矩阵理论与方法线性空间与线性变换

1、1 1矩阵理论与方法矩阵理论与方法第第1 1章章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换庄庄 伯伯 金金BB2 2主要内容n线性空间线性空间n线性空间的基本概念线性空间的基本概念n线性空间的基与坐标、基变换与坐标变换线性空间的基与坐标、基变换与坐标变换n线线性子空间及运算性子空间及运算n线性变换及其矩阵线性变换及其矩阵n线性变换、运算、矩阵表示线性变换、运算、矩阵表示n特征值与特征向量、对角矩阵特征值与特征向量、对角矩阵n不变子空间不变子空间nJordanJordan标准形标准形n特殊线性空间特殊线性空间nEuclidEuclid空间空间n正交矩阵、对称矩阵、酉空间正交矩阵、对称矩阵、酉空间3

2、3线性空间的概念n定义定义：设：设 是一个非空集合，元素用是一个非空集合，元素用 表示，表示， 是一个数域，元素是一个数域，元素用用 表示。在表示。在 中定义加法运算以及与数域中元素的数乘运算，即中定义加法运算以及与数域中元素的数乘运算，即对对 及及 ，分别存在唯一的，分别存在唯一的 。若加法运算与数乘运。若加法运算与数乘运算满足如下性质：算满足如下性质：n加法满足结合律加法满足结合律n加法满足交换律加法满足交换律n存在零元存在零元n存在逆元，对任意向量存在逆元，对任意向量 ，存在，存在 ，满足，满足 。可称。可称 为为 的负元素，记作的负元素，记作 。n数数乘对向量加满足分配律乘对向量加满足

3、分配律 n数乘对数量加满足分配律数乘对数量加满足分配律n数数乘满足结合律乘满足结合律n单位数乘单位数乘 则称则称 为数域为数域 上的上的线性空间线性空间或或向量空间向量空间。V, ,x y zK, ,k l mV, x yVkK,xy kxV()()xyzxyzxyyx0 xxxVyV0 xyyxx()k xykxky()kl xkxlx( )()k lxkl x1xxVK4 4线性空间的概念n例：实（复）例：实（复） 维向量集维向量集 （或（或 ），向量加法和数乘，满足线性空间），向量加法和数乘，满足线性空间的定义，的定义， 称为称为 维实（复）向量空间。维实（复）向量空间。n例：例： 实（

4、复）矩阵集合实（复）矩阵集合 （或（或 ），定义普通的矩阵加法和），定义普通的矩阵加法和数量乘积，满足线性空间的定义。数量乘积，满足线性空间的定义。n例：例： 次一元多项式集合次一元多项式集合 ，按通常意义定义多项式加法及实数与多，按通常意义定义多项式加法及实数与多项式乘法，满足线性空间的定义。项式乘法，满足线性空间的定义。n例：常系数二阶齐次线性微分方程例：常系数二阶齐次线性微分方程 的解集的解集 ，对于函数加法及数与函数的乘法，满足线性空间的定义。，对于函数加法及数与函数的乘法，满足线性空间的定义。nnR Rn mnC Cnn mR Rn mC Cn nP x 3 20yyyD5 5线性空

5、间的概念n定理：线性空间定理：线性空间 的零元素唯一存在，任一元素有唯一的负元素。的零元素唯一存在，任一元素有唯一的负元素。n推论：对任意推论：对任意 ，有，有 。n定义：若定义：若 为线性空间为线性空间 中的中的 个（有限个）向量，个（有限个）向量， ，且存，且存在数域在数域 中的一组数中的一组数 ，使得，使得 则称则称 为向量组为向量组 的的线性组合线性组合，也称向量，也称向量 可由可由 线性表示线性表示。n定义：若数域定义：若数域 中存在一组不全为中存在一组不全为0 0的数的数 ，使得，使得 则称则称 线性相关线性相关，否则称为，否则称为线性无关线性无关。n定义：线性空间定义：线性空间

6、中线性无关向量组所含向量最大个数称为中线性无关向量组所含向量最大个数称为 的的维数维数。若。若最大个数是有限的正整数最大个数是有限的正整数 ，则称，则称 的维数为的维数为 ，记作，记作 。线。线性空间也可称为性空间也可称为 维线性空间维线性空间。当最大个数是无穷时，可称为。当最大个数是无穷时，可称为无限维线性无限维线性空间空间。V,xV kK1,.,mxxm0,( 1)0 00 xkxx VxVK1,.,mcc1 1.mmxc xc xx1,.,mxxx1,.,mxxK1,.,mcc1 1.0mmc xc x1,.,mxxVVnVndimVnn6 6线性空间的基与坐标n定义：设定义：设 是数域

7、是数域 上的线性空间，上的线性空间， 是是 中的中的 个向量，个向量，若满足：若满足：n 线性无关；线性无关；n 中任一向量中任一向量 都可由都可由 线性表示。线性表示。 则称则称 为为 的一个的一个基基或或基底基底，并称，并称 为为基向量基向量。n注：线性空间的维数与基所含向量个数相等。注：线性空间的维数与基所含向量个数相等。n例：例： 维向量空间的基；维向量空间的基；n例：例： 矩阵空间的基；矩阵空间的基；n例：多项式空间例：多项式空间 的基；的基；n例：齐次线性方程组例：齐次线性方程组 解空间的基。解空间的基。n注：线性空间的基不唯一。注：线性空间的基不唯一。VK1,.,(1)rxx r

