第01章 复变函数.

1、数学物理方法（第四版）梁昆淼 编刘 法 缪国庆 修订物理科学与电子技术学院姜 辉第一篇 复变函数论第一章 复变函数(6课时)基本要求：1熟悉复数的基本概念和基本运算；2了解复变函数的定义，连续性；3了解多值函数的概念；4掌握复变函数的求导方法及柯西-黎曼方程；5了解解析函数的概念，熟悉一些简单的解析函数的表示式；6了解从实变函数到复变函数的推广过程中的创新思想与方法。教学内容：11 复数与复数运算。复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。12 复变函数。复变函数的概念，开、闭区域，几种常见的复变函数，复变函数的连续性。13 导数。导数，导数

2、的运算，柯西-黎曼方程。14 解析函数。解析函数的概念，正交曲线族，调和函数。15 平面标量场。稳定场，标量场，复势。本章重点：复变函数的运算，柯西-黎曼条件，解析函数习题：l1 12 14 数学发展的历史告诉我们：虚数是在代数运算过程中开始出现的。早在16世纪，对一元二次、一元三次代数方程求解时就引入了虚数的基本思想。1545年， 卡丹诺（Girolamo Cardano，1501-1576，意大利数学家）在他的Ars Magna大术书中，给出了虚数的符号和运算法则，但同时也对这种运算的合法性表示怀疑。卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识。“虚数”这

3、个名词是由十七世纪的法国数学家笛卡儿（Descartes）正式取定的。“虚数”代表的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”，后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界之外。由此给虚数披上了一层神秘的外衣。十八世纪，瑞士数学家欧拉 (LeonhardEuler，1707-1783) 试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之为”幻想中的数”或”不可能的数”。他在对代数的完整性介绍(17681769年在俄国出版，1770年在德国出版)一书中说：因为所有可以想象的数或者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数。所以很清楚，负数的平方根不能包括在可能的有序数中，就其概念而言它应该是一种新的数，而就

4、其本性来说它是不可能的数。因为它们只存在于想象之中。因而通常叫做虚数或幻想中的数，于是Euler首先引入符号作为虚数单位。十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学家Wessel(威塞尔)、瑞士的工程师阿尔甘（Argand）以及德国的数学家高斯（Gauss）等都对“虚数”(也称为”复数”)给出了几何解释，并使复数得到了实际应用。特别地， 在十九世纪，有三位代表性人物，即柯西（Cauchy，1789-1857）、维尔斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）、黎曼（Rieman，1826-1866）。柯西和维尔斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映像性质，经过他们的不懈

5、努力，终于建立了系统的复变函数论。至此，披在虚数身上的神秘外衣才算真正被揭开。复变函数论才在数学科学的丛林之中昂然挺立，独树一帜。从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史。复变函数论以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。根据数学理论，在系统的函数论中，所涉及的函数有：实变实值，实变复值，复变实值，复变复值。复变函数论将主要讨论复变复值函数。需要指出的是系统的复变函数论主要包括单值解析复变函数论、多值复变函数论（黎曼曲面理论）、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。限于篇幅，本篇主要讨论单值解析复变函数论：具体讨论复数与复变函数、解析函数及复变函数的积分、级数展开、留

6、数等系统理论，并介绍保角变换、傅里叶变换和拉普拉斯变换。11复数与复数运算（一）复数的基本概念1数域的拓展：复数域在解方程时，有时会遇到负数开方的问题，但在实数范围内负数是不能开平方的。前面已经叙述，早在18世纪数学家欧拉就引入一个新符号称为虚数单位，并规定。这样，在实数域内无解的方程在数域拓展后也有两个根：和-。这样就实现了由实数域拓展为新的数域：复数域。2复数的概念复数的定义 把形如的数称为复数实部，虚部y = 0, z = x 实数； x = 0, z = iy 纯虚数；特殊的复数：虚单位 i【例】 则复数的相等与为零复数相等：实部与虚部分别相等；复数为零：实部与虚部都等于零。【例】设，

