建筑力学--变形及刚度

1、Basic Mechanics IIChapter 16. Deformation Calculation and stiffness of Elastic Bar 1 1、杆的纵向总变形：、杆的纵向总变形： 3 3、平均线应变：、平均线应变：LLLLL1d 2 2、线应变：单位长度的线变形。、线应变：单位长度的线变形。一、拉压杆的变形及应变一、拉压杆的变形及应变LLL1d 拉压杆的变形拉压杆的变形(deformation) (deformation) 弹性定律弹性定律abcdxL4 4、x点处的纵向线应变：点处的纵向线应变：xxxdlim 06 6、x点处的横向线应变：点处的横向线应变：5

2、5、杆的横向变形：、杆的横向变形：accaacacacPP d ac bxxdL1二、拉压杆的弹性定律二、拉压杆的弹性定律APLL dEANLEAPLLd1 1、等内力拉压杆的弹性定律、等内力拉压杆的弹性定律2 2、变内力拉压杆的弹性定律、变内力拉压杆的弹性定律)(d)()d(xEAxxNxLLxEAxxNxL)(d)( )d(dniiiiiAELNL1d内力在内力在n段中分别为常量时段中分别为常量时“EA”称为杆的抗拉压刚度。称为杆的抗拉压刚度。PPN（x）xd xN(x)dxx 1)()(1)d(ExAxNEdxx3 3、单向应力状态下的弹性定律、单向应力状态下的弹性定律 1:E即4 4、

3、泊松比（或横向变形系数）、泊松比（或横向变形系数） :或三、是谁首先提出弹性定律三、是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。“”胡：请问， 弛其弦，以绳缓援之是什么意思? 郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓的两端，然后加重物，测量。 胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。 东汉经学家郑玄(127200)对考工记弓人中“量其力，有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，

4、引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。” (图) 郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说：郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三尺。 其中”“两萧 就是指弓的两端。一条“胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一个意思。您比我早1500中就记录下这种正比关系，的确了不起，和推测一文中早就推崇过贵国的古代文化： 目前我们还只是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般地

5、加以描述的知识王国”。1686年关于中国文字和语言的研究真是令人佩服之至我在C1、怎样画小变形放大图？变形图严格画法，图中弧线；求各杆的变形量Li ，如图；变形图近似画法，图中弧之切线。例例1 小变形放大图与位移的求法。ABCL1L2P1L2LC2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系ABCL1L21L2LBuBvB1LuB解：变形图如图2， B点位移至B点，由图知：sinctg21LLvB060sin6 . 12 . 18 . 060sinooATPTmkN55.113/PTMPa1511036.7655.119AT例例2 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦

6、的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。解：方法1：小变形放大图法 1）求钢索内力：以ABCD为对象2) 钢索的应力和伸长分别为：800400400DCPAB60 60PABCDTTYAXAmm36. 1m17736.766 . 155.11EATLLCPAB60 60800400400DAB60 60DBD12CC3）变形图如左图 , C点的垂直位移为：260sin60sin 221DDBBLCmm79. 060sin236. 160sin2oL 拉压杆的弹性应变能拉压杆的弹性应变能 (strain energy)(strain energ

7、y)一一、弹性应变能：弹性应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存 与杆内，这种能成为应变能（Strain EnergyStrain Energy）用“U”表示。二、二、 拉压杆的应变能计算：拉压杆的应变能计算： 不计能量损耗时，外力功等于应变能。) d)(d (xEAxNx xxNWUd)(21ddxEAxNUd2)(d2LxEAxNUd2)( 2niiiiiAELNU122内力为分段常量时N（x）xd xN(x)dxx三、三、 拉压杆的比能拉压杆的比能 u：(strain-energy density)(strain-energy density) 单位体积内的应变能。21dd)(

8、21ddxAxxNVUuN（x）xd xN(x)dxxdxxxddN(x)N(x)xd)(xNkN55.113/PT解：方法2：能量法： （外力功等于变形能） （1）求钢索内力：以ABD为对象：060sin6 . 12 . 18 . 060sinooATPTm例例3 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。800400400CPAB60 60PABCDTTYAXAEALTPC222mm79. 0 36.76177206 . 155.11 22PEALTCMPa1511036.