8、 Vr1,.,rxxVx1,.,rxx1,.,rxxV(1,., )ix irnn m nP x0Ax7 7线性空间的基与坐标n定义：设定义：设 维线性空间的一个基维线性空间的一个基 ，任意向量，任意向量 在该基下的线在该基下的线性表示为性表示为 则称则称 为线性空间的为线性空间的坐标系坐标系，称，称 为为 在该坐标系中的在该坐标系中的坐标坐标或或分量分量，记为，记为xV1,.,nxxn1 1.nnxxx1,.,nxx1,.,nx1( ,.,)Tn8 8线性空间的基与坐标n例例： 维向量空间维向量空间的坐标；的坐标；n例：例： 矩阵空间矩阵空间的坐标；的坐标；n例：多项式空间例：多项式空间 的

9、的坐标坐标。n注：同一个向量在不同坐标系中，坐标不同。注：同一个向量在不同坐标系中，坐标不同。n定理：设定理：设 是线性空间是线性空间 的一个基，的一个基， ，则，则 在该坐标系中在该坐标系中具有唯一的坐标，即可唯一表示成具有唯一的坐标，即可唯一表示成 的线性组合。的线性组合。nn m nP x1,.,nxxVxVx1,.,nxx9 9基变换n定义：设定义：设 是线性空间是线性空间 的一组旧基，的一组旧基， 是是 的一组新基。的一组新基。根据基的定义，根据基的定义， 可以由可以由 线性表示线性表示 或者写成或者写成 其中矩阵其中矩阵 称为由旧基到新基的称为由旧基到新基的过渡矩阵过渡矩阵，上述公

10、式称为，上述公式称为基变换公式基变换公式。n注：过渡矩阵是非奇异矩阵。注：过渡矩阵是非奇异矩阵。1,.,nxx111 121211122.nnnnnnnnyc xc xc xyc xc xc x111212122212nnnnnnccccccCcccVV1,.,nyy1,.,nyy1,.,nxx11(,.,)( ,.,)nnyyxx C1010基变换n由前公式，易得由前公式，易得 即即新基到旧基的过渡矩阵新基到旧基的过渡矩阵为为 。n定理：若线性空间有三组基定理：若线性空间有三组基 ， 和和 , ,其中其中 到到 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 ， 到到 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 ，则则 到到 的过

11、渡矩阵为的过渡矩阵为 。 n证明：由题可知证明：由题可知 则得则得 所以所以1,.,nxx1,.,nyy111( ,.,)(,.,)nnxxyy C1C1,.,nzz1,.,nxx1,.,nyyC1,.,nxx1,.,nzzB1,.,nyy1,.,nzz11(,.,)( ,.,)nnyyxx C11( ,.,)( ,.,)nnzzxxB111( ,.,)(,.,)nnxxyy C11( ,.,)( ,.,)nnzzxxB11(,.,)nyy C B1C B1111坐标变换n设设 在旧新两个基下的坐标分别为在旧新两个基下的坐标分别为 和和 ，则这，则这两组坐标之间转换关系推导如下：两组坐标之间转

12、换关系推导如下： 因为因为 所以所以 或者或者n上述两公式称为基变换公式上述两公式称为基变换公式 下的下的坐标转换公式坐标转换公式。n注：基过渡矩阵与坐标转换公式互逆。注：基过渡矩阵与坐标转换公式互逆。11( ,.,)( ,.,)TnnxxxxV1( ,.,)Tn1(,.,)Tn11(,.,)(,.,)Tnnyy11( ,.,) (,.,)Tnnxx C111(,.,)( ,.,)TTnnCC11( ,.,)(,.,)TTnnC1212基变换与坐标变换n例例1 1：设：设4 4维向量空间的两组基分别为维向量空间的两组基分别为 1.1.求求 到到 的过渡矩阵。的过渡矩阵。 2.2.已知向量已知向

13、量 在坐标系在坐标系 中的坐标为中的坐标为 ，求，求 在坐标在坐标系系 的坐标。的坐标。 n解：由题可知解：由题可知 所以可得所以可得 其中其中1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)eeee1234,y yyyx1234(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1)yyyy1234,e e e e1234,e e e e(3,2,5, 1)x1234,y yyy11212312341234,ye yeeyeeeyeeee12341234(,)( ,)y yyye e e e C1111011100110001C13

14、13基变换与坐标变换 求矩阵求矩阵 的逆，可得的逆，可得 所以向量所以向量 在坐标系在坐标系 中的坐标为中的坐标为xC11100011000110001C1234,y yyy11234(,)(3,2,5, 1)TTC (1, 3,6, 1)T1414基变换与坐标变换n例例2 2：设：设 矩阵空间的两组基分别为矩阵空间的两组基分别为 求从求从 到到 的过渡矩阵。的过渡矩阵。n解一解一（直直接法接法）：由由 得线性方程组得线性方程组123411210210,001 11011xxxx2 2R R123411200210,20111112yyyy1234,y yyy1234,x xx x111 12

15、12313414yc xc xc xc x1121314112011112010111201010 cccc1515基变换与坐标变换 可解得可解得 类似的，可依次解得类似的，可依次解得 所以从所以从 到到 的过渡矩阵为：的过渡矩阵为：1234,y yyy1234,x xx x112131417 41 43 21 4TTcccc1222324215 83 83 45 8TTcccc132333431 83 85 45 8TTcccc142434441 83 81 413 8 TTcccc7 415 81 81 81 43 83 83 83 23 45 41 41 45 85 813 8C1616

