电路06一阶电路

1、第七章第七章 一阶电路一阶电路1、零输入响应，零状态响应，全响应、零输入响应，零状态响应，全响应本章重点掌握：本章重点掌握： 3、阶跃响应和冲激响应、阶跃响应和冲激响应2、稳态分量、稳态分量 暂态分量暂态分量7-1 动态电路的方程及其初始条件方程动态电路的方程及其初始条件方程K未动作前未动作前i = 0 , uC = 0i = 0 , uC= Us一一. 什么是动态电路什么是动态电路i+uCUsRC稳态分析：稳态分析：K+uCUsRCi t = 0K接通电源后很长时间接通电源后很长时间 动态电路概述动态电路概述K+uCUsRCi初始状态初始状态过渡状态过渡状态新稳态新稳态t1USuct0?a.

2、 动态电路：动态电路：含有动态元件的电路，当电路状态发生改变时含有动态元件的电路，当电路状态发生改变时 需要经历一个变化过程才能达到新的稳态。需要经历一个变化过程才能达到新的稳态。 习惯上称为电路的过渡过程习惯上称为电路的过渡过程b. 动态电路与电阻电路的比较：动态电路与电阻电路的比较：动态电路换路后产生过渡过程动态电路换路后产生过渡过程 ，描述电路的方程为微分方程，描述电路的方程为微分方程电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电路的方程为代数方程电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电路的方程为代数方程SccUutdduRC iRUS二二. .过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因1. 电路内部含

3、有储能元件电路内部含有储能元件L 、M、C能量的储存和释放都需要一定的时间来完成能量的储存和释放都需要一定的时间来完成twp 2. 电路结构、状态发生变化电路结构、状态发生变化支路接入或断开支路接入或断开; ; 参数变化参数变化换路换路+-usR1R2R3三三. .稳态分析和动态分析的区别稳态分析和动态分析的区别稳稳 态态换路发生换路发生很长时间很长时间后重新后重新达到稳态达到稳态换路换路刚刚发生后的整个变化过程发生后的整个变化过程微分方程的特解微分方程的特解动动 态态微分方程的一般解微分方程的一般解恒定或周期性激励恒定或周期性激励任意激励任意激励四四. 一阶电路一阶电路换路后，描述电路的方程

4、是一阶微分方程。换路后，描述电路的方程是一阶微分方程。经典法经典法时域分析法时域分析法复频域分析法复频域分析法时域分析法时域分析法拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法状态变量法状态变量法数值法数值法五五. 动态电路的分析方法动态电路的分析方法001111 tuiadtdiadtidadtidannnnnn激励激励 u(t)响应响应 i(t)电路的初始条件电路的初始条件一一. t = 0+与与t = 0-的概念的概念换路在换路在 t=0时刻进行时刻进行0- 换路前一瞬间换路前一瞬间 0+ 换路后一瞬间换路后一瞬间)(lim)0(00tfftt )(lim)0(00tfftt 初始条件为初始条件为 t =

5、 0+时时u ，i 及其各阶导数的值及其各阶导数的值0-0+0tf(t)二二. .换路定律（开闭定则）换路定律（开闭定则） d)(1)( tCiCtu d)(1d)(100 tiCiC d)(1)0(0 tCiCuq =C uCt = 0+时刻时刻 d)(1)0()0(00 iCuuCC d)()0()(0 tiqtq当当i( )为有限值时为有限值时iucC+-q (0+) = q (0-)uC (0+) = uC (0-)电荷守恒电荷守恒结论结论 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。1.

6、 00)()0()0(diqq 000)(ditiLuLdd d)(1)(tLuLti d) )(1d)(1)(00tLuLuLti duLitL)(1)0(0 当当u为有限值时为有限值时 d)()0()(0tutLLi L (0+)= L (0-)iL(0+)= iL(0-)磁链守恒磁链守恒iuL+-L结论结论 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。2. L (0+)= L (0-)iL(0+)= iL(0-)qc (0+) = qc (0-)uC (0+) = uC (0-)换路定律：换

7、路定律：换路定律换路定律成立的条件成立的条件注意注意: 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。三三. 电路初始值的确定电路初始值的确定(2) 由换路定律由换路定律 uC (0+) = uC (0-)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路等效电路mA2 . 010810)0( Ci(1) 由由0-电路求电路求 uC(0-)或或iL(0-)+-

