常微分方程(王高雄)第三版41

1、第四章第四章 高阶微分方程高阶微分方程 常微分方程常微分方程 Ordinary Differential Equations第四章第四章4.1 线性微分方程的一般理论线性微分方程的一般理论 一、解的存在唯一性定理一、解的存在唯一性定理1 n阶线性微分方程阶线性微分方程定义定义1它的一般形式为阶线性微分方程称为阶微分方程均为一次的及其各阶导数未知函数,nndtxddtdxxnn) 1 . 4()()()(111tfxtadtxdtadtxdnnnnn.)(), 2 , 1)(的连续函数都是及其中btatfnitai变为则方程如果) 1 . 4(, 0)(tf)2 . 4(0)()(111xtad

2、txdtadtxdnnnnn.) 1 . 4( ,) 1 . 4()2 . 4(称为非齐线性方程阶齐线性方程对应的为称n0)(22222xntdtdxtdtxdt03222xdtdxdtxd)(21222tfxadtdxtadtxdttxdtxdsin422阶齐线性方程阶齐线性方程2。2阶非齐线性方程阶非齐线性方程 2 解的存在唯一性定理解的存在唯一性定理定理定理1)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnxdttdxdttdxt足初始条件且满定义于区间存在唯一解程方及任意则对任一连续函数的都是区间及如果,),() 1 . 4(,)(), 2 , 1)(n-1)0) 1(00bta

3、txxxxbabtatfnitai0t二、齐线性方程的解的性质和结构二、齐线性方程的解的性质和结构阶齐线性方程先讨论n)2 . 4(0)()(111xtadtxdtadtxdnnnnn.), 2 , 1)(,上连续在假设的一般理论btanitai定理定理2.,)2 . 4()()()(,)2 . 4()(,)(),(21221121是任常数这里的解也是方程们的线性组合则它个解的是方程如果kkkkccctxctxctxcktxtxtx1 叠加原理叠加原理证明证明:个解的是方程由于kkitxi)2 . 4(), 2 , 1)(故有故有0)()()()()(111txtadttxdtadttxdin

4、ninninki, 2 , 1然后相加得个乘第个等式中上面的,icik0)()(111xtadtxdtadtxdnnnnn)()()()(2211txctxctxctxkk这里。txctxctxckk的解是方程故)2 . 4()()()(2211例例1是方程验证tctcossinc(t)cost,sint,210 xx的解的解.解解:代入方程有分别将(t)cost,sint,0sintsint)( )(t)t 0costcost)(sintsint)(1 ccostcost)(2c012(c sincos )tct)cossinc (21tct 定义定义 12( ),( ),( )nx t x

5、 tx t在在atb 上有定义，上有定义， 如果存在不全为零的一组数如果存在不全为零的一组数12,nc cc，使得恒等式，使得恒等式1 12233( )( )( )( )0nnc x tc x tc x tc x t 对 所 有 的对 所 有 的atb 都 成 立 ， 则 称 函 数都 成 立 ， 则 称 函 数12( ),( ),( )nx tx tx t线性相关线性相关， 否则称这些函数在所给， 否则称这些函数在所给区间上区间上线性无关线性无关。 2.线性相关与线性无关线性相关与线性无关如如 函数函数 21, ,nt tt在任何区间上都线性无关，在任何区间上都线性无关，1.cos ,cos

6、2 ,costtnt也在任何区间上线性无关。但也在任何区间上线性无关。但21,cos2 ,costt在任何区间上都线性相关。在任何区间上都线性相关。 定义定义23 朗斯基朗斯基(Wronsky)行列式行列式所作成的行列式次函数个可微上定义在)(,)(),(1,21txtxtxkkbak)(,)(),(21txtxtxWk)()()()()()()()()()1()1(2)1(12121txtxtxtxtxtxtxtxtxkkkkkk).(,)()(,),(),(21tWWronskytxtxtxk记为行列式的朗斯基称为函数4 函数的线性相关性与其函数的线性相关性与其Wronsky行列式的关系行

7、列式的关系(1)定理定理3证明证明:,21nccc数存在一组不全为零的常由假设可知使得使得, 0)()()(2211battxctxctxcnn个恒等式得到微分依次将此恒等式对nt,. 0)(,)(,)(),(21tWWronskybabtatxtxtxn行列式上它们的则在性相关上线在区间若函数0)()()(2211txctxctxcnn0)()()(2211txctxctxcnn0)()()( 22 11txctxctxcnn0)()()()1()1(22)1(11txctxctxcnnnnn,21的齐次方程组上述方程组是关于nccc由线性代数理论知由线性代数理论知要使方程组存在非零解要使方

8、程组存在非零解,则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零,., 0)(battW即,行列式它的系数就是Wronsky注注定理定理3的逆不成立的逆不成立.如函数如函数,0, 00,)(21ttttx,0,0, 0)(22ttttx都有对所有显然t,)(tWtt20020202tt, 0, 00t0t.),()(),(21上是线性无关的在区间但txtx0)()(2211txctxc事实上事实上,若有恒等式若有恒等式则则, 001ct时推得,0t时推得20c 推论推论., 0)(,)(,)(),(0021上线性无关数组在则该函即处不等于零上某点在区间行列式的若函数组batWtbaWronskyt