16、基变换与坐标变换n解二（解二（中介基法中介基法）：设单位基）：设单位基 易得易得 到到 过渡矩阵：过渡矩阵： 类似的，类似的， 到到 过渡矩阵：过渡矩阵：123410010000,00001001EEEE120110221110112D1201112001110101B1234,E EE E1234,x xx x1234,E EE E1234,y yyy1717基变换与坐标变换 则从则从 到到 的过渡矩阵为：的过渡矩阵为：1CB D1234,y yyy1234,x xx x7 415 81 81 81 43 83 83 83 23 45 41 41 45 85 813 81818线性子空间n定

17、义：设定义：设 为数域为数域 上线性空间上线性空间 的一个非空子集，且对的一个非空子集，且对 中已有的中已有的线性运算满足：线性运算满足：n若若 ，则，则 ；n若若 ，则，则 ， 则称则称 为为 的的线性子空间线性子空间或或子空间子空间。n两个平凡子空间两个平凡子空间n线性空间自身线性空间自身n零子空间零子空间 n注：线性子空间满足线性空间的定义，且注：线性子空间满足线性空间的定义，且 。n性质：设性质：设 是数域是数域 上线性空间上线性空间 的一组向量，其所有可能的线性的一组向量，其所有可能的线性组合的集合组合的集合 为为 的一个线性子的一个线性子空间，这个子空间称为由空间，这个子空间称为由

18、 生成的（张成的）子空间生成的（张成的）子空间。记作。记作n若若 中线性无关向量最大个数为中线性无关向量最大个数为 ，则该子空间的维数为，则该子空间的维数为 。1V1,x yVVKV1xyV1,xV kK1kxV1VV01dimdimVV1,.,mxxKV11 1.|,1,.,mmiVk xk xkK imV1,.,mxx11 1( ,.,).mmmL xxk xk xV1,.,mxxrr1919线性子空间n定义：设矩阵定义：设矩阵 ，记，记 为矩阵为矩阵 的第的第 个列向量，称子空个列向量，称子空间间 为矩阵为矩阵 的的值域空间（列空间）值域空间（列空间），记为，记为 。n值域空间名称来源值

19、域空间名称来源 令令 ，则向量，则向量 的线性组合可表示为的线性组合可表示为 所以有所以有 定义映射定义映射 可以看到可以看到 为映射为映射 的的值域值域。n类似的，可定义矩阵类似的，可定义矩阵 的的行空间行空间为为n性质：性质：m nijAaR RiaAi1(,.,)nL aaA( )R A1( ,.,)Tnx1,.,naa1 1.nnaaAx( )|nR AAx xR R: nmF xAxR RR R( )R AFA()|TTmR AA x xR R( )dim( )dim()Trank AR AR A2020线性子空间n定义：设矩阵定义：设矩阵 ，称集合，称集合 为为 的的核空间（零空核

20、空间（零空间）间），记为，记为 ，即，即n由定义可知由定义可知 为齐次线性方程组的解空间，是为齐次线性方程组的解空间，是 的一个线性子空间。的一个线性子空间。n定义：定义： 的核空间的维数称为的核空间的维数称为 的的零度零度，记为，记为 ，即有，即有n性质：性质：n性质：性质：n例：已知例：已知 ，求，求 。m nijAaR R |0 x AxA( )N A( ) |0N Ax AxA( )rankAn An101011A( )N AnR RA( )n A( )dim( )n AN A( )()Tn An Anm( ),( ), (),()TTR A N A R AN A2121线性子空间n定

21、理：设定理：设 是数域是数域 上上 维线性空间维线性空间 的一个的一个 维子空间，维子空间， 是是 的基，则这的基，则这 个基向量必可扩充为个基向量必可扩充为 的一个基。的一个基。1VKm1,.,mxxV1VnmV2222子空间的交与和n定理：若定理：若 是数域是数域 上线性空间上线性空间 的两个子空间，则交集的两个子空间，则交集 也也是是 的子空间。的子空间。n定义：定义：若若 是数域是数域 上线性空间上线性空间 的两个子空间的两个子空间，两子空间的和两子空间的和定义定义为为 。n定理：定理：若若 是数域是数域 上线性空间上线性空间 的两个子空间的两个子空间，则其和，则其和 也也是是 的子空

22、间。的子空间。n定理：定理：若若 是数域是数域 上线性空间上线性空间 的两个子空间的两个子空间，则有，则有12,V VV1212|,VVxy xV yVK12VVV12,V VVK12,V VVK12VVV12,V VVK121212dimdimdim()dim()VVVVVV2323子空间的交与和n定义：若定义：若 中的任一向量只能唯一地表示成子空间中的任一向量只能唯一地表示成子空间 的一个向量和的一个向量和子空间子空间 的一个向量之和，则称的一个向量之和，则称 为为 和和 的的直和直和或或直接和直接和，记，记为为 。n定理：和定理：和 为直和的充要条件是为直和的充要条件是n推论：和推论：和

23、 为直和的充要条件是为直和的充要条件是n推论：若推论：若 为为 的基，的基， 为为 的基，且的基，且 为直和，为直和，则则 为为 的基。的基。12VV1V2V12VV1V2V12VV12VV12(0)VVL12VV1212dim()dimdimVVVV1,.,kxx1V1,.,lyy2V12VV11,.,.,klxxyy12VV2424线性变换的概念n定义：设定义：设 是数域是数域 上的线性空间，上的线性空间， 是是 到自身的一个映射，则称到自身的一个映射，则称 是是 的一个的一个变换变换或者或者算子算子，记为，记为 称称 为为 在在 下的下的象象， 为为 的的原象原象（或（或象源象源）。）。

