激光原理第二章答案

1、第二章开放式光腔与高斯光束1.证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为2，根据几何关系可知证明：设入射光线坐标参数为 r1, 1，出射光线坐标参数为r2D A,1 sin 12 sin 2傍轴光线sin B贝U 1122，写成矩阵形式11得证2.证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为证明：设入射光线坐标参数为1, 1，出射光线坐标参数为 血，2，入射光线首先经界面1折射，然后在介质 2中自由传播横向距离 d，最后经界面2折射后出射。根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得1 0 1 01 d10 0 1 0 .1 2化简后21d21得证。3试利用往返

2、矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且 两次往返即自行闭合。证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示:其往返矩阵为:1 L1 L22 1 0 11 0 1R2由于是共焦腔，则有R,R,L将上式代入计算得往返矩阵10T01nnA Bn1 0n 1 011C D0 10 1可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解：共轴球面腔稳定性条件 0g1g21其中g11“2 1 LR2对平凹共轴球面镜腔有 R,R20。则g11,g2

3、R2，再根据稳定性条件0 g1g21 可得 01 LR2R2L。对双凹共轴球面腔有，R10, R2g1巨，根据稳定性条件0 g1g2 1 可得 0R1R2R1R2R1R2R2对凹凸共轴球面镜腔有,R-!0, R2g1L丰2R20,根据稳定性条件0 g1g21可得0R1 LR1 R21 I10 1由(1)解出2mL则LL所以得到:I1(L I)LL11 1211m10.5(1)L 0.171.52所以等效腔长等于L I2再利用稳定性条件0(1)5.激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为 2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。解：设

4、两腔镜 M,和M2的曲率半径分别为 R和R2，R1m,R2 2m工作物质长I 0.5m，折射率1.52当腔内放入工作物质时，稳定性条件中的腔长应做等效，设工作物质长为I ,工作物质左右两边剩余的腔长分别为I1和I2，则I1 I I2 L。设此时的等效腔长为 L，则光在腔先经历自由传 播横向距离I1，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离I ,再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离I2，则1 01I2101I1010 010-1.17m 333弧矢光线=R -I 或 R 、3l、3 2任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得4卫R _13|或R 4-392 或 37.

5、有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm,方形孔边长d 2a 0.12cm,入=632.8nm镜的反射率为n 1,r2 0.96，其他的损耗以每程 0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果作一个大略的估计。氦氖增益由公式想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择TEM 00模，小孔的边长应为多大？试根据图gl4 1eg1 3 10 -d估算(I为放电管长度，假设I L)解：TEM 01模为第一高阶横模，并且假定TEM 00和TEM。1模的小信号增益系数相同，用g0表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式eg、晶(1 00 0.003) 1IegtTj?(1 01 0.003) 1I

6、I根据已知条件求出腔的菲涅耳数2 2a0.06 门71.9L 30 632.8 10由图2.5.5可查得TEM 00和TEM01模的单程衍射损耗为0010 8.370110 6氦氖增益由公式310牛0.计算。代入已知条件有 eg l 1.075。将eg0|00 、 01 、r1和a的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。II式的条为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足 件，则要求010.047根据图可以查出对应于 01的腔菲涅耳数N 0.90由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长2a N2、

7、300 632.8 10 6 0.90.83mm同理利满足I式的条件可得2a 0.7mm因此，只要选择小孔阑的边长满足0.7mm 2a 0.83mm即可实现TEM 00模单模振荡。&试求出方形镜共焦腔面上 TEM 30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗?解：在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的 TEM 30模的场分布可以写成x2V30(x, y)C30H 3(L / )2 /(L )x，则 I式可以写成V30(X, y)C30H 3 X e(L / )式中H3 X为厄米多项式，其值为H3 X 8X3-12X由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令h3 X 0，得X, 0;X2.3/2;X3.

8、3/2考虑到 0s . L / ，于是可以得到镜面上的节点位置Xi 0；X20s；X30s2 2所以，TEM 30模在腔面上有三条节线，其 x坐标位置分别在0和.3 0s/2处，节线之间 位置是等间距分布的，其间距为、3 0s/2 ；而沿y方向没有节线分布。9.求圆形镜共焦腔TEM 20和TEM 02模在镜面上光斑的节线位置。 解：在拉盖尔一高斯近似下，可以写成如下的形式mn rCmn,2r0 sLm2r220sr22Oscosmsin mm为零时，只能选余弦，否则无意对于TEM mn，两个三角函数因子可以任意选择，但是当对于 TEM 20:20 r,2r220s20scos2sin 2并且l

9、02r220s1，代入上式，得到20 r , C20_ 2.2r e0sr20scos2sin 2取余弦项，根据题中所要求的结果,我们取20r,C .2r 2C20 r2益cos2 0，就能0s求出镜面上节线的位置。cos2同理，对于TEM 02，02r,C020l20s2r220 s2r20sC022r220s2r0sL02r220s4r22-0s2r40s，代入上式并使光波场为零,得到02r,02显然，只要l20s2r220s4r220 s2r40s2rTe 0s4r220s2r440s0即满足上式镜面上节线圆的半径分别为:1 22I 20s, r210s10.今有一球面腔，R 1.5m，

