弹性力学简明教程课后答案徐芝纶第四版略改动

1、第一章错 爸本章学习重点与难点点-、弹性力学的内容:邨性力学的妍究对象、内容和柜删注总勺戕它力学任任 务研究对象和研究方法匕的相同点及不同点.二弾性力学的基本假定、基本凰和坐标系1. 为简化计算弾性力学假定所研究的翎休处于连续的完全弹性的、均匀的各向崗性的、小变形的状态.2. 各种基本联的正负号规定注意弹性力学中应力分St的正负号规定与材料 力学中的正负号规定有何相同点和不同点外力体力，面力均以沿坐标轴正向为正而力的正负特与所处的面无关（只 与坐标系有垃）.注意与应力分贰正面正向、负面负向约宦的区别-3. 五个幕本假定在漣立號力力学科本方程时的用途难点建立正面负面的概念确立弹性力学中应力分16

2、的正负号规定.典型例题讲解例*八 试分别根据在材料力学中和牀性力学中符号的規定确定图中所示 的切应力Ti »r3 .rj.ri的符可thmi ira（MSI （l）ft材料力学中规症凡企图使触元成典财祁顺时社转动的切应力 为正反之为负.所以为正$"口为负.4）在弹性力学中规宦，作用于正坐标面上的切应力以正坐标轴方向为正作 用于负坐怀面L的切应力以负坐标轴方向为正相反的方向均为负.所以“珂, T"i «T4均为负.习题全解11试举例说明什么是均匀的各向斥性体，什久垦非均匀的备向同杵体，什 么捲转均匀的特向舁性体.【解？?】 木材、竹材定均匀的孑向舁性体X泯

3、合材料通富称为非均匀的各向同 性律如沙石混凝土构件为非均匀的各向同性体；有生物级斌如长骨.为非均匀的 各向异性体.1-2 股的混凝土构件和钢筋混匿上构件能否作为理想弹性体？ 一般的岩 质地基利上质地基能否作为理想弹性体？解?H 般的混凝土构件可臥作为理想的弹性休而钢筋混凝土构件不可 以作为理想的禅性体I-叙的兽值地堪不可以作为理想养性体，而土质地基可比作 为理想的弹性休.1 3五个旅本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用逢？【解答】（】连续性假定引用这一俶宦以后物体中的应力、应变和位降等物 理虞就可看成是连续的因此，建立豹性力学的基本方稈时就可以用坐标的连续噸 敢来表示它们的变化规律.（2）完

4、全弹性假定：引用这一完全弹性的假進还包含形变号形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，服从胡克宦律，从而使物理方程成为线性 的方程.«3）的匀性假定：在该假崖所硏究的物怵内部各点的物理性质显然都是相 同的&因此反映这些物理性质的弹性常数（如弹性税就E和泊松比“等）就不随 位置坐标而变化.5各向同性個定価谓-各向同性'暹捋物休的物理性庾從各个方向上都艇相 同的.进一步地说就楚物体的弹性常数也不随方向而变化.（5）小变形假定我们研究掬体受力后的平衡冋题时不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算同时住研究物体的变形和位移时.可以将它们的二次帮或乘

5、税略左不计，使得弾性力学中的微分方段都简化为线性 啟分方程.在上述这些假定下弹性力学何題都化为线性问題从而可以应用独加原理 14应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画岀正面和负面匕的正的应力和正的面力的方向.it【解答】应力的符号規起是：当作用潮的外法线指向坐杯抽的止为向时（即正 面时这个面匕的应如不论址止应力或切应力）以沿坐标辆的止方向为正沿坐 标轴的负方向为负.与此相反严作用血的外法线指向坐标铀的负方向时（即负血 时这亍面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正.沿坐标轴的正方向为负.面力的符号规進是：当面力的捋向沿坐标轴的正方向时为正沿坐:标轴的负方 向时为负.1-5试比较弹性力学和材料力学中

6、关于切应力的符号规崖.【解答】理弾性力学利材料力学中切应力的符号规定不尽相同t材料力学中 规定凡企图使徴段顺时甘转动的切应力为诳干在弹性力学中规定作用于正坐标 面上的切应力以沿坐擁轴正方向为正，作用尸负坐标面上的切应力以沿坐标轴负 方向为正相反的方向均为负试举例说明iE的应力肘应于正的形变那【解善】如樂受拉伸时其形状发比故变正的应力（拉 应力对应于正的形变.17 试画01题1 -7图中的矩形薄板的正的体力面力 和应力的方向.注*：U）无论玄哪-个位置的体力住哪一个边界面上 的血力，均以沿坐标轴正方向为正反之为负.（2边界面1： 的应力应是以在正坐标面上方向沿坐标轴iE方向为正反弹忸力学简驷4M

