工业机器人实践

1、摘要：机器人是由杆件和连接它的关节(运动副)构成。杆件是指两个关节之间的连杆,杆件一般有串联杆件和并联杆件两类。构成手臂的杆件和关节是串联连接的,称为串联杆件机器人或开式链机器人;而并联连接的,则称为并联杆件机器人或闭式链机器人。关键字：串并联机器人特点、坐标系、运动学、逆解、正解0. 引言研究机器人正逆运动学，当已知所有的关节变量时，可用正运动学来确定机器人末端手的位姿。如果要使机器人末端手放在特定的点上并且具有特定的姿态，可用逆运动学来计算出每一关节变量的值。首先利用矩阵建立物体、位置、姿态以及运动的表示方法，然后研究直角坐标型、圆柱坐标型以及球坐标型等不同构型机器人的正逆运动学，最后利用

2、Denavit-Hartenberg(D-H)表示法来推导机器人所有可能构型的正逆运动学方程。1. 串并联机器人特点1.1串联机器人：在机器人发展初期，绝大部分的机器人都是以串联式机构作为载具，将线性轴与旋转轴组合而成，串联式机构是一个开放的运动链，其所有的运动杆件并没有形成一个封闭的结构链，因此机构各轴必须独立控制，并且需搭配编码器与传感器用来提高机构运动时的精准度，串联式机构优点包括：1.工作空间大、2.运动分析较容易、3.可避免驱动轴之间的耦合（coupling）效应。简单点说,串联机器人就像人的一个手拿东西,而并联机器人就相当于两个手一起端东西.串联机器人研究得较为成熟,具有结构简单,

3、成本低,控制简单,运动空间大等优点,已成功应用于很多领域,如各种机床,装配车间等.1.2 并联机器人：并联机器人的研究与串联机器人相比起步较晚,还有很多理论问题没有解决.但由于并联机器人具有刚度大,承载能力强,精度高,末端件惯性小等优点,在高速,大承载能力的场合,与串联机器人相比具有明显优势.已有很多成功应用的案例.比如运动模拟器,delta机器人等.并联式机构运动杆件为一个封闭形式的结构链，其优缺点如下：1. 不易有动态误差，精度较高。2. 运动惯性小。3. 输出轴大部份承受轴向应力，机器刚性高，结构稳定。4. 为热对称性结构设计，热变形量较小。5. 在位置求解上，串联机构正解容易，反解困难

4、，而并联机构正解困难，反解容易。6. 工作空间较小。 并联式机构的优点可改善串联式机构传统机器人很难突破的限制，例如：机架及运动轴重量太大导致结构弯曲变形，并联机构可避免串联机构所造成的驱动轴累积误差，同时几何误差能有平均化效果，因此易达成高精密度。并联式机构因结构稳定、精度高等优点，有很大的潜力可以克服前述困难，提供下一代机器人所需的运动机构。根据这些特点，并联机器人在需要高刚度、高精度或者大载荷而无须很大工作空间的领域内得到了广泛应用。并联机构是一种闭环机构,其动平台或称末端执行器通过至少2个独立的运动链与机架相联接,必备的要素如下：末端执行器必须具有运动自由度;这种末端执行器通过几个相互

5、关联的运动链或分支与机架相联接;每个分支或运动链由惟一的移动副或转动副驱动。2. 坐标系2.3 机器人运动学的矩阵表示 2.3.1 空间点的表示空间点P（如图2.1所示）可以用它的相对于参考坐标系的三个坐标来表示： (2.1)其中， 是参考坐标系中表示该点的坐标。图2.1 空间点的表示2.3.2 空间向量的表示 向量可以由三个起始和终止的坐标来表示。如果一个向量起始于点A，终止于点B，那么它可以表示为。特殊情况下，如果一个向量起始于原点（如图2.2所示），则有： （2.2）其中是该向量在参考坐标系中的三个分量。图2.2 空间向量的表示 向量的三个分量也可写成矩阵形式，如式（2.3）所示。 （2