8、10V+uC-10k40kuC(0-)=8V(3) 由由0+等效电路求等效电路求 iC(0+)iC(0-)=0 iC(0+)例例1+-10ViiC+uC-k10k40k求求 iC(0+)0)0( 0)0( LLuu iL(0+)= iL(0-) =2AVuL842)0( 例例 2iL+uL-L10VK1 4 t = 0时闭合开关时闭合开关k , 求求 uL(0+)+uL-10V1 4 0+电路电路2A先求先求AiL24110)0( 由换路定律由换路定律:求初始值的步骤求初始值的步骤:1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求由换路前电路（一般为稳定状态）求 uC(0-) 和和 iL(0-)。2.

9、由换路定律得由换路定律得 uC(0+) 和和 iL(0+)。3. 画画0+等值电路。等值电路。4. 由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。b. 电容电容（电感电感）用）用电压源电压源（电流源电流源）替代。）替代。a. 换路后的电路换路后的电路取取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、时刻值，方向同原假定的电容电压、 电感电流方向。电感电流方向。30j60 LELEImmLm)30sin( tLEimLLEtLEimtmL 2)30sin()0(0(1)(2) LEiimLL 2)0()0( ).0(),0(),0( RLLuui求VtEums)60sin( 已知已知例例3iL+

10、uL-LKR+-us+-uR(3) 0+电路电路LRERiumLR 2)0()0( LREEummL 223)0( VtEums)60sin( LEiimLL 2)0()0( 例例3iL+uL-LKR+-us+-uR+ +-+ +uL-R23mE+-uRiL(0+)iL(0+) = iL(0-) = ISuC(0+) = uC(0-) = RISuL(0+)= - RIS求求 iC(0+) , uL(0+)0+电路电路uL+iCRISR IS+0)0( RRIIiSsC例例4K(t=0)+ +uLiLC+ +uCLRISiC6-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应零输入响应：激励零输入

11、响应：激励(独立电源独立电源)为零，仅由储能元件初始储为零，仅由储能元件初始储 能作用于电路产生的响应。能作用于电路产生的响应。一一 、RC放电电路放电电路已知已知 uC (0-)=U0 解解: tuCiCdd iK(t=0)+uRC+uCR0)0(0ddUuutuRCCCC uR= RiRCp1 特征根特征根tRCe1 A 设设ptCeuA 0 ptptAeRCApe特征方程特征方程RCp+1=0得得ptCeuA 则则0dd ptptAetAeRC0)1( ptAeRCp0 CRuu初始值初始值 uC (0+)=uC(0-)=U0A=U0令令 =RC , 称称 为一阶电路的为一阶电路的时间常

12、数时间常数 01 )0(ttRCcAeutU0uC0000 teIeRURuiRCtRCtC0 0 teUuRCtctRCcAeu1 秒秒伏伏安安秒秒欧欧伏伏库库欧欧法法欧欧 RC I0ti0 电压、电流以同一指数规律衰减，衰减快慢取决于电压、电流以同一指数规律衰减，衰减快慢取决于RC乘积乘积时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = R C 大大 过渡过程时间的过渡过程时间的长长 小小 过渡过程时间的过渡过程时间的短短电压初值一定：电压初值一定：R 大大（ C不变）不变） i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间放电时间长长U0tuc0 小小

13、大大C 大大（R不变）不变） w=0.5Cu2 储能大储能大 11 RCpU0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 工程上认为工程上认为 , 经过经过 3 - 5 , 过渡过程结束。过渡过程结束。 ：电容电压：电容电压衰减到衰减到原来电压原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。次切距的长度次切距的长度 t2-t1 = t1时刻曲线的斜率等于时刻曲线的斜率等于)(1dd1011tueUtuCtttC I0tuc0 t1t2按此速率，经过按此速率，经过 秒后秒后uc减为零减为零t0 2 3 5 tceUu 0 U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3