9、7655.119AT（2) 钢索的应力为：（3) C点位移为：800400400CPAB60 60能量法能量法：利用应变能的概念解决与结构物：利用应变能的概念解决与结构物或构件的弹性变形有关的问题，这种方法或构件的弹性变形有关的问题，这种方法称为能量法。称为能量法。 拉压超静定问题及其处理方法拉压超静定问题及其处理方法1、超静定问题、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力 （外力、内力、应力）的问题。一、超静定问题及其处理方法一、超静定问题及其处理方法2、超静定的处理方法、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理 方程相结合，进行求解。例例4 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知

10、：各杆长为：L1=L2、 L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。CPABD123解：、平衡方程:0sinsin21NNX0coscos321PNNNYPAN1N3N211111AELNL 33333AELNL几何方程变形协调方程：物理方程弹性定律：补充方程：由几何方程和物理方程得。解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:cos31LLcos33331111AELNAELN333113333331121121cos2 ; cos2cosAEAEPAENAEAEPAENNCABD123A11L2L3L平衡方程；几何方程

11、变形协调方程；物理方程弹性定律；补充方程：由几何方程和物理方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。3、超静定问题的方法步骤：、超静定问题的方法步骤：例例5 5 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为1=160M Pa和2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。0421PNNY21LL2222211111LAELNAELNL几何方程物理方程及补充方程：解：平衡方程:PPy4N1N2PPy4N1N2 解平衡方程和补充方程，得:PNPN72. 0 ; 07. 021 11107. 0APN求结构的许可载荷： 方法1:

12、角钢面积由型钢表查得角钢面积由型钢表查得: : A1 1=3.086=3.086cm222272. 0APN kN104272. 0/1225072. 0/2222AP kN4 .70507. 0/1606 .30807. 0/111AP mm8 . 0/111ELmm2 . 1/222EL所以在所以在1 1= =2 2 的前提下，角钢将先达到极限状态，的前提下，角钢将先达到极限状态， 即角钢决定最大载荷。即角钢决定最大载荷。求结构的许可载荷： 07. 0 07. 0111ANPkN4 .70507. 06 .308160另外：若将钢的面积增大另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？倍，怎样？ 若将

13、木的面积变为若将木的面积变为25mm，又又怎样？怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着结构的最大载荷永远由钢控制着。方法2:、几何方程解：、平衡方程:2、静不定问题存在装配应力静不定问题存在装配应力。0sinsin21NNX0coscos321NNNY13cos)(LL二、装配应力二、装配应力预应力预应力1、静定问题无装配应力。、静定问题无装配应力。 如图，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。ABC12ABC12DA13cos)(33331111AELNAELN、物理方程及补充方程： 、解平衡方程和补充方程，得: / cos21cos33113211321AEAEAELNN / cos21cos

14、23311331133AEAEAELNA1N1N2N3AA13L2L1L1 1、静定问题无温度应力。、静定问题无温度应力。三三 、装配温度、装配温度 如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为i ; T= T2 -T1)ABC12CABD123A11L2L3L2 2、静不定问题存在温度应力。、静不定问题存在温度应力。CABD123A11L2L3L、几何方程解：、平衡方程:0sinsin21NNX0coscos321NNNYcos31LLiiiiiiiLTAELNL、物理方程：PAN1N3N2CABD123A11L2L3L、补充方程

15、cos)(333333111111LTAELNLTAELN解平衡方程和补充方程，得: / cos21)cos(331132311121AEAETAENN / cos21cos)cos(233113231113AEAETAEN aaaaN1N2例例6 如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5 时被固定,杆的上下两段的面积分别 =cm2 ， =cm2，当温度升至T2 =25时,求各杆的温度应力。 (线膨胀系数 =12.5 ； 弹性模量E=200GPa)C1106、几何方程：解：、平衡方程：021NNY0NTLLL、物理方程解平衡方程和补充方程，得:kN 3 .3321 NN、补充方程2211 ; 2EA

16、aNEAaNLTaLNT22112EANEANT、温度应力MPa 7 .66111ANMPa 3 .33222AN35 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式pGITx dd 知：长为长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为值不变）若 ( d d0TGITlxGITplp二、单位扭转角二、单位扭转角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、刚度条件三、刚度条件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗

17、扭刚度截面的抗扭刚度。 称为许用单位扭转角。刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷： max max GT Ip max pGIT 有时，还可依据此条件进行选材。 例例77长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD314max 116）（TD40NmxT代入数值得：D 0.0226m。 由扭转刚度条件校核刚度180

18、maxmaxPGIT40NmxT180maxmaxPGIT 8911108018040324429.)(D右端面转角为：弧度）( 0330 4102040202200.)xx(GIdxGIxdxGITPPLP 例例88 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得： 500400N1N3

19、N2ACBTx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m16 31TdWt mm4671070143421016163632.Td 32 4 GTdIp mm801070143702416163631.Td由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm) mm47411080143180421032 3249242.GTd mm8411080143180702432 3249241 .GTd mm75 mm8521 d,d综上：全轴选同一直径时 mm851 dd 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此

