第四章傅里叶变换和系统的频域分析

1、经理拿来了一个小的电子设备，接到示波器上面，对张三说: 看，这个小设备产生的波形根本没法用一个简单的函数来说明，而且，它连续不断的发出信号！不过幸好，这个连续信号是每隔一段时间就重复一次的。张三，你来测试以下，连到我们的设备上，会产生什么输出波形！ 张三摆摆手:输入信号是无限时长的，难道我要测试无限长的时间才能得到一个稳定的，重复的波形输出吗?经理怒了:反正你给我搞定，否则炒鱿鱼！ 张三心想:这次输入信号连公式都给出出来，一个很混乱的波形；时间又是无限长的，卷积也不行了，怎么办呢? 及时地，上帝又出现了:把混乱的时间域信号映射到另外一个数学域上面，计算完成以后再映射回来 宇宙的每一个原子都在旋

2、转和震荡，你可以把时间信号看成若干个震荡叠加的效果，也就是若干个可以确定的，有固定频率特性的东西。 我给你一个数学函数f，时间域无限的输入信号在f域有限的。时间域波形混乱的输入信号在f域是整齐的容易看清楚的。这样你就可以计算了 同时，时间域的卷积在f域是简单的相乘关系，我可以证明给你看看 计算完有限的程序以后，取f(-1)反变换回时间域，你就得到了一个输出波形，剩下的就是你的数学计算了！ 张三谢过了上帝，保住了他的工作。后来他知道了，f域的变换有一个名字，叫做傅利叶，什么什么. 再后来，公司开发了一种新的电子产品，输出信号是无限时间长度的。这次，张三开始学拉普拉斯了.Chapter4第四章 傅

3、里叶变换与系统的频域分析傅里叶变换与系统的频域分析本章要点本章要点信号表示为正交函数集信号表示为正交函数集周期信号的频谱周期信号的频谱傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换FFFFFFFFFFFFFFFF连续时间系统的频域分析连续时间系统的频域分析非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换取样定理取样定理周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数能量谱与功率谱能量谱与功率谱FF引言引言 时域分析时域分析：1）以）以冲激函数冲激函数为基本信号。为基本信号。2）任意输入信号可分解为一系列冲激函数。）任意输入信号可分解为一系列冲激函数。3）yzs(t) = h(t)

4、*f(t)。 频域分析频域分析：1）正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号。为基本信号。2）任意输入信号可分解为一系列）任意输入信号可分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号或的正弦信号或 虚指数信号之和。虚指数信号之和。 用于系统分析的独立变量是用于系统分析的独立变量是频率频率。故称为。故称为频域分析频域分析。 64.1 4.1 信号的正交分解信号的正交分解一一 矢量的正交分解矢量的正交分解正交矢量正交矢量：相互垂直的矢量：相互垂直的矢量若若V V1 、V V2为正交单位矢量为正交单位矢量 两矢量两矢量V1与与V2正交时的夹角为正交时的夹角为90。不难得到两。不难得到两正交矢

5、量的正交矢量的点积点积为零，为零， 即即 090cos2121VVVVoV2V190oVc2V2c1V1V1V2211)1)任意平面矢量任意平面矢量A:A: 可用二维维正交的分矢量组合表示可用二维维正交的分矢量组合表示2211VcVcV式中，式中，V1V2=0。 82)2)任意空间矢量任意空间矢量A:A: 可用三维正交的分矢量组合表示可用三维正交的分矢量组合表示 类似，我们在信号空间找到相互正交的基本信号，类似，我们在信号空间找到相互正交的基本信号，使信号空间中的任意信号均可表示为它们的线性组合。使信号空间中的任意信号均可表示为它们的线性组合。1 12233ACVC VC VAC1V1C2V2

6、C3V30 1, 2, 3iiiiA VCiVV其 中二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1. 定义：定义： 定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t),若满足若满足 210d)()(*21ttttt(两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t)和和 2(t) 在区间在区间(t1，t2)内内正交正交。 2. 正交函数集：正交函数集： 若若n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，当构成一个函数集，当这些函数在区间这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 21, 0, 0d)()(*ttijijiKjittt则称此函数集