7、JU甲三程金枫爭学获号邀金*M 1-7 图 “）萍力和Ifc力Mb）协力和应力 之为负I在负坐标面上方向沿坐标轴负方向为正，反之为负 18试倆出題I 8田屮的三角形薄板的正的面力和体力的方向./(hO:解】8图题 I -Sffl第二* 年而问廳的生漳理枪本章学习重点与难点点一，两类平面问曲的概念名称平面应力何邀平面应变问題未知董已知量未知宦已知贷位移U wVu »vw =0应变< J »6 y »yy” qy” =°E,=尸匕+。 i * v »/rr=5 -“ 0应力O4y T5 =r j« =6 二Cd八0y 5口5=0，6

8、 =严匕 +cTy)外力体力.面力的作用面平行于工$平 面外力沿板厚均匀分布.休力面力的作用面平行于文y平 面，外力沿壬轴无变化形状物体在一个方向的几何尺寸远小于 其它两个方向的几何尺寸（零辱度 障板儿沿一个方向（通常取为畫轴很氏的 等截面棱柱体（尊載面氏柱体）.二、平面问題的基本方程平面问题的越本方穆共冇八个见卜我JC中+E屮&分别晁弹性模虽、泊松 比和切变模皿是八.名称堆本方程表达式应用基本假定平衡微 分方程蹩七a莞+書十几f连续性，小变 形均匀性几何 方程.一西 r =西 y =屯+西连续性小变 形均匀性弾性刀孝蘭叭戟uu篥厶版）会枚琴悌艮习反金站名称棊本方程表达武应用華本假定1

9、平面应力问題平面应变问题连续性小变物理JE 0_严丿形均匀性方程< 丫Fr)*L j仁完全弹性，S E 口 16”1各向同性1 y砒r忑T M 9三平面问題的边界条件強性力学平面问题的边界条件右三类如下表-英中$,$分别表示面力、位移已知的边界M和加则是边界面的方向余弦.位移边界条件应力边界条件混合边界条件!r±"s 上1 V =t/o严上U =U rV v9 Sy 上 严+叫=了飞上 Ur +w, /y.四平面问艙的两条求解途径h处理平面问題时粘用按位移求解和按应力求解这嗚条途住在满足相应 的求解方程和边界条件之后前着5t求出位移再用几何方程、物理方甩分别求出应 变

10、和应力；后者先求出应力再由物理方程、几何方程分别求出应变和位移2. 按位移求解平面问题归结为在给定边界条件F,求解以位移表示的平衡微 分方程（平面应力情况A（工4色+上2£乜+也亘1L）= q,1 一尸巩十 2孑护 2 紅小I芒?（薛+ * 諮+ 中黑）=。3. 按应力求解平面何题除运用平備微分方程外，还需补充应变相容方程该 方程可用应变或应力分址袤示.用应力表示的相容方程；-股悄况下：Ba +s）=（1 +“（警 +警汴平面应力何题%亠小=一（占）空驚）。平面应变问題琳w 平直问鹿的鼻论常体力悄况门*6 + Q =0、用应变表示的相容方程* 也+比=垄dy7 dxz djrdy&q

11、uot;按应力求斛常体力情况下的两类平面问题归结为在给定边界条件下，求解如 下的偏微分方程纽若暑多连通（开孔）物体相应的位移分量需満足位移单值条件:警+箸+力“邀恶aW（6 +"） = o*五关于位移解法、应力解法及应变川容方程1.禅性力学何题按位移求解（或按位汉应变应力同时求解）时应变相容方 程能自行潢足：按应力求解时为保证从几何方程求得连绒的位移分址，需补充应变相容方程垦保证物体（单连体）连续的充分和必要鏑件.对于多连体只有在加 匕位移单値杀件才能使物体变形后仍保持为连续体.2按位肪求解时需联“求解二阶偏诫分方用虽在理论上讲适用于各类边界条件,但实际运用时较难徘到梢确满足位棒边界

12、条件的解析解因此使其在誹找 構确解时受到了限制熾而这-方£血数们鱗法屮褐到了广泛应用*/应力解法通常适用于应力边界条件或仅在局部紛定位移的混合边弄兼件. 由于可引入应力西数求解故在寻找平血问题的解析解时.用此法求解比按位移求 解容易.4在按应力解医求解的方程姐中井不隐含弹性常数因此按应力求解单连通 平面弹性体的应力边界何題时其应力解答与E屮,G无关（但应变、位移分世与弾 性常数有关即应力与材料性质无关.这意味着不同弹性材料的物体（不论址眉 于平面应力问題还是属子平面应变问題）.只要在乜 平面内AWfflfpJ的形状、约 束KI何载，那么6 2八的分布悄况就相同不考锻体力几 可以证明对

13、于參连 通开孔物体若作用在闾边界匕外力的主矢为零上述结论也成立.隼点一 阿类平面何題的舁同点.二圣维南原理的适用范因，对其定义的把握。隹利用圣维南匝理在小边界 （次要边界）上局部放松便应力边界条件近似满足时注意主矢（主矩）的正负号规 定：应力合成的主先（主矩）号外力主矢（主矩）方向"致时取正号反之取负号.三、列出应力边界乐件.皐二隼 *茴間H的鼻*仪谕9典型例题讲解W2-I已知薄板有F列形变关系心二人工丿心二励.” = C-D几式中 A.B.C.D皆为熔数试检査在形变过程中是否符合连续条件若満足并列出应力 分矗表达式.【解】（】相容条件：将形变分議代人形变协调方程（相容方稈）护“丄沪