9、xtxtxn(2)定理定理4证明证明: “反证反证”, 0)(,00tWbat使设有某个,21的齐次方程组考虑关于nccc)(0)(,)(,)(),()2 . 4(21btatWbaWronskybtatxtxtxn即上任何点都不等于零行列式在则它们上线性无关在区间的解如果方程的的0)()()(0022011txctxctxcnn0)()()(0022011txctxctxcnn0)()()(0 0 220 11txctxctxcnn0)()()(0)1(0)1(220)1(11txctxctxcnnnnn,21nccc故它有非零解其系数行列式为现以这组常数构造函数现以这组常数构造函数,)2

10、. 4()(的解是方程tx)(0tW, 0,),()()()(2211battxctxctxctxnn由定理由定理2知知,又因为又因为0)()()()(00220110txctxctxctxnn0)()()()(00220110txctxctxctxnn0)()()()(0)1(0)1(220)1(110)1(txctxctxctxnnnnnn(1)0000( )( )( )( )0,(4.10)nx tx tx txt满足初始条件这表明这个解)(tx,)10. 4()2 . 4(0)(解满足初始条件显然也是方程但是tx, 0)()()()(2211battxctxctxctxnn由解的唯一性

11、定理知由解的唯一性定理知,21不全为零因为nccc.)(,)(),(21线性无关相矛盾这与txtxtxn由定理由定理4易得下面结论易得下面结论推论推论2. 0)(,:)(,)(),()2 . 4(0021tWbatbtatxtxtxnn使存在是上线性无关的充要条件间是在区个解的方程推论推论1., 0)(,)2 . 4()(,)(),(021上线性相关则该组解在使如果存在个解的在区间是方程设btaWbatnbtatxtxtxn0t由定理由定理1知知,方程方程(4.2)满足初始条件满足初始条件0)(, 0)(, 1)(0)1(00txtxtxn0)(, 1)(, 0)(0)1(00txtxtxn1

12、)(, 0)(, 0)(0)1(00txtxtxn,)(,)(),(21一定存在个解的txtxtxnn又因为又因为)(,),(),(00201txtxtxWn10001000101.,4个解一定线性无关这可知由定理n由此得定理由此得定理55 齐线性方程线性无关解的存在性齐线性方程线性无关解的存在性定理定理56 通解的结构通解的结构(1)定理定理6的通解可表为则方程无关解个线性的是方程如果)2 . 4(,)2 . 4()(,)(),(21ntxtxtxn)11. 4(),()()()(2211txctxctxctxnn.)2 . 4()11. 4(,21的所有解包含了方程且通解是任常数其中ncc

13、c.)2 . 4(个线性无关的解.一定存在阶齐线性方程nn证明证明: 首先首先,由叠加原理由叠加原理(4.11)是是(4.2)的解的解,它包含有它包含有n个任意常数个任意常数,又因为又因为nnnnnncxcxcxcxcxcxcxcxcx)1(2)1(1)1(2121)(,)(),(21txtxtxWn0,21是相互独立的因而这些常数nccc故故(4.11)为为(4.2)的通解的通解.且满足初始条件的任一解对),()2 . 4(tx,)(,)(,)()1(00)1()1(0000nnxtxxtxxtx考虑方程组考虑方程组)1(00022011)()()(xtxctxctxcnn00022011)

14、()()(xtxctxctxcnn)1(00)1(0)1(220)1(11)()()(nnnnnnxtxctxctxc),(0tW其系数行列式就是, 0)(40tW知由定理,21nccc解因而上面方程组有唯一以这组常数构造以这组常数构造),()()()(2211txctxctxctnn且有的解是则,)2 . 4()(t)1(00)1()1(0000)(,)(,)(nnxtxtxt由解的唯一性定理得由解的唯一性定理得:),()(txt 即即).()()()(2211txctxctxctxnn(2)推论推论.)2 . 4(n等于线性无关解的最大个数方程.维线性空间构成一个阶齐线性方程的所有解即nn

15、(3)基本解组基本解组:.,)2 . 4(组称为方程的一个基本解个线性无关的解的一组方程n注注:基本解组不是唯一的基本解组不是唯一的.三、非齐线性方程与常数变易法三、非齐线性方程与常数变易法 ) 1 . 4()()()(111tfxtadtxdtadtxdnnnnn)2 . 4(0)()(111xtadtxdtadtxdnnnnn非齐线性微分方程非齐线性微分方程对应齐线性微分方程对应齐线性微分方程1 非齐线性微分方程解的性质非齐线性微分方程解的性质性质性质1.) 1 . 4()()(,)2 . 4()(,) 1 . 4()(的解也是方程则的解是方程而的解是方程如果txtxtxtx证明证明:因为