24、n定义：设定义：设 是数域是数域 上的线性空间，上的线性空间， 的一个变换的一个变换 若满足若满足 其中其中 ，则称，则称 为为 的一个的一个线性变换线性变换或或线性算子线性算子。n定理（等价定义）：定理（等价定义）： 为为 的一个线性变换当且仅当的一个线性变换当且仅当 同时满足同时满足VTKTxyyVTVxTxyVKVT()()()T xyTxTyT kxk Tx, ,x yV k lKTVTVT()()()T kxlyk Txl Ty2525线性变换的概念n例：例： 次多项式空间次多项式空间 上的微分上的微分 是一个线性变换。是一个线性变换。n例：记闭区间例：记闭区间 上的所有实连续函数的

25、集合为上的所有实连续函数的集合为 ，它构成，它构成 的一个线性空间，在的一个线性空间，在 上定义变上限积分变换上定义变上限积分变换 ，即，即 则则 是是 上的一个线性变换。上的一个线性变换。n例：实数向量空间例：实数向量空间 ，定义如下的变换，定义如下的变换 ： 其中其中 。则。则 为为 上的线性变换。上的线性变换。 , a bDnJ( ( )( ),( ) , taJ f tf u duf tC a bT33 3,xARRRRT nP x , C a bR R , C a bJ , C a b3R R3R RTxAx2626线性变换的性质n性质性质1 1：n性质性质2 2：n性质性质3 3：

26、n性质性质4 4：线性变换将线性相关的向量组变换为线性相关的向量组。：线性变换将线性相关的向量组变换为线性相关的向量组。()TxTx (0)0T()iiiiTk xkTx2727线性变换的性质n定义定义：设：设 是线性空间是线性空间 的线性变换，的线性变换， 中所有向量的象构成的集合称中所有向量的象构成的集合称为为 的的值域值域，记作，记作 。 中所有被中所有被 变换为零向量的原象构成的变换为零向量的原象构成的集合称为集合称为 的的核核，记作，记作 。即有。即有n定理：定理： 和和 都是都是 的线性子空间，分别称为的线性子空间，分别称为 的的象子空间象子空间和和核核子空间子空间。n定义：象子空

27、间的维度称为定义：象子空间的维度称为 的的秩秩，核子空间的维度称为，核子空间的维度称为 的的亏亏（或（或零零度度）。）。TTVVT( )R TVT( )N TT( )|R TTx xV( ) |0,N Tx TxxV( )R T( )N TVTT2828线性变换的运算n定义（定义（加法加法）：设）：设 和和 是线性空间是线性空间 的两个线性变换，定义两个线的两个线性变换，定义两个线性变换的和为性变换的和为n定义（定义（负变换负变换）：设）：设 是线性空间是线性空间 的线性变换，定义负变换为的线性变换，定义负变换为n定义（定义（数乘数乘）：设）：设 ， 是线性空间是线性空间 的线性变换，定义数的

28、线性变换，定义数 与与 的的乘积为乘积为n定义（定义（乘积乘积）：设）：设 和和 是线性空间是线性空间 的两个线性变换，定义两个线的两个线性变换，定义两个线性变换的乘积为两线性变换的复合：性变换的乘积为两线性变换的复合：1TV1212()TT xT xT x2TTV() T xTxkK TVkT()()kT xk Tx1 212()()TT xT T x1TV2T2929线性变换的运算n定义（定义（幂幂）：设）：设 是线性空间是线性空间 的线性变换，定义线性变换的幂为的线性变换，定义线性变换的幂为n定义（定义（多项式多项式）：设）：设 是线性空间是线性空间 的线性变换，定义线性变换的多项的线性

29、变换，定义线性变换的多项式为式为n定义（定义（逆逆）：设）：设 和和 是线性空间是线性空间 的两个线性变换，若满足的两个线性变换，若满足 则则称称 为线性变换为线性变换 的的逆变换逆变换，记为，记为 。n两个特殊的线性变换两个特殊的线性变换n单位变换单位变换（恒等变换恒等变换）：将线性空间）：将线性空间 的每一个向量映射为自身的变的每一个向量映射为自身的变换，记为换，记为 。n零变换零变换：将线性空间：将线性空间 的任一向量都映射为零向量的变换，记为的任一向量都映射为零向量的变换，记为1TV1 22 1()()TT xT T xx2T2T1T121TTTV1()nnT xTTxVeT xxV0

30、0T x TV00( )()nniiiiiif T xaTxaT x3030线性变换运算的性质n性质性质1.1.线性变换的和、数乘、乘积均为线性变换。线性变换的和、数乘、乘积均为线性变换。n性质性质2.2.线性变换的和满足交换律和结合律线性变换的和满足交换律和结合律n性质性质3.3.线性变换的加法存在零元，即零变换线性变换的加法存在零元，即零变换n性质性质4.4.负变换满足负变换满足n性质性质5.5.线性变换的数乘与加法满足分配律线性变换的数乘与加法满足分配律n性质性质6.6.数乘满足数乘满足n性质性质7.7.线性变换的乘积与加法满足分配律线性变换的乘积与加法满足分配律1212(),()k T