14、J 一胪5By!3工"一 Ojt考，其中静"等"絲"所以満足相容方程，符合连续性条件.（2）在平面应力何题中用形变分虽表示的应力分量为e = . © +严=；-E- 71 Axy +汕$ > J一#I ptf, =（ r +眶，> =/ （Mxy 卜 By' >tJ 卩i prr7 = G/x, = G<CD>* ）*3）平衡锻分方風薯+警+几"驚+警+几=0"我中= 0 »= - 2GDy .若満足平衡微分方程必殖商 曲了 y 2GDy +/, =0* 芒7畑+昨）十人=0,

15、分析:用形变分钛衣示的应力分址，满足了相容方 程和平衡徽分方程条件若要求出常数A,B.C,D还 需应力边界条件.例2 2 如图所示为一矩形截面水坝，其右侧面 愛衿水压力（水的密度为卩八顶部受集中力P作用.试写出;*坝的应力边界杀件.【解】根据崔边界上应力与面力的关系左側面心丄i =7r<y>0,<r« t -a =/；0> =0；右*1面心 h-* =了心、h -pa （r）4 = -A =7J>=0上下端面为小边異面应用圣堆南原理可列出三个积分的应力边界条件.上 端面的面力向就面形心O简化得而力的主矢fit和主矩分别为FiFM。Fy = Psino.

16、Fx = Pco耳 a.二 穿算 in a.v-0坐标面.应力主矢ift符号与面力生矢城符号相反；应力主距与面力主矩的转 向相反.所以咕! <ay）rws<tx = Fn h Pjsina.J -A "TT Ph a I 卜（r> lysdr =耳=Pcosa*下端面的面力向栽面形心D简化碍到主矢虽和主矩为= P/oosa 学 sin a gpRy=f坐标血应力主矢fit 主矩的符号与面力主矢It 主矩的符号相同.所以2丫片工,山=F> = Pstn a»<ax ) *.u：<lx = P/cosa *"""

17、*Ph sin a百 p耳gjdjuFs =Pco$ci-0DR.分析；（1）与坐标轴1F行的主要边界只能建立两个筹式而且与边界平行的应 力分fit不会岀现.如在左、右眉面不褻加人（叭打7二0或3丄-、二0.（2）ft大边界上必须梢确满足应力边界条件当在小边界（次要边界）上无法梢 純骼促时町以应用圣维南原理使应力边界条件近似構足，使问题的求解大为简 化应力合成的主矢（主矩）符号的取法亦可用外力主矢（主距）的方向判断二者 方向一致时取正号反之取负号.习题全解2-1如果某一问題中6二F“二只存在平面应力分就6 2八."且它们不沿z方向变化，仅为z小的函数试垮虑此何题是否就是平面应力何題?

18、弾lx力供制阴墨悝CJF三程)仝植召伊尿勺琏介刼【解答】平而应力问題戟尼作用祀物体上的外力约柬沿盂向沟不变化只血平面应力分如6叫)且仅为 7 的蹟数的弹性力学冋题所以此冋題圮平面应力问Z-2如果菜一问题中二儿亠儿v =0, Hff在平面应变分18弋八 y十且它们不沿壬方向变化仪为，.v的函数试考虑此间题是否就是半匣应 变问題？【解答】 平面应变问趙就是物体載面形状依力J甸力及约東沿I向均不变.只冇平面应变仅为工的西数的弹件力学问聽所以此河 證平面应变问2-3试分折说明在不受任何面力作川的空间体稅面附近的薄层中題2：«图其应力状怒接近于平面应力的悄况竹【解答】锂不受任何而力作用的空何体

19、表面附近的薄层中可以认为在该薄 屋的上F我面都无面力且在薄屈内所有齐点郁有叭=J =5 =0只存在平面 应力分凤叭叭5 且它们不沿乙向变化仅为上的函数.时认定此问題是平 面应力问题.2-4试分折说明在板血上处处受法向约束凡不受切向面力作用的等厚世薄 板中题2 *图，当板上只受向的面力或约柬且不沿厚度变化时其城力狀 态接近干平面应变的情况.ng 23图is.廳2 4图【解答】 板上处处受法向约束时且不受切向面力作用则=J =0f相应J卄板边上只受向的面力或约束所以仅存在一心“且不沿厚度变化所以其应变状态接近于平血应变的情况.2 - 5图的徹分休屮若将对形心的力矩平衡条件工皿 =0改为对弟二* 平

20、而冏地的姜*鴉论11仰点的力矩平術条件试何将导出什么形犬的方程?O- +【解】将对形心的力矩平衡条件£W=0改为分别对四个角点A.B.D.E 的平衡条件，为计算方便在z方向的尺寸取为一个雉位.工Ma=OtTydjr X 1 X号 + (“ +) iiy X 1 X萼(丁齐 +(tr )dy X1 X drdj? Jdx X1 X 一 s dy X1 X 警+ftdrdy X1 X 警/7drdy X1 X 0.严 0,dx X 】X dy +(?r +dx)4y X1 Xy + (r (叭 +蒙dy)【lr XI X rody X 1 Xdr X1 X字fr.dz XI X+/rd.