10、R,1m，L80cm。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。解：该球面腔的g参数为L 7g11-y115R1g2R2由此，g1g20.85，满足谐振腔的稳定性条件0 g1g2因此，该腔为稳定腔。由稳定腔与共焦腔等价条件R (乙 )Zif2RiR2R2(z2)和 0Z2L Z， zi可得两反射镜距离等效共焦腔中心0点的距离和等价共焦腔的焦距分别为Zi1.31m z 0.51m0.50m根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。16 某高斯光束腰斑大小为 0=1.14mm,=10.6 口m。求与束腰相距 30cm 10m 1000m远处的光斑半

11、径及波前曲率半径 R。解：入射高斯光束的共焦参数0.385m根据Z30cm10m1000m1.45mm2.97cm2.96mR(z)0.79m10.0m1000m17 若已知某高斯光束之 o=o.3mm=632.8nm。求束腰处的q参数值，与束腰相距 30cm处的q参数值，以及在与束腰相距无限远处的q值。解：入射高斯光束的共焦参数12 一-44.7cm根据q(z) z qo z if，可得束腰处的q参数为：q(0)44.7icm与束腰相距30cm处的q参数为：q(30)(3044.7i )cm与束腰相距无穷远处的 q参数为：Re(q) ,Im(q) 44.7cm21 某高斯光束0=1.2mm,

12、=10.6 口 m。今用F=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m 1m 10cm 0时，求焦斑的大小和位置,并分析所得的结果。解：入射高斯光束的共焦参数12一-0.427m设入射高斯光束的q参数为q1，像高斯光束的q参数为q2，根据ABCDt则可知丄丄丄qi q2 F其中 q1 l ifl和f分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数;q2 l ifl和f分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数尘利用以上关系可得F 4l10m1m10cm0l2.00cm2.08cm2.01cm2.00cm02.4022.5 m55.3 m56.2 m从上面的结果可以看出，由于f远大于F,所以此时透镜一定具

13、有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。22 CO2激光器输出光=10.6 口m, 0=3mm用一 F=2cm的凸透镜距角，求欲得到 。=20 口m及2.5 口m时透镜应放在什么位置。解：入射高斯光束的共焦参数2.67m设入射高斯光束的q参数为q1，像高斯光束的q参数为q2，根据ABCDt则可知丄丄丄qi q2 F其中 q1 l ifl和f分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数；q2 l ifl和f分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数尘利用以上关系可得F qi0 20 时，I 1.39m，即将透镜放在距束腰1.39m处；02.5m时，I 23.87m，

14、即将透镜放在距束腰 23.87m处。23.如图2.6光学系统，如射光 =10.6 口 m,求 0及|3。2cm图2.2解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置由于I1F1，所以l1F1 =2cm0F 22.49 口 m0所以对第二个透镜，有I I2I 13cm2f 01.499 10 4m1已知F20.05m，根据11 1q1q2f；q2 I if其中qiI if l和f分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数I和f分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数014.06ym, l38.12cm24 某高斯光束 o=1.2mm =10.6 口 m。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜R=1m 口

15、径为20cm；副镜为一锗透镜， F1 =2.5cm, 口径为1.5cm;高斯束腰与透镜相距l=1m,如图2.7所 示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。20解：入射高斯光束的共焦参数为0.427m由于F1远远的小于I ,所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半径F10 .(I F1)2 f20.028mm这样可以得到在主镜上面的光斑半径为(R)6cm 10cmR2Fi50.925.激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成,它出射波长为的基模高斯光束，今给定功即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应。这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为2120f的实验原理及

16、步骤。(I)率计，卷尺以及半径为 a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束公焦参数解:一、实验原理通过放在离光腰的距离为z的小孔(半径为a)的基模光功率为2 a22式中，Po为总的光功率,2(z)P(z)为通过小孔的光功率。记P2 a2ln(F0PP(Z)，则有(II)注意到对基模咼斯光束有2(z)在(II)式的两端同时乘以/ ，则有2尸 Z解此关于f的二次方程，得P(Z) R(1 e (z)f 舟 J；)2 z2(IV)因为a、P0、P、z都可以通过实验测得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的共焦参数f。二、实验步骤1如上图所示，在高斯光束的轴线上某一点用卷尺测量出 B到光腰0(

17、此题中即为谐振腔的中心2.用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率3移走光阑，量出高斯光束的总功率p0 ；B处放入于光轴垂直的光阑(其孔半径为a),)的距离z ；P ；4.将所得到的数据代入(III)及(IV)式即可求出f(根据实际情况决定(IV)式根号前正负号的取舍)。28.试用自变换公式的定义式qc J lqo (2.12.2 ),利用q参数来推导出自变换条件1式 F1122 20l证明:设高斯光束腰斑的2q参数为q。 if i -，腰斑到透镜的距离为I，透镜前表面和后表面的q参数分别为q、q2,经过透镜后的焦斑处q参数用qc表示，焦斑到透镜的距离是lc=l，透镜的焦距为F。根据q参数变换，可以求出前表面、后表面、及焦斑处的透镜前表面：q1 q0 l透镜后表面:1q21q1焦斑的位置：qc q2 lc把经过变换的Fq1q2Fq1代入到焦斑位置的q参数公式，并根据自再现的条件，得到:qcq2lcFq1F q1lclc可得qcqoifqiqo31.试计算R,1m，0.25m，a,2.5cm，a21cm的虚共焦腔的 单程和 往返若想保持a,不变并从凹面镜 Mi端单端输出，应如何选择a2?反之，若想保持a2不变