7、求实数。解： 由题意得 解得： 或。共轭复数 = 共轭复数为z*是复数z关于实轴的对称点复数的模 复数不能比较大小，但可以比较模的大小。（二）复数的表示法1用复平面表示复数y虚轴0x实轴0zxy0代数表示 复平面 由于一个复数由一对有序实数唯一确定，故对于平面上给定的直角坐标系，复数的全体与该平面上的点的全体形成一一对应关系，从而复数可以用该平面上坐标为的点来表示。此时，轴称为实轴，轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面或平面。极坐标表示 三角表示 模，辐角0y虚轴x实轴0zxyargzArgz为的主值或的主辐角，满足 “阿克”英eksp美eksp指数表示 =【例】写出复数的三角表示式与指数表示

8、式。解： 三角式；指数式 或【例】 将化为三角表示式和指数表示式。解： ，因为幅角在第三象限，则三角表示式，指数表示式【例】将化为三角表示式和指数表示式。解：模主辐角 【例】求下列方程所表示的曲线解：(1)表示与点距离为2的点的轨迹，即圆心为，半径为2的圆化为直角坐标方程：即，化简得： 。 (2)到与距离相等点的轨迹，即表示曲线是连接和的线段的垂直平分线化为直角坐标方程为：。(3)。 设，那么代入得： ，即：。2 用复数球面表示复数 无限远点复数球面概念除了用平面内的点或向量来表示复数外，还可以用球面上的点来表示复数。取一个与复平面切于原点的球面，通过原点作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点

9、N，称N为北极，而O点为南极。这个球叫作复数球。如图所示。AA 在复数平面xoy上任取一点，它与球的北极的连线相交于球面点。这样，复平面上的有限远点与球面上除N点外的点满足一一对应关系。这样，球面上的每一个点，就有复平面上唯一的一个复数与之对应，这样的球面称为复球面。（三）复数的运算1加（减）法：复数加(减)法满足平行四边形法则，或三角形法则。z1 +(- z2)- z22乘法：1) 用代数式计算 2) 用指数式计算 两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加。【例】 即3除法：1) 用代数式计算 2) 用指数式计算 两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减。【例】计算复数解： 法一(商的公式)法二

10、(共轭性质)【例】设复数，求与。 解： 因为所以 【例】设为两个任意复数，证明： 。证明：证法一： 证法二：【例】用指数表示式计算下列复数(1) (2)解： (1) ，所以(2) 所以 4n（整数）次幂 这就是著名的棣模弗(De Moir)公式。又特别当时，即为前面提到的欧拉(Euler)公式：5n（整数）次根式 注意： ， 【例】计算下列各题： 解： (1)(2)所以，即： 这四个根是内接于中心在原点，半径为的圆的正方形的顶点，且【例】计算的值。（在实数范围内，可见结果大不相同。）解：先把-1化成指数式 当时，当时，当时， 【例】*用表示和。解：由棣莫弗公式：二项式定理： ；12 复变函数（

11、一）复变函数的定义复变函数的基本概念是实变函数基本概念的推广，因此我们所叙述的复变函数的概念、极限概念、函数连续与可微等概念与高等数学中的概念叙述相似。若在复数平面（或球面）上存在是一个复数的集合，若对每一个，按照一定的法则，总有一个或几个复数与之对应，则称复变量为复数的复变函数，记为： 其中称为函数的定义域，函数值的全体所构成的集合称为函数的值域，把称为函数的自变量，称为因变量。上述中，若对于每一个值只有唯一确定的一个值与之对应，则称是的单值函数。若对于每一个值有多个值与之对应，则称是的多值函数。 复变函数可写成如下普遍的形式： * 任一复变函数都可归结为两个二元实函数。【例】求复变函数对应