14、 U0 e -5 )(368. 0)(12tutuCC 能量关系：能量关系：RdtiWR 02C不断释放能量被不断释放能量被R吸收吸收,直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕.设设uC(0+)=U0电容放出能量电容放出能量 2021CU电阻吸收（消耗）能量电阻吸收（消耗）能量RdteRURCt2 00)( 2021CU uCR+-CdteRURCt2 020 02 20| )2(RCteRCRU二二. RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0LR 特征根特征根 p =由初始值由初始值 i(0+)= I0 定积分常数定积分常数AA= i(0+)= I0i (0+) = i (

15、0-) =01IRRUS 00dd tRitiLiK(t=0)USL+uLRR1ptAeti )(0)(00 teIeItitLRpt得得tiLuLdd 令令 = L/R , 称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数tLReIi 0 0/ 0 teRIRLt0/ 0 teIRLti(0)一定：一定： L大大 起始能量大起始能量大 R小小 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢放电慢 大大-RI0uLtI0ti0秒秒欧欧安安秒秒伏伏欧欧安安韦韦欧欧亨亨 RL iL (0+) = iL(0-) = 1 AuV (0+)= - 10000V 造成造成V损坏。损坏。例例iLK(t=0)+uVL

16、=4HR=10 VRV10k 10Vt=0时时 , 打开开关打开开关K，求，求uv。现象现象 ：电压表坏了电压表坏了 / tLei 电压表量程：电压表量程：50VsVRRL4104100004 0100002500 teiRutLVV分析分析iLLR10V小结：小结：4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2. 衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于

17、时间常数 RC电路电路 = RC , RL电路电路 = L/R3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 teyty )0()(时间常数时间常数 的简便计算：的简便计算：R1R2L = L / R等等 = L / (R1/ R2 )+ +- -R1R2L例例1例例2R等等C = R等等C6-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应零状态响应零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用：储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用 下产生的响应下产生的响应SCCUutuRC dd列方程：列方程：iK(t=0)US+uRC+uCRuC (0-)=0非

18、齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程解答形式为：解答形式为：cccuuu 齐次方程的通解齐次方程的通解非齐次方程的特解非齐次方程的特解一一. RC电路的零状态响应电路的零状态响应与输入激励的变化规律有关，周期性激励时与输入激励的变化规律有关，周期性激励时强制分量强制分量为为电路的稳态解，此时强制分量称为电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量稳态分量RCtCAeu 变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定全解全解uC (0+)=A+US= 0 A= - US由起始条件由起始条件 uC (0+)=0 定定积分常数积分常数 A齐次方程齐次方程 的通解的通解0dd CCutuRC：特

19、解（强制分量）特解（强制分量）Cu = USCu ：通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）Cu RCtSCCCAeUuuu SCCUutuRC dd)0( )1( teUeUUuRCtSRCtSSc强制分量强制分量(稳态稳态)自由分量自由分量(暂态暂态)RCtSeRUtuCi ddC-USuCuCUStiRUS0tuc0能量关系能量关系电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。储存在电容中。221SCU 221SCU电容储存：电容储存：电源提供能量：电源提供能量：20dSRCtSSCUteRUU 电阻消耗电阻

20、消耗tRRUtRiRCSted)(d2002 RC+-US二二. RL电路的零状态响应电路的零状态响应SLLUiRtdidL )1(tLRSLeRUi tLRSLLeUtiLu ddiLK(t=0)US+uRL+uLR解解iL(0-)=0求求: 电感电流电感电流iL(t)已知已知LLLiii tuLUStiLRUS00RUiSL A0)0(tLRSAeRU 三三 . 正弦电源激励下的正弦电源激励下的零状态响应（以零状态响应（以RL电路为例）电路为例） iL(0-)=0iK(t=0)L+uLRuS+-)sin(umstUu i (0-)=0 utuS求：求：i (t) 接入相位角接入相位角)si

21、n(umtUdtdiLRi iii 强制分量强制分量(稳态分量稳态分量)自由分量自由分量(暂态分量暂态分量) tei A RSUj L+-I22)( LRUImm RL arctg )sin( umtIi)sin(umstUu iL(0-)=0iK(t=0)L+uLRuS+-用相量法计算稳态解用相量法计算稳态解i tumAetIiii )sin()sin( umIA tumumeItIi )sin()sin( 解答为解答为讨论几种情况：讨论几种情况：1）合闸合闸 时时u = ，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。电路直接进入稳态，不产生过渡过程。2） u = /2 即即 u - = /2tIim

