信号的频域分析ok

1、4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 1 n连续周期信号的频域分析：连续周期信号的频域分析：一一、周期信号的傅里叶级数展开、周期信号的傅里叶级数展开二二、傅里叶级数的基本性质、傅里叶级数的基本性质三、周期信号的频谱及其特点三、周期信号的频谱及其特点四、周期信号的功率谱四、周期信号的功率谱第四章第四章 信号的频域分析信号的频域分析4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 2 由时域到频域：由时域到频域：从前三章学习中得到一个启迪：可以用一组基本的信从前三章学习中得到一个启迪：可以用一组基本的信号来表示任意的信号，在时域分析中基本信号为单位冲激号来表示任意的信号，在时域分析中基本信号为

2、单位冲激（脉冲）信号。（脉冲）信号。这样的基本信号并不是唯一的这样的基本信号并不是唯一的，由此将引出信号与系，由此将引出信号与系统理论中极为重要几组基本信号，信号与系统的分析也将统理论中极为重要几组基本信号，信号与系统的分析也将从时域转向频域。也将学习到信号与系统四大变换的基石：从时域转向频域。也将学习到信号与系统四大变换的基石：傅里叶变换。在学傅里叶变换之前，先学习周期信号傅里傅里叶变换。在学傅里叶变换之前，先学习周期信号傅里叶级数分析方法。叶级数分析方法。信号的频域分析，实际上就是从频域的角度对信号进信号的频域分析，实际上就是从频域的角度对信号进行描述或分解。行描述或分解。4 周期信号的频

3、域分析周期信号的频域分析 p 3 由时域到频域：由时域到频域：级数展开的思想源于信号的分解。级数展开的思想源于信号的分解。如图：一个矢量可以用一维平面的两个正交矢量表示，也可以用n维空间的n个正交矢量来表示，称为矢量的正交分解。类似于此，在满足一定条件下，一般的信号也可以用一个正交函数集中的函数来表示。傅里叶级数展开的思想类似于此。oVc2V2c1V1V1V221oVc3V3c1V1V1V3V2c2V24 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 4 用这个三角函数集表示一般信号即是用这个三角函数集表示一般信号即是傅里叶级数傅里叶级数的三角函的三角函数形式。用复指数函数集表示的一般信号即是数形

4、式。用复指数函数集表示的一般信号即是傅里叶级数傅里叶级数的的指数形式。指数形式。理论已证明：理论已证明：三角函数集，三角函数集， n=0,1,2,是一个完备是一个完备正交函数集，正交区间为正交函数集，正交区间为(t0, t0+T) 。复函数集复函数集 是一个完备正交函数集，是一个完备正交函数集，不是所有的函数都可以展开为傅里叶级数，函数必须满足不是所有的函数都可以展开为傅里叶级数，函数必须满足的条件称为的条件称为Dirichlet（狄里赫勒（狄里赫勒 / 狄利克雷）条件。狄利克雷）条件。t)sin(nt),cos(n1,002, 1, 0ne0jtn4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p

5、 5 Fourier， 法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔， 1830年5月16日卒于巴黎。9岁父母双亡，被当地教堂收养 。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔 省地方长官。1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委 员会主席。 主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶分析等理论均由此创始。4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 6 周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和。周期信号都可表

6、示为成谐波关系的正弦信号的加权和。（即傅里叶级数）（即傅里叶级数）非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示。非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示。（即傅里叶变换）（即傅里叶变换）傅里叶的两个极重要的贡献：傅里叶的两个极重要的贡献： 从信号分析的角度：从信号分析的角度：将信号表示为不同频率将信号表示为不同频率正弦分量正弦分量的的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。 从系统分析角度从系统分析角度：已知单频正弦信号激励下的响应，利：已知单频正弦信号激励下的响应，利用用迭加特性迭加特性可求得多个不同频率可求得多个不同频率正弦信号正弦信号同时激励下的同

7、时激励下的总响应，以及每个正弦分量通过系统后的变化情况。总响应，以及每个正弦分量通过系统后的变化情况。将信号表示为将信号表示为不同频率正弦分量不同频率正弦分量的的线性组合线性组合的意义的意义：（20年后，狄利克雷给出了它们成立的年后，狄利克雷给出了它们成立的充分条件充分条件）4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 7 周期信号能展开为傅里叶级数的周期信号能展开为傅里叶级数的充分充分条件条件：周期信号f (t)应满足Dirichlet条件(P134)，即：(1) 在一个周期内绝对可积，即满足 (2) 在一个周期内只有有限个不连续点；(3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。注意： 条件