7、为在区间则称此函数集为在区间(t1，t2)的的正交函数集正交函数集。 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数3. 完备正交函数集：完备正交函数集： 如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，不之外，不存在函数存在函数(t)(0）满足满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。210d)()(ttittt( i =1，2，n)这有两层意思：这有两层意思：1.如果如果(t)在区间内与在区间内与 i(t) 正交，则正交，则(t)必属于这个正交集。必属于这个正交集。2.若若(t)与与 i(t)正交，但正交，但 i(t) 中不包含中不包含(t) ，

8、则此集不完备。，则此集不完备。4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数例例: : 三角函数集三角函数集,sin,2sin,sin,cos,2cos,cos, 1tntttntt例例: :复指数函数集复指数函数集), 2, 1, 0(netjnTtnmTttdtntmtdtntm1111tt0sinsincoscos0tt2sincos111122nmTtTtTtdtntdtn为任意整数Ttnmtdtinntm11t,0scos4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数三、信号的正交分解三、信号的正交分解 设有设有n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间在区间(t1，t2)构

9、成构成一个正交函数空间。将任一函数一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个正交函数的线性组个正交函数的线性组合来近似，可表示为合来近似，可表示为 f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 如何选择各系数如何选择各系数Cj。使使f(t)与近似函数之间误差在区间与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小？内为最小？ 通常使误差的方均值通常使误差的方均值(称为称为均方误差均方误差)最小。均方误差为最小。均方误差为 ttCtfttttnjjjd )()(121211224.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数为使上式最小为使上式最小0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC展

10、开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为，写为 210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即即 21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系数所以系数212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC代入，得最小均方误差代入，得最小均方误差0d)(112212221njjjttKCttftt4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即时，所取得项数越多，即n越大，越大，则均方误差越小。则均方误

11、差越小。 当当n时（为完备正交函数集），均方误差为零。时（为完备正交函数集），均方误差为零。 12221d)(jjjttKCttf 帕斯瓦尔帕斯瓦尔(Parseval)公式公式，表明：，表明： 在区间在区间(t1 ,t2 )上上 f(t)所含能量所含能量恒等恒等于于f(t)在完备正交函数集中在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。分解的各正交分量能量的总和。 1)()(jjjtCtf函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和。可分解为无穷多项正交函数之和。4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、周期信号一、周期信号f(t)表示为付里叶级数表示为付里叶级数 由数学分析知，当周期信

12、号由数学分析知，当周期信号f(t)满足狄氏条件时，满足狄氏条件时，可展开为三角付里叶级数或复指数傅立叶级数。可展开为三角付里叶级数或复指数傅立叶级数。狄氏条件：狄氏条件：（1 1）在一周期内，间断点的数目有限；）在一周期内，间断点的数目有限；（2 2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；）在一周期内，极大、极小值的数目有限；（3 3）在一周期内，）在一周期内，dttfTtt11)( 电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当f(t)满足满足狄氏条件时，狄氏条件时， 才存在。才存在。nnba,4.2 傅里叶级数傅里叶级数设设f(t)是周期为是周期为T,角频率

13、角频率 =2 /T的函数的函数tnbtnaatfnnnsincos2)(10TttTttTttnTttTttTttntdtntfTtdtntdtntfbtdtntfTtdtntdtntfa111111111111sin)(2sinsin)(cos)(2coscos)(22 an 是是n的偶函数，的偶函数， bn是是n的奇函数。的奇函数。在均方误差最小的条件下4.2 傅里叶级数傅里叶级数1010)cos(2sincos2)(nnnnnntnAatnbtnaatf22nnnbaAnanbnnnnabtg1将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为 周期信号可分解为直流和许多余弦分量。周期

14、信号可分解为直流和许多余弦分量。a0/2为为直流分量直流分量； A1cos( t+ 1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，频率与原周期信号相同；，频率与原周期信号相同；A2cos(2 t+ 2)称为称为二次谐波二次谐波，频率是基波的，频率是基波的2倍；倍；Ancos(n t+ n)称为称为n次谐波次谐波。 An是是n的偶函数，的偶函数， n是是n的奇函数。的奇函数。an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2,4.2 傅里叶级数傅里叶级数18200sin)(40TttnntdtntfTba，的对称条件)(tf），纵轴对称（偶函数)()(tftf），半半周周镜镜像像（奇奇