22、 sinmIA tmeIi 定积分常数定积分常数AAIium )sin(0)0( 由则则 A = 0, 无暂态分量无暂态分量0 i tmumeItIi )sin( u = - /2时波形为时波形为mIi2max 最大电流出现在最大电流出现在 t = T/2时刻。时刻。iImi tmmeItIi )2/sin( -Imi T/2ti06-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应全响应全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应一一. 一阶电路的全响应及其两种分解方式一阶电路的全响应及其两种分解方式iK(t=0)US+uRC+uCRSCCUutuR

23、C dd稳态解稳态解 uC = US解答为解答为 uC(t) = uC + uCuC (0-)=U0非齐次方程非齐次方程 =RC tSCeUu A 暂态解暂态解 tCeu A1、全响应、全响应uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US由起始值定由起始值定A0)(0 teUUUutSSC 强制分量强制分量(稳态解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)0)(0 teUUUutSSC uC-USU0暂态解暂态解uCUS稳态解稳态解U0uc全解全解tuc0(1). 全响应全响应 = 强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)2、全响应的两种分解方式、全响应的两种分解方

24、式iK(t=0)US+uRC+uCRuC (0-)=U0iK(t=0)US+uRC+ uCR=uC (0-)=0+uC (0-)=U0C+ uCiK(t=0)+uRR(2). 全响应全响应= 零状态响应零状态响应 + 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应)0()1(0 teUeUuttSC 等效等效+-ucuC (0-)=U0iC+-U0uciC)0()1(0 teUeUuttSC 零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应tuc0US零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0(3).两种分解方式的比较两种分解方式的比较)0()1(0 teUeUuttSC

25、零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应)0()1(0 teUeUuttSC 物理概念清楚物理概念清楚便于叠加计算便于叠加计算 全响应全响应= 零状态响应零状态响应 + 零输入响应零输入响应全响应全响应 = 强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)二二. 三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路 teffftf )()0()()(0 时间常数时间常数起始值起始值稳态解稳态解三要素三要素 )0( )( ff一阶电路的数学模型是一阶微分方程：一阶电路的数学模型是一阶微分方程： teftf A)()(令令 t = 0+A)()0(0

26、ff 0)()0(ffAcbftdfda 其解答一般形式为：其解答一般形式为：1A2 例例11 3F+-uCV2)0()0( CCuuV667. 01122)( Cus2332 CR等等 033. 1667. 0)667. 02(667. 05 . 05 . 0 teeuttC已知：已知： t=0时合开关时合开关 求求 换路后的换路后的uC(t) 。解：解：tuc2(V)0.6670 tcccceuuutu)()0()()(例例2i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)3 2 已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能 t = 0 时合时合 k1 , t =0.2s时合时合k2 求两次换路

27、后的电感电流求两次换路后的电感电流i(t)。解：解： 0 t 0.2sA2)(s2 . 00)0(1 ii Aii5)(5 . 026. 1)2 . 0(2 26. 122)2 . 0(2 . 05 eiA74. 35)()2 . 0(2 teti)2 . 0(274. 35 teitei522 (0 t 0.2)( t 0.2)it(s)0.25(A)1.262例例3. 脉冲序列分析脉冲序列分析1. RC电路在单个脉冲作用的响应电路在单个脉冲作用的响应RCusuRuci10Ttus)0(1Ttus 0 su0 tTt1. 0tTRCtcccceuuutu )()0()()(2222VeTuu

28、RCTcc 1)()0(12Vuc0)(2 RC TtVeetuRCTtRCTc ,)1()(2TtVtutucR ,)()(22TtAeRetiRCtRCT ,1)(1uc(t )uR(t )t0RCusuRucit0(a) T, uc为输出为输出t0输出近似为输入的积分输出近似为输入的积分RCusuRuci2. 脉冲序列分析脉冲序列分析t0(a) T RCusuRuciU1U2ucuR6-5 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应一一 单位阶跃函数单位阶跃函数1. 定义定义 0)( 10)( 0)(ttt )(t 用用来描述开关的动作来描述开关的动作t = 0合闸合闸 u(t) = E)(t