16、因为0)()(111xtadtxdtadtxdnnnnn)()()(111tfxtadtxdtadtxdnnnnn所以所以,由微分性质两式相加得由微分性质两式相加得)()()()()(111tfxxtadtxxdtadtxxdnnnnn.) 1 . 4()()(的解也是方程故txtx性质性质2.)2 . 4() 1 . 4(的解的任两解之差必为方程方程证明证明:,) 1 . 4()(),(21的任两解是方程设txtx则则)()()(111111tfxtadtxdtadtxdnnnnn)()()(212112tfxtadtxdtadtxdnnnnn故故)()()()(211211121xxtad

17、txxdtadtxxdnnnnn)()(111111xtadtxdtadtxdnnnnn)()(212112xtadtxdtadtxdnnnnn)(tf)(tf02 非齐线性方程通解的结构非齐线性方程通解的结构定理定理7的通解可表为则方程的某一解是方程而的基本解组为方程设) 1 . 4(,) 1 . 4()(,)2 . 4()(,)(),(21txtxtxtxn)14. 4(, )()()()()(2211txtxctxctxctxnn.) 1 . 4()14. 4(,21的所有解包含了方程且通解是任常数其中nccc证明证明:这些任常数是相互独立的这些任常数是相互独立的,(4.14)为方程为方

18、程(4.1)的解的解,由定理由定理6的证明过程易知的证明过程易知,由性质由性质1知知,故故(4.14)为方程为方程(4.1)的通解的通解.,) 1 . 4()(的任一解是方程设tx则由性质则由性质2知知,)2 . 4()()(的解为方程txtx由定理由定理6知知,使存在一组确定的常数,21nccc)()()()()(2211txctxctxctxtxnn故故)()()()()(2211txtxctxctxctxnn即方程即方程(4.1)的任一解都可由的任一解都可由(4.14)表出表出,21是相应确定的常数nccc,)(的任意性由tx(4.14)包括了包括了(4.1)的所有解的所有解.一阶线性非

19、齐微分方程的解法一阶线性非齐微分方程的解法-常数变易法常数变易法解对应的齐次方程01yxpdxdy)(得对应齐次方程解常数变易法求解02) 1 (),(的解使它为的待定函数变为将常数xcxc为任意常数cdxceyxp,)(代入方程的解为令,) 1 ()()(dxxpexcy),()(xQyxpdxdy).(xc确定3 常数变易法常数变易法,)2 . 4()(,)(),(21的基本解组为方程设txtxtxn则则)15. 4(),()()()(2211txctxctxctxnn为方程为方程(4.2)的通解的通解.),()2 , 1()15. 4(tctnicii的待定函数变为中的常数将此时此时(4

20、.15)变为变为)16. 4(),()()()()()()(2211txtctxtctxtctxnn将它代入将它代入(4.1),必须满足的一个方程就能得到)(),(),(21tctctcn,1)2 , 1)(,个限制条件的另外关于还必须再给出为确定它们个由于待定函数有nnitcni 在理论上在理论上,这些另加条件可以任意给出这些另加条件可以任意给出,但为了运但为了运算方便算方便,我们按下面方法来给出这我们按下面方法来给出这n-1个条件个条件,求导得的两边对对t)16. 4()()()()()()()(2211txtctxtctxtctxnn)()()()()()(2211txtctxtctxt

21、cnn令令12211)17. 4(, 0)()()()()()(txtctxtctxtcnn得得12211)18. 4(),()()()()()()(txtctxtctxtctxnn,)(,我们又获得一个条件的部分为零令含有并像上面做法一样求导对上式两边对tcti22211)17. 4(, 0)()()()()()(txtctxtctxtcnn和表达式和表达式2 22 11 )18. 4(),()()()()()()(txtctxtctxtctxnn继续上面做法继续上面做法,直到获得第直到获得第n-1个条件个条件)1()2()2(22)2(11)17. 4(, 0)()()()()()(nnn

22、nnntxtctxtctxtc和表达式和表达式)1()1()1(22)1(11)1()18. 4(),()()()()()()(nnnnnnntxtctxtctxtctx求导得最后对上式两边对t)()()()()()()()()(22)(11)(txtctxtctxtctxnnnnnn),()()()()()()1()1(22)1(11txtctxtctxtcnnnnn)()18. 4(n得的解是注意到并表达式代入将上面得到的,)2 . 4()(,),(),(),1 . 4(,21)1(txtxtxxxxnn),()()()()()()()1()1(22)1(11tftxtctxtctxtcn

23、nnnn)()17. 4(n个方程组成的方程组的个未知函数我们得到了含有这样nnitcni), 2 , 1)(,0)()()()()()(2211txtctxtctxtcnn0)()()()()()(2211txtctxtctxtcnn)()()()()()()()1()1(22)1(11tftxtctxtctxtcnnnnn);(,),(),(21txtxtxWn其系数行列式是, 0)(tW因因而方程组的解可唯一确定因而方程组的解可唯一确定, 设由上面方程求得设由上面方程求得), 2 , 1(),()(nittcii积分得积分得), 2 , 1(,)()(nidtttciii,) 1 . 4(),16. 4()(,的通解即得的表达式代入将所得是任常数这里tciiniiitxtx1)()(dtttxini