lecture5_即期利率、远期利率

1、第五讲 即期利率、远期利率及利率的期限结构 即期利率、远期利率即期利率就是当前时刻各种不同期限的零息债券的到期收益率。到期期限不同，即使其他条件相同，债券的即期利率通常也会不同。远期利率是指现在时刻的将来一定期限的利率。如14远期利率，即表示1个月之后开始的期限3个月的远期利率。即期利率可以用如下公式表示：tttsMP1式中：Pt零息债券的价格 Mt零息债券到期日的价值 st即期利率远期利率与即期利率是相互关联的。如果一年期零息国债的即期利率是8%，两年期零息国债的即期利率为10%，我们可以据此求出第二年的一年期远期利率为：1 (1.10)2/1.08 1=12.04%一般地，如果一年期即期利

2、率为s1,两年期即期利率为s2,可用下式计算第2年的远期利率f1,2：(1+s1)(1+f1,2)=(1+s2)2由此，远期利率与基期利率的关系为：ttttttttttsfffssfs)1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 (, 13 , 22, 11, 111利率结构的重要性金融市场上存在种类繁多的债券，其利率千差万别。期限相同风险不同，债券的适用收益率不同。风险相同，期限不同，债券的适用收益率也不同。在求债券的价值时，按照一个统一的贴现率对所有现金流进行贴现的方法只有在收益率曲线是平的时才成立。即期利率曲线为债券的定价提供了基准利率利率风险结构因风险不同形成的利率的结

3、构称为利率的风险结构。因期限不同形成的利率的结构称为利率的期限结构。主要风险：信用风险：现实中主要看债券的评级确定风险升水流动性税收差异其他特殊条款利率的期限结构2012年2月8日任何特定时刻的收益率曲线都是由当时市场参与者的预期和风险偏好决定的利率期限结构理论无偏预期理论：债券持有人对期限没有偏好，第t 年的远期利率与预期的第t 年即期利率相等。收益率曲线的形状主要由市场预期的短期利率水平决定。流动性偏好理论：投资者偏好短期限债券市场分割理论：投资者各有其偏好的投资期限。特定期限偏好理论流动性偏好理论(liquidity preference theory)从长期利率中提炼出来的远期利率同时

4、反映了市场对未来的预期和流动性风险溢酬，剩余期限越长，该风险溢酬越大。优点：同时考虑了预期和流动性风险溢酬的影响缺陷风险溢酬并不必然随时间递增投资者特定的资产状况使得他们偏好某些期限债券市场分割理论(market segmentation theory）投资者有各自的投资期限偏好，并且偏好不变。利率曲线的形状由短、中和长期市场的各自供求关系决定。缺陷：市场分割理论也可以解读为投资者对投资其他期限所要求的风险溢酬无穷大，从而使得他们不可能改变投资偏好。期限偏好理论（preferred habitat theory）流动性偏好理论和市场分割理论的结合不同资产负债状况的投资者通常有着特定偏好的投资期

5、限，但这些偏好并非是完全不变的。当不同期限债券的供求发生变化，一些期限的债券供求不再平衡，从而使得相应期限的风险溢酬变化到足以抵消利率风险或再投资风险时，一些投资者的偏好就会发生转移。利率期限结构理论评析流动性偏好和期限偏好理论都认为长期利率反映了市场对未来的预期和风险溢酬，都被称为“有偏期望理论”（biased expectation theory）。相对于流动性偏好理论，期限偏好理论引入了投资者的期限偏好，并认为风险溢酬并非简单随期限递增；相对于市场分割理论，期限偏好理论则加入了市场预期和风险溢酬的思想。收益率曲线的建立相同期限，不同票面利率的国债，到期收益率并不相同。在求债券的价格时，正

6、确的做法是将所有的债券都看作是由一些零息债券构成的组合，债券的价格就等于各零息债券的价值之和。每个现金流的贴现率应该以政府债券即期利率曲线提供的相同期限的即期利率作为基准。收益率曲线的建立理论即期收益率曲线是以市场上国债的收益率为基础，从理论上推导出的无风险国债收益率。虽然从理论上似乎直接使用各不同期限的零息债券（包括剥离债券）收益率就可以绘制出实际的即期收益率曲线。但存在一些问题：零息债券的流动性通常不如附息债券.零息债券与附息债券的税收处理不同;负现金流的存在剥离债券税收规定不同构造收益率曲线的方法之解鞋带法当纯零息债券无法得到或者这些债券的流当纯零息债券无法得到或者这些债券的流动性特别差

7、时，使用解鞋带法是得到即期动性特别差时，使用解鞋带法是得到即期收益率曲线的最常用方法收益率曲线的最常用方法用解鞋带法构建收益率曲线是以新发国债用解鞋带法构建收益率曲线是以新发国债的收益率为基础的。举例说明做法如下：的收益率为基础的。举例说明做法如下：设当前国债的面值收益率如下表前三栏所设当前国债的面值收益率如下表前三栏所示，则可以用这里的方法求出相应各期的示，则可以用这里的方法求出相应各期的即期利率即期利率国债及其利率的计算国债及其利率的计算半年半年年年票面利率票面利率( (YTM)YTM)价格价格即期利率即期利率远期利远期利率率1 10.50.52.50%2.50%2.5000%2.5000