29、 t = 0合闸合闸 i(t) = Is)(t t (t)01IsK)(tiu(t)(tE KEu(t)2. 单位阶跃函数的延迟单位阶跃函数的延迟 )( 1)( 0)(000tttttt 3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号由单位阶跃函数可组成复杂的信号例例 1)()()(0ttttf (t)tf(t)101t0tf(t)0t (t-t0)t001t0- (t-t0)1()1()()( tttttf 例例 21t1 f(t)0)1()1()( tttt)(tt )1()1( ttiC+uCRuC (0-)=0)(t )( )1()( tetuRCtC )( 1)( teRtiRCt tuc1t

30、0R1i 二、阶跃响应：二、阶跃响应：单位阶跃函数激励下电路中产生的零状态响应单位阶跃函数激励下电路中产生的零状态响应注意注意)( teiRCt 和和0 teiRCt的区别的区别tiC0激励在激励在 t = t0 时加入，时加入，则响应从则响应从t=t0开始。开始。iC (t -t0)C+uCR+-t- t0 RCCeRi 1( t - t0 )R1t0注意注意 RCeRE t( t - t0 )不要写为不要写为)5 . 0(10)(10 ttuS 例例 求图示电路中电流求图示电路中电流 iC(t)10k10kus+-ic100 FuC(0-)=010k10k+-ic100 FuC(0-)=0

31、)(10t 10k10k+-ic100 FuC(0-)=0)5 . 0(10 t 0.510t(s)us(V)0+-ic100 FuC(0-)=05k)(5t s5 . 01051010036 RC 10k10k+-ic100 FuC(0-)=0)5 . 0(10 t mA)5 . 0()5 . 0(2 teitCmA)(2teitC mA)5 . 0()()5. 0(22 teteittC10k10k+-ic100 FuC(0-)=0)(10t 等效等效RCtSeRUtuCi ddC分段表示为分段表示为 s)0.5( mA 0.632-s)5 . 0(0 mA )(5)0.-2(-2tete

32、tittt(s)i(mA)01-0.6320.5波形波形0.368mA)5 . 0()()5. 0(22 teteittC)5 . 0()5 . 0()5 . 0()()5. 0(2222 teteteteittttC)5 . 0()5 . 0()5 . 0()()5. 0(222 tetettettt)5 . 0()5 . 0()5 . 0()()5 . 0(2)5 . 0(212 teteettettt)5 . 0(632. 0)5 . 0()()5 . 0(22 tettett6-6 一阶电路的冲激响应一阶电路的冲激响应一一 单位冲激函数单位冲激函数1. 单位脉冲函数单位脉冲函数 p(t

33、)()(1)( tttp 1d)( ttp 1/ tp(t)0 1 0)()(lim0ttp 2. 单位冲激函数单位冲激函数 (t) / 21/ tp(t)- / 2)2()2(1)( tttp 定义定义 0)( 00)( 0)(ttt 1d)(tt t (t)(1)0+-C+uc-icus例例 2/ 2/2/)2/(2/ 0 tEttEtusscuu ustE /20- /2tuCiCCdd )2/()2/( ttCECE/ iCCEtiqC d 0uCE (t)iC CE (t)iCtCE (t)0uCtE0iCt /2CE/ 0- /2uCtE /20- /2K+uCECiC3. 单位冲

34、激函数的延迟单位冲激函数的延迟 (t-t0) 1d)()( 0)(000ttttttt t = t0iCtCE (t-t0)t00t (t-t0)t00（1）4. 函数的筛分性函数的筛分性 tttfd)()( )(d)()(00tfttttf 同理有：同理有： d)6()(sin tttt f(0) (t)02. 162166sin )0(d)()0(fttf 例例t (t)(1)0f(t)f(0)* f(t)在在 t0 处连续处连续=1=0Cuc1)0( )(tRudtduCcc 000000)( dttdtRudtdtduCcc uc 不可能是冲激函数不可能是冲激函数 , 否则否则KCL不成立不成立1 . 分二个时间段来考虑冲激响应分二个时间段来考虑冲激响应iCRisC+-uC0- 0+0+ t零输入响应零输入响