材料力学第六章

1、Mechanics of Materials材料力学编制：邹思敏审定：袁海庆配套教材：武汉理工大学出版社材料力学第三版 （主编袁海庆）6 弯曲应力弯曲应力编制：邹思敏审定：袁海庆配套教材：武汉理工大学出版社材料力学第三版 （主编袁海庆）6.1 梁横截面上的正应力6.2 梁横截面上的切应力6.3 梁的强度条件6.4 梁的合理截面6.5 非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心6.6 考虑材料塑性时梁的极限弯矩6 弯曲应力弯曲应力6.1 梁横截面上的正应力 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应力）。 在横向力的作用下，一般说来，梁的横截面上既有弯矩在横向力的作用下，一般说来，梁的

2、横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有剪应力横截面上既有正应力又有剪应力），称），称为横力弯曲。为横力弯曲。6.1.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力.纯弯曲的概念纯弯曲的概念.纯弯曲梁横截面上的正应力公式纯弯曲梁横截面上的正应力公式）对变形几何关系的观察实验：）对变形几何关系的观察实验：横向线仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。 纵向线由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。变形规律变形规律mmnnMMmmnn.纯弯曲梁横截面上的正应力公式纯弯曲梁横截面上的正应力公式）对变形几何关系的观察实验：）对变形几何关系的观察实验：mmnnM

3、Mmmnn基本假设基本假设（1）梁横截面变形后仍保持为一平面，且仍与弯曲后的梁轴线正交，只是象刚性平面一样绕其上的某轴转动了一个角度。 平面假设（2）梁是由一层层纵向纤维组成的。梁变形后，靠近凹边纤维缩短，靠近凸边纤维伸长，且各纵向纤维之间无挤压。梁的中性层：长度无改变的纤维层。截面的中性轴：中性层与截面的交线。（）根据几何关系建（）根据几何关系建立纵向线应变关系：立纵向线应变关系：(a) . ydddy)(ymmnn1K2K1dmmnnK1mmnndxoo1yK2）正应力公式推导：）正应力公式推导：yKzy1121OOOOKKxxKKdd21（）根据几何关系建（）根据几何关系建立纵向线应变关

4、系：立纵向线应变关系：(a) . ymmnn）正应力公式推导：）正应力公式推导：yKzy+（）引入虎克定律建立（）引入虎克定律建立应力关系：应力关系：(b) . yEE（）运用静力学关系建立应力与（）运用静力学关系建立应力与内力的关系：内力的关系：）正应力公式推导：）正应力公式推导：yKzy+ANdAFAAAyEAyEdd面积矩为 0，表明中性轴 z 轴为形心轴。0zASydA即有中性轴位置确定中性轴位置确定（）运用静力学关系建立应力与（）运用静力学关系建立应力与内力的关系：内力的关系：）正应力公式推导：）正应力公式推导：yKzy+AdAyMydAyEMA梁变形曲率计算公式Z1EIMzIMy正

5、应力公式正应力公式 yEAdAyE2zIE截面上的最大正应力与截面模量：截面上的最大正应力与截面模量：）正应力公式推导：）正应力公式推导：zymaxy+zIMymaxmax抗弯截面模量抗弯截面模量令maxyIWzZzWMmaxzhb6212223zbhhbhhIWzd32264234zDDDDIWz6.1.2 横力弯曲时梁横截面上正应力 的计算工程中常见的梁弯曲是横力弯曲工程中常见的梁弯曲是横力弯曲 实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。例例6.16.1 设例题设例题5.75.7中梁由中梁由101

6、0号工字钢制成，求号工字钢制成，求B B 截面上截面上的最大正应力和该截面腹板的最大正应力和该截面腹板部分的最大正应力。部分的最大正应力。MPa6 .81Pa106 .81104910663ZmaxWMMPa0 .69Pa100 .69108 .245104 .421046833ZcIyMCC 2kN/mABC4m4m 1kN44 kNm43cm8 .245,cm49zzIW解：解： 查表得：查表得：mm4 .426 . 721002thyCCycth6.2 梁横截面上的切应力cdnmcdc1d1m1n1dFA*dxbm1n1mn *2F*1FFQFQMM+dMmnmnmncddFdx*2F*

7、1Fmmnndxx6.2.1 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力假设：假设：（） 距中性轴距离相同的各点切应力大小相等（即切应力沿截面宽度均匀分布）。FQFQMM+dMmnmnmmnndxx用相互平行的两个横截面m-m、n-n截下一段作为研究对象。dx（） 各点处切应力的方向与截面侧边平行。xFQFQMM+dM问题：求到中性轴距离为y 的cd 线处切应力。nmcdc1d1m1n1dFA*dxbm1n1mn *2F*1F*1d*AFA*1d*AIMyAz*1*1d*AyIMFAzy1mncddFdx*2F*1F2cdmnmn2*d*AFA*1dd*AyIMMAz*1*2dd*AyIMMFAzy