15、谐谐函函数数)2()(Ttftf ），半周重叠（偶谐函数)()(2Ttftf，原点对称（奇函数）)()(tftf展开式中系数特点200cos)(40TttnntdtntfTab，和偶次谐波无奇次谐波，只有直流谐波分量无偶次谐波，只有奇次二、周期信号的对称性与付立叶系数的关系。二、周期信号的对称性与付立叶系数的关系。FFFF4.2 傅里叶级数傅里叶级数)()(tftf下形式在一个周期内可写为如022202tTtTETttTE0nbtf是偶函数，故)(EtdtTEtdtTETdttfTaTTTT)(02202202222.求其傅立叶展开式形如图所示，例、有一偶函数，其波)(tftTT2T2TE解解

16、:4.2 傅里叶级数傅里叶级数)()(1122nnE)()()(为偶数为奇数nnnE042tnnEEtfncos142)(5 , 3 , 122sin1sin8)2(cos242020220tdtnntnntTETtdtntTETaTTTn2/E24E294E2254E0135nA4.2 傅里叶级数傅里叶级数4T2TTtE)(tf00)23sin2(sin)2sin143sin14sin1(2)coscos(243240nnnETnnTnnTnnTEtdtnEtdtnETaTTTn求其傅立叶展开式波形如图所示，例、有一偶谐函数，其解解:4.2 傅里叶级数傅里叶级数、 21sin12)(2jtn

17、nEtfjn)cos1 ()cos23cos12(cos)sinsin(243240nnEnnnnEtdtnEtdtnETbTTTn为偶数为奇数nnEn20E02nA2E3E464.2 傅里叶级数傅里叶级数三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式 由于由于 cosx=(ejx + ejx)/2 1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA10)cos(2)(nnntnAAtf上式中第三项的上式中第三项的n用用n代换，代换，A n=An， n= n，则，则110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAAntjnjnnAt

18、fee21)(4.2 傅里叶级数傅里叶级数令复数令复数njnjnFFAnnee21傅里叶系数傅里叶系数)(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1TTtjnTTTTttfTttntfTjttntfTntjnnFtfe)(任意周期信号任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念周期信号的频谱周期信号的频谱： 周期信号中周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系

19、各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。单边谱：单边谱：双边谱：双边谱：|Fn|n 和和 nn 的关系。的关系。 若若Fn为实数，可直接画为实数，可直接画Fn 。频谱图：信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重。频谱图：信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重。ntjnnFtfe)(10)cos(2)(nnntnAAtf相位频谱的关系图（线图）与幅度频谱的关系图（线图）与nnAnn周期信号周期信号f(t)可用付里叶级数来表示可用付里叶级数来表示: :或或例：例：周期信号周期信号 f(t) =试求基波周期试求基波周期T，基波角频率，基波角频率，画出单边频谱图。，画出单边频谱图。63sin4132

20、4cos211tt解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即263cos41324cos211)(tttf显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。34cos21t的周期的周期T1 = 8323cos41的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角频率，基波角频率=2/T = /124.3 周期信号的频谱周期信号的频谱34cos21t是是f(t)的的/4/12 =3次谐波分量；次谐波分量； 323cos41t是是f(t)的的/3/12 =4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图的单边振幅频

21、谱图、相位频谱图如图(a)(b)oAn1264320A2141o33461232n14.3 周期信号的频谱周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点二、周期信号频谱的特点例：一幅度为例：一幅度为1，脉冲宽度为，脉冲宽度为 的周的周期矩形脉冲，其周期为期矩形脉冲，其周期为T，如图所，如图所示。求频谱。示。求频谱。 tTttfTFtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnT令令Sa(t)=sin(t)/t (取样函数）取样函数） nnTjnTtjn)2sin(2e122sin( )( )tf tStt4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱)()2(TnSaTnSaTFn, n = 0 ,1，

