lesson18FIR数字滤波器的设计方法

1、FIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 Design of FIR Digital FiltersLesson 18复习提问l什么是双线性变换法？它有什么特点？什么是双线性变换法？它有什么特点？l模拟巴特沃斯滤波器是如何定义的，其两个关模拟巴特沃斯滤波器是如何定义的，其两个关键参数是？键参数是？l巴特沃斯滤波器的零点和极点分布？巴特沃斯滤波器的零点和极点分布？l设计巴特沃斯滤波器的四大步骤是？设计巴特沃斯滤波器的四大步骤是？主要知识点主要知识点lIIR数字滤波器与数字滤波器与FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点l窗函数法设计窗函数法设计FIR数字滤波器的方法与步骤数字滤波器的方法与步

2、骤l几种不同的窗函数的特性几种不同的窗函数的特性l频率取样法设计频率取样法设计FIR数字滤波器数字滤波器IIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点 设计方法利用了模拟滤波器的研究成果，设计方法简单而设计方法利用了模拟滤波器的研究成果，设计方法简单而有效，能得到有效，能得到较好的幅度特性较好的幅度特性，特别是双线性变换方法由，特别是双线性变换方法由于于没有频谱混叠没有频谱混叠，因而很受欢迎。，因而很受欢迎。但缺点是它的但缺点是它的相位是非线性的相位是非线性的，因而不好控制。，因而不好控制。FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点l 容易得到容易得到严格的线性相位严格的线性相位。l 极点都位于原点，所以

3、极点都位于原点，所以系统总是稳定系统总是稳定的。的。l 可以采用非递归结构，不会出现递归结构中的极限环振可以采用非递归结构，不会出现递归结构中的极限环振荡现象。荡现象。l 可以可以用用FFT来计算来计算，从而大大提供运算效率。，从而大大提供运算效率。l 缺点是为了很好的逼近锐截止滤波器，意味着很长取样缺点是为了很好的逼近锐截止滤波器，意味着很长取样响应，从而响应，从而延时很大延时很大，且，且不一定是样本间隔的整数倍不一定是样本间隔的整数倍。4.线性相位线性相位FIR滤波器滤波器 H nh为偶数NFIR滤波器的设计方法滤波器的设计方法 与与IIR数字滤波器的设计方法很不一样，它不能利用模拟滤数字

4、滤波器的设计方法很不一样，它不能利用模拟滤波器的设计方法。波器的设计方法。主要有窗函数法、频率取样法和等波纹逼进法等，我们课主要有窗函数法、频率取样法和等波纹逼进法等，我们课程主要介绍程主要介绍窗函数法窗函数法，也简单介绍，也简单介绍频率取样法频率取样法。窗函数法窗函数法理想低通滤波器理想低通滤波器先看一个例子，理想低通滤波器的先看一个例子，理想低通滤波器的频率响应频率响应和和单位取样响单位取样响应应分别为分别为:和和ccjdeH, 0, 1 nndedeeHnhcnjnjjddccsin2121理想低通滤波器理想低通滤波器jdeH nhd理想低通滤波器的理想低通滤波器的频率响应频率响应和和单

5、位取样响应单位取样响应理想低通滤波器理想低通滤波器l 理想低通滤波器是理想低通滤波器是非因果非因果的，它的单位取样响应是无限的，它的单位取样响应是无限 长的。长的。l 理想低通滤波器是理想低通滤波器是不稳定不稳定的的，（，（因为因为 不是绝对可不是绝对可 和的）和的）但是，可以将无限长冲激响应序列但是，可以将无限长冲激响应序列截断截断，得到一个有限长，得到一个有限长序列，并用它逼近理想低通滤波器。这就是利用序列，并用它逼近理想低通滤波器。这就是利用窗函数法窗函数法设计设计FIR数字滤波器的基本原理。数字滤波器的基本原理。nncsin理想低通滤波器理想低通滤波器上面的例子没有考虑理想低通滤波器的

6、上面的例子没有考虑理想低通滤波器的时延时延。设一理想低。设一理想低通滤波器的截止频率为通滤波器的截止频率为 ，时延为，时延为 ，即，即cccjjdeeH, 0,对应的冲激响应为对应的冲激响应为 nndeenhcnjjdccsin21显然，显然， 是以是以 为中心的为中心的无限长无限长非因果序列非因果序列 nhd矩形窗矩形窗 nhd nh nw1N21N nhnwnhd逼近的基本条件逼近的基本条件现在需要选择一个现在需要选择一个有限长有限长序列序列 来逼进来逼进 ， 应满足应满足FIR滤波器的基本条件，即它是滤波器的基本条件，即它是偶对称或奇对称偶对称或奇对称的，的，以满足以满足线性相位线性相位

