高数一 第一章(函数与极限)§7

1、17. 连续函数的性质连续函数的性质2一、连续函数的和、差、积、商的连续性一、连续函数的和、差、积、商的连续性定理：定理：设设 f (x), g (x) 在点在点 x0 处连续，则处连续，则(1) f (x) g (x) 在点在点 x0 处也连续处也连续 ；(2) f (x) g (x) 在点在点 x0 处也连续处也连续 ；)0)()()()3(0 xgxgxf在点在点 x0 处也连续。处也连续。3讨论讨论 (1) y = x n, (2) y = tan x 的连续性。的连续性。幂函数、三角函数在其定义域内都是连续的幂函数、三角函数在其定义域内都是连续的例：例：(1) y = x 在其定义域

2、在其定义域 ( -,+) 连续，连续， y = x n = x x x (有限个有限个 x 的乘积的乘积) 在在 ( -,+) 也连续。也连续。(2) y = sin x , y = cos x 在其定义域在其定义域 ( -,+) 连续连续,在其定义域在其定义域xxxycossintan 内也连续。内也连续。), 2, 1, 0)(2,2( kkk 4二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性反三角函数在其定义域上都是连续函数。反三角函数在其定义域上都是连续函数。定理定理单值且单调的连续函数的反函数必存在，单值且单调的连续函数的反函数必存在，且也单值、单调且连续。且也单值、单调且

3、连续。例：例：上上在在2,2sin xy单值、单调且连续，单值、单调且连续，上上，在对应区间在对应区间则其反函数则其反函数11arcsin xy也单值、单调且连续。也单值、单调且连续。5 复合函数的极限存在性复合函数的极限存在性 复合函数的连续性复合函数的连续性定理定理 3 ( P. 66 ) )(lim),(0 xxuxx 且且设设);()(limafufau 又又. )()(lim)(lim00afxfxfxxxx 则则a ;定理定理 4 ( P. 66 ) )(lim),(0 xxuxx 且且设设; )(0 x );()(lim00ufufuu 又又.)()(lim)(lim000 xf

4、xfxfxxxx 则则6连续的复合函数仍为连续函数。连续的复合函数仍为连续函数。例例1：的连续性。的连续性。讨论讨论xy1cos 解：解：,1,cos1cosxuuyxy 连续；连续；在在),(cos uuy连续；连续；在在), 0(),0,(1 xu也连续。也连续。在在), 0(),0,(1cos xu7三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性一切初等函数一切初等函数在它们的在它们的定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的基本初等函数基本初等函数在它们的在它们的定义域定义域内都是连续的内都是连续的。定义区间定义区间： 指包含在定义域内的区间。指包含在定义域内的区间。1.初等函数在其定义区间内

5、任何一点的初等函数在其定义区间内任何一点的 极限值极限值就是函数在该点的就是函数在该点的函数值函数值。2.初等函数的初等函数的定义区间定义区间就是该函数的就是该函数的 连续区间连续区间。8例题讨论例题讨论例例1：的连续区间。的连续区间。求求23)1ln(2 xxxy解：解：,)2( )1()1ln( xxxy,012, 1 xx且且 连续区间为：连续区间为：.), 2()2, 1()1, 1( 9例例2：的连续性。的连续性。讨论讨论 1,10,0,12xxxxxxy解：解：时，时，当当1, 10, 0 xxx连续。连续。均为初等函数，故均为初等函数，故xxx,12 , 1)1(lim)00(0

6、 xfx, 0lim)00(20 xfxf (x) 在在 x = 0处处不连续。不连续。 ),1(1lim)01(21fxfx , 1lim)01(1 xfxf (x) 在除在除 x = 0 外外处处连续。处处连续。 f (x) 在在 x = 1处处连续。连续。 10例例3 3： 1, )ln(ln11,arctan)(2xxxxxxaxxf设设试选择试选择 a , 使使 f (x) 为连续函数。为连续函数。解：解：x 1 时时, f (x) 连续；连续；所以只要所以只要 f (x)在在 x = 1连续，就能使得连续，就能使得f (x)为连续函数。为连续函数。)(arctanlim)01(1a

7、xfx a 4 11例例3 3： 1, )ln(ln11,arctan)(2xxxxxxaxxf设设试选择试选择 a , 使使 f (x) 为连续函数。为连续函数。)ln(ln1lim)01(21xxxxfx xxx 11ln1lim12ln aaf 41arctan)1( 又又. 2ln4 a12,0,1sin0,0,sin1)(. 2 xxxxaxbxxxf设设试求试求 a ,b.存存在在。使使)(lim)1(0 xfx处处连连续续。在在使使0)()2( xxf13 四、四、闭区间闭区间上上连续连续函数的性质函数的性质定理定理1 有界性与最值性有界性与最值性在在闭区间闭区间上上连续连续的函

8、数必在的函数必在该区间上有界，且必有最大值与该区间上有界，且必有最大值与最小值。最小值。(证略证略)14即若即若 f (x) 在在 a, b 连续，则必存在两点连续，则必存在两点有有对所有对所有使使,21baxba )()()(21 fxff m = M(最大值最大值)xy0ab1 2 ,)(Mxfm 在该区间有在该区间有 ,maxMmk 取取有界。有界。则则)()(xfkxf (最小值最小值)15说明：说明：闭区间，连续函数，缺一不可。闭区间，连续函数，缺一不可。若不是闭区间，若不是闭区间， 如：如：y = x 在在 (a, b) 内连续，内连续，xy0ab。无最小值无最小值无最大值无最大值