8、（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。ttftTtd )( 0004 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 8 tnnnCtf0j=e )(dtf(t)eT CtTttjn n000001连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示：其中傅里叶系数Cn（很多资料写为Fn）计算式(T0为周期)：物理含义：物理含义：周期信号周期信号f (t)可以分解为不同频率虚指数信号之可以分解为不同频率虚指数信号之和，信号不同则和，信号不同则Cn不同，为一一对应关系。不同，为一一对应关系。周期信号在一个周期内的积分与信号起点周期信号在一个周期内的积分与信号起点t0选取

9、无关，故计选取无关，故计算时可以根据需要选择不同的算时可以根据需要选择不同的t0值，常选：值，常选：t0=0或或t0=T0/24 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 9 tnnnCtf0j=e )(dtf(t)eT CtTttjn n000001连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示：1n两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量2n的频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量Nn的频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量物理含义：周期信号f (t)可以分解为不同频率虚指数信号之和4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 10 0002 , , TTtf基波角

10、频率为周期为周期信号在满足在满足狄氏条件狄氏条件时，可展成时，可展成直流分量直流分量000d)(1200TttttfTa余弦分量的幅度余弦分量的幅度000dcos)(200TttnttntfTa正弦分量的幅度正弦分量的幅度000dsin)(200TttnttntfTb称为称为三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数，其系数，其系数)sincos(2)(1000nnntnbtnaatf)1,2=n( 4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 11 100cos2)(nnntnAatf）（22nnnbaA nnnabarctg其中a0 0/2/2称为信号的称为信号的直流分量直流分量， An c

11、os(n 0 t + n) 称为信号称为信号的的n次谐波分量。次谐波分量。幅度谱幅度谱相位谱相位谱4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 12 nnCC利用这个性质可以将指数Fourier级数表示为：tnnntnnnCCCtf00j1j10ee)(tnntnnnCCC00jj10ee) e Re(20j10tnnnCC2j:nnnbaC记由于C0是实的，所以 b0= 0，即得三角形式的系数200aC 若 f (t)为实函数，则指数形式的系数必为(课本中已证明)：tnnnCtf0j=e )(4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 13 2jnnnbaC2:00aC 直流分量tnnnC

12、tf0j=e )()sincos(2)(1000nnntnbtnaatfnnCC000dcos)(200TttnttntfTa000dsin)(200TttnttntfTb) e Re(2)(0j10tnnnCCtfdtf(t)eT CtTttjn n000001100cos2)(nnntnAatf）（22nnnbaA nnnabarctg4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 14 几条常用几条常用的式子：的式子：)(1)(12tatatatataeeatadteteadte)ee(21)cos(jjttt)ee(j21)sin(jjttttjtetjsincos4 周期信号的频域分析

13、周期信号的频域分析 p 15 用有限次谐波分量来近似原信号，用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点在不连续点出现过冲出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少，过冲峰值不随谐波分量增加而减少，且且 为跳变值的为跳变值的9% 。吉伯斯现象产生原因吉伯斯现象产生原因: 时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在在间断点间断点傅里叶级数出现傅里叶级数出现非一致收敛非一致收敛。4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 16 -2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.20

14、0.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2N=5N=15N=50N=5004 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 17 例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的指数形式傅里叶级数展开式。解解: 信号信号f (t) 满足满足狄里赫勒狄里赫勒的三个条件，必然存在的三个条件，必然存在傅里叶级数傅里叶级数展开式。展开式。At)(tfT-T0)2()2sin(2)2sin(21)ee(1e1de1de)(1000002j2j022j022j

15、j000000000nSaTAnnTAnjjnTAjnTAjnTAtATttfTCnntntnTtttnn)ee(j21)sin(jjttt4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 18 例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的指数形式傅里叶级数展开式。At)(tfT-T0因此，因此， f (t)的的指数形式傅里叶级数指数形式傅里叶级数展开式为展开式为tj=00e )2(Sa nnnTAtnnnCtf0j=e )(T20)2(0nSaTACn解解: 信号信号f (t) 满足满足狄里赫勒狄里赫勒的三个条件，必然存在的三个条件，必然存在傅里叶级数傅里叶级数展开式。展开式。不防记住这个结论，其