7、的要求，它还应当是的要求，它还应当是因果因果的。这样有的。这样有 和和 nhd nh nh 其它, 010,Nnnhnhd21N时延条件时延条件 是为了满足偶对称的要求是为了满足偶对称的要求21N加窗加窗相乘相乘可以把可以把 看作是看作是 与一矩形序列与一矩形序列 相乘相乘的结果，的结果，如上图所示，即如上图所示，即其中其中 称为称为矩形窗矩形窗。窗函数不一定是矩形窗函数，也可以。窗函数不一定是矩形窗函数，也可以是其它窗函数，因此一般将是其它窗函数，因此一般将 表示为表示为 nhd nh nhnwnhdR 其它, 010, 1NnnwR nwR nwR nh nhnwnhd频谱上卷积频谱上卷积

8、根据傅立叶变换的卷积性质，根据傅立叶变换的卷积性质， 的频谱函数可表示为的频谱函数可表示为即即FIR数字滤波器的频谱函数是数字滤波器的频谱函数是理想低通滤波器的频谱函数理想低通滤波器的频谱函数与窗函数的频谱的卷积与窗函数的频谱的卷积。采用不同的窗函数，对应的。采用不同的窗函数，对应的 有不同的形状。有不同的形状。矩形窗矩形窗 的频谱为的频谱为 其中其中 nhjjdjeWeHeH21jeH nwR jRNjNnjjReWeNeeW21102/sin2/sin 2/sin2/sinNWR21N，矩形窗的频谱矩形窗的频谱矩形窗的频谱矩形窗的频谱 的图形如图所示，的图形如图所示， 从从 到到 之间的之

9、间的 称为窗称为窗函数频谱的函数频谱的主瓣主瓣，主瓣，主瓣两侧呈衰减振荡的部分两侧呈衰减振荡的部分称为称为旁瓣旁瓣。 2/sin2/sinNWRNN/2N/2 RWN/2N/2 RW理想低通滤波器理想低通滤波器理想低通滤波器的理想低通滤波器的频率响应频率响应可表示为可表示为其其幅度响应幅度响应 为为所以，所以，FIR数字滤波器的频率响应表示为数字滤波器的频率响应表示为 jdjdeHeH ccdH, 0, 1 dH dWHedeWeHeWeHeHRdjjRjdjjdj212121加窗后的影响加窗后的影响因此因此FIR数字滤波器的数字滤波器的幅度响应幅度响应为为上式表明，由理想低通滤波器的冲激响应

10、上式表明，由理想低通滤波器的冲激响应加窗加窗得到的得到的FIR滤波器，它的幅度响应等于理想低通滤波器的幅度滤波器，它的幅度响应等于理想低通滤波器的幅度响应与窗函数频谱的幅度响应的卷积。应特别注意响应与窗函数频谱的幅度响应的卷积。应特别注意周期周期卷积卷积给给FIR数字滤波器的幅度响应造成的数字滤波器的幅度响应造成的起伏现象起伏现象。 dWHHRd21加窗后的影响加窗后的影响加窗后的影响加窗后的影响由上图可以看出，理想低通滤波器经加窗处理后，主要受到两方面由上图可以看出，理想低通滤波器经加窗处理后，主要受到两方面的影响。的影响。 滤波器的频率响应在滤波器的频率响应在不连续点不连续点处出现过渡带，

11、它主要是由窗函处出现过渡带，它主要是由窗函数频谱的主瓣引起的，数频谱的主瓣引起的，过渡带的宽度取决于窗函数主瓣的宽度过渡带的宽度取决于窗函数主瓣的宽度，矩形窗对应的过渡带的宽度矩形窗对应的过渡带的宽度 。一般来说过渡带的。一般来说过渡带的宽度与宽度与 N 成成反比反比。 滤波器在通带和阻带内产生滤波器在通带和阻带内产生波纹波纹，这种现象称为，这种现象称为 Gibbs 现象现象，主要是由窗函数的频谱的主要是由窗函数的频谱的旁瓣造成的旁瓣造成的。不同窗函数的频谱的主。不同窗函数的频谱的主瓣和旁瓣的形状是不同的。瓣和旁瓣的形状是不同的。N/4对窗函数的要求对窗函数的要求一般情况下，对窗函数的要求有两