9、若若 f (x) 不连续，如：不连续，如：,21,31,110,1 xxxxxyxy0112。.也无最大最小值。也无最大最小值。定理中两条件：定理中两条件：16二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理 ( 零点定理零点定理 )定理定理 2 ：( 根的存在定理根的存在定理 )且且 f (a) 与与 f (b) 异号，异号，( 即即 f (a) f (b) 0 )则至少存在一点则至少存在一点若若 f (x) 在在 a, b 连续，连续，.0)(),( fba使使xy0abf (a)f (b). xy0ab结论又可表示为：结论又可表示为：方程方程 f (x) = 0 在在 (a, b)内至少有一

10、个根。内至少有一个根。1 2 3 . . .17定理定理 3 ( 介值定理介值定理 )证：证：若若 f (x) 在在 a, b 连续，且连续，且 f (a) = A, f (b) = B, AB, 则对于则对于A、B 之间之间的任一数的任一数 C，至少存在一点，至少存在一点),(ba 使使 f ( ) = C .,)()(Cxfx 令令且在且在 a, b 连续，连续，,)()(CACafa ,)()(CBCbfb 无论无论 A C B 或或 B C A , (a) (b) 0,由零点定理，由零点定理， 至少存在一点至少存在一点),(ba 0)( 使使.)(0)(CfCf 即即18推论：推论：

11、在闭区间上连续的函数必取得介于在闭区间上连续的函数必取得介于最大值最大值 M 与最小值与最小值 m 之间的任何值。之间的任何值。xy0abC .AB1 2 3 C . 使使 f ( ) = C . f (x) 在在 a, b 连续，连续，),(ba 至少至少f (x)19例题讨论例题讨论例例1： 证明证明内至少有一个根。内至少有一个根。在在, 00cos xex证：证：设设 f (x) = e x cos x ,内连续，内连续，且在且在, 0 , 01)0(0 ef,0cos)( eef由零点定理，由零点定理，至少存在一点至少存在一点), 0( ,0cos)( ef使使内至少有一个根。内至少有

12、一个根。在在, 00cos)( xexfx20例例2：的正根。的正根。至少有一个小于至少有一个小于 112 xx证明方程证明方程证：证：,12)( xxxf设设内连续，内连续，且在且在1, 0, 01)0( f,0112)1( f由零点定理，由零点定理， 至少存在一点至少存在一点),10( ,0)( f使使,012)( 至少有一个根至少有一个根即方程即方程 xxxf.10 且且 得证。得证。21例例3分析：分析：设设 f (x) 在在 0, 2a 连续连续, f (0) = f (2a),使使，上至少存在一点上至少存在一点则在则在 , 0a.)()(aff , )()(aff 由结论由结论.0

13、)()( aff 证：证：, )()()(axfxfxF 设设 f (x) 在在 0, 2a 连续，连续，连续，连续，在在则则,)(aaaxf F (x) 在在 0, a 连续。连续。 )( F22有两种情况：有两种情况：连续，连续，在在, 0)()()(aaxfxfxF ),()0()0(affF )2()()(afafaF 时，时，当当0)()0()1( aff, 0)()0( aFF则则.0a 或或存在零点存在零点时，时，当当0)()0()2( aff, 0)()0( aFF则则由零点定理，至少存在一点由零点定理，至少存在一点), 0(a ,0)()()( affF 使使,)()(成立成

14、立即即aff 得证。得证。),0()(faf 设设 f (x) 在在 0, 2a 连续连续, f (0) = f (2a),使使，上至少存在一点上至少存在一点则在则在 , 0a.)()(aff 23例例4： 设设 f (x) 在在 (a, b) 上连续，上连续，,321bxxxa ，上必有一点上必有一点则在则在 ,31xx. )()()(31)(321xfxfxff 使使分析：分析： f (x1), f (x2), f (x3) 均为常数，均为常数， 用介值定理。用介值定理。有有 f () = C 的形式，的形式，找找 f (x) 的最大值与最小值，的最大值与最小值，C 为它们为它们之间的一个

15、数。之间的一个数。但但 f (x) 在开区间连续在开区间连续, 不一定有最大最小值。不一定有最大最小值。要找一个闭区间，使要找一个闭区间，使 f (x) 在闭区间连续。在闭区间连续。24证：证： f (x) 在在 (a, b) 上连续，上连续，连续，连续，也在也在),(,)(31baxxxf 则在则在 x1, x3 上必有最大值上必有最大值 M 与最小值与最小值 m ,)(1Mxfm 且且,)(2Mxfm ,)(3Mxfm ,)()()(31321Mxfxfxfm 设设 f (x) 在在 (a, b) 上连续，上连续，,321bxxxa ，上必有一点上必有一点则在则在 ,31xx. )()()(31)(321xfxfxff 使使,3)()()(3321Mxfxfxfm C25证：证： f (x) 在在 (a, b) 上连续，上连续，连续，连续，也在也在),(,)(31baxxxf 则在则在 x1, x3 上必有最大值上必有最大值 M 与最小值与最小值 m ,)(1Mxfm 且且,)(2Mxfm ,)(3Mxfm 由介值定理，必存在一点由介值定理，必存在一点, ,31xx . )()()(31)(321xfxfxff 使使设设 f (x) 在在 (a, b) 上连续，上连续，,321bxxxa ，上必有一点上必有一点则在则在 ,31xx. )()()(31)