6、.3） 这种表示法也可稍做变化：加入一个比例因子w,如果x, y, z各除以w,则得到。这时向量可以写为： ，其中等等 （2.4） 变量w可为任意数，而且随着它的变化，向量大小也发生变化，这与在计算机图形学中缩放一张图片类似。随着w值改变，向量大小也相应地变化。如果w大于1，向量的所有分量都变大；如果w小于1，向量的所有分量都变小。这种方法也用于计算机图形学中改变图形与画片的大小。2.3.3 坐标系在固定参考坐标系原点的表示 一个中心位于参考坐标系原点坐标系由三个向量表示，通常三个向量相互垂直，称为单位向量，分别表示法线、指向和接近向量（如图2.3所示）。每个单位向量都由它所在参考坐标系三个分

7、量表示。坐标系F可由三个向量以矩阵形式表示为： （2.5）图2.3 坐标系在参考坐标系原点的表示2.3.4 坐标系在固定参考坐标系中的表示如果一个坐标系不再固定参考坐标系的原点，那么该坐标系的原点相对于参考坐标系的位置也必须表示出来。为此，在该坐标系原点与参考坐标系原点之间做一个向量来表示该坐标系的位置。这个向量由相对于参考坐标系的三个向量来表示。这样，这个坐标系就可以由三个表示方向的单位向量以及第四个位置向量来表示。 （2.6）图2.4 一个坐标系在另一个坐标系中的表示如式（2.6），前三个向量是w=0方向向量，表示该坐标系三个单位向量方向，而第四个w=1向量表示该坐标系原点相对于参考坐标系

8、位置。与单位向量不同，向量P长度十分重要，故比例因子为1。坐标系也可由一个没有比例因子34矩阵表示。2.3.5 刚体的表示 空间坐标系可以用矩阵表示，其中坐标原点以及相对于参考坐标系的表示该坐标系姿态的三个向量也可以由该矩阵表示出来。于是有： （2.7）空间中一个点只有三个自由度，它只能沿三条参考坐标轴移动。但空间钢体有六个自由度，它可沿着X,Y,Z三轴移动，且可绕这三个轴转动。要定义空间以物体，需要用6条独立信息来描述物体原点在参考坐标系中相对于三个参考坐标轴位置，及物体关于这三个坐标轴姿态。而式（2.7）给出12条信息， 9条为姿态信息，三条为位置信息。故表达式中必定存在一定约束条件将上述

9、信息数限制为6。故需用6个约束方程将12条信息减少到6条信息。这些约束条件来自于尚未利用的已知坐标系特性，即：三个向量相互垂直每个单位向量的长度必须为1图2.5 空间物体的表示我们可以将其转换为以下六个约束方程：（1） （2） （3） （4）（向量的长度必须为1） （2.8）（5）（6） 只有前述方程成立时，坐标系的值才能用矩阵表示。否则，坐标系将不正确。式（2.8）中前三个方程可换用如下三个向量叉积来代替： （2.9）2.4 齐次变换矩阵 为保证所表示矩阵为方阵，如在同一矩阵中既表示姿态又表示位置，那么可在矩阵中加入比例因子使之成为44矩阵。如只表示姿态，则可去掉比例因子得到33矩阵，或加入

10、第四列全为0的位置数据以保持矩阵为方阵。这种形式矩阵称为齐次矩阵 （2.10） 2.5 变换的表示 变换定义为空间的一个运动。当空间的一个坐标系相对于固定参考坐标系运动时，这一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表示。这是因为变换本身就是坐标系状态的变化，因此变换可以用坐标系来表示。变换可为如下几种形式中的一种： 纯平移 绕一个轴的纯旋转 平移与旋转的结合 为了解它们的表示方法，我们将逐一进行探讨。2.5.1 纯平移变换的表示 如果一坐标系在空间以不变姿态运动，那么该坐标就是纯平移。在这种情况下，它的方向单位向量保持同一方向不变。所有改变只是坐标系原点相对于参考坐标系的变化，如图2.7所示。相对

11、于固定参考坐标系的新坐标系的位置可以用原来坐标系的原点位置向量加上表示位移的向量求得。若用矩阵形式，新坐标系的表示可通过坐标系左乘变换矩阵得到。由于在纯平移中方向向量不改变，变换矩阵T可简单地表示为： （2.11） 图2.6 空间纯平移变换的表示其中是纯平移向量相对于参考坐标系轴三个分量。矩阵的前三列表示没有旋转运动（等同于单位阵），而最后一列表示平移运动。新的坐标系位置为： （2.12） 这个方程也可用符号写为： （2.13） 2.5.2 绕轴纯旋转变换的表示假设坐标系（）位于参考坐标系（）的原点，坐标系（）绕参考坐标系的x轴旋转一个角度，再假设旋转坐标系（）上有一点P相对于参考坐标系的坐标