20、时,轴的最大直径才 为 75mm。Tx 4.21(kNm)2.81436 等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 例例99长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。解解：杆的受力图如图示，

21、这是一次超静定问题。 平衡方程为：02BAmmm几何方程变形协调方程0BA 综合物理方程与几何方程，得补充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。mN 20Bm37 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能GdV)dx(dzdy)(dW212122121ddddGVWVUu一、一、 应变能与能密度应变能与能密度acddxb dy dzzxy单元体微功：单元体微功：应变比能：应变比能：二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1. 1. 应力的计算应力的计算=+ Q TtT

22、QWTAQmax近似值：3238124162dDPDddPdPDPQT2. . 弹簧丝的强度条件弹簧丝的强度条件: : 83dDPKmax精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）33max8861504414dDPKdDPC.CC其中：dDC C.CCK61504414称为弹簧指数。称为曲度系数。3. .位移的计算位移的计算( (能量法）能量法）为弹簧常数。 64 ; 64 ; 3443nRGdKKPGdnPRUWPW21 外力功：变形能：ALITGVUUpVVVd21d21d2ppGIPRRnLITG222122 例例1010 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径

23、为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？解：最大剪应力的近似值：MPa3290180500125081125218 81233max.)(dDP)Dd(最大剪应力的精确值：09161504414 ; 631518125 .C.CCK.dDCMPa233018050012508091833max.dDPK弹簧圈数： 6612505006410188266436434.PRGdn（圈）38 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆：非圆

24、截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。一一、自由扭转、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。二二、约束扭转：、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。三三、矩形杆横截面上的剪应力、矩形杆横截面上的剪应力: : hbh 1T max 注意！b1. 剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）2. 最大剪应力及单位扭转角max1 hbh 1T max 注意！b maxmaxtWT3 btW其中：4 bIt , tGIT其中：It相当极惯性矩

25、。hbtWWTt2maxmax :其中注意！注意！ 对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义：hbIGITtt3 : , 其中max131 ; ) 10 : (bh即对于狭长矩形查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。hbh 1T max 注意！b 例例11 11 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000Nm 的 作用 ，钢的G =80GPa ，=100M Pa，=1/m ，试校核 此杆的强度和刚度。解：查表求 、校核强度0.493 ; 0.457 ; 250100bh m1066105049

26、30 3633.btW校核刚度 MPa65106614000 6maxmax.WTt4844m102840504570 .bIt /m1rad/m0174501028610804000 o89.GITt综上,此杆满足强度和刚度要求。概述概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分求梁的挠度与转角的共轭梁法求梁的挠度与转角的共轭梁法按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角梁的刚度校核梁的刚度校核弯弯 曲曲 变变 形形 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能简单超静定简单超静定梁的求解方法梁的求解方法梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能概概 述述研究范围：等直梁在对称弯曲时位

27、移的计算。研究目的：对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。 与 f 同向为正，反之为负。2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，顺时针转动为正，反之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为：其方程为： v =f (x)三、转角与挠曲线的关系：三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量一、度量梁变形的两个基本位移量 (1) ddtgfxf小变形小变形PxvC C1f 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分

28、方程及其积分zzEIxM)(1一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程zzEIxMxf)()( 式（2）就是挠曲线近似微分方程。EIxMxf)()( （2）)( )1 ()(1232xffxf 小变形小变形fxM00)( xffxM00)( xf)()(xMxfEI 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、求挠曲线方程（弹性曲线）二、求挠曲线方程（弹性曲线）)()(xMxfEI 1d)()(CxxMxfEI21d)d)()(CxCxxxMxEIf 1.微分方程的积分2.位移边界条件PABCPD讨论： 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 可应用于求解承受各种载

29、荷的等截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。支点位移条件：连续条件：光滑条件：0Af0Bf0Df0DCCffCC右左或写成CC右左或写成CCff例例1 1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程)()(LxPxM写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数)()(xLPxMfEI 12)(21CxLPfEI213)(61CxCxLPEIf061)0(23CPLEIf021)0()0(12CPLfEIEI322161 ; 21PLCPLC解：PLxf写

30、出弹性曲线方程并画出曲线3233)(6)(LxLxLEIPxfEIPLLff3)(3maxEIPLL2)(2max最大挠度及最大转角xfPL解：建立坐标系并写出弯矩方程)( 0)0( )()(LxaaxaxPxM写出微分方程的积分并积分112)(21DCxaPfEI21213)(61DxDCxCxaPEIf )( 0)0( )(LxaaxxaPfEIxfPLa应用位移边界条件求积分常数061)0(23CPaEIf021)0(12CPaEI32221161 ; 21PaDCPaDC)()(afaf)()(aa11DC 2121DaDCaCPLaxf写出弹性曲线方程并画出曲线)(a 36)0( 3