22、2， Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。画图。零点为零点为mn2所以所以mn2，m为整数。为整数。Fn022441频带宽度的定义1Bf2B对于周期矩形信号，一般或 对于一般频谱，常以0频率到振幅过第一个零点的频率之间的频带定义为信号的频带宽度B4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱讨论频谱结构与讨论频谱结构与 、T的关系的关系1.当 不变，T增大，谱线间隔 减小，谱线逐渐密集，幅度 减小 T2TT当非周期信号0连续频率n非周期信号连续频谱振幅为0的谐波频率,.,422.当T不变， 减小时，T间隔不变，T23.周期信号的频谱特点(3)收敛性各频谱的

23、高度随着谐波次数增高而逐渐减小。(1)离散性谱线是离散的而不是连续的，谱线之间的间隔为 。T2(2)谐波性谱线在频谱轴上的位置是基频 的整数倍。4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶变换一、傅里叶变换1.1.频谱密度函数频谱密度函数 以周期矩形信号为例，当周期 （周期信号变为非周期信号）， （离散频谱变成连续频谱）， 即谱线长度趋于零（无穷小）。T0021nnAF 本节把上述傅立叶分析方法推广到非周期信号中，导出非周期信号的本节把上述傅立叶分析方法推广到非周期信号中，导出非周期信号的傅立叶变换傅立叶变换FTFT。 此时，原分析

24、方法失效，但谱线长度（振幅）虽同为无穷小，但它们的大小并不相同，相对值仍有差别。4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换 为了表明无穷小的振幅间的相对差别，有必要引入一个为了表明无穷小的振幅间的相对差别，有必要引入一个新的量新的量称为称为“频谱密度函数频谱密度函数”。设周期信号设周期信号ntjnneFf(t)221TTtjnndtf(t)eTF22)(2TTtjnnndtetfFTFT：两边同时乘以dtetfdtetfTFjFtjTTtjnTnT)()(limlim)(22F(j)频谱密度函数频谱密度函数连续频率，离散频率为非周期信号若nd，Tf(t)4.4 非周期信号的频

25、谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换 频谱函数。的频谱密度函数，简称称为原函数值，反映单位频带的频谱频谱密度的概念f(t)jFFTFjFnn2:，由周期信号ntjnneFtf)(de)(211e)(tjntjnnjFTTFtf换非周期信号的付里叶变. 2,22TdTnd，当4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换傅立叶逆变换傅立叶正变换dejFtfdtetfjFtjtj)()()()(21)F(j)()()()1tfjFFtff(t)FF(j，或，记作：dtjFjdtjFdejFtfdejFtftjtj)(sin)(21)(cos)(21)(21)()(21)(.3()(

26、的三角函数形式奇函数积分为零4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换0)(cos)(1)(cos)(21)(dtjFdtjFtf从上式可以看出：从上式可以看出：非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。不同的是，由于非周期信号的不同的是，由于非周期信号的 于是它包含了从零到无限高的所于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。有频率分量。同时，三角函数振幅同时，三角函数振幅 ，故用频谱不能直接画出，必须用它的，故用频谱不能直接画出，必须用它的密度函数作出。密度函数作出。1.1. 最后必须指

27、出，从理论上讲，最后必须指出，从理论上讲，FTFT也应满足类似狄氏条件。也应满足类似狄氏条件。0djF)(而非必要条件。,绝对可积存在的充分条件是的，dtf(t)FTf(t), 0,T4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换)2(2sin2)(1)()(2222aeejdtedtetfjFsjjtjtj)2()(ajFst202)(tf)(:tg脉冲1二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换1 1、矩形单脉冲信号（门函数）、矩形单脉冲信号（门函数） 0)(或4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换6420)(jF86420)()( jF86420

28、4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换0)()(2tetft、单边指数信号1t0f(t)2 01220)(11)()()(jtgtjtjejdtedtetftfjFF0 1)( jF122)(1)(1)(tgjFjtet即不存在。不收敛，时，FTdtet04.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换0)(3tetf、双边指数信号f(t)0t1)( jF0)( 020222222)()()(jFdteeejFtjttF部分系作出，所以只须作出的部分可以根据对称关故作图时的奇函数。）是（的偶函数，是说明：下节将证明00)(jF4.4 非周期信号的频谱非周期信号