31、TkTkTkl TkTlT0TTT1231 21 32312 13 1()()T TTTTTTTT TT TTT1221123123,()()TTTTTTTTTT0()TTT ( )(),1kl Tk lTTT3131线性变换运算的性质n定理：设定理：设 是线性空间是线性空间 的所有线性变换的所有线性变换 组成的集合，定义组成的集合，定义 上的上的加法以及与数域加法以及与数域 的数乘为线性变换的加法以及线性变换与数域的数乘为线性变换的加法以及线性变换与数域 的数的数乘，则乘，则 为数域为数域 上的线性空间，亦可记为上的线性空间，亦可记为T*VKV*VK*VK( , )Hom V V3232线性

32、变换的矩阵表示n如何具体的表示一个线性空间如何具体的表示一个线性空间 上的线性变换上的线性变换 ? ?n可以通过考察对线性空间的基可以通过考察对线性空间的基 做线性变换上考虑：做线性变换上考虑：n设设 是是 维线性空间维线性空间 的一个线性变换，的一个线性变换， 是是 的一个基，对的一个基，对 中中任一向量任一向量 ，由于，由于 可由基可由基 线性表示：线性表示： 则有则有 即线性变换即线性变换 可由可由 唯一确定。唯一确定。 因而，只需表示出因而，只需表示出 ，就可以确定线性变换，就可以确定线性变换 。T1,.,nxxVTnV1,.,nxxVVxx1,.,nxx1 1.nnxa xa x11

33、().()nnTxa Txa TxT1,.,nTxTx1,.,nTxTxT3333线性变换的矩阵表示n令令n即有即有n其中其中n定义：矩阵定义：矩阵 称为称为 在在 的基的基 下的矩阵，简称下的矩阵，简称 为为 的矩阵。的矩阵。111 112121211.nnnnnnnnnTxa xa xTxa xa xTxa xa x11(,.,)( ,.,)nnTxTxxxA111212122212nnnnnnaaaaaaAaaaAVT1,.,nxxAT3434线性变换的矩阵表示n结论：对于结论：对于 维线性空间维线性空间 ，给定基，给定基 ，则线性空间上的线性，则线性空间上的线性变换与变换与 矩阵一一对

34、应。矩阵一一对应。n因此因此 维线性空间维线性空间 上的线性变换可以用矩阵来表示。上的线性变换可以用矩阵来表示。n例：例： 次多项式空间次多项式空间 ，给定两个基：，给定两个基： 是是 上的求导运算，求上的求导运算，求 分别在这两组基下的矩阵。分别在这两组基下的矩阵。n解：解：nV1,.,nxxn nnVnnP2012( )1,( ),( ),.,( )2!nnxxfxf xx fxfxn2012( )1,( ),( ),.,( )nnfxf xx fxxfxxTnPT0( )0Tfx 10( )11( )Tf xfx 21( )1 ( )Tfxxf x232( )1( )2!xTfxfx11

35、( )1( )(1)!nnnxTfxfxn3535线性变换的矩阵表示 所以所以 在第一个基下的矩阵为在第一个基下的矩阵为 又又T0100001000010000A0( )0Tfx 10( )1( )Tf xfx 21( )22( )Tfxxf x232( )33( )Tfxxfx11( )( )nnnTfxnxnfx3636线性变换的矩阵表示 所以所以 在第二个基下的矩阵为在第二个基下的矩阵为n注：在不同基下，同一线性变换有不同的矩阵。注：在不同基下，同一线性变换有不同的矩阵。T010000200000000Bn3737线性变换运算的矩阵表示n定理：设数域定理：设数域 上的上的 维线性空间维线

36、性空间 ， 为基，线性变换为基，线性变换 在该基下有矩阵在该基下有矩阵 ，设，设 ，则有，则有n1.1.线性变换之和线性变换之和 的矩阵为的矩阵为 ；n2.2.线性变换数乘线性变换数乘 的矩阵为的矩阵为 ；n3.3.线性变换之积线性变换之积 的矩阵为的矩阵为 ；n4.4.线性变换之逆线性变换之逆 的矩阵为的矩阵为 ；n5.5.线性变换之负变换线性变换之负变换 的矩阵为的矩阵为 ；n6.6.线性变换之幂线性变换之幂 的矩阵为的矩阵为 。n注注：给定基下，：给定基下， 维线性空间维线性空间 的线性变换集合的线性变换集合 与与 矩阵集合矩阵集合 同构同构。KnV1,.,nxx12,T T,A BkK

37、12TTAB1kTkA1 2TTAB11T1A1TA1nTnAnV*Vn nnM3838线性变换的坐标公式n定理：设数域定理：设数域 上的上的 维线性空间维线性空间 ， 为基，线性变换为基，线性变换 在该在该基下有矩阵基下有矩阵 ，向量，向量 在该基下的坐标为在该基下的坐标为 ，则，则 在该基下的在该基下的坐标坐标 满足满足n证明：由题证明：由题 所以所以 又因为又因为 由坐标表示的唯一性，可知由坐标表示的唯一性，可知KnV1,.,nxxTAx1( ,.,)TnTx1(,.,)Tn11(,.,)( ,.,)TTnnA11( ,.,)( ,.,)Tnnxxx11(,.,)( ,.,)TnnTxT