31、)(6)(32323Lx axaEIPax axaxaEIPxfaLEIPaLff36)(2maxEIPaa2)(2max最大挠度及最大转角PLaxf 求梁的挠度与转角的共轭梁法求梁的挠度与转角的共轭梁法)()(:梁的挠曲线微分方程xMxfEI 一、方法的用途：求一、方法的用途：求梁上指定点的挠度与转角。梁上指定点的挠度与转角。二、方法的理论基础：相似比拟。二、方法的理论基础：相似比拟。)()(:为梁的外载与内力的关系xqxM 上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求弯矩与剪力的问题。三、共轭梁（实梁与虚梁的关系）：三、共轭梁（实

32、梁与虚梁的关系）：x轴指向及坐标原点完全相同。几何形状完全相同。实梁对应方程：)()(xMxfEI )()(xqxM )()( xMxfEI 虚梁“力”微分方程的积分00d)()()(QxxqxMxQx0000d)d)()(MxQxxxqxMxx 载荷。依此建立虚梁上的分布令：)()( xMxq)()(xqxM 虚梁对应方程：)()( xMxEIf下脚标带“0”的量均为坐标原点的量。实梁“位移”微分方程的积分)()(xMxfEI 00)()(EIdxxMxfEIEIx0000d)d)()(EIfxEIxxxMxEIfxx )()( xQxEI依实梁的“位移”边界条件建立虚梁的“力”边界条件。A

33、AAAQEIMEIf ; 中间铰中间铰支座支座A 虚虚虚虚 梁梁梁梁 实实实实 梁梁梁梁 共共 轭轭 梁梁支支 承承 和和 端端 部部 情情 况况 位位移移边边界界相相应应的的支支承承和和端端部部情情况况 力力边边界界0Af0A0Af0A右左AA右左AAff右左AAMM右左AAQQ固定端固定端AA0 AM0 AQ0 AM0 AQ0 AM0 AQ0Af0A0右左AA0Af0右左AAQQ0 AM固定端固定端AA自由端自由端AA自由端自由端AA铰支端铰支端AA铰支端铰支端AA中间铰中间铰支座支座A中间铰中间铰A中间铰中间铰A总结：等截面实梁与虚梁的关系如下：总结：等截面实梁与虚梁的关系如下： x 轴

34、指向及坐标原点完全相同。 几何形状完全相同。依实梁的“位移”边界条件，建立虚梁的“力”边界条件。AAAAQEIMEIf ; EIQEIMfxxxx ; 依虚梁的“内力”，求实梁的“位移”。a ：固定端 自由端b ：铰支座 铰支座c ：中间铰支座 中间铰链载荷。依此建立虚梁上的分布令：)()( xMxq解： 建立坐标和虚梁例例2 2 求下列等截面直梁B点的位移（挠度和转角）。求虚梁B点的剪力和弯矩，以求实梁B点的转角和挠度求实梁的弯矩方程 以确定虚梁荷载2)(2q)( xLxM2)(2q)( )( xLxMxqqLABfx220qLq )(xqABL求虚梁B点的剪力和弯矩，以求实梁B点的转角和挠

35、度30LqQEIBB8434qLLAMEIfqBBEIqLB63EIqLfB84面积)的(点左侧xqBQB220qLq )(xqABL面积对)的(点左侧xqBBMB点之矩 解： 建立坐标和虚梁求虚梁B点的剪力和弯矩求实梁的弯矩方程以确定虚梁荷载) )( M(xxq2 ; 2qaRqaRDAqqa2qaABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8+aaafxD求虚梁B点的剪力和弯矩 72133qaRA3237252217213qaaqaqaBQC点左右位移怎样？点左右位移怎样？42372732217213qaaaqaaqaBMEIqaB7253EIqafB7274qa2/2xMqa2/

36、2qa2/23qa2/8+ABCaaaDqa2/23qa2/8将截面的变化折算到弯矩之中去。几何形状：长度不变，惯性矩变为I0 。实梁对应方程：虚梁对应方程：)()(0 xMxfEI )()(xqxM 四、变截面直梁的共轭梁法：四、变截面直梁的共轭梁法：000)()()()(EIxMIIxEIxMxf )()(0 xMxfEI )()()(0 xIIxMxM其它与等截面直梁完全相同。载荷。依此建立虚梁上的分布令：)()( xMxq例例3 3 求下列变截面直梁C点的位移，已知：IDE =2IEB =2IAD 。解： 建立坐标和虚梁) )( (xMxqADADADxMxIIxMxM)()()()(