29、的频谱傅里叶变换傅里叶变换）（、单位冲激函数t4)(t) 1 (0t)(jF011)(1)()()(0tedtettjFjtjF物理意义：在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。 因此，这种频谱常称为“均匀谱“或”白色谱“。4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换nnntjnttjtjnnnjtjtjttjtttfttft)()( )( )(de)( eddde)( )0() 1(d)()( 0）（）（）（）（即性质由冲击函数的导数抽样）（、单位冲激函数tn)(54.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换6. 常数常数1有些函数不满足绝对

30、可积条件，如有些函数不满足绝对可积条件，如1， (t) 等，但傅里叶变换却存在。等，但傅里叶变换却存在。 (t)1(t)1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有)(de21ttj将将 t t，t-t- )(de21ttj)(2)(2de1ttj再根据傅里叶变换定义式，得再根据傅里叶变换定义式，得4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换7. 符号函数符号函数0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)-100,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(22008. 阶跃函数阶跃函数 (t

31、)jtt1)()sgn(2121)(10t(t)4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换归纳记忆：1. F 变换对变换对2. 常用函数常用函数 F 变换对：变换对：t域域域域tetfjFtjd)()(d)(21)(tjejFtf(t)(t) j1)(e - - t (t) j1g(t) 2Sasgn (t) j2e |t|222 1 12()4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性一、线性(Linear Property)If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)thenProof: F a f1(t) + b f2(t)ttbftaftjde)()(2

32、112a( )edb( )edjtjtf ttf tt= a F1(j) + b F2(j) a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 1）叠加性相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。2）齐次性信号增大a倍，频谱增大a倍。47 21 j1sgn21t j1t10tsgn(t)-110t(t)1/2For example F(j) = ?4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j) = ?0f ( t )t1-11Ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() -

33、 - 2Sa()0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质()()( )( )cos( )sin( )( )()j tjF jf t edtf ttdtjf ttdtRjXF je 二、奇偶性二、奇偶性(Parity)的奇函数是的偶函数，是 )()()()()()()()(jFRXarctgXRjF22的奇函数是与的偶函数是与是实函数分析：)()()()()() 1 (XjFRtf4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质的实偶函数必为则是实偶函数，即)(cos)()()(sin)()()()()()(jFtdttfRjFtdttfXtftf

34、tf0202的虚奇函数必为则是实奇函数，即)(sin)(2)()(0)()()()()3(0jFtdttfjjXjFRtftftf4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质三、对称性质三、对称性质(Symmetrical Property)If f (t) F(j) thenProof:de)(21)(tjjFtf（1）in (1) t ，t thentjtFftjde)(21)( （2）in (2) - - thentjtFftjde)(21)( F(j t) 2f () endF( jt ) 2f () FF ( (t) =1) =1 F 1 F 1 =2 =2(-(- ) =2) =2(

35、( ) )If f (t) F(j) thenF( jt ) 2f ()For example 求求F F Sa(t) For exampleIf f (t) F(j) thenF( jt ) 2f ()2()(Satg)(2)(2)2(ggtSa)(2)(22gtSa)()(2gtSa4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质)(212tg1/21t10)(Sa1)(tSat1)()(22gf011函数。形脉冲的频谱必为矩形函数，而显然矩形脉冲的频谱为aaSS的互求提供方便与本性质为)()(jFtf4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j) = ?211)(ttf

36、Ans:22| |2etif =1,2| |12et|2e212t|2e11t4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example f(t) = F(j) = ?11jtAns:ajtat1)(e)(e21aajt)(e211jt由对称性由对称性,a = - -1,so that,4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质四、尺度变换性质四、尺度变换性质(Scaling Transform Property)If f (t) F(j) then Proof:F f (a t ) =teatftjd)(For a 0 ,F f (a t ) d1e)(afajatajFa1for a 0

37、 ,F f (at ) de)(1d1e)(ajajatfaafajFa1f (a t ) ajFa|1ajFaatf|1)(a = - -1,f (- t ) F( - -j) 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质)(2tf01t)(1tf12t20)(1jF2424)(2jF222一一对对矛矛盾盾。速速度度与与占占用用频频带带宽宽度度是是在在无无线线电电通通信信中中，通通信信等等效效于于在在频频域域中中压压缩缩。展展反反之之，信信号号在在时时域域中中扩扩等等效效于于在在频频域域中中扩扩展展。缩缩说说明明：信信号号在在时时域域中中压压)()(11aa4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性