38、xTx11( ,.,) ( ,.,)TnnxxA11( ,.,)(,.,)TnnTxxx11(,.,)( ,.,)TTnnA3939相似矩阵n定理：设数域定理：设数域 上的上的 维线性空间维线性空间 ， 和和 为两个基，为两个基，线性变换线性变换 在这两个基下的矩阵分别为在这两个基下的矩阵分别为 ，并且两个基之间的过渡矩，并且两个基之间的过渡矩阵为阵为 , ,即有即有 则则n证明：由题证明：由题 所以所以 由坐标表示的唯一性，可知由坐标表示的唯一性，可知n定义：设定义：设 为数域为数域 上的两个上的两个 阶方阵，如果存在阶方阵，如果存在 上的上的 阶非奇异阶非奇异方阵方阵 ，使得，使得 ，则称

39、，则称 相似相似于于 ，记作，记作 。KnV1,.,nxxT,A BC11(,.,)( ,.,)nnyyxx C1111( ,.,)( ,.,)(,.,)(,.,)nnnnT xxxxAT yyyyB1,.,nyy1BC AC11(,.,)( ,.,)nnT yyT xx C1( ,.,)nxxAC11(,.,)nyy C AC1BC AC,A BKnKnP1BP APABAB4040相似矩阵的性质n性质：相似矩阵具有等价关系，即满足：性质：相似矩阵具有等价关系，即满足：n自反性自反性： ；n对称性对称性：若：若 ，则，则 ；n传递性传递性：若：若 ，则，则 。n性质：若性质：若 ，即存在非奇

40、异矩阵，即存在非奇异矩阵 ，使得，使得 ，则有，则有AAP1BP APABBA,AB BCACAB1nnBP A P4141特征值与特征向量n定义：设定义：设 是数域是数域 上线性空间上线性空间 上的线性变换，且对数域上的线性变换，且对数域 中某一中某一数数 ，存在非零向量，存在非零向量 ，使得，使得 则称则称 为为 的的特征值特征值， 为为 的属于的属于 的的特征向量特征向量。n几何意义几何意义：特征向量表示该向量经过线性变换后方向保持不变或变为相反：特征向量表示该向量经过线性变换后方向保持不变或变为相反方向。方向。n性质：若性质：若 为属于为属于 的特征向量，则的特征向量，则 也是属于也是

41、属于 的特征向量。即的特征向量。即n设设 为线性空间的基，线性变换为线性空间的基，线性变换 在该基下的矩阵为在该基下的矩阵为 ， 为为 的特征值，的特征值， 为属于为属于 的特征向量。则有的特征向量。则有TVKK0 xV0Txx0TxT0 x0kx00()()T kxkx1,.,nxxTA0T11( ,.,)( ,.,)Tnnxxx00Txx11011( ,.,) ( ,.,)( ,.,)( ,.,)TTnnnnxxAxx101( ,.,)( ,.,)TTnnA 01()( ,.,)0TnIA4242特征值与特征向量n定义：设定义：设 阶方阵阶方阵 ，满足，满足 的的 称为矩阵称为矩阵 的的特

42、征值特征值（根根），非零解向量），非零解向量 称为称为 的属于特征值的属于特征值 的的特征向量特征向量。n结论结论： 维线性空间上线性变换的特征值与特征向量与维线性空间上线性变换的特征值与特征向量与 阶方阵的特征阶方阵的特征值与特征向量一致。值与特征向量一致。n由定义，若由定义，若 存在非零解向量，则有存在非零解向量，则有n定义：称定义：称 为矩阵为矩阵 的的特征多项式特征多项式。n结论：矩阵结论：矩阵 的特征值与特征多项式的特征值与特征多项式 的根一致。的根一致。n例：设线性变换例：设线性变换 在在 的基的基 下的矩阵为下的矩阵为 求求 的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。nA()0IA

43、 xx( )det()IA AAAnn()0IA xdet()0IAA( ) T3R R123,x x x122212221AT4343特征值与特征向量n定义：设定义：设 是线性空间是线性空间 的线性变换，的线性变换， 是是 的一个特征值，记的一个特征值，记 则则 为为 的一个线性子空间，称为的一个线性子空间，称为 的属于的属于 的的特征子空间特征子空间。n由行列式展开法则可得由行列式展开法则可得n设设 有有 个特征值个特征值 ，则有，则有n对照两式，可得对照两式，可得TV0T00 |,Vx Txx xV0VVT0( )det()IA 11122(.).( 1) detnnnnnaaaA 1,

44、.,nAn1( )()nii 1121(.).( 1)nnnnnii 111,detnnniiiiiiiaA4444特征值与特征向量n定义：记定义：记 称为矩阵称为矩阵 的的迹迹或或追迹追迹。n定理：设定理：设 阶方阵阶方阵 ，则，则 。n定理：设定理：设 阶方阵阶方阵 ，若，若 ，则，则 。n定理：相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。定理：相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。n注：线性变换的特征值与特征向量与线性空间的基无关。注：线性变换的特征值与特征向量与线性空间的基无关。n注：有相同特征多项式的矩阵不一定相似。注：有相同特征多项式的矩阵不一定相似。n反例：反例：A

45、,A Bn1niiitrAa()()tr ABtr BA,A BnABtrAtrB1011,0101AB4545特征值与特征向量n定理：属于不同特征值的特征向量一定线性无关。定理：属于不同特征值的特征向量一定线性无关。n定理：设定理：设 是是 的一个特征值，则有的一个特征值，则有n1. 1. 是是 的特征值；的特征值；n2. 2. 是是 的一个特征值；的一个特征值；n3. 3. 是是 的一个特征值；的一个特征值；n4. 4. 是是 的一个特征值。的一个特征值。A( )fn1nAkkA1A( )f A4646特征值与特征向量n定理：设定理：设 均为方阵，均为方阵， ，则有，则有 其中其中 表示与