21、rdvX l +/dzdy XI X 2JiW：J 0,(s + 警dy)心 XI X爭 ijdy XI xdr +ef.d X 1 X窖 I ty, dli XI Xdv Ct, (Lr X I(“+cLr )dy X 1 只寄一f t Ax Ay XI ><¥ + 人 <1 若 dy X1 X芈=0tXjMk =0,(6 4-yd> j dr X 1 X寺 + 6X 1 X 4-r, dr X 1 X dy +(y,dz X 1 X 豊(o +dr )d> X 1 X 号一 (r* +-dr )dy X I X <lr /Fird<y X

22、 1 X(d)穿 +几drdy X 1 X (J.略去式(b) .(b).(c)和式W)中三阶小til亦即 g如&cby都于峯)井将各式部边界上应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件f(皿rnnTnT<r'，Fn(aJr>IfWdo. DomiJilUj lT都除以drdj后合井同类项，分别得到2-6在题2 5图的微分体中若考虑毎一面上的应力分扯不是均匀分布的. 试何舞辱0J什么形式的平衡橄分方程？【解】 嫩分单元体ABCD的边K<lr.dv都足做竄因此可以假设庄单元体各 面上所受的应力如图3)示忽略了二阶以上的髙阶微虽，而看作足线性分布的如 图(b)示.为

23、计算方便单元体在工方向的尺寸取为一个单位.各点正应力：i (ftk tTnJc <ak解2-6图黑二* 平届堪的鼻本AE论由做分单元体的平衡条件£儿F得卜寺S+Gr +鶯dy）M +传（鬲卄蹩山）+ 仏十警肛 + 箫dy）jdy 甘“ + （% + 答dr）»dr + 传（” + 翳血）+ （5 *狰血 + 欝2）隔 +/,drd> =Ot卜寺。+（"+；?.）声 +*（"+誇心）+ （町+詹血+券dv）dr-牯j +（5 I "；严）曲 + I ?L（r-十守业）十（"+箸牡十警血）庙十几业如=0.以上二式分别展幵并约简

24、再分别除以山旳.就爵到平面问眩中的平衡微分 方程蹩+警a箸+蒙+几=匕2-7在#出平面问题的三套基本方程时分别应用了嘟些基本假定？这些方 程的适用条件是什么？【解答】（1、在导岀平面问題的平衡微分方程和几何方程时应用的堆本假定 是,物体的连续性小変形和均匀性在两种平面冋题C平面应力，平面应变何題中平衡微分方段和几何方疑都 适用.在診出平而问懸的物理方穆时应用的荃車假定恳：物体的连续性完全弹 性均匀性小变形和各向同性即物体为小变形的顼想弹性体.在炳种平面问题（平面应力、平面应变问题）中的物理方理不一样如果獰平而 应力砒的物理方程中的E换为羔严换为芒就卿平面应变问題的物理 方程.2-8试列岀题Z

25、3图（小题2-8®（b）所示问题的全部边界条件在其端KMJ（I）对于图5）的何uji14强:仕刀甲蔺吶找UU卑昱版）仝准后挙从习蜒金舸任主边界JT-OMf 上应辅确洲足下列边界条件:u = 邮$",>）" = 0：= 一 p*y、<rrr ）,-* =°。九小边界（次要边界）.V -0 I.能韬确满足F列边界条件:J（叭人-严M ? 在小边界（次要边界b三Cr>）=0.上，冇位移边界条件：5人巳 =0,5儿=0。这曲个位捋边界条件可以应用圣维南原理改用三个枳分的应力边界条件来代替, 当板耳6 = 1时.边界条件町以改用三亍枳分的应力边界

26、条件来代替题28图&对于图（b）所示何题隹主要边界.v=±A/2 k.版新确满足下列边界条件（<Jfc >F = 0厂2）$机肯=71 *二q、< rM >» f t 0B在次要边界J" 匕应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件当板厚在次契边界丁 一/上有位移边界条件：3 -O. （v>r 0。这两个位移16弹惶力学閒¥14k UU律三版丿化甘L寻申从习此金M <5 打dy = _ qf F.2-9试应用圣堆南原理列岀题29图所示的两个问题中（尿辺的三个积分 的应力边界条件，并比较两者的面力是否辭力等效？衍K