38、质五、时移性质五、时移性质(Timeshifting Property)If f (t) F(j) then)(e)(00jFttftjProof: F f (t t0 ) tttftjde)(000ede)(tjjttf)(e0jFtj否则输出会失真。都滞后相位则系统的每个频率分量时延通过一个系统传输后仅应用：要使一个信号相对应。延时和在频域中的移相说明：信号在时域中的,)(0,01tttf60例例4.5-3 求图求图 所示信号的频谱函数。所示信号的频谱函数。 f(t)的波形；的波形；to(a)1()o(b)24422f (t)0)()(0tjejFttf4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的

39、性质For example F(j) = ?Ans: f1(t) = g6(t - 5) f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j) =5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t22146862思考题思考题： f f (t) 如图所示如图所示 ，求，求F F f f (t) t t0 0( )f t112222 ()2sin4jjjjaFjGjeGjeseej 2211 f tg tg t解：解：4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For e

40、xample Given that f (t)F( j), find f (at b) ?Ans: f (t b)e - -jb F( j)f (at b) ajFabaje|1orf (at) ajFa|1f (at b) =)(abtafajFeabaj|164 1( )(1)2ftt， 求 F(j).1( )( )tj 已知：1(1)( )jtej ( )jej 21(1)2(2 )22jetj2( )jej 0)()(0tjejFttf1()()fa tFjaa4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质六、频移性质六、频移性质(Frequency Shifting Property)If

41、 f (t) F(j) thenProof:where “0” is real constant.F e j0t f(t)ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0= F j(- -0) end)()(e00jFtftj。频率轴右移频谱沿等效于在频域中将整个中乘以说明：一个信号在时域0 ,0tje4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 1f(t) = ej3t F(j) = ?Ans: 1 2() ej3t 1 2(- -3)For example 2f(t) = cos0t F(j) = ?Ans:tjtjtf00e21e21)(F(j) = (-0)+ (+

42、 +0)频谱图频谱图频谱图频谱图For example 3Given that f(t) F(j) The modulated signal f(t) cos0t ? 00000021sin)( 21cos)( jjFjjFjttfjjFjjFttf同理由频移特性tjtjt00e21e21)cos( 0由欧拉公式tjtjtftfttf00e)(21e)(21)cos()( 0故4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质68 该特性在通信系统中得到广泛的应用，如调幅、同步解该特性在通信系统中得到广泛的应用，如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移原理上实现调、变频等过程都是在频谱搬移原理上实现

43、.频移原理（调制原理）频移原理（调制原理） f (t )： 调制信号（含信息）调制信号（含信息）000 ( )( )cos()( )2jtjteey tf ttf t00011( )( )sin()22y tf ttjFjjFj 00011 ( )cos22y tf ttF jF j 可见已调信号可见已调信号y(t)y(t)的频谱是把的频谱是把f f (t)(t)的频谱的频谱F F( (j j ) )一分为二分别向左和右搬移一分为二分别向左和右搬移 0 0 s(t )： 载波载波信号（高频的单一频率）信号（高频的单一频率） ()f t ( )y t00 ( )cos()sin()s ttt或y

44、(t )： 已调已调信号信号69 0Y(j ) 0 02t t0 0( )g t122 0F(j ) 0Fcos 0t- 0 0t t0 0122( )y tt t0 00cost70声音、图像、编码所转变的电信号的主要频率分声音、图像、编码所转变的电信号的主要频率分量（即主要信息量）集中在低频段，不能以电磁量（即主要信息量）集中在低频段，不能以电磁波形式辐射到空间远距离传播，或者多个信号纠波形式辐射到空间远距离传播，或者多个信号纠混在一起形成干扰，所以必须借助于高频载波信混在一起形成干扰，所以必须借助于高频载波信号传输低频信号，使不同信号分别搬移到不同载号传输低频信号，使不同信号分别搬移到不