46、表示与 同阶的单位矩阵。同阶的单位矩阵。n定理：设定理：设 ，又设，又设 的特征多项式为的特征多项式为 ， 的特征多项式为的特征多项式为 ，则，则n定理：任意定理：任意 阶矩阵与三角矩阵相似。阶矩阵与三角矩阵相似。n例：求与矩阵例：求与矩阵 相似的三角矩阵。相似的三角矩阵。AB1,.,mAAiIniA1det()det()miiiIAIA,m nn mABR RR R1(,.,)mAdiag AA( )ABBA( )BA( )( )nmABBA 122212221A特征值与特征向量n定理：定理： 阶矩阵阶矩阵 是其特征多项式的矩阵根，即有是其特征多项式的矩阵根，即有n定义：首项系数为定义：首项

47、系数为1 1，次数最小，且以矩阵，次数最小，且以矩阵 为根的为根的 的多项式，称为的多项式，称为 的的最小多项式最小多项式，常用，常用 表示。表示。n注：显然注：显然 的最小多项式次数不大于它的特征多项式的最小多项式次数不大于它的特征多项式 的次数。的次数。n定理：矩阵定理：矩阵 的最小多项式的最小多项式 可整除以可整除以 为根的任意首一多项式为根的任意首一多项式 ，且，且 唯一。唯一。n例：求矩阵例：求矩阵 的最小多项式，并求出矩阵多项式的最小多项式，并求出矩阵多项式4747nA( )0AA( )mAA( ) 332152130A A( )mA( ) ( )m100502AA特征值与特征向量

48、n定理：矩阵定理：矩阵 的最小多项式的最小多项式 与其特征多项式与其特征多项式 的零点相同（的零点相同（不计重数）。不计重数）。n定理：设定理：设 阶矩阵阶矩阵 的特征多项式为的特征多项式为 ，特征矩阵，特征矩阵 的全体的全体 阶子式的最大公因式为阶子式的最大公因式为 ，则，则 的最小多项式为的最小多项式为4848nAIA1nA( ) ( )d( )m( ) A( )( )( )md 对角矩阵n定理：设定理：设 是是 维线性空间维线性空间 的线性变换，的线性变换， 在某一基下的矩阵为对角在某一基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是 有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。n

49、定理：定理： 阶矩阵阶矩阵 与对角矩阵相似的充要条件是与对角矩阵相似的充要条件是 有有 个线性无关的个线性无关的特征向量。特征向量。4949nAVTTTnnAn不变子空间n定义：设定义：设 是线性空间是线性空间 的线性变换，的线性变换， 是是 的子空间，并且对任意的子空间，并且对任意的的 ，都有，都有 ，则称，则称 是是 的的不变子空间不变子空间。n例：整个线性空间例：整个线性空间 和零子空间是每个线性变换和零子空间是每个线性变换 的不变子空间。的不变子空间。n例：线性变换例：线性变换 的属于的属于 的特征子空间的特征子空间 是是 的不变子空间。的不变子空间。n例：线性变换例：线性变换 的值域

50、的值域 与核与核 都是都是 的不变子空间。的不变子空间。n性质：性质： 的不变子空间的交与和仍为线性变换的不变子空间的交与和仍为线性变换 的不变子空间。的不变子空间。n定理：设定理：设 是是 维线性空间维线性空间 的线性变换，且的线性变换，且 可分解为可分解为 个不变子空个不变子空间的直和间的直和 在每个不变子空间在每个不变子空间 中取基中取基 ，则它们合并起来可作为，则它们合并起来可作为 的基，的基，并且并且 在该基下的矩阵为在该基下的矩阵为 ， 其中其中 是是 在在 的基的基 下的矩阵。下的矩阵。50501xVVT1V1TxVV1VVVTT00VTT( )R T( )N TTTTTnVVs

51、1sVVViV1,.,iiinxxVT1(,.,)sAdiag AAiATiV1,.,iiinxxJordan标准形n定义：设定义：设 是复数域是复数域 上的上的 维线性空间维线性空间 的线性变换，的线性变换， 的特征多的特征多项式可分解因式为项式可分解因式为 其中其中 ， 为为 的特征值（可相同），记的特征值（可相同），记 称为因式称为因式 对应的对应的JordanJordan块块。5151nTCV11( )()()smms 1smmn1()1iiiiiiimmJ1,sT()imiTJordan标准形n定义：设定义：设 是复数域是复数域 上的上的 维线性空间维线性空间 的线性变换，给定的线性

52、变换，给定 的某的某个基，个基， 的矩阵为的矩阵为 ，其特征多项式可分解因式为，其特征多项式可分解因式为 记记 称为矩阵称为矩阵 的的JordanJordan标准形标准形。n问题：矩阵问题：矩阵 的的JordanJordan标准形是否一定存在？如何求？标准形是否一定存在？如何求？5252nTCV11( )()()smms 112222()()()JJJJTTAAAJordan标准形的计算n定义：记多项式矩阵定义：记多项式矩阵 其中其中 为数域为数域 上的纯量上的纯量 的多项式。记的多项式。记 为为 的一切的一切 阶行列子式的最大公因式，称为阶行列子式的最大公因式，称为 的的 阶行列式因子阶行列