27、 4“1hILoA ' *yy*rrh 冷 11 (4越29图应用圣维南原理列出三MI H）对于图（Q上靖面的面力向戟面形心简化得主矢和主矩分别为 凡=/2,Fs =0,M =罟（鲁 r ）业=-昴八2° 个积分的应力边界条件巧板哼<5二】时.J Whidr 讪.ZJr （"）»/山2对于图（h人应用圣堆南原理列出三个积分的应力边界条件当板库* = 1时.(厲九“工dr =的/1200。聽为卿力等效的.210楡脸¥而何瞎中的位移分曲堆否为正确僻答的条件是ft么?【解】（1用位移表示的平衡除分方程牛（券諾+中磊）+几0.用位移丧加的应力边界条

28、件Y厂2?"誥+产鹉）+ J予（樂+警）1 = 了八畑 t） 寺"僚+墙W中侥+知汀 ' 3垃移边界条件S）, = a, W = v.（在独上）2H 检验平面问題中的应力分fit是否为正确解答的条件足什么？ 【解】1平衡做分方程（2）相容方程定全部为应力边界条件汕（3应力边界条件（叭+曲.二兀“.宁（在占=片上1 < rnar +心人=7, *“）若为多连体，还须满足位移单值条件.1-12检验平血问題中的应力函数0是否为正确解笄的条件是什么?【解】应力雷数筑1M匯以下条件（“相容方程V*0 = D.（2）应力边界条件（假定全部为应力训界条件$=$.）（3）若为

29、多连体还須満足位移单值条件. 求出应力函数后.可以按下式求岀应力分議,18弹牡力拳蔔呐践疲1慕三艇）金柱&学及习迎全2-13检验F列应力分试是否是图示冋题的解答:<a）fl 2 13 图（a）ttf,=希"，=.=6（“题213图（b）由材料力学公式s = %：=守I取梁的厚度A-D.猬出所示问题的解答工6二一观気F =一篇«护-心7又根据平衡懺分方程和边界条件得岀试导岀上述公式并检脸解答的正确性.«1按应力求解时（本题体力不计）在球连体中应力分ft必须満足平衡徽分方程、相容方程、应力边界条件C假设$=$.）（1）81 2 * 13 EB（a）=器？

30、“ =匕仃=0. 相容条件:将应力分撤代人相容方程教材屮式（2 23）（务+务心+巾>=許工山不満足相容方程. 平綺条件:将应力分fit代人平衡徽分方程显然満足.应力边界条件:在工J 土4边界上在=士"边界上申満足应力边界策件.（2）®2-13ffl（h）.由材料力学公式5二芋y f二薯（取梁的厚度A = D. 碍出所示问題的解答= 帶仃，丁一罟洛（沪4/）,又根据平衞微分 方程和边界条件得出ff,=普器2q :* 盏.试导出上述公式井检验解答的 正确性.遞2 13图推导公式：在分布荷戟的作用下*梁发牛弯曲变形梁橫戡面足宽度为1高为A的轨形. 其对屋轴（中性轴）的惯性

31、矩为匚=害应用截面法町求出任意載血的弯矩方程和 剪力方程分别为MS 二一養八F$S = -鲁所以截面内任意点的正应力和切应力分别为疔_ 也一一缶心3F<Cr)2Mi°一人一 3加=弓計"一 4，？）,根据平衡徽分方程的第二式（体力不计得到根据边界条件（6九=0.得2-汗所以6函語勺豁-豁. 相容条件：将应力分虽代入相容方程（誥 十务）"'+2=一工° 不満足相容方程. 平衡条件*将应力分址代人平衡诫分方槿显然満足. 应力边界条件：在主要边界y = ±M/Z上，应帝确満足B列边界条件七'T“打7堆<Jy ) y 2 =

32、 0匕1戸二2 0.自然满足。在工=0的次要边界上外力的主矢歌，主矩都为零.有三个枳分的应力边界 条件暑= Or= (h丿mJ f空在r=l次要边界上.<«).«/=0.这两个位移边界条件可以改用二个积分的应力边界条件来代替-2q=0,r*27灯(Jr)r-/dV = J7绎所以满足应力的边界条件.虽然上购图中的应力分fit都満足平衡微分方程和应力边界条件但都不満足相容方程，所以两题的解答都不是问题的解2-14试证明:在发生最大与最小切应力的面上正应力的数值都尊于两个主 应力的平均ffL【证阴】任意斜截面上的切应力为J =加(66)其中E6为两个主 应力.用关系式+&

33、quot;?=】消玄血得r< 士 f JI 尸 5 6=± _尸 5 6 )二士 J+ (舟F ) 5 6)*由上式可见，当寺一厂=0时,一为最人和最小于是得I 土 Jf fl ff,=厂5 6 > +fft 得到6 =匹寺丑a2-15设已求得一点处的应力分量+试求们5口 L:(8)tfr = 100. ffr =50,r4, =10 Tso I(b)阳=200>6 =0. Tiy = 400$20沁*力审简帕敷檄（篥厶版）金机尊榊及习题会解匕=一2000, a, =】0W ro = -400i (d)“ =1000» 0 = 500. :r” =500.