45、同载波频率上，频谱互不混叠，然后用带通选频网络波频率上，频谱互不混叠，然后用带通选频网络接收各个信号。接收各个信号。频分复用。频分复用。调制定理：调制信号在时域乘以一个等幅高频振荡，相当调制定理：调制信号在时域乘以一个等幅高频振荡，相当于在频域把调制信号的各频率分量均搬至高频振荡的频率于在频域把调制信号的各频率分量均搬至高频振荡的频率上，调制信号的各频率分量幅度减半。上，调制信号的各频率分量幅度减半。调制与解调调制与解调幅度调制与解调过程（波形与频谱分析）幅度调制与解调过程（波形与频谱分析）乘法器乘法器放大器放大器x(t)z(t)x m(t)乘法器乘法器滤波器滤波器z(t)x(t)4.5 傅里

46、叶变换的性质傅里叶变换的性质t0)(tfA22ttfccos)(2t2)(jF)()(21ccjjFjjF频等。如调幅、同步解调、变系统中得到广泛应用，频谱搬移技术，在通信734 ( )(), (2 3)j tf tF jeft频谱密度函数。 例: 已知 求其 ( )(f tF j:) 解1(3 )()33ftF j231(2 3 )()33jftF je0)()(0tjejFttf1()()fatFjaa2(2)(jftF je)231(23 )(33jftFje)231(23 )(33jftFje)2(4)4314(23 )(33jj teftFje)ftFj0j0 ( )etf tFj4

47、.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质七、卷积性质七、卷积性质(Convolution Property)时域卷积：时域卷积：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)频域卷积：频域卷积：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)214.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Proof:d)()()(*)(2121tfftftf F f1(t)*f2(t) dde)()(ded)()(2121ttffttfftjtj由时移特性jtjjFttfe)(de)(22So

48、 that, F f1(t)*f2(t) de)()(de)()(1221jjfjFjFf= F1(j)F2(j)4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example?)(sin2jFttAns:)Sa(2)(2tgUsing symmetry,)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt )(*)(2)(*)(21sin22222ggggttg2()*g2()22- -20F(j)2- -204.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质八、时域的微分和积分八、时域的微分和积分(Differentiation and Integration in time domain)If f (t) F

49、(j) then )()()( )(jFjtfnn时域微分jjFFxxft)()()0(d)( 时域积分ttfjFFd)()()0(0Proof:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(- -1)(t)= (t)*f(t) jjFFjFj)()()0()(1)(4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质f(t)= 1/t2 ?For example 1Ans:jt2)sgn()sgn(22 jt由对称性)sgn(1jt)sgn()sgn()(1dd jjtt由时域微分|)sgn(12t4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2Given th

50、at f (t) F1(j)，Prooff (t) F1(j) + f(-)+ f() ( )j1)()()()(1)(dd)(d)(1dd)(d)()(11ffjFjtttfjFjtttfftftProof)()()()(1)()(2)(1ffjFjfjFSo)()()()(1)(1ffjFjjFSummary: if f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 Then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 3f(t)2- -20t t2Determine f (t) F (j)f (t)t

51、t2- -20- -11t t2- -2(1)(1)(-2)f (t)Ans:f ” ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 F (j) =222)2cos(22)()(jjFNotice:d(t)/dt = (t) 1(t) 1/(j)4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质九、频域的微分和积分九、频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f (t) F(j) then (jt)n f (t) F(n)(j)

52、xjxFtfjttfd)()(1)()0(d)(21)0(jFf频域微分频域微分频域积分频域积分4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 1Determine f (t) = t(t) F (j)=?jt1)()(Ans:jtjt1)(dd)(21)( )( jttNotice: t(t) =(t) * (t) jj1)(1)(Its wrong. Because ( ) ( ) and (1/j ) ( ) is not defined.小测验小测验1.求求)3(tft 的傅里叶变换（已知的傅里叶变换（已知f (t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为F(j )） 2.求求 的

53、傅立叶变换的傅立叶变换ttf )( 3.求求 的傅立叶逆变换的傅立叶逆变换jejF)2()()( 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析d)()()(tftfL LT TI I系系统统零零状状态态yzs(t)f (t)d)()()(thftyzs即将即将 f (t)分解为无限个分解为无限个 之叠加之叠加。( ) t即零状态响应分解为所有被激励加权的即零状态响应分解为所有被激励加权的 之叠加之叠加。( )h t1.时域分析法时域分析法LTI系统的全响应零输入响应零状态响应系统的全响应零输入响应零状态响应本节只研究零状态响应。本节只研究零状态响应。 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率