8、1yx1、切应力公式以cd 以下部分为脱离体：FQFQMM+dMnmcdc1d1m1n1dFA*dxbm1n1mn *2F*1FmncddFdx*2F*1F2cdmnmn2xbFdd 0XFFFd*20dddd*1*1*xbAyIMAyIMMAzAz*1ddd1*AyxMbIAzbISFzzQy1y横截面上cd线以下部分对中性轴的面积矩。z问题：求到中性轴距离为y 的cd 线处切应力。1、切应力公式以cd 以下部分为脱离体：AFQ23max)4(222yhIFzQ矩、矩形截面剪应力的分布：*1*d*AySAz1*ddybA121*dybyShyz)4(222yhbzyhbQF1yQFmaxbI

9、SFzzQ抛物线分布6.2.26.2.2、工字形截面梁的切应力、工字形截面梁的切应力dISFyzzw*Q)(假设假设 : : 平行于腹板侧边，平行于腹板侧边，并沿其厚度均匀分布并沿其厚度均匀分布、腹板切应力按矩形截面计算距中性轴距离为距中性轴距离为y y的横线以外部分的横线以外部分的横截面积对中性轴的静矩的横截面积对中性轴的静矩*zSdISFzz*maxQmax半个横截面面积对中性轴的静矩半个横截面面积对中性轴的静矩*maxzSd2、横截面上最大切应力翼缘上平行于y 轴的切应力很小，工程上一般不考虑。例例6.26.2 简支梁由简支梁由56a号工字钢制成。试求最大切应力和同一横号工字钢制成。试求

10、最大切应力和同一横截面上翼缘与腹板交界处截面上翼缘与腹板交界处c c点的切应力。点的切应力。B5 m10 mAF=150kN CFA FB 12.521166zc解：解： 作剪力图，知最大剪力为：作剪力图，知最大剪力为：+75kN75kNkN75maxQF查型钢表得查型钢表得m1073.472*zzSI4cm65600zI例例6.26.2 简支梁由简支梁由56a号工字钢制成。试求最大切应力和同一横号工字钢制成。试求最大切应力和同一横截面上翼缘与腹板交界处截面上翼缘与腹板交界处c c点的切应力。点的切应力。 12.521166zc解：解：（）最大切应力：（）最大切应力：kN75maxQFm107

11、3.472*zzSIdISFzzQmaxmaxdSIFzzQmaxMPa6 .12105 .121073.477500032例例6.26.2 简支梁由简支梁由56a号工字钢制成。试求最大切应力和同一横号工字钢制成。试求最大切应力和同一横截面上腹板部分与翼缘交界处截面上腹板部分与翼缘交界处c c点的切应力。点的切应力。 12.521166zc解：解：（）腹板上与翼缘交界处（）腹板上与翼缘交界处c点切应力：点切应力：kN75maxQFdISFzzQwcMPa6 . 8105 .12106560010.750003434maxm104.9221256021166zS4cm65600zI1 1、假定、

12、假定切应力的分布特征：切应力的分布特征：(1) (1) 沿壁厚切应力的大小不变；沿壁厚切应力的大小不变；(2) (2) 切应力的方向与所在圆周相切。切应力的方向与所在圆周相切。6.2.3 薄壁环形截面梁的切应力薄壁环形截面梁的切应力zyOmaxdr0maxddsin2dcos2*0rrrSzd3rIzddddrFrrF)2()2(Q320Qmax2 2、薄壁环形截面梁最大切应力的计算、薄壁环形截面梁最大切应力的计算AFQmax200yzydr计算到中性轴距离为 y 以外的部分对 z 轴面积矩：查表得：最大切应力max 仍发生在中性轴z上。dd22*max22sin2rrSzbISFzzQmax

13、maxd2b02rAd薄壁环形截面梁最大切应力6.2.4 圆截面梁的切应力圆截面梁的切应力切应力的分布特征：切应力的分布特征： 边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应力分布与 y 轴对称。最大切应力出现在中性轴位置。zyOmaxd6.2.4 圆截面梁的切应力圆截面梁的切应力最大切应力计算：最大切应力计算：zyOmaxdyzOC2d /3bISFzz*maxQmaxdddF641243QAF34Qmax半圆形心距中性轴半圆形心距中性轴3d123242132*maxdddSz42dA2S434dF6.3 梁的强度条件6.3.1 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件正应力强度条件正应力强度条件 max