12、为，相对于运动坐标系的坐标为。当坐标系绕x轴旋转时，坐标系上的点P也随坐标系一起旋转。在旋转之前，P点在两个坐标系中的坐标是相同的（这时两个坐标系位置相同，并且相互平行）。旋转后，该点坐标在旋转坐标系（x ,y ,z）中保持不变，但在参考坐标系中却改变了。现在要求找到运动坐标系旋转后P相对于固定参考坐标系的新坐标。 由图2.7可以看出，不随坐标系统x轴的转动而改变，而和却改变 （2.14）写成矩阵形式为： （2.15） 图2.7 在坐标系旋转前后的点的坐标图2.8 相对于参考坐标系的点的坐标和从x轴上观察旋转坐标系为了得到在参考坐标系中的坐标，旋转坐标系中的点P（或向量P）的坐标必须左乘旋转矩

13、阵。这个旋转矩阵只适用于绕参考坐标系的x轴做纯旋转变换的情况，它可表示为： （2.16） 注意在式（2.15）中，旋转矩阵的第一列表示相对于x轴的位置，其值为1，0，0，它表示沿x轴的坐标没有改变。符号C表示cos以及用S表示sin。因此，旋转矩阵也可写为： （2.17） 可以证明其结果为： 和 （2.18）式（2.16）也可写为习惯的形式，以便于理解不同坐标系间的关系，为此，可将该变换表示为 uTR，将Pnoa表示为 RP（P相对于坐标系R），将Pxyz表示为 uP，式（2.16）可简化为： （2.19） 2.5.3 复合变换的表示 复合变换是由固定参考坐标系或当前运动坐标系的一系列沿轴平移

14、和绕轴旋转变换所组成的。任何变换都可以分解为按一定顺序的一组平移和旋转变换。例如，为了完成所要求的变换，可以先绕x轴旋转，再沿轴平移，最后绕y轴旋转。在后面将会看到，这个变换顺序很重要，如果颠倒两个依次变换的顺序，结果将会完全不同。 假定坐标系（）相对于参考坐标系（）依次进行了下面三个变换： （1）绕x轴旋转度；（2）接着平移 l1 l2 l3（分别相对于x,y,z轴）；（3）最后绕y轴旋转度。比如点固定在旋转坐标系，开始时旋转坐标系的原点与参考坐标系的原点重合。随着坐标系（）相对于参考坐标系旋转或者平移时，坐标系中的P点相对于参考坐标系也跟着改变。如前面所看到的，第一次变换后，P点相对于参考

15、坐标系的坐标可用下列方程进行计算。 （2.20） 其中，是第一次变换后该点相对于参考坐标系的坐标。第二次变换后，该点相对于参考坐标系的坐标是： 同样，第三次变换后，该点相对于参考坐标系的坐标为： 矩阵的顺序不能改变。应注意，对于相对于参考坐标系的每次变换，矩阵都是左乘的。因此，矩阵书写的顺序和进行变换的顺序正好相反。3. 举例分析逆解、正解过程3.1 焊接机器人运动学正解在对机器人进行设计时, 首先要进行运动学正解和运动学逆解, 以便对焊接机器人进行位置 和姿态分析。正解是已知电机的转角 、几何参数, 求机器人手部的位置和姿态等。逆解是已知手部的位置和姿态、几何参数, 求电机的转角等。3.2机

16、器人参数及其坐标系的建立图 3-1 中基础坐标系 0原点选取在第1关节轴线和回转平面交点处, Z0 轴取第 1 关节轴线方向, X 0 轴取第2关节轴线方向 ,Y0 轴由右手定则确定。末端连杆坐标系 6 与坐标系 5 平行, 其中 X 6 , Y6 , Z6 分别记为 n, o, a, 表示机器人末端的姿态。O1 取Z1 轴和Z2轴公垂线与 Z2 轴交点 , O2 取 Z3 轴和 Z4轴的公垂线与Z3 轴交点,O3 取Z3 轴和Z4轴交点 ,O4 取Z4 轴和Z5 轴交点, O5 取 Z5轴和 Z6 轴交点, O4 和 O5 重合,中间坐标系的其他轴按照规则确定。图 3-1 焊接机器人杆件坐标

