寒假作业4答案

1、江苏省通州高级中学2014-2015学年度第一学期高二数学寒假作业四命题：高二数学备课组审核：严东来【答案】10.方程一.填空题:2； 75 .2 2+- =1表示椭圆，贝y k的取值范围是k-3 k+3k > 31. 直线3x +4y -5 =0到直线3x +4y +15 =0的距离是【答案】42. 把命题“玉0忘R,X0 -2x0 +1 <0 ”的否定写在横线上 【答案】Vx R,X2 2x+1 3 0r2x + y-4<0必>03 .若实数x、y满足不等式组ly-0【答案】11. 设抛物线y2=8x，过焦点F的直线交抛物线于 A,B两点，线段贝片AB =.【答案】

2、812. 若圆（x-2a）2 + （y-a-3）2 = 4上总存在两个点到原点的距离为AB的中点的横坐标为2 ,1，则实数a的取值范围是，贝yx+2的取值范围为< 6 厂才0 IV 5丿13斗在平面直角坐标系中，设直线l : kx y + J2 = 0与圆C： x2+ y2= 4相交于 A B两点,【答案】6 .已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为错误.（从“大前提”、“小前提”、“结【答案订0L 2OM =OA+OB，若点M在圆C上，则实数k=.a b圆O的两条切线，2 .2 亠+ b2ON【答案】H-,2【答案】 24. 已知直线I : x y + 4 = 0与圆C:（X 1）2 +

3、 （y 1）2= 2,则圆C上各点到I距离的最小值为 ，最大值为.【答案】近3 J25. 在平面直角坐标系 xOy中，设过原点的直线 l与圆C:（X 3）2 + （y 1）2= 4交于M N两点, 若|MN| >2 船, 则直线l的斜率k的取值范围为 .3【答案】0 ,423，圆心角为一兀的扇形，则此圆锥的体积3【答案】座兀37.已知直线 m , I和平面a, P,且丨丄a, mu P，给出下列四个命题：a /P =丨丄ma丄P =l/ml/m=a丄P丨丄m =a/P其中真命题的有（请填写全部正确命题的序号）【答案】 8 .有一段演绎推理：大前提：整数是自然数； 小前提：-3是整数； 结

4、论：-3是自然数.这个推理显然错误，则错误的原因是 论”中择一填写）.【答案】大前提29.双曲线X2 -占=1（b >0）的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b =_；此双曲线的离心率b2 2 2+ y =b ,过椭圆上任一与顶点不重合的点P引切点分别为A,B ,直线AB与x轴,y轴分别交于点M,N ,则OM2ab2二解答题：15.设命题P: (4x 3)2w 1;命题q: X2(2a + 1)x + a(a + 1) < 0,若P是q的必要不充分条 件，求实数a的取值范围.1"2.试题解析：.解：设 A =x I (4x 3)2 < 1,2B =x |x (2a+1

5、)x + a(a+1)<0,易知 A=x|-<x <1,B= x|a <x <a+1.6 分由P是F的必要不充分条件，从而P是q的充分不必要条件，即 A匸B， 1la <丄1<2 = 0 乞a 兰一(10分)a+1312故所求实数a的取值范围是0-112 分L 216.如图，在正三棱柱 ABC -A,B1C1中，E , F分别为BB1, AC的中点.(1) 求证：BF/平面AEC ；(2) 求证：平面 AiEC丄平面ACCiA .(1) 求证：ABM 面 A1O1D ;2 BE(2) 若AB = AA，试问在线段BB1 上是否存在点E使得AC丄AE ,

6、若存在求出 ，若不3存在，说明理由.试题解析：(1)证明：连结AD1交AD于点G，所以G为AD1的中点，连结 OGT在i AB1 D1中，O1为B1D1的中点”".O1G / AB14分T QGu 面 AO1D 且面 AO1D”".AB1 / 面 A1O1D7 分DiCiBB1= 1.二 OF/CCi且0F = CG ,24分二 BF /平面 AjEC. 7 分所以BF丄AC，所以OE丄AC ,9AiC分NBAM + NABM =90°,NBAM + N BEA =90°NBAE =NAA1B12 分试题解析：(1)连ACi交AC于点0 , T F为AC

7、中点,E 为 BB1 中点，二 BE/CG且BE=2cG ,二BE/OF且BE=OF，二四边形BEOF是平行四边形，二 BF /OE，又 BF 平面 A1EC , OE U平面 AjEC ,(2)由(1 )知 BF /OE，丁 AB =CB , F 为 AC 中点，分又因为AA1丄底面ABC，而BF U底面ABC，所以AA,丄BC , 则由BF / /OE，得OE丄AA，而AA1, AC匚平面ACC1A1，且从门AC =A , 所以OE丄面ACC1A1 ,12分又OE U平面A1 EC，所以平面 A EC丄平面ACC1A1 .14分17 .已知长方体 ABCD -A,B1C1D1，点O为B1D

8、1的中点.AB(2)若在线段BB1上存在点E得AC丄AE ,连结AB交AE于点M'/ BC 丄面 ABB1A 且 AE U 面 ABBjA,/. BC 丄 AE又 ACD BC =C 且 AC,BCU 面 ABC二 AE 丄面 A1BCf ABU 面 A BC”AE 丄 A1B10在AAMB和也ABE中有：NABM =NBEA 同理：/. RQABEL RA1 ABBE AB AB _ AA1V AB =三 AA32 4BEBE = AB = BB,即在线段BB1上存在点E有3 9BB1-14分91-2- kpC = 1，即=1 , a = 2 .C / a、0 - (二)(2) 由(