34、【解】根18教材中式（2刁6）和tano）=6二空可分别求出主应力和主应力的方向：（a>50,= 10 -/5O ；： =型产土 j（吏/y +仃。履）r(b)“ 6150 100 a 冇"a = 丄札= =r* = 0. 707,510/506 = 150 6 := 0%d * = 2001 o9 0t=35'16 o = 400$弩卫士彳型尹+_400尸，tan a i 邂謬=-o很37*5?；一 400 >(j 512一 0j 312« a l:卜叭=2000,6 = 1000# 丫巧二?咛宓土彳三驾沁y + -如,tana i1052 + 200

35、0 吁 g一 400=_73&(T| = 1052, g =2052. aj =一82*32*.= -1000.“ =-1500、 r = 500；补=m吟!型土 J（二1驾±1空。儿tana |空二 一 69L+1P2Q = °, 618.500r»tfj = 6&L c =）809. a-1 = 31°43设有任意形状的第厚度薄板,体力可以不计在全部边界上（包括孔口 边界匕）受有均匀压力7.试证叭 F = r 及心=0能満足平衡微分方程、相容 方程和应力边界条件也能満足位移单值条件，因而就屋正确的解答.2-16牛面冋題的鼻本理论21解

36、216图证朋】 门将应力分虽叭冃6 = 95 =0和几-A= 0分别代人平衡 微分方程、相容方程+影+C"+警+人“+ 寿)<ffz +<Ty > = <1 +/4)+4右见齐不百,2 ? /|0.(b)扯燃式5)、(b)是満足的.2对于微小的二角板A .dr.dy祁为正值斜边上的方向余张Im COS (n t j )中将 a二=ayCOSV.ro= 0代人平面何題的应力边界条件的表达式 (匕 +a(O(>Wy +D = /"则冇<Tj cos I pi 工=geos (m Tjr )tTyCOs <n > 二一 ycos &

37、lt; 幵牛y ) 所以 e 二q、s = q.对于单连体上述条件就址确定应力的全部条件.心对于多连体，应校核位移单值条件是否满足d该题为平面应力的情况肯先将应力分晁5口 一席及r ° =0代人物理方程救材中式(2 - 12)得形变分fit然后将式(出的形变分然代人几何方程教材中式(2亠8)>W du 5 1ap 5 一 1)氏.Au齐=一T-" 齐打丨齐.<d)0.前二式的枳分得到v+ C J ) It中的和人分别和彳的待罡阑数可以通过儿何方榨的第三式求出. 将式代人式3）的第三式鬧d/ ly ） cl/2 （x ）<lydx等式左边只是>的西数而

38、等式右边H是疋的两数.丙此只可能两边鄙辱十 同Ww干是冇d/i3d/. C?）. = a u （Usdy（Lr段分以后陽/i <y > = i uD» f：（> u cur I va, 代人式（f>得位移分就u =Q.r uav -r ua.+ 0.v =© +«r +卍4其中矶心。w为我示刚体位移凰的常数须由约束条件求臥从式5町见.位移是坐标的皿值连绒旳数满足位移小值条件因而应力分 量是止晞的解柠.2-1?设冇矩形截面的惡臂梁庄白由斓受仃集中尙載F如題2 17图所示.体力可以不计.试根据材料力学公式写出弯应力e和切应力的农达式井取 挤医应

39、力"=0,魅黔证明这些表达式満足平衝微分方程和相容方稈，再说明这 些表达式是否就袅示正确的解答.【解】U）矩陪悬臂梁发生弯曲浚形任意横截面上的弯矩方稈为Mt.r）- -m横截ift对铿轴（中性轴）的惯性矩为L二令我据材料力学公式弯应力課亠* 平齿颅妥的冀*仪诧23出¥ > v-半占）战般血上的列力为八（才）二一F期应力”=号耳严¥*） =（牛-$ ）$井取挤压应力叭=0.*2）经驗证.述表达式能满足平衡徴分方稈F才+ 3卜尹I丽.I- n石+龙十人=°也能溝足Hl容方程（君+卷）5十叭=一（1+屮（警+制=0.评考察边界条件：在y二±/i

40、 P的I段边界上应侑确满足力边界条件:（叭人i, r =0. 仆和儿二屮=（）;（“）严 T ：=仆.*C F A.-J =0.能满星.在次要边界r-0匕列出三个枳分的应力边界条件:Q满足应力边界条件.在次旻边界上列出三个积分的应力边界条件* 匚宀心T：誓/皿" ：匕，_,.vdy =-匸：誓新=FI.二心一广1?件刃=一£.7 3J n 1 i'滿足应力边界条件.硯此，它们是後问题的止确解答.218试证明知架体力虽然不是常hf 但却是有弊的力即休力分械町以盂 示为/» =dV f av一录门改+ V其中兰是第函数则应力分甜亦可以表示为学+匕24弭13LR