54、的虚指傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。数函数之和。ntjnnFtfe)(对周期信号：对周期信号：对非周期信号：对非周期信号：de)(21)(tjjFtf其其基本信号基本信号为为 ej t2.频域分析法频域分析法 说明：频域分析中，信号的定义域为说明：频域分析中，信号的定义域为(，)，而，而t= 总可认为系统总可认为系统的状态为的状态为0。因此本节的响应指零状态响应，常写为。因此本节的响应指零状态响应，常写为y(t)。 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析1、基本信号、基本信号ej t作用于作用于LTI系统的响应系统的

55、响应 LTI系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t)，激励是角频率，激励是角频率的基本信号的基本信号ej t，其响应其响应 tjjtjhhtyede)(de)()()(h(t)的傅里叶变换，记为的傅里叶变换，记为H(j )，常称为系统的频率响应函数。，常称为系统的频率响应函数。de)(jhy(t) = H(j ) ej tH(j )反映了响应反映了响应y(t)的幅度和相位。的幅度和相位。y(t) = h(t)* ej t一、频率响应一、频率响应2、一般信号、一般信号f(t)作用于作用于LTI系统的响应系统的响应ej tH(j ) ej t21F(j ) ej t d 21F(j )H(j )

56、ej t d 齐次齐次性性de)(21tjjFde)()(21tjjFjH可加可加性性f(t)y(t) =F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j )4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析LTI* h(t) =傅傅氏氏 变变换换傅傅氏氏 反反变变换换f (t)傅傅氏氏 变变换换y(t)F(j)H(j)Y(j) 频率响应频率响应H(j )系统零状态响应的傅里叶变换系统零状态响应的傅里叶变换Y(j )与与激励激励f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F(j )之比，即之比，即 )()()(jFjYjH)()()()()()()(fyjjejFjYejHjH H(j ) 称为称为幅

57、频特性幅频特性（或（或幅频响应幅频响应），）， H(j ) 是是 的偶函数。的偶函数。( )称为称为相频特性相频特性（或（或相频响应相频响应），），( )是是 的奇函数。的奇函数。 频域分析法步骤：频域分析法步骤：傅里叶变换法傅里叶变换法4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析例例1：某：某LTI系统的系统的 H(j ) 和和( )如图，如图，若若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应。，求系统的响应。|H(j)|()10- -1001- -解解：用傅里叶变换：用傅里叶变换F(j ) = 4() + 4(5) + (+5)+ 4(10) + (+10) Y

58、(j ) = F(j )H(j ) = 4() H(0) + 4(5) H(j5) + (+5) H(-j5)+ 4(10) H(j10) + (+10) H(-j10) H(j )= H(j ) ej( )= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F-1Y(j ) = 2 + 2sin(5t)4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析3、频率响应、频率响应H(j )的求法的求法1） H(j ) = F h(t) 2） H(j ) = Y(j )/F(j )由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由微分方程求，对微分方

59、程两边取傅里叶变换。(1) 由电路直接求出。由电路直接求出。 例例2：如图电路，：如图电路，R=1，C=1F，以，以uC(t)为输出，求其为输出，求其h(t)。解解：画电路频域模型：画电路频域模型US(j)RUC(j)Cj11111)()()(jCjRCjjUjUjHSCh(t)= e-t (t) uC(t)uS(t)CR4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析例例3：某系统的微分方程为：某系统的微分方程为 y (t) + 2y(t) = f(t)。求求f(t) = e-t(t)时的时的响应响应y(t)。解解：微分方程两边取傅里叶变换：微分方程两边取傅里叶变换j Y(j ) + 2Y(j )

60、 = F(j ) 21)()()(jjFjYjHf(t) = e-t(t)11)(jjFY(j ) = H(j )F(j )2111)2)(1(1jjjjy(t) = (e-t e-2t )(t) 4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析二、无失真传输二、无失真传输失真：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中产生了失真。失真：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中产生了失真。1.线性系统引起信号失真的原因线性系统引起信号失真的原因1）幅度失真：系统对信号中）幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减各频率分量的幅度产生不同程度的衰减， 引起幅度失真。引起