9、1)知圆 C 的方程为(x + 1)2+(y-2)2 = 4，圆心 C(1,2)，半径 r = 2, 又直线AB的方程是x-y + 1 = 0,圆心C到直线AB的距离dj =匕二2LU =, | AB卜2j = 2J2 .J12 +12当EC丄AB时， ABE面积最大，Smax=Jx对2咒(2 + J2) = 2 +对2 .2(3) MN 丄 CN , |MN |2=|MC |2-4 , 又 |MN |=|MP |,.| MP |2=|MC |2 -4 .设 M (x,y)，则有 X2 + (y 1)2 = (x + 1)2+ (y 2)2 4，整理得 y= x，即点 M 在 y= x上, |

10、o-1|_72 I MN I的最小值即为I MP I的最小值d2 -n,都能使m整除f(n)，猜测出最大的18. 已知f(n)=(2n+7)3+9,存在自然数 m,使得对任意正整数m的值。并用数学归纳法证明你的猜测是正确的。【解析】本试题主要考查了归纳猜想的运用，以及数学归纳法的证明。 f(1)=36,f(2)=108=3 X 36,f(3)=360=10 X 36 f(1),f(2),f(3) 能被36整除，猜想f(n)能被36整除然后证明n=1,2时，由上得证，设 n=k(k > 2)时，kf(k)=(2k+7) 3 +9 能被 36 整除，则 n=k+1 时，k+1kf(k+1)

11、f(k)=(2k+9) 3 (2k+7) 3 =(6k+27)kk 2=(4k+20) 3 =36(k+5) 3 (k>2) 证明得到。36 f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除证明 n=1,2时，由上得证，设n=k(k > 2)时，f(k)=(2k+7) 3k+9 能被 36 整除，则 n=k+1 时， f(k+1) f(k)=(2k+9) 3k+1 (2k+7) 3k=(6k+27) 3k (2k+7) 3kkk 2=(4k+20) 3 =36(k+5) 3 (k > 2)f(k+1)能被 36 整除/ f(1)不能被大于36的数整除，.所求

12、最大的m值等于3619. 已知圆C : X2 +y2 +ax 4y +1 =0 ( R),过定点P(0,1)作斜率为1的直线交圆C于A、B 两点，P为线段AB的中点.(1) 求a的值；(2) 设E为圆C上异于A、B的一点，(3) 从圆外一点 M向圆C引一条切线，并求| MN |取最小值时点 M的坐标-a试题解析：(1)由题知圆心C (-,2),2 3k (2k+7) 3k解析 / f(1)=36,f(2)=108=3 X 36,f(3)=360=10 X求 ABE面积的最大值；切点为 N，且有| MN |=| MP | ,求| MN |的最小值,又P(0,1)为线段AB的中点， CP丄AB ,

13、lx-y = 0, 由Jt 22,x +(y-1)丨_ 1!2,1 112-梟.2 2y2 七=1(a>b>0 , a、 b2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A、B、C D四点.=(纽解辱满足条件的M20.如图，椭圆点坐标为b为常数)，动圆Ci： x2 2 2+ y = t1 , b<t 1<a.点 A1、A求直线设动圆(1)与矩形A'AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；2 2 2G : X+ y= t2 与 O 相交于 A，B，C, D 四点,B' C D'的面积相等，证明：t12+t|为定值.y1)，又知 A( a, 0),【解析】(

14、1)解：设A(X1, y” , B(X1,*其中b<t2<a, t* t2.若矩形 ABCDA2(a ,(x + a)，直线AB的方程为y=沧0),则直线AA的方程为y =X汁a_ 2由得y2(X 2 a2).由点A(X1, y1)在椭圆G上，故 电x1 - aa(x a). 为一 a2 2b2/ 2 、L Xi1 2I a丿证明：设A(X2, y2),由矩形ABCD与矩形A'从而yl = b22 2，代入得 笃-占=1(X< a, y<0).a b故xi2y' xfyl.因为点A A'均在椭圆上，所以B' C D 的面积相等，得 4|x

15、 1|y 1| = 4|x 2|y 2| , b2/卓I a丿t； +t； = a2+ b2 为定值=b2 2X；、=b X2 i 1 -一22V a丿.由t 1丰t 2，知X1丰X2，所以x； +x2 = a,从而yf+y； = b，因此21.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，B1B 丄平面 AB1C1 , AC=CB=CC1=2，乙ACB=90r , D , E分别是A1B1 , CG的中点.又GW平面ABE , EM U 平面 A1BE ,所以G D /平面A| BE .4 分证明：(n)因为acf-GB，且D是ab1的中点， 所以GD丄ABi 因为BB1丄平面AiBG所以BBi丄GD(I)求证：GD /平面ABE ；(n)求证：平面 ABE丄平面AA,B,B ；(川)求直线BG与平面ABE所成角的正弦值. 试题解析：证明：(I)于点M，可知M为DF中点,所以GD丄平面aABB .又C1D / EM，所以EM丄平面AB1B .又EM U平面ABE ,所以平面A| BE丄平面AA| Bl B .9分解：(川)如图建立空间直角坐标系C-xyz,则 B(0,2,0)C1(0,0, 2) |E(0,0,1) , A(2,0, 2)当 ， TT