12、的两个二元函数。解：设，故对应的二元函数为。【例】将下列两个二元实变函数表示为复变函数，即用、表示：(1) (2)解：(1)(2)（二）区域的概念1邻域 复数平面上以复数为圆心，以任意小正实数为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为的邻域。z0z0 点的无心邻域。2内点若及其邻域均属于点集，则称为该点集的内点。z0E内点z0E外点3外点z0边界点若及其邻域均不属于点集，则称为该点集的外点。4边界点若在的每个邻域内，既有属于的点，也有不属于的点，则称为该点集的边界点，它既不是的内点，也不是的外点。 边界线：边界点的全体称为边界线。5 开区域（区域）：在解析函数论中，函数的定义域不是一般的点集，而是满

13、足一定条件的点集，称为区域，用B表示。区域是指满足下列两个条件的点集：（1）全由内点组成；（2）具有连通性，即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线上的点全部属于该点集。z0E内点AB6闭区域：区域B及其边界线所组成的点集称为闭区域，以表示。* 区域通常用复变数z的不等式来表示，如圆形域：表示以点为中心，为半径的开圆域，通常称为点的邻域。闭圆域环形域：表示以点为中心，为内半径，为外半径的开环域。闭环域x yROrx yORx yOR【例】x yR-ROxO yxO y【例】试说出下列各式所表示的点集是怎样的图形，并指出哪些是区域：解：(1)，即是表示右半平面，这是一个开区域。 (2)

14、这表示以为中心，以为半径的圆周连同其外部区域，这是一个闭区域 (3)表示介于两射线之间的一个角（三）复变函数例1常用的初等单值函数 多项式 (n是正整数) 有理式 (，n是正整数) 幂函数 n是整数（n为负整数时，） 指数函数 模：；幅角： 周期为2pi 三角函数 奇函数，偶函数。 和差化积、积化和差 周期为 无最大最小值，其模可以大于1，如取，则 只要y充分大，可以大于任一个预先给定的正数。 ， 周期为 ， 周期为 双曲函数 单值函数 周期为2常用的初等多值函数 根式函数幂函数的反函数 ， 多值函数， 对数函数指数函数的反函数 多值函数 已知 ， * 对于每给一个z值，有无限多个w值与之对应

15、，且z可为负的。而在实数领域中，负数的对数没有意义。【例】【例】解：方程，即，其解为 【例】姚端正p25 求解下列方程 ；解：（1）法一 由一元二次代数方程的根的公式得法二 将代入原方程得比较等式两边的实部和虚部得解这个二元方程得 所以（2）由正弦函数的定义有，即解此关于的一元二次方程得所以所以又因为所以上式又可以表示为13 导数（一）导数定义设函数是在区域B上定义的单值函数，是B内任一点，当发生微小变化时，即，相应的函数值的变化是，极限存在，并且与的方式无关，则称函数在z点可导（或单演），此极限叫作函数在z点的导数（或微商），记为或 实际上，由于复变函数的导数定义是实变函数导数定义的推广，实

16、变函数论中关于导数的运算规则和公式对复变函数也是成立的。(二) 复变函数中导数的规则和公式 (P9) 导数的规则 几个常用公式(1) (2) (3) (4) (5) （三）柯西-黎曼方程 或 条件 （C-R 条件）1直角坐标系中的方程由于极限（其中）与的方式无关，我们选定两个特殊方向（沿实轴和虚轴方向）来计算极限值。沿平行于实轴方向逼近于零，即 沿平行于虚轴方向逼迫于零，即 若函数在点z可导，则上述两个极限必须都存在而且彼此相等，即 柯西黎曼方程或条件（Cauchy-Riemann C-R条件）复变函数和实变函数的导数定义虽形式上是一样，但实质上有很大的不同。因为实变数只能沿实轴，而复变数却可