14、 zWMmaxzWMmaxmax等直梁：等直梁正应力强度条件：（中性轴为横截面对称轴的等直梁）拉、压强度不相等材料制成的梁：Ozyytmaxycmaxtmaxt最大拉应力：最大拉应力：cmaxc最大压应力：最大压应力：梁的正应力强度条件应用：梁的正应力强度条件应用： 1 1、强度校核 2、截面选择 3、确定容许荷载 zWMmax maxMWz zWMmax6.3.2 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 max bISFzz*maxmaxQ对等直梁，有 一般max发生在FQmax所在截面的中性轴处。不计挤压，则max所在点处于纯剪切应力状态,可按纯剪切应力状态建立梁的切应力强度条件：梁的切应力

15、强度条件应用：梁的切应力强度条件应用： 1 1、强度校核、强度校核 2 2、截面选择、截面选择 3 3、确定容许荷载、确定容许荷载6.3.2 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件梁的截面设计必须同时满足正应力强度条件与切应力强梁的截面设计必须同时满足正应力强度条件与切应力强度条件。通常梁的强度是由正应力强度条件所控制，正应度条件。通常梁的强度是由正应力强度条件所控制，正应力强度条件满足时，切应力强度条件一般会自动满足。力强度条件满足时，切应力强度条件一般会自动满足。在以下特殊情况下，还必须校核梁的切应力强度条件：在以下特殊情况下，还必须校核梁的切应力强度条件：、梁的最大弯矩较小，而剪力很大时；

16、、焊接或铆接组合截面梁，其腹板厚度与高度之比小于型钢截面相应比值时。6.4 梁的合理截面AzAyId2maxyIWzzzWMmax 1) 横截面积分布应尽量远离中性轴，越大越好。AWz选择合理的截面形状选择合理的截面形状AzAyId2maxyIWzzzWMmax 1) 横截面积分布应尽量远离中性轴，越大越好。AWz选择合理的截面形状选择合理的截面形状选择合理的截面形状选择合理的截面形状AzAyId2maxyIWzzzWMmax图a34cm343 cm7452zzWI，图b34cm215 cm7171zzWI，图c34cm86 cm690zzWI，图d34cm343 cm7452zzWI，选择合

17、理的截面形状选择合理的截面形状AzAyId2maxyIWzzzWMmax 工程中的吊车梁、桥梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的楼板采用空心圆孔板。选择合理的截面形状选择合理的截面形状AzAyId2maxyIWzzzWMmax风电塔筒风电塔筒 2) 对于拉、压许用应力不相等的材料（例如大多数脆性材料），采用T字形等中性轴距上下边不相等的截面, 使中性轴靠近拉应力的一侧，以使危险截面上的最大拉应力和最大压应力尽可能同时达到材料的许用应力。Ozyytmaxycmax选择合理的截面形状选择合理的截面形状AzAyId2maxyIWzzzWMmax 3) 采用变截面梁选择合理的截面形状选择合理的

18、截面形状AzAyId2maxyIWzzzWMmax等强度梁成昆线成昆线 旧庄河旧庄河 一号桥一号桥 中国铁路上首次采用悬臂拼装法施工的预应力混凝土桥， 主跨为24+48+24(m) 铰接悬臂梁铰接悬臂梁。 （一个单元）（一个单元）例例6.36.3 图示为由工字钢梁。钢的许用弯曲正应力图示为由工字钢梁。钢的许用弯曲正应力=152 MPa，许用切应力许用切应力=95 MPa 。试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。解：解：作计算简图和弯矩图作计算简图和弯矩图mkN375maxM、根据正应力强度条件选择截面、根据正应力强度条件选择截面与要求的与要求的Wz相差不到相差不到1%，可以选用。，可以选用。

19、 zWMmax 3maxm102461015210375MWz363m102450cm2450zW查型钢表得查型钢表得56b号工字钢的号工字钢的Wz比较接近要求值比较接近要求值30kNm10 m375kNmM例例6.36.3 图示为由工字钢梁。钢的许用弯曲正应力图示为由工字钢梁。钢的许用弯曲正应力=152 MPa，许用切应力许用切应力=95 MPa 。试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。解：解：30kNm10 m、根据正应力强度条件选择截面、根据正应力强度条件选择截面、根据切应力强度条件校核、根据切应力强度条件校核375kNmM作剪力图作剪力图+FQ150kN150kNkN150maxQF

20、查表，查表，56b56b号工字钢：号工字钢：m1017.472*zzSIdISFzzQmaxmaxdSIFzzQmax21.9MPaPa109 .21105 .141017.47150000632安全安全例例6.46.4 T T字形铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力字形铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力 t =30 MPa，许用压应力，许用压应力 a =90 MPa。按合理截面要求确定尺寸。按合理截面要求确定尺寸 ，并按所确定的截面尺寸计算梁的容许荷载。并按所确定的截面尺寸计算梁的容许荷载。解：解：根据截面最为合理的要求根据截面最为合理的要求mm210y1m2mBAFCy2y1z60220

