43. 教辅教辅161页页163页页 .2|0344)4()0()4()0(22 CDDCyxyxABbbBaaA两点，且两点，且、相交于相交于与圆与圆，直线，直线，已知点已知点解：解：.)3()2()4)(4()1(面积的最小值面积的最小值求求的轨迹方程；的轨迹方程；中点中点求线段求线段；的值的值求求AOMMABba :)1(AB由题意知直线由题意知直线1 byax

13、)44( ba，又由圆又由圆5)2()2(:22 yx2|22|22 baabab，0448 baab.8)4)(4( ba.2| CD且且AB2442-2-2OxyCD.0 abaybx即即)44( ba，知圆心到直线知圆心到直线AB的距离的距离，2 d即即化简为化简为EM练习：练习：，则，则，（的中点的中点设线段设线段)2(yxMAB由中点坐标公式得：由中点坐标公式得：2020byax ，ybxa22 ，即即将它代入将它代入8)4)(4( ba8)42)(42 yx（得得4)2)(2( yx得得)22( yx，.中点的轨迹方程中点的轨迹方程即为所求线段即为所求线段AB|21)3(MAOMy

14、OAS 221ba 得得由由8)4)(4( ba844 baab2 baSAOM6)4()4( ba6)4)(4(2 ba 624 .624)(min AOMS44 ba当且仅当当且仅当8)4)(4( ba时，时，即即422 baAB2442-2-2OxyCD.EMab41 求动点轨迹方程的一般步骤：求动点轨迹方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用（）建立适当的坐标系，用（x,y）表示）表示曲线上任意一点曲线上任意一点M的坐标的坐标（2）写出适合条件）写出适合条件P的点的点M的集合的集合 P=M | p(M); (3)用坐标表示条件用坐标表示条件p(M)，列出方程，列出方程 f(x,y)=

15、0 (4)化方程化方程 f(x,y)=0为最简形式为最简形式（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。线上的点。建系、设点、设点等量关系等量关系坐标化坐标化化简化简查缺补漏查缺补漏接法、代入法、参数法求动点轨迹的方法：直练习练习3. 已知定点已知定点 A(3，0)，P是圆上是圆上 x2 +y2 =1 上的动点，上的动点，AOP 的平分线交的平分线交 PA 于于N ，求点，求点N的轨迹的轨迹.解：解：|OPOANPAN yyxx341340012020 yx1)34()134(22 yx169)43(22 yx即即3 MPxyAO.N设设 N(

16、x，y) ，P(x0，y0) ， 则由角平分线性质得则由角平分线性质得NPAN3 即即 ), 3(yx),(300yyxx )33 ,33(00yyxx yyyxx3333300 点点N轨迹是以轨迹是以( ,0)为圆心、为圆心、 为半径的圆为半径的圆 .4343169)43(22 yx即即解解2： 设设 N(x，y) ，MPxyAO.N),03( ，A|OPOANPAN 3 NPAN3 ), 3(yx)sin,(cos3yx 点点N轨迹是以轨迹是以( ,0)为圆心、为圆心、 为半径的圆为半径的圆 .4343练习练习2. 已知定点已知定点 A(3，0)，P是圆上是圆上 x2 +y2 =1 上的动

17、点，上的动点，AOP 的平分线交的平分线交 PA 于于N ，求点，求点N的轨迹的轨迹.，)sin(cos P则由角平分线性质得则由角平分线性质得又又 sin43cos4343yx为参数）为参数） (例例4.)21(822的弦的弦且倾斜角为且倾斜角为为过点为过点，内有一点内有一点圆圆 PABPyx 解：解：时，时，当当43)1( )1(2 xyAB的方程为的方程为直线直线01 yx即即.30 的长；的长；时，求时，求当当AB43)1( .2的方程的方程平分时，直线平分时，直线被点被点当弦当弦）（ABPAB作作OMAB于于M，连连OB，则则 |AB| = 2|MB| 22|OMOB 222|100| OM又又，8| OB2182| ABM143tan kAB的斜率为的斜率为直线直线.P例例4.)21(822的弦的弦且倾斜角为且倾斜角为为过点为过点，内有一点内有一点圆圆 PABPyx 解解2：时，时，当当43)1( )1(2 xyAB的方程为的方程为直线直线1 xy即即 8122yxxy07222 xx221221)()(|yyxxAB 的长；的长；时，求时，求当当AB43)1( .2的方程的方程平分时，直线平分时，直线被点被点当弦当弦）（ABPAB则则由由得得P.143tan kAB的斜率为的斜率为直线直线