17、以沿复平面上任一曲线。因此，复变函数的可导是一种严格得多的要求。C-R条件只是复变函数可导的必要条件，因为该方程仅保证沿实轴和沿虚轴时，同一极限，并不保证沿任一曲线时，同一极限，所以柯西-黎曼方程是复变函数可导的必要条件，而不是复变函数可导的充分条件。2极坐标系中的方程在极坐标系下，C-R方程： （自己课后证明）（三）复变函数可导的充分必要条件函数可导的充分必要条件：(1)函数的偏导数、分别存在且连续；(2)满足C-R方程：。证明：略【例】设，问在点是否满足C-R条件？是否可导？解：由题设得，（1）又因，故，可见在点满足C-R条件。（2）让以任意方式趋于零，如让沿径向趋于零，即令显然，随着角取

18、值不同，不趋于同一极限值，故在点不可导。14 解析函数（一）解析函数1解析 若函数在点及其邻域上处处可导，则称在点解析，该点称为的解析点；若函数在某区域B内处处可导，则称在B内解析，该区域称为的解析区域。若函数在点不解析，则称为的奇点。解析函数 若在区域B上每一点都解析，则称是区域B上的解析函数。* 函数在一点可导与解析是不等价的。解析是对一个邻域而言，而可导在其邻域内未必可导。如在点可导，而在其它点都不可导，故在不解析，实际上在整个复平面上处处不解析。函数在某区域上可导与解析是等价的。2解析的充要条件 在该区域（该点的邻域）内可导的充要条件处处成立。定理1: 函数定义在区域内, 则在内一点处

19、可导的充分必要条件是: (1) 与在点可微；(2) 在该点满足柯西黎曼方程(方程)。判断一个函数是否可导和解析的途径：根据可导和解析的定义来判断。即看是否存在，在何处存在；或看用求导公式求出的在何处存在。根据可导和解析的充要条件来判断。即看，的一阶偏导是否连续并满足C-R条件，在何处连续并满足C-R条件。（途径较为方便、严谨）【例】讨论下列函数的可导性和解析性：(数学物理方法学习指导 姚端正编著 P33)（1）； （2）；（略） （3）； （4）解：（1）令，则由有，所以，；，的一阶偏导均连续。且仅当时，满足C-R条件。故仅在点可导，在全平面均不解析。（3），；，这四个偏导数在平面上均连续；但

20、仅当时，才满足C-R条件，故仅在直线和上可导，在全平面上均不解析。（4）由微分公式知，在时均存在，故在复平面内均可导和解析。3主要性质共轭性：解析函数的实部与虚部由C-R条件联系，称为解析函数的共轭性。共轭性的几何意义：若函数在区域上解析，则，（，为常数）是上的两组正交曲线族；证明：(说明：两曲线正交两曲线的法向矢量，曲线法向矢量的方向曲线梯度的方向，证明)u、v分别是解析函数的实部和虚部，它们满足C-R条件上式两边交叉相乘后移项，得到 (1)而u和v的梯度分别为() 、为x轴、y轴上的单位矢量，(1)式可改写为 (2)而和分别是曲线“”和“”的法向矢量（，为常数），由于与垂直，表明“”和“”

21、是相互正交的两曲线。当，分别取一系列的值时，它们代表了复平面上的两族曲线是相互正交的。调和性：若函数在区域B上解析，则u，v均为B上的调和函数。 调和函数 如果某函数在区域上有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，则称为区域上的调和函数。直角坐标系 拉普拉斯方程，或记作。证明：设在区域B中解析，则 因为在B中解析，则必可导，将(2)式对x求偏导，(3)式对y求偏导 在下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因为在B中导数存在，则与在B中连续且相等，则(4)+(5) (6)此式称为二维拉普拉斯方程，简记为。 二维拉氏算符同理可得： 或 (7)我们把在区域B上有二阶连续偏导数且