17、系按照 DH 方法确定的连杆参数, 见表1。对照表1,根据DH参数确定方法, 焊接机器人的偏置和连杆长度中除 d1 = 250 mm, d4 = 670 mm, a 1 = 119mm , a2 = 570 mm, a 3 = 1 20 mm 外, 其余 均为零。其连杆扭角为: 1 =3 = - 90 , 2=6= 0, 4= 5 = 90。需要说明的是, 对于运动链两端, 按照习惯约定: 0 =6 = 0; a 0 = a6 = 0 。因为关节6是转动关节, 因此规定 6= 0 为连杆6的零位, 习惯约定 d6= 0。另外, 参数的设定随坐标系设定的改变而改变。表3-1 焊接机器人连杆参数3

18、.3焊接机器人运动学正解根据建立的杆件坐标系和列出DH参数表,就可以依次求出后一连杆相对于前一连杆的位姿, 即变换矩阵ii-1T =(i=1,2,36)。将表3- 1中的DH参数带入式( 1 ) ,得到相邻连杆间的坐标变换矩阵:求出机器人相邻连杆间的坐标变换矩阵,就可以求出6自由度机器人最后一个连杆相对于基坐标系的位姿,即为机器人末端位姿。其中 :nx = C1 C2 3 (C4 C5 C6 + S 4 S 6 ) - S 23 S 5 C6 +S 1 (S 4 C5 C6 - C4 S 6 )n y = S 1 C23 ( C4 C5 C6 + S 4 S 6 ) - S 23 S 5 C6

19、 -C1 ( S 4 C5 C6 - C4 S 6 )nz = - S 23 C4 C5 S 6 - C23 S 5 C6 - S 23 S 4 S 6o x = C1 C23 (S 4 C6 - C4 C5 S 6 ) + S 23 S 5 S 6 -S 1 (S 4 C5 S 6 + C4 C6 )o y = S 1 C23 ( S 4 C6 - C4 C5 S 6 ) + S 23 S 5 S 6 +C1 ( S 4 C5 S 6 + C4 C6 )o z = S 23 C4 C5 S 6 + C23 S 5 S 6 - S 23 S 4 S 6ax = C1 (C23 C4 S 5 +

20、 S 23 C5 ) + S 1 S 4 S 5a y = S 1 ( C23 C4 S 5 + S 23 C5 ) - C1 S 4 S 5az = - C4 S 5 S 23 + C23 C5Px = C1 ( a3 C23 + a2 C2 + a1 - d4 S 23 )Py = S 1 (a 3 C23 + a2 C2 + a1 - d4 S 23 )P z = - d4 C23 - a3 S 23 - a 2 S 2 + d1 (3)变换矩阵60T把机器人位姿从关节空间变换为直角坐标空间的描述, 即为焊接机器人运动学方程。若把关节变量带入式( 2) 就可很方便求出机器人运动学正解。校

21、验所求运动学方程是机器人运动分析和综合基础, 其求解是否准确十分重要。为校核其正确性, 计算当 1 = 90 , 2= - 90 , 3 =4 = 0, 5 = 90 , 6 = - 90 时, 末端变换矩阵60T的值。计算结果为: 60T= 1000100001a1+d4a2+a3+d1000 1 （4）式( 4) 中 , 旋转矩阵为单位阵, 说明机器人末端姿态相对于基础坐标系没有变化; 矩阵最后一列前 3 个元素表示机器人末端位置在基础坐标系中沿 Y0 轴移动a1 + d4距离 , 沿 Z0轴移动a 2+ a3 + d1距离。这与图 1 所示完全一致, 从而验证求解运动学方程准确性。当需求

22、焊接机器人速度时,将式( 2) 两边同时对时间求导。再根据矩阵相对应数相等, 就可求所要求相应关节速度。当需求各自加速度时, 只需对式( 2) 两边同时对时间求二阶导数,根据求导法则求导, 再根据矩阵相等条件, 就可求出相对应的各转角加速度。3.4焊接机器人运动学逆解3.4.1 双变量反正切函数在机器人运动学逆解求解中 , 经常涉及反三角函数求解角度问题。通常, 使用双变量反正切函数来解决这一问题。不能用反余弦函数来求解关节角,因为其求得角度符号是不确定的,且所求角度精度取决于该角, 即 cos= cos (- ) 和 dcos/ d| = 0。 故在求解角度时, 应该采用 双变量反正切函数a