16、中是脉宽，T是周期，A是幅度。4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 19 解解:例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的三角形式三角形式傅里叶级数展开式。At)(tfT-T0)sincos(2)(1000nnntnbtnaatf000dcos)(200TttnttntfTa000dsin)(200TttnttntfTb可以按原始的表示式来求三角形式的傅氏级数：可以按原始的表示式来求三角形式的傅氏级数：4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 20 解解:tnnTATAtfn001cos)2/(Sa)/2()/()(可得，可得， f(t)的的三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数展开

17、式为展开式为) e Re(2)(0j10tnnnCCtfT20例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的三角形式傅里叶级数展开式。At)(tfT-T0已知已知Cn，也可以利用下式来求：，也可以利用下式来求：tjtetjsincos4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 21 例例2 2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。t)(tf2-201解解: 该周期信号该周期信号f (t)显然满足显然满足狄里赫勒狄里赫勒的三个条件，的三个条件，Cn存在存在:)dede(21de )(110j01j2/2/j000ttttttfTCtntnTTtnn)deedee(j2110j10j01j

18、01j00000ttttntntntntn) 1(cos)(12nn20T4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 22 例例2 2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。t)(tf2-201解解:tmmm0) 12( j=2e) 1(22 21tnnnCtf0j=e )(0, 2/1,)/(2) 1(cos)(122nnnnnCn为奇数周期三角脉冲信号的周期三角脉冲信号的指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数为：为：20T4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 23 例例2 2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。t)(tf2-201解解:周期三角脉冲信号的周期

19、三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数展开式为展开式为) e Re(2)(0j10tnnnCCtf由tnmtfm01=2cos) 1(24 21)(ttt0202025cos2543cos94cos42120T4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 24 求傅氏级数的系数Cn 。)4cos(3)(0ttf)4( j)4( j00ee213tttt00j4 jj4 jee23ee234 j14 j1e23,e23CC1, 0nCn)4cos(3)(0ttf根据指数形式傅里叶级数的定义式，得：根据指数形式傅里叶级数的定义式，得：tnnnCtf0j=e )()ee(21)cos(j

20、jttt4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 25 nnCtfCtf2211)( , )( 若nnCaCatfatfa22112211)()( 则有 )( nCtf若ntnCtt f00j0e)( 则有时移时移 相移相移4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 26 若 f1(t) 和 f2(t) 均是周期为T0的周期信号，且nnCtfCtf2211)( , )(nnTCCTdtfftftf210021210)()()(*)( )( nCtf若nCnt f0j)( 则有周期卷积为：4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 27 | nnCC则nn若 f(t) 为实信号4 周期信

21、号的频域分析周期信号的频域分析 p 28 纵轴对称信号纵轴对称信号 f (t) = f (t)2/002/2/0d)cos()( 4d)cos()(2TTTnttntfTttntfTa0d)sin()(22/2/0TTnttntfTb 纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含有直流项与余弦项。有直流项与余弦项。4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 29 原点对称周期信号原点对称周期信号其其傅氏展开式傅氏展开式中只含中只含正弦项正弦项，无其他项。，无其他项。0d)cos()(22/2/0TTnttntfTa2/002/2/0d)sin()( 4d)

22、sin()(2TTTnttntfTttntfTb原点原点对称信号对称信号 f (t) = f (t)4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 30 半波重叠信号半波重叠信号: : f (t) = f (tT/2) 半波重叠周期信号半波重叠周期信号只含有只含有正弦正弦与与余弦余弦的的偶次谐波分偶次谐波分量量，而无奇次谐波分量（注意周期，而无奇次谐波分量（注意周期T的位置）。的位置）。T/2T/2f(t)tdtf(t)eT CTttn jn2/2000024 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 31 半波镜像信号半波镜像信号: : 半波镜像周期信号半波镜像周期信号只含有只含有奇次谐波分量