12、点：一般情况下，对窗函数的要求有两点： 旁瓣高度尽可能小旁瓣高度尽可能小，即尽可能让能量集中于主瓣，以减，即尽可能让能量集中于主瓣，以减少通带和阻带中的波纹。少通带和阻带中的波纹。主瓣宽度尽可能窄主瓣宽度尽可能窄，以获得尽可能陡的过渡带。，以获得尽可能陡的过渡带。但是，上述两点的要求是但是，上述两点的要求是互相矛盾互相矛盾的，不可能同时满足。具体的，不可能同时满足。具体来说，降低旁瓣高度必然会使主瓣变宽；反之，压窄主瓣宽度，来说，降低旁瓣高度必然会使主瓣变宽；反之，压窄主瓣宽度，不可避免地会使得旁瓣变高。不可避免地会使得旁瓣变高。窗函数法窗函数法用矩形窗用矩形窗截取截取无限长序列无限长序列 得

13、到有限长序列得到有限长序列 ，由于突然将由于突然将 截短，因而破坏了序列截短，因而破坏了序列 的均匀收的均匀收敛性，这意味着人为地敛性，这意味着人为地强迫强迫 收敛收敛。不均匀收敛性。不均匀收敛性在频谱中是以在频谱中是以 Gibbs 现象反映出来的。矩形窗所形成的现象反映出来的。矩形窗所形成的FIR滤波器的频率响应的波纹幅度很大，最大肩峰值高达滤波器的频率响应的波纹幅度很大，最大肩峰值高达 8.95%。 nhd nh nhd nhd nhd窗函数法窗函数法为了减小波纹幅度为了减小波纹幅度l一方面可以加大窗的长度一方面可以加大窗的长度 N，但效果并不显著；，但效果并不显著；l另一方面可采用不同的

14、窗函数来另一方面可采用不同的窗函数来改善不均匀收敛性改善不均匀收敛性。下面就介绍其它几种常用的窗函数的定义和频谱函数。下面就介绍其它几种常用的窗函数的定义和频谱函数。(p143, 图图4.50)常用的窗函数常用的窗函数常用的窗函数常用的窗函数矩形窗矩形窗 其它, 010, 1NnnwR 2/sin2/sinNWR巴特利特巴特利特 (Bartlett) 窗窗 (三角形窗三角形窗) 121,122210,12NnNNnNnNnnw 22/sin2/sin12NNW常用的窗函数常用的窗函数汉宁窗汉宁窗 (Hanning) (升余弦窗升余弦窗) 10,12cos121NnNnnw nWNnnwR12c

15、os121或或 121225. 05 . 0NWNWWWRRR常用的窗函数常用的窗函数哈明窗哈明窗 (Hamming) nWNnnwR12cos46. 054. 0 121223. 054. 0NWNWWWRRR布莱克曼窗布莱克曼窗 (Blackman) nWNnNnnwR14cos08. 012cos5 . 042. 0 141404. 0121225. 042. 0NWNWNWNWWWRRRRR常用的窗函数常用的窗函数凯泽窗凯泽窗 (Kaiser) 0201121INnInw其中，其中， 是第一类修正零阶是第一类修正零阶贝塞尔函数贝塞尔函数。它可用以下级数来计算。它可用以下级数来计算实际应

16、用中，级数取实际应用中，级数取1525项就可以达到足够的精度。项就可以达到足够的精度。 xI0 210!2/1kkkxxI常用的窗函数常用的窗函数凯泽窗凯泽窗 (Kaiser)凯泽窗是凯泽窗是一族窗函数一族窗函数。 是可调参数，调节是可调参数，调节 值可以改变值可以改变主瓣的宽度和旁瓣的幅度，主瓣的宽度和旁瓣的幅度， 的典型值在的典型值在 范围内范围内 时，凯泽窗接近于哈明窗时，凯泽窗接近于哈明窗 时，凯泽窗接近于布莱克曼窗时，凯泽窗接近于布莱克曼窗 时，凯泽窗就是矩形窗时，凯泽窗就是矩形窗参数参数 选得越大，窗的频谱的旁瓣就越小，但主瓣的宽选得越大，窗的频谱的旁瓣就越小，但主瓣的宽度也相应增加度也相应增加。9444. 55 . 80常用的窗函数常用的窗函数上述上述6种窗的主要特性参数如下表种窗的主要特性参数如下表窗函数窗函数旁瓣旁瓣峰值幅峰值幅度度 dB主瓣主瓣过渡带过渡带宽度宽度最小最小阻带衰阻带衰减减 dB矩形窗矩形窗-13-21巴特利特窗巴特利特窗-25-25汉宁窗汉宁窗-31-44哈明窗哈明窗-41