23、tan2 来确定角 度, 即 = atan2( y, x ) 。取值要根据角度 atan2(y , x ) 所在的象限决定 , 依据 y和 x的符号判断。 其提供两个自变量, 即纵坐标 y 和横坐标 x , 且其求解精度适合整个定义域。 当 -时, 用 atan2( y , x ) 反求角度时 ,要同时检查y和x的符号来确定其所在的象限, 如图 3-2 所示。图 3-2 双变 t 反正切函数符号为了便于计算, 这里引 入一元方程 aS + bC= d 的求解, 其中S和C分别为的正余弦。当 a2+ b2 d2 时, 总有两个值。 = atan 2d, a2 + b 2 - d2 -atan 2

24、(B , a) (5 )3.4.2用反变换法求解运动学逆解6 自 由度机器人的运动学方程可以写成:在式( 6)中, 左边矩阵中各元素都是已知的, 而右边的6个矩阵是未知的, 其依赖于关节变量 1 , , 6。反变换法就是用未知矩阵的逆变换逐次左乘上述矩阵方程, 以便将关节变量分离出来, 从而解出关节变量。为方便求解,令式(6) 两边分别为L和R ,L (i , j ) 和 R(i , j )分别表示 4 × 4 矩阵L和R的第i行和第j列的元素, i, j = 1 , 2, 3, 4。这样分离变量的过程就可以表示为( 例如对式子两边左乘10T-1 ) :焊接机器人相邻连杆间的坐标变换

25、矩阵的逆矩阵表示为3.4.3 实例求解以焊接机器人为例实现算法, 其 DH 参数见表 1 。( 1) 求 1用逆变换10T-1 左乘式( 6)的两边得:由L 1 ( 3, 4) = R 1 ( 3, 4) ,得- s1 p x + c1 p y=0。所以, 1 = atan2(p y , p x )。这样就可以求出在 - 180 , 180 区间内的一个解。( 2) 求 2联立等式 L 1 ( 1, 4) = R 1 (1, 4)L 1 ( 2, 4) = R 1 (2, 4)可得:- d4 s23 + a2 c2 + a3 c23 = c1 p x + s 1 p yd4 c23 + a2

26、s 2 + a3 s23 = - p x + d1 p y -(10)将式( 1 0) 进行左右变换得:- d4 s23 + a3 c23 = c1 p x + s 1 p y - a2 c2d4 c23 + a3 s 23 = - p x + d1 p y - a2 s2 (11)再将式( 11 ) 两边平方后相加, 可以得到只含有s 2 和c2 的方程式: (d1 p y - p x ) s 2 + ( c1 p x + s 1 p y ) c2= M (12)其中 , M = ( c1 p x + s1 p y ) 2 + ( d1 p y - p x ) 2 +a2- a23- d24

27、 /2a2 , ( M 为常数)这样, 由 式( 6) 得:2 = atan 2M ,±(d1 p y - p x ) 2 + (c1 p x + s1 p y ) 2 - M2 -atan 2 (c1 p x + s 1 p y ) , ( d1 p y - p x ) 这样就求出 了 凡 在 - 180° , 180° 区间内的两个解。( 3) 求 3对式( 6) 的两边左乘21T-1 10T-1 可得:所以, 由 等式 L 2 ( 2, 4) = R 2 (2, 4) 可以得到只含有s 3 和c3 的方程式。其中 ,N = - c 1 s 2 p x - s

28、 1 s 2 p y - c2 p z + a1 s 2 + c2 d1( N 为常数)这样, 由式( 6) 得:3 = atan 2N , a 23 + d24 - N 2 -atan 2(d4 , a3 )求出了只在 - 180° , 1 80° 区间内的两个解。( 4) 求 4对式( 6) 的两边左乘32T-1 21T-1 10T-1 可得:所以, 由等式 L 3 (1, 3) = R 3 (1 , 3)L 3 (2, 3) = R 3 (2, 3)可以得到只含有s 4 s 5 和c 4 s 5 的两个方程式:c4 s5 = c1 c23 a x + s 1 c 23 ay - s 23 azs 4 s 5 = s 1 ax - c1 ay当 sin5= 0 时, 机器人处于奇异形位, 此时机器人的第4和第6关节轴重合, 可以任意选取4 的值, 然后计算相应的6 的值。当sin5 0 时, 通过s 4 s 5