结构动力学作业答案(roy rcraig)

1、P2.3 解答2.3 如图所示，刚性梁AB受到弹簧BC的激励。C点的运动方程为z(t)。试用B点的位移u为变量来推导系统的运动方程。假设为小运动，采用牛顿定律来求解。解：1. 画自由体受力图2. 列力矩平衡方程根据受力分析，可知：3. 力与位移关系弹簧力； 阻尼力； 弹簧力惯性力矩4. 将力与位移关系代入到力矩平衡方程，并化简：P2.13 解答2.13 一根均匀的杆的质量密度为，其杆端有一集中质量M。应用假定振型法（）推导如下系统的轴向自由振动的运动方程。解：1. 形函数及几何边界条件2. 建立虚功方程因为没有外力，所以对于惯性力而言，其虚功包括杆本身的虚功和杆端集中质量的虚功。3. 化简因为

2、为虚位移，即，所以运动方程为P3.7 解答3.7 一台机器的质量为70kg，安装在弹簧上，弹簧的总刚度为15kN/m，总阻尼为1.2kN.s/m。试求如下初始条件的运动u(t)。解：1. 运动方程及其相关参数由图可知，其运动方程为其中，。所以2. 系统的自由振动解3. 不同初始条件下的自由运动（a）（b）P4.8 解答4.8 转动机械中的不平衡是很普遍的激励源。下图正是这样一个例子。（Mm）是机械的质量，m是转动不平衡块的质量，其转动圆频率为。a. 推导机械垂向运动方程；b. 推导系统稳态响应表达式并绘制频响曲线。解：1. 向心力及其垂向分量向心力的大小，垂向分量为。2. 系统的运动方程化简后

3、可得：3. 系统的稳态响应现在考虑其频率响应幅值定义静位移为，因此，P5.1 解答5.1 用一个非常简单的模型来研究着陆的一架轻型飞机的冲击。如图所示，以一个线性弹簧的集中质量表示着陆的装置。当弹簧触到地面时，质量m具有一垂直下降速度V。接触时t=0，并令u(0)0。(a)确定弹簧保持在接触地面时间内，质量的垂向位置u（t）的表达式；(b)确定弹簧回弹脱离地面接触的时间。解：1. 受力分析根据初始条件：，及上图可知，物体的受力图如右所示。2. 运动微分方程所以，根据受力图，其运动微分方程为： 3. 垂向位置的解根据初始条件，可得所以，。4. 弹簧回弹脱离地面的时间当弹簧再次脱离地面时，其运动状

4、态为：。因此，可以任意选取一个运动量来求解脱离时间。这里，我们取速度量，则有P9.2 解答9.2 一均匀薄刚杆BC的质量m，长度L附在一均匀弹性梁AB上，设侧向位移很小。应用恰当的自由体图，确定A与B点的边界条件。解：1. A点的边界条件为固支，即2. B点的边界条件刚体的受力图如上所示。对于端部剪力边界条件，（注：为刚杆BC的质心加速度）对于端部弯距边界条件，其中P10.4 解答解：1 特征方程现拟采用如下通解形式两端边界条件为自由端，所以将边界条件代入通解表达式，可得如果上面方程有非零解，则其系数行列式为零。化简后得特征方程：由此可见，本系统有零固有频率，而其非零频的特征方程为：2. 现确

5、定零频率的个数。当时，根据自由运动微分方程（10.12），可得：。因此，我们可以假定解的形式为。考虑边界条件，可知。因此，零频率的振型为。考察得到的振型函数可知，只可能存在2个相互正交的组合。相对应的，存在两个零频率。3. 求零频率的刚体模态（利用正交性）。设，则有：由于L具有任意性，所以。因此可以设。因此，上式变为：所以，两个刚体模态为：，。可进一步，采用正规化方法，求解、。通过计算得到：，所以，正规化的刚体模态为，4. 非零频率对于非零频的特征方程，只能采用数值的方法求解。结果是：，。5. 振型通过线性方程组，4个方程中的三个，我们可以得到弯曲模态的振型表达式（）P11.26 解答11.2

6、6 运用假定振型法求解悬臂梁的2DOF模型。其中，自由端的变形和转角被定义为模型的广义坐标。相应的振型函数如下图所示。解：（a）推导基于如下一般多项式的形函数和。（b）推导此2DOF模型的运动微分方程。解：（a）由图可知，对于而言，有：所以，对于而言，有：所以，（b）1首先求形函数的二阶导数。2推导刚度和质量矩阵系数和。同样的，对于有：3装配运动微分方程（因为没有外力，所以广义力为零）P12.8 解答P12.8一均匀悬臂梁采用如下假定振型简化为一2-DOF模型：（a）推导该2-DOF模型的运动微分方程；（b）计算固有频率。并和精确解（例10.3）以及基频近似值（10.4）比较。解：（a）参考第11章例11.10的步骤建立运动微分方程因此，装配系统的运动方程（注意，这里没有外力，所以广义力为零。）（b）参考第12章例12.3的步骤解方程，得到固有频率假设简谐运动为代入运动方程，得其中，从系数的行列式得特征方程即求解特征方程的根利用得到 和精确解对比（例10.3）假定振型法的