第六章直线、平面的相对位置

1、相对位置包括相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行包括包括 直线与平面平行直线与平面平行定理：定理： 若一直线平行于平面上的某一直若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。线，则该直线与此平面必相互平行。n a c b m abcmn例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？正平线正平线例例2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面和平 面面ABC。c b a m abcmn唯一解唯一解n fgfgbaabcededc

2、结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面 若一平面上的若一平面上的两相交直两相交直线线对应平行于另一平面上对应平行于另一平面上的的两相交直线两相交直线，则这两平，则这两平面相互平行。面相互平行。 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相相互平行，则它们互平行，则它们具有积聚具有积聚性性的那组投影必相互平行。的那组投影必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef例题例题1 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行例题例题2 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线A

3、B和和CD给定。给定。试过点试过点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrddcaacbbkk直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。判别可见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况位置的情况。abcmnc n b a m 平面为

4、特殊位置平面为特殊位置例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，其是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该水平投影积聚成一条直线，该直线与直线与mn的交点即为的交点即为K点的水点的水平投影。平投影。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段段在平面前，故正面投影上在平面前，故正面投影上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1 (2 )作作 图图k21km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投

5、影分析空间及投影分析 直线直线MN为铅垂线，其水平为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点投影积聚成一个点，故交点K的的水平投影也积聚在该点上。水平投影也积聚在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在前；点位于平面上，在前；点位位于于MN上，在后。故上，在后。故k 2 为不可见。为不可见。1 (2 )k 21作图作图用面上取点用面上取点法法 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平面的交线是两平面的共有线，共有线，同时同时交线上的点都是两平面的共有点。交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求两平面的两平面的交线交线方法：方法：

6、确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。 确定确定一个共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。 只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。的情况。 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。判别可见性。可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f db e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都为都为正正垂面垂面，它们的正面投影都积，它们的正面投影都积聚成直线。聚成直线。交线必为一条正交线必为一条正垂线垂线，只要求得交线上的一只要求得交线

7、上的一个点便可作出交线的投影。个点便可作出交线的投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在上，在上，其水平投影可见。其水平投影可见。nm能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线MN并判别可见性。并判别可见性。b c f h a e abcefh1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFH是一水平面，它是一水平面，它的正面投影有积聚性。的正面投影有积聚性。a b 与与e f 的交点的交点m 、 b c 与与f h 的交的交点点n 即为两

8、个共有点的正面投即为两个共有点的正面投影，故影，故m n 即即MN的正面投影的正面投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在FH上，点上，点在在BC上，上，点点在上，点在上，点在下，故在下，故fh可见，可见，n2不可见。不可见。作作 图图mn 2 nm 1 c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位位于于def的外面，说明点的外面，说明点N位于位于DEF所确定的平面所确定的平面内，但不位于内，但不位于DEF这个这个图形内。图形内。 所以所以ABC和和DEF的的交线应为交线应为MK。nn m kmk 互交互交 重重点点掌掌握握二、如何在平面上确

9、定直线和点。二、如何在平面上确定直线和点。三、两平面平行的条件一定是分别位于两平三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的面内的两组相交直线对应平行。两组相交直线对应平行。四、直线与平面的交点及平面与平面的交线四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是两者的共有点或共有线。是两者的共有点或共有线。解题思路：解题思路：空间及投影分析空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。目的是找出交点或交线的已知投影。判别可见性判别可见性尤其是尤其是如何利用重影点判别。如何利用重影点判别。一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平尤其是特殊位置平面的投影特性。面的投影特性。一、各种位置平面

10、的投影特性一、各种位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形三个投影为边数相等的类似多边形类似性类似性。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性积聚性。另外两个投影类似。另外两个投影类似。在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性实形性。另外两个投影积聚为直线。另外两个投影积聚为直线。 二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线 平面上的点平面上的点一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上 平面上的直线平面上的直线 过平面上的两个点。过

11、平面上的两个点。 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。三、平行问题三、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。直线平行于平面内的一条直线。 两平面平行两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一于另一个平面上的一对相交直线。个平面上的一对相交直线。四、相交问题四、相交问题 求直线与平面的交点的方法求直线与平面的交点的方法 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性直接求解。性和平面的积聚性直接求解。

12、 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。 求两平面的交线的方法求两平面的交线的方法 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。的投影。 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共面的积聚性找出两平面的两个共 有点，

13、求出交线。有点，求出交线。特殊位置线面相交特殊位置线面相交 特殊位置线面相交，其交点的投影可利用直线或平面的特殊位置线面相交，其交点的投影可利用直线或平面的积积聚性投影聚性投影直接求出。直接求出。 （l l）当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，）当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。可在直线的另一个投影上找到。 （2 2）当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位置时，）当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位置时，交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上找点的方法在平面的另一个投影上得到。在平面上找点的方法在平面的另一个投影上得到。bbaaccmmnn直线与直线与特殊位置特殊位置平面相交平面相交由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。VHPHPABCacbkNKMkk判断直线的可见性判断直线的可见性VHPHPABCacbkNKMbbaaccmmnkkn 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性