37、02)()()(DEDEADDEDExMIIxMxMaaP0.5aABCDExfxM2Pa4Pa4Pa4PaM)(xq4Pa4Pa4PaaaP0.5aABCDExfxM2Pa4Pa4Pa4PaM)(xq4Pa4Pa4Pa求虚梁C点的剪力和弯矩 3252PaRA0CQ332362821428PaaaPaaaPa0CADCEIPaf32333224213252aaPaaPaCM按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。)()()()(221121nnnPPPPPP )()()(

38、)(221121nnnPfPfPfPPPf 二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形式叠加（逐段刚化法）：例例4 4 按叠加原理求A点转角和C点 挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。EIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB CaaEIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa叠加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC624534例例5 按叠加原理求C点挠度。解：载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。叠加EI

39、bLbPfdPC48)43()d(32bLbqxxqPd2d)(d0bEIbLqbd24)43(322dPCqCffEIqLbEILbLqbL240d24)43(45.00322q00.5L0.5LxdxbxfC例例6 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxf21ffffPL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCMxf梁的刚度校核梁的刚度校核)100012501( :对土建工程( maxLfLfLf max一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件其中称为许用转角；f/L称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度

40、计算：、校核刚度：、设计截面尺寸；、设计载荷。LfLfmax max(但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例例7 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的f/L=0.00001,B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3EIaLPafBC162111EILPB16211EILaPEIMLB3323EILaPafB

41、C32233解：结构变换，查表求简单 载荷变形。02BEIaPfC3322PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfP2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfEILaPEIaPEIaLPfC3316223221EILaPEILPB316221叠加求复杂载荷下的变形48124444m10188 10)4080(6414. 3 )(64dDIm1019. 533166223221EILaPEIaPEIaLPfC)(10423

42、. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaPEILPB 001.010423.04maxLfLfmaxm10m1019.556maxff校核刚度dxxQQ+dQMM+dM一、弯曲应变能的计算：一、弯曲应变能的计算： 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能EIxM)(1d)(21ddxMWUxEIxMUd2)(d2LxEIxMUd2)( 2xdd 应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去ddMdM(x)P1MxfP2dxd 例例8 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。CPfW21解：外力功等于应变能LxEIxMUd2)( 2)0( ; 2)(axxPxM在应用对称性

43、，得：EIaPxxPEIUa12d)2(2123202EIPafUWC63思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？Paaqxf二、二、 梁的冲击问题梁的冲击问题1.1.假设：假设：冲击物为钢体； 不计被冲击物的重力势能和动能； 冲击物不反弹； 不计声、光、热等能量损耗（能 量守恒）。0)(21冲击前2111dfhmgmvUVT mgLhABCABCxffd222222)(21)(21)(212100冲击后djdjjdddffmgffPfkfPUVT冲击前、后，能量守恒，所以：ABCxffd22)(2)(21djdffmgfhmgmvjdjjfKffhgvf)2)(11 (2djjddfhgvf

44、fK2)2(11:动荷系数jfhdK211:)1(自由落体2:)2(dK突然荷载hBACmgE=P三、动响应计算：三、动响应计算：解：求C点静挠度2211;2PACjRCCAAf例例9 结构如图，AB=DE=L，A、C 分别为 AB 和 DE 的中点，求梁在重物 mg 的冲击下，C 面的动应力。ABDEAEIPLEILR964833EIPL19253C1A1 DEIEIEIDEABLC2动荷系数36411 211PLEIhfhdKCj求C面的动应力zzCdCjdCdWPLPLEIhWMKK4)6411(3maxmaxhBACmgE=PC1A1DEIEIEIDEABLC2简单超静定简单超静定梁的

45、求解方法梁的求解方法1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。解：建立静定基 确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构静定基。=EIq0LABLq0MABAq0LRBABxf几何方程变形协调方程0BBRBqBfff+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程变形与力的关系补充方程EILRfEIqLfBBRBqB3;83403834EILREIqLB83qLRB求解其它问题（反力、应力、 变形等）几何方程 变形协调方程：解：建立静定基BCBRBqBLfffB=例例10 结构如图，求B点反力。LBCEAxfq0LRBABCq0LRBABEI=RBAB+q0AB=LBCEAxfq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程变形与力的关系补充方程求解其它问题（反力、应力、 变形等）EILRfEIqLfBBRBqB3; 83