41、甥初梢栽奴跖三版）金恨爭申艮习II金解试导出相应的相容方桂.(a>【解】（1将A.A代人平衡澈分方程，鞍材中式（22猫 盏匕B+第-P， 呀sv+警=。护©Sxy 护4>令 xdy *为了溝足式5几可以取v 0V _ 厉e一¥ =齐、6-"-疋 r护e ,讓e 乜F+w叭讨w r（2对体力、应力分僦5求備导效.得” JlV ” _ 护V3t 占f By 野*J啦=卫隹+巴勉=乜+哄 归'十归.J 2川八护"矿 avI而=而十左a>2 収 Jys 卩6 护® .矿V I SSSZ 1 1百o*3y2 3xyl 帀f将式（

42、b）代人教材中式劄）得平面应力情况下的相容方程*誥+御嵋-7 G（諾+甥）V'0 =- （I -严冷匕将式（h）代人敎材中式（22Z）簡平面应变情况下的相容方程：詳一（巳）（筝+轨(b)(c>(d)注:将式5）中的4替换为总也可以导出式.2 沙 成证明教材§ 2T中所述的刚休位移分凿叭,及個实际上就楚弹 性体中坐标原点的位移分绪和转动角度.【证明】 报据敎材中式（2 9） 碍任一点P（x.jr>的位肄分捷表达式为U =«0 砂 V Vo 十注.将原点的坐标X =0,.v =0代人上武得（M 打 aQ.j = “= <4有 （住） 所以刚体位移分蛍是

43、弹性体中坐标原点的位務分址图中，p为F点至z轴的垂直距离合成位移呻的方向与径向线段OP垂直 也就足沿者切向 OP线上的所有各点移动的方向都遷沿着切向而且移动的距离 第二卓平面问卓理论25等于径向館离p乘以3心代友物体绕注轴的刚体转动，各点转动的m度相同，所以 也是卑标原点的转动角度.解2,9图第昱JL 丰i»咸題的及甜郦菩27本章学习重点与难点一按应力函数e(.d球解平血洞题用应力函垃表示的应力分iitifi解，序。r护 *_ 川彷-丁乔一一畑一吋同时应力函数叙w需満肚収调和方程即相容方程：二、逆解法半逆僧法的尊本步骤L逆無法：首先设宦各沖形式的应力函数如，$几便之满足相容方税：燃后

44、. 再求出应力分笊：駅后来爭察这笔应力分笊适用于何种边界何越，从而得知该应力 闇数旎解决什么问址.逆解法的站一种含义层通过材料力学戒其它途艮阳知集眇 问聽的可能解答，然后检査它是否満足全部方程和边界条件2 半逆解法，报据弹性力学的具体几何形狀和受力特征或某种问题的解答凑 出应力函数(P(jr.V)的形式，然后再根惬展本方程和边界条件魏宦该曲数若不能 満足或出现矛盾则须修改试选的函散并亚新检亶直到满足为止.三、多项式解答1.亠次式(j：)Mm+Air+<y.不论系数取任何值相容方程总能满足，且对应的应力均为零.线性应力函数 时应于无而力，无炖力状石卩娄项式的应力萌数加上说域去一个线杵应力函

45、数不 影响应力的大小.2.二次式叭二心* +处y+<rF.上式也能滿足相容方程且可得到。=26 =2°""=占这一结杲代左 均匀应力状态.3三次式祝-r、y) =flj +kr：y -f-rry2 +</>' 上式悔能満足相容方程且可得到*6 = 2cx += 6or +2by. rIT _ 2Uu +)这是 个境杂应力状态又能由桂加原理分解为简单应力状态.若a=0d #0则es =6Mya, =丫 =0能飆决矩形戲面梁的炖弯曲问題仃I意坐标系変换，所能林决的阿題也零变化.I. 餌次或四次以上的多烦武.H各项系数之间盂涵足一宦的关系时才能

46、满足相容方程,各项代表的应力分 布呈一种油线分布.四设置应力函数1. 由多项式直加凑出.当物体哽力悄况井不災杂时可用此迭.2. 从灵纲分析法得出此法适用于攢形体三角形悬臂殁等以无駅纲的角度 来描述儿何形状的物体.3由材料力学解祥导出 此法可适用于已知该物体的材料力学解善的情况. 但用此方注側到的应力函敖往往不能満足収调介方程必须加以修BE才得以潇足. ft时需经过多次述算才能便应力函数宦型.4.根据边界上的受力性质推得解題所用应力函数.难点一应用逆制法、半逆解法求解平面问题.二&如何设S?应力函散"典型例题讲解例如图示矩形支梁畳三角形分布荷戟作用试取应力菌数e土 ArJyJ

47、+Bry +'* + »屮卜Er“+尺ry 求简支渠的应力分址（体力不计）.一nWn 伽wa-ira【解】H）相容箫件:£0 .、e .£08 亦：W 心、代人应力画數得72Ary + UOB.ry = 0山此用A =-¥d于是应力曲教可以改场为二一寻&+ fJ.ry3 + C.rJy + Djiy1 + Kt1 4 Fj：y 煜）应力分轼农达式疔_纹 _収=-10BC +20 民T +66$.35 - lOBxy1 十 6Czy +6£r J. T'n単-r. 15IjLi :yl 513頁 3Cjt2 3/J>