53、式因子，记，记 称为称为 的的不变因子不变因子。n把把 的每个次数大于零的不变因子的每个次数大于零的不变因子 分解为不可约因式的乘积，分解为不可约因式的乘积，这样的不可约因式（连同幂指数）称为这样的不可约因式（连同幂指数）称为 的的初等因子初等因子。初等因子的。初等因子的全体称为全体称为 的的初等因子组初等因子组。5353K( )ija111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnaaaaaaAaaa( )iD( )Ai( )Ai01( )( ),( )1( )iiiDdDD( )A( )A( )id( )A( )AJordan标准形的计算n在

54、复数域在复数域 上求上求 阶矩阵阶矩阵 的的JordanJordan标准形步骤标准形步骤n1 1、求特征矩阵、求特征矩阵 的初等因子组，设为的初等因子组，设为 其中其中 可能有相同的，可能有相同的， 。n2 2、写出每个初等因子、写出每个初等因子 对应的对应的JordanJordan块块n3 3、写出以这些、写出以这些JordanJordan块构成的块构成的JordanJordan标准形标准形5454nCIAA11(),.,()ssJdiag JJ11() ,()smms1,s1smmn()imi1()1iiiiiiimmJJordan标准形的计算n例：求矩阵例：求矩阵 的的JordanJor

55、dan标准形。标准形。n定理：每个定理：每个 阶复矩阵阶复矩阵 都与一个都与一个JordanJordan标准形相似，这个标准形相似，这个JordanJordan标准标准形除去其中形除去其中JordanJordan块的排列次序外，是被块的排列次序外，是被 唯一确定的。唯一确定的。5555110430102A nAAEuclid空间n定义：设定义：设 是实数域是实数域 上的线性空间，定义上的线性空间，定义 上的两个向量到实数域上的两个向量到实数域的映射的映射 ，若满足如下四个条件，若满足如下四个条件n交换律：交换律： ；n分配律：分配律： ；n齐次性：齐次性： ；n非负性：非负性： ，当且仅当，当

56、且仅当 时，时， 。 则称则称 为为EuclidEuclid空间空间，简称，简称欧氏空间欧氏空间或或实内积空间实内积空间。n注：欧氏空间是在实线性空间基础上定义了内积的特殊线性空间。注：欧氏空间是在实线性空间基础上定义了内积的特殊线性空间。n例：例： 维向量空间维向量空间 中，对于任意两向量中，对于任意两向量 定义定义5656VRV( , )( , )( , )x yy x( ,)( , )( , )x yzx yx z(, )( , )kx yk x y( , )0 x x 0 x ( , )0 x x VnnR1( , )nTiiix yx y11( ,.,) ,(,.,)TTnnxyEu

57、clid空间n性质性质1. 1. ；n性质性质2. 2. ；n性质性质3.3.n定义：设定义：设 是是 维欧氏空间维欧氏空间 的基，对于的基，对于 的任意两个向量的任意两个向量 可得可得 ，其中，其中 ，令矩阵，令矩阵 则称矩阵则称矩阵 为为 对于基对于基 的的度量矩阵度量矩阵或或GramGram矩阵矩阵。n上述两向量的内积可改写为上述两向量的内积可改写为 。5757( ,)( , )x kyk x y( ,0)(0, )0 xx1111(,)( ,)nmmniijjijijijjixyx yn1,.,nxx,1,1( , )( ,)nnijijijiji ji jx yx xa11( , )

58、( ,.,) (,.,)Tnnx yAVV11,nniiiiiixx yx( ,)ijijax x()ijn nAaAV1,.,nxxEuclid空间n性质：度量矩阵是对称正定矩阵。性质：度量矩阵是对称正定矩阵。n注：度量矩阵完全确定了内积。反之可以用任意正定矩阵作为度量矩阵来注：度量矩阵完全确定了内积。反之可以用任意正定矩阵作为度量矩阵来规定内积。规定内积。n定理：设定理：设 与与 分别是分别是 维欧氏空间维欧氏空间 的两个基，其度量的两个基，其度量矩阵分别为矩阵分别为 和和 ，则，则 和和 合同，即存在矩阵合同，即存在矩阵 ，满足，满足 5858nAV1,.,nxx1,.,nyyBABCT

59、BC ACEuclid空间-长度与角度n定义：设欧氏空间定义：设欧氏空间 ，定义，定义 为为 中向量中向量 的的长度长度（或（或模模、范数范数），记为），记为 或或 ，即，即n注：上述定义满足距离的三个条件注：上述定义满足距离的三个条件n非负性：非负性： ，等号当且仅当，等号当且仅当 时成立；时成立；n数乘：数乘： ；n三角不等式：三角不等式： 。n定义：长度为定义：长度为1 1的向量称为的向量称为单位向量单位向量。n性质（性质（CauchyCauchy不等式）：不等式）： 。n定义：两个非零向量定义：两个非零向量 和和 的的夹角夹角 规定为规定为5959Vxyxy( , )x x0 x 0

60、x kxk xVxx2x( , )xx x( , )x yx yxy, x y( , )cos,x yx yx yEuclid空间-正交基n定义：设欧氏空间定义：设欧氏空间 ，对于其中的两个向量，对于其中的两个向量 和和 ，若，若 ，则称，则称 与与 正交正交（或（或垂直垂直），记为），记为 。n定义：若欧氏空间中一组非零向量两两正交，则称为定义：若欧氏空间中一组非零向量两两正交，则称为正交向量组正交向量组。n定理：若定理：若 和和 正交，则有正交，则有n定理：正交向量组线性无关。定理：正交向量组线性无关。n定义：在定义：在 维欧氏空间维欧氏空间 中，由中，由 个非零向量组成的正交向量组称为个