离散时间信号的傅立叶变换-数字信号处理

1、2 24 4 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换1.离散傅立叶变换（DFT）令 1N0nnkN1N0n1N0nnkN1N0n1N, 1 , 0nW)k(X)nkN2jexp()k(XN1)n(x1N, 1 , 0kW)n(x)nkN2jexp()n(x)k(X)N2jexp(WN2 24 4 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换2.DFT性质：（1）线性：若x1（n），x2（n）都是N点序列，其DFT分别是X1（k），X2（k），则DFTa x1（n）+bx2（n）= aX1（k）+bX2（k）2 24 4 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换（2）正交性

2、令矩阵 )1N)(1N()1N(21N0)1N(24201N2100000nkNWWWWWWWWWWWWWWWWWW2 24 4 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换TNTN)1N(x),1 (x),0(xx)1N(X),1 (X),0(XX则DFT的正变换可写成矩阵形式，即 XN= WNxN 由于 1N0kk)nm(1N0knkmkN*Nnmnm0NWWWWW2 24 4 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换所以 和 WN 是正交的，即WN是正交矩阵，D FT是正交变换，进一步有 =NI或 DFT的反变换可以表示为*NWN*NWW*N1NWN1WN*NN1NNxWN1

3、xWx2 24 4 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换3.移位性质：将N点序列 x（n）左移或右移m个抽样周期，则)k(XW)mn(xDFT)k(XW)mn(xDFTkmNkmN2 24 4 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换4奇、偶、虚、实对称性质(1)若x（n）为复序列，其DFT为 X（k），则 DFTx*（n）=X*（-k）(2)若x（n）为实序列，则 X*（k）=X（-k）=X（N-k） XR（k）=XR（-k）=XR（N-k） XI（k）= -XI（-k）= -XI（N-k） |X（k）|=|X（N-k）| argX（k）= - argX（-k）2 24

4、4 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换(3)若x（n）为实序列，且 x（n）=x（-n），即x（n）为实偶序列，则X（k）是实序列。(4)若x（n）= -x（-n），即x（n）为奇序列，则X（k）是纯虚序列。2 24 4 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换5.Parseval定理均反映了信号在一个域或其对应的变换域中的能量守恒原理。1N0n1N0n22| )k(X|N1| )n(x|2 24 4 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换6.设序列x（n），h（n）都是N 点序列，其DFT分别是 X（k），H（K），x（n）和h（n）的循环卷积y（n）定义为：)Nmodin(h )Nmodi (x)n(h)n(x)Nmodn(y1N0i2 24 4 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换式中，（n mod N）表示以N为模对n求余，表示循环卷积 。简化形式为 例：x（n）=2，1，1 h（n）=2，2，11N0i) in(h) i (x)n(h)n(x)n(y2 24 4 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换由于上述求和特点，所以卷积的结果y（n）也是周期的，周期为N，因此称为循环卷积，又称