22、满足二维拉氏方程，或的二元实变函数称为区域B上的调和函数。我们把满足C-R条件的两个调和函数称为共轭调和函数。（二）应用举例 给出一个二元调和函数作为解析函数的实部或虚部，通过C-R条件求出该解析函数的虚部或实部，从而写出这个解析函数。 设已给出某一解析函数的实部，写出这个解析函数。验调和。若给定的是一个二元函数，首先要验证一下是否是调和函数（验调和），若不是则不能作为解析函数的实部或虚部。算偏导 利用C-R条件算出的微分 全微分方程为全微分方程，通解求积分 三种方法：曲线积分法；全微分的积分与路径无关，故可选取特殊积分路径，使积分容易算出。凑全微分显式法；把微分式的右端凑成全微分显式，自然就

23、求出了。不定积分法。 表示出* 注意： 【例】已知解析函数的实部，求虚部和这个解析函数。解：（P14）首先验证是调和函数 因此，确实是某个解析函数的实部。曲线积分法根据柯西-黎曼条件，有于是，右端应是全微分，积分值与路径无关凑全微分显式法不定积分法【例】已知解析函数的虚部，求虚部和这个解析函数。解：用极坐标计算，按照柯西-黎曼条件，有于是 【例】已知解析函数的实部，f(0)=0，求解析函数的虚部。解：根据柯西-黎曼条件曲线积分法：凑全微分显式法：不定积分法：P16习題2（3）， (0，0)点是f(z)的奇点，C0（4）， ， （5）， ， （10）， ， （11），C=0 15 平面标量场（一

24、）平面场在物理和工程上经常需要研究各种各样的场，如电场、声场、温度场等，这些场随时间而变化，随空间而不同。如果场与时间无关，则称为恒定场，例如静电场、流体中的定常流速场等。如果研究的场在空间某方向上是均匀的，只需要在垂直于该方向的平面上研究它，这样的场叫做平面场。本节拟对解析函数在平面场研究中应用作一介绍。1 平面静电场在没有电荷的区域，静电场的电势满足二维拉普拉斯方程，这样，电场所处区域的某一解析函数的实部或者虚部就可以被用来表示该区域上静电场的电势，把这一解析函数叫做该平面静电场的复势。它的实部或虚部就是电势。是电势，曲线族=常数是等势线族，由前面的知识可知，曲线族=常数垂直于等势曲线族=

25、常数，因此，=常数正是电场线族，并且v的值本身具有物理意义。取两点和，任作一曲线连接和，如图计算穿过曲线的电通量(指的是通过一块柱面的电通量，这块柱面跟我们研究的平面相交于曲线，柱面的母线垂直于所研究的平面，柱高位1。) 曲线AB的切线方向余弦是所以法线的方向余弦是这样则 在A和B两点所取的值之差就是A和B两点之间穿过的电通量，函数叫做通量函数，由以上可知，只要给出了复势，就不仅给出了电势分布，而且还直接给出电场线族的方程、电通量密度并给出了电荷密度。2平面无旋液流同理，在液体的无旋流动中，有所谓平面无旋液流，由于没有涡旋，速度矢量可以表为某个标量的梯度，这个标量叫做速度势借助于速度势就可把平

26、面无旋液流问题表为平面标量场问题，在没有源和汇的区域上，速度势满足拉普拉斯方程，某个区域上的解析函数其实部或虚部总可以表示该区域上某种平面无旋流的速度势，解析函数f(z)就叫做该平面无旋液流的复势，为确定，设v(x，y)是速度势，则曲线族常数就是流线族，是流量函数，它在A和B两点所取的值之差就是A和B两点之间穿过的流量。3 平面温度场同理，在物体的稳定分布中，有所谓平面温度场，均匀物体中的稳定温度分布满足拉普拉斯方程，因此某个区域上的解析函数的实部或虚部总可以表示该区域上某种平面温度场的温度分布，为确定设是温度分布，则曲线族常数就是热流线族，是热流量函数，它在A和B两点所取的值之差正比于A和B两