二阶常系数齐次线性微分方程-欢迎来到重庆邮电大学理学院

1、一、定义一、定义)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式第九节第九节 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特

2、征根0 qyypy 有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0( 特征根为特征根为,11xrey 已知已知为为方方程程的的两两个个特特解解xrey22 反之：反之：如如何何求求微微分分方方程程？为为特特征征方方程程的的根根21, rr0)(21 rrrr则特征方程为则特征方程为0)(21212 rrrrrr0)(2121 yrryrry微分方程为微分方程为 有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0

3、( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为,1xrxey 已知已知为为方方程程的的一一个个特特解解反之：反之：如如何何求求微微分分方方程程？为为特特征征方方程程的的重重根根r0)(21 rr则则特特征征方方程程为为022112 rrrr02211 yryry微分方程为微分方程为 有一对共轭复根有一对共轭复根,1 jr ,2 jr ,)(1x

4、jey ,)(2xjey )0( 重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyjy ,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征根为特征根为定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例1 1.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522

5、 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2方方程程。的的三三个个特特解解，求求此此微微分分次次微微分分方方程程是是二二阶阶常常系系数数线线性性非非齐齐：已已知知例例xxxxxxxxxeeqyypyeexeyxeyexey2,323221 ,31xeyy 解：解：,221xeyy 11 r特征根特征根22 r特特征征根根0)2)(1( rr特征方程为：特征方程为：022 rr02 yyy齐齐次次方方程程为为xxxeeyyy22 微分方程为微分方程为三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)( yPyP

6、yPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每一而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项个根都对应着通解中的一项, 且每一项各且每一项各一个任意常数一个任意常数.nnyCyCyCy 2211特征根为特征根为, 154321jrrjrrr 故所求通解为故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程为特征方程为, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例4 4二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. (见下表见下表)02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实