21、yO220d319030atmaxamaxty0由几何关系可确定截由几何关系可确定截面形心合理位置：面形心合理位置：例例6.46.4 T T字形铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力字形铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力 t =30 MPa，许用压应力，许用压应力 a =90 MPa。按合理截面要求确定尺寸。按合理截面要求确定尺寸 ，并按所确定的截面尺寸计算梁的容许荷载。并按所确定的截面尺寸计算梁的容许荷载。解：解：1m2mBAFCy2y1z60220yO220dy0mm210y将代入，可解得将代入，可解得根据组合截面形心计算公式，有根据组合截面形心计算公式，有22060220)260280(

22、2206022202200ddy24mm462323mm1018.99)30210280(220601260220)110210(220241222024zI截面对中性轴的惯性矩为截面对中性轴的惯性矩为解：解：1m2mBAFCy2y1z60220yO220dy0梁最大弯矩为跨中弯矩：梁最大弯矩为跨中弯矩：FFFLM5 . 0424max容许荷载容许荷载解：解：1m2mBAFCy2y1z60220yO220dy0按正应力强度条件：按正应力强度条件：FFIyMztt3521018.9910705 . 063maxmaxmaxttmax61030352F85kNN10853F切应力强度不再校核切应力

23、强度不再校核6.5 非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心FOzyx挠曲线挠曲线形心主惯性平面形心主惯性平面荷载所在纵向平面荷载所在纵向平面6.5.1 非对称截面梁的横力弯曲非对称截面梁的横力弯曲在横力弯曲的情况下，只有当横向力作用在与梁的形心主惯性平面平行的某一特定平面内时，梁才会发生平面弯曲。6.5.1 非对称截面梁的横力弯曲非对称截面梁的横力弯曲外力作用在其它位置，梁在弯曲同时产生扭转O外力作用在某“特定纵向平面”上，发生平面弯曲OFmmnndxx槽形截面梁：“特定纵向平面”的位置分析FQFQMM+dMmnmn12dx取长度为dx的微段在微段上，沿下翼缘厚度方向用纵向平面切下宽度为u的脱离体：

24、21utdxuhb21mm脱离体两端面面积：A*,dxuhb21mm21ut*A脱离体两端面上正应力的合力分别为：uIthMtuIhMAFNzz*1*221uIthMMtuIhMMAFNzz*2d2d）（）（0d*12xtFFNN0d22dzzxtuIthMuIthMM）（zQzIuhFIuhxM22dd0X由沿翼缘方向切应力的合力为：dxuhb21mm21ut*A由切应力互等定理，翼缘距边缘u处切应力zQIuhF2即maxwmmfeFfQwFF FwzQIthbFF42f上下翼板的一对力形成力偶Ffh沿翼缘方向切应力的合力为：由切应力互等定理，翼缘距边缘u处切应力zQIuhF2即maxwmm

25、feFfQwFF FwzQIthbFF42f上下翼板的一对力形成力偶Ffh腹板应力的合力Fw与力偶Ffh合成为一个力，即截面剪力FQFQ截面剪力FQ 位于平行于梁的形心主惯性平面且距离腹板中心线为e 的纵向平面内QwFhFFhFeffOFmmmeFFQmAzOFFaFF发生平面弯曲发生弯曲+扭转meFQmAzameFFQmAzA 点“弯曲中心”FaFmeFQmAza平行于梁的形心主惯性平面且距离腹板中心线为e （距离形心主惯性平面a）的纵向平面从上述指导过程可知，弯曲中心就是梁横截面上弯曲从上述指导过程可知，弯曲中心就是梁横截面上弯曲切应力合力即切应力合力即FQ 的作用点的作用点6.5.2 开口薄壁截面杆的弯曲中心(3) 若截面的中线是由若干若截面的中线是由若干 相交于一点的直线段所相交于一点的直线段所 组成，则此交点就是截组成，则此交点就是截 面的弯曲中心。面的弯曲中心。AAA(2) 具有一个对称轴的截面，具有一个对称轴的截面， 其弯曲中心一定在这个其弯曲中心一定在这个 对称轴上。对称轴上。AAAA(1) 具有两个对称轴或反对具有两个对称轴或反对 称轴的截面，其弯曲中称轴的截面，其弯曲中 心与形心重合。心与形心重合。A62各种薄壁截面梁弯曲切应力分布及弯曲中心各种薄壁截面梁弯曲切应力分