48、: F. 弧ay'丿G）考廡功界条件:确定应力分廉中的各系数（f >， T/l s=S 得（3C-芋加）才 +（磊BH+#M+F）N（h （b）（0y），Ef=¥才 得扌 BA' 3Cfr + 6E =J#$5）得-予即34 +6E = （hy -M n °Cr 片=z 工 0.得（3C pBA- ）x2 十（磊隔_ + 扌DA： + F）= 0。（d） 若式仆恒成立.必须構足3C 加-0；（e>4电阳 +42 十 F =0.<010 4联立求解以上各式得A s=也一 H 二. C =卫邑 F =3h'T5沁4 丛12（*再根据简支

49、槃的端面条件确定常数Df由圣维南原理得fk/Ij炖=°町得D = -佥+骼再代人式（倆尸=-磐+韻.（4）应力分益表达式6 =鲁Q（珊一” +厂_咅护），° =（3屮，4j? h' 人r° =箭'一小（3云_护_厂+备）.分析：在工=0处0能精确搆足由此可得叭在简支架左瑙为精确解;应力函 数含有四阶或四阶以上的顼时，耍谶足相容方程是有条件的如式例3-2圏示悬御梁弟的檯載面为矩形其宽度取为】，右瑞固定左端自由. 荷St分布在自右圏上其合力为P（不计体力）求製的应力分it.博三倉 半面冏題的整角主标解蕃29y例3 - 2图【解】这是一个半面应力问題,采

50、用半逆解法求解.（1）选取应力險数0.由材料力学可知悬臂梁任一栽面上的弯矩方程M（才）与 截面位置坐标龙成正比，而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标.y成正比，因此 可设a, =式中的5为待定常数°将式（G对，积分两次得e = *却+”】（工+人m ©式中的门（工）兀“）为工的待定函数可由相容方程确定将式（b）代入相 容方程v*<p =o匕式是y的次方程梁内所冇的y值郁应満足它，可见它的系数和自由项郝 必须为零即dr10.d*/2 (ar)dr*=0»积分上二式第得/3 （x > = <Zi-r5 +fljjr24-aj»->+

51、a?s +afcur 4-a>.式中a2为待定的积分常数.将/i（x> ,/2 （工代人式（b）得应力函数为0 = ¥才/* + (a” +口“： +&“ +ai>> +<j?2 + 血広 +町>.(C)（2）应力分St的表达式i&r =叭砂切 =6"廿+a« ）/ + 2如丁 +如几Try = yoiy 一3砒乂 一25工一a 考察应力边界条件以确定各系数，白由端无水平力；上.下部无荷瓠自由 瑞的剪力之和为F 得边界条件（>,-=0,自然满足,±* =山 得atA2/2 3atjr? 2aajr

52、 <2. = 0<上式对的任何值均应满足因此須如0F/S g -（）即c叭片一廿=0, 得（5心才+2心=0$ r取任何值均迸满足，凶此得g =x =讥j。（5>_心=L （一*心 j® =_户：将式3代入上式积分得（a （£gV*川）dv = P.汁算得叭 j翡 =£ 尙 二一寺尙h：匸+七人其中/. T X（2A屮./】2=2於/3,横戲面对£轴的惯性鉅. 展后得应力分51为| j =- gj- S y1 儿分析：（Dt逆解法是针对实际问题来求榊的根据那性休受力悄况和边界条 件假设应力分駅的函数形武古由应力推出应力函数的形式.本1B

53、中心池g 为应力雷敷中线件坝的条数，对应龙体力无面几无炖力 的状态所以对应力的分布没有影响.不需求岀。习題全解31试時察应力函数往融3 1图所示的矩形扳和坐标系中能解决什么问题（体力不计）8£ 3 图W3 - 1 图慕三JL平面同踰的真处主祢斛苦31【解1 (1)相容条件：不论系数u取何値应力屈数Q =令 总能满足相容 方程.(2)当休力不计时将<P代人应力分當公武得乎“>0时考察左右轉端的叭什布情况，厶觀(Jj, ) M B> | (J > CT，<» fid/? r r, ® r » 三 U*疝缩(6), . =0. Q

54、j)山 7 =6ah, "Jm0.应力分布如解3 I图("所示严炖 时应用圣维附匣理町以解决各种假心 拉仲的问縣.18为在人点的应力为零陆板宽为6毎中荷載P的備心便为e56 戯"所以.=占/6,如解3- 1图所示.同理町知，当N <0时可以解决偏心压缩问题©3-2取满足相野方鬼的应力函数为：(1 )0 =ax.(2)0.(3)0试求出应力分曲不汁沐力几幽岀题32图所示弹性体边界匕的面力分布并在次 要边界上表示出而力的卞矢域和主矩.解32图【解】 应力函数。=站匕，綺应力分越农达戌ff4 0.叭=2ay r期tyr 2oj »在主要边界，=±A/2上期上、卜边，面力为C(Jr J f *-t* ： =土 ei/i (T