23、奇次谐波分量（包括（包括正弦正弦与与余余弦弦），而无直流分量与偶次谐波分量。），而无直流分量与偶次谐波分量。t)(tfT/2T0dtf(t)eT CTttjn n2/000014 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 32 ：某些信号某些信号波形经上下或左右平移后，波形经上下或左右平移后，才呈现出某种才呈现出某种)(tf0TT2T3TT2T3A)(tf0TT2T3TT2T32/A去掉去掉直流分量直流分量后，后，信号信号呈呈奇对称：奇对称：只含有只含有正弦正弦各次谐波分量各次谐波分量。(注意周注意周期为期为T，所以半波不重叠，所以半波不重叠)因此该信号含有因此该信号含有正弦分正弦分量量，直流

24、分量。直流分量。4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 33 求图示周期信号f(t)的傅里叶级数（另法）t)(tf-1-21234-321-4t)(1tf-1-21234-32-4t)(2tf-1-21234-31-4)2cos()2(Sa5 . 1)(1tnntfnf (t) = f1(t) f2(t)2cos()2(Sa5 . 0)(12tnntfn)2(0nSaTACn4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 34 n周期信号的频域分析：周期信号的频域分析：一、周期信号的傅里叶级数展开一、周期信号的傅里叶级数展开二、傅里叶级数的基本性质二、傅里叶级数的基本性质三三、周期信号的频

25、谱及其特点、周期信号的频谱及其特点四四、周期信号的功率谱、周期信号的功率谱 *离散离散Fourier级数（级数（DFS）信号的频域分析信号的频域分析（重点：连续时间信号）（重点：连续时间信号）4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 35 周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号不同频率虚指数信号之和Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波的幅度和相位随频率变化的规律，简称Cn为频谱函数频谱函数。tnnnCtf0j=e )( 不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 36 直接画出信号各次

26、谐波对应的Cn线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。nnnCCje|Cn|随角频率变化的特性，称为幅度频谱n 随角频率变化的特性，称为相位频谱4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 37 At)(tfT-T0例例1 周期矩形脉冲信号的周期矩形脉冲信号的频谱图频谱图)2(Sa0nTACn以以 0=2/ T0为间隔进行抽样为间隔进行抽样若若T0，则变为连续的谱，则变为连续的谱Cn为实数时，可将幅度为实数时，可将幅度谱和相位谱画于同一图中谱和相位谱画于同一图中nC0nTA /T/202200,00,0, 0nCnCCnnnn且且4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 38 例例2 2

27、已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的的Fourier级数表示式。级数表示式。40C31C12C23C由图可知tnnnCtf0je)()ee (2)ee ()ee ( 34000000j3j3j2j2jjtttttt)3cos(4)2cos(2)cos(64000ttt2nCn01123343311224 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 39 信号周期T 越大，0（间隔）就越小，则谱线越密。反之，T 越小，0越大，谱线则越疏。周期信号的频谱是以0=2/ T0为间隔进行抽样所得，为离散的谱线。（若T0，则变为非周期信号的连续谱线）。nC0nTA

28、/T/20224 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 40 当周期信号的幅度频谱当周期信号的幅度频谱随着谐波随着谐波n 0增大增大时，幅度频谱时，幅度频谱|Cn|不断衰减不断衰减，并最终趋于零。，并最终趋于零。 若信号若信号时域波形变化越平缓时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，高次谐波成分就越少，幅度幅度频谱衰减越快频谱衰减越快；若信号；若信号时域波形变化跳变越多时域波形变化跳变越多，高次谐波，高次谐波成分就越多，成分就越多，幅度频谱衰减越慢幅度频谱衰减越慢。f(t)不连续时，不连续时，Cn按按1/n的速度衰减的速度衰减f(t)连续，连续， f (t)不连续时，不连续时，Cn按按1/

29、n2的速度衰减的速度衰减如果如果f(t)前前k-1阶导数连续，阶导数连续，k阶不连续时，则阶不连续时，则Cn按按1/nk+1的速度衰减。的速度衰减。4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 41 （有多种定义方法）（有多种定义方法） 02 / 这段频率范围频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即（这里定义在第一个过零点处，带宽的单位:） 2B信号的有效带宽信号的有效带宽与与信号时域的信号时域的脉冲宽度脉冲宽度 成反比。成反比。即 越大，其B 越小；反之， 越小，其B 越大。4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 42 物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若

30、信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。当信号通过系统时，信号当信号通过系统时，信号与与系统的有效带宽必须系统的有效带宽必须“匹配匹配”。信