8、%2 21 12.60%2.60%2.6000%2.6000% 2.7000%2.7000%3 31.51.52.75%2.75%100010002.7525%2.7525% 3.0578%3.0578%4 42 22.80%2.80%100010002.8030%2.8030% 2.9546%2.9546%5 52.52.52.90%2.90%100010002.9054%2.9054% 3.3155%3.3155%6 63 33.00%3.00%100010003.0085%3.0085% 3.5248%3.5248%7 73.53.53.20%3.20%100010003.2177%3.

9、2177% 4.4774%4.4774%8 84 43.50%3.50%100010003.5363%3.5363% 5.7805%5.7805%9 94.54.53.80%3.80%100010003.8595%3.8595% 6.4636%6.4636%10105 54.00%4.00%100010004.0761%4.0761% 6.0359%6.0359%半年与半年与1年期债券的到期收益率就是相应期限的即期年期债券的到期收益率就是相应期限的即期利率。利率。1年半期的现金流模式为：年半期的现金流模式为：半年：半年：10002.75%/2=13.751年：同上年：同上1年半：年半：1000

10、+ 10002.75%/2=1013.751000=13.75/(1+2.50%/2)+13.75/(1+2.60%/2)2 +1013.75/(1+r3/2)3由此求得：由此求得：r3 = 2.7525%依次可以求得以后各期限的即期利率依次可以求得以后各期限的即期利率用前述即期利率与远期利率的关系公式可求得后面每半用前述即期利率与远期利率的关系公式可求得后面每半年的远期利率。年的远期利率。构造收益率曲线的方法之统计方法折现因子折现因子定义定义折现因子是未来时间点的折现因子是未来时间点的$1在在0时点的价格，被表示为时点的价格，被表示为dt通常通常 t 用年来表示用年来表示 (例如，例如， 3

11、个月为个月为 0.25, 10 天为天为 10/365 = 0.0274)。折现因子与年有效收益率的关系为折现因子与年有效收益率的关系为tttyd)1 (1假设市场上存在许多附息债券，第i种债券的价格用Pi表示，第i种债券在时间t支付的现金流记为cit, 可以将i债券的价格表示如下：iiniiidcdcdP2211i为随机误差项。用市场数据做回归分析，可以求出各期折现因子，进而求出各期限的即期收益率，得到收益率曲线。样条函数法：实践中，常假设贴现因子具有以时间为自变量的函数的形式。 而且从时间上分段将函数假定为样条函数(spline functions):一些相对简单的分段多项式连接而成，段内

12、光滑，段间连接处也具有一定光滑性的函数。美国财政部公布之每日国债利率，其计算就是三次样条函数法。即设：321ctbtatdt三次多项式样条基本做法假设根据市场经验，以5年和15年为分界点，将利率期限结构划分为短、中、长期，并构造以下三次样条函数：30,15( (5,15t 0,5t 133233332222231211ttctbtadtctbtadtctbtadt令上面求出的值、一阶导数、二阶导数值在5年、10年两个节点处相等，用回归分析求出。然后构造出整个收益率曲线。利用收益率曲线正确计算债券价值计算债券价值的正确方法是，将债券的利息和本金所形成的每次现金流都看作是一个零息债券，对每个现金流

13、都采用与之期限相当的贴现率计算现值，然后加总。例题：期限为20年的付息债券，票面利率7%，利息按年支付。利率结构如表第二列所给，求债券的价值。期限期限( (年年) ) 即期利率即期利率现金流现金流现金流现值现金流现值1 15.0000%5.0000%7 76.66666676.66666672 25.1026%5.1026%7 76.33681636.33681633 35.2070%5.2070%7 76.01124096.01124094 45.3680%5.3680%7 75.67888525.67888525 55.4763%5.4763%7 75.36196045.36196046

14、65.5874%5.5874%7 75.05155945.05155947 75.7256%5.7256%7 74.74063954.74063958 85.8428%5.8428%7 74.44434214.44434219 95.8475%5.8475%7 74.1973254.19732510106.0007%6.0007%7 73.90850533.908505311116.1307%6.1307%7 73.63786623.637866212126.2803%6.2803%7 73.37027073.370270713136.4358%6.4358%7 73.11141233.111412314146.5983%6.5983%7 72.86150262.861502615156.7687%6.7687%7 72.62082922.620829216166.9484%6.9484%7 72.38951292.389512917177.1388%7.1388%7 72.16771822.167718218187.3418%7.3418%7 71.95550221.955502219197.5596%7.5596%7 71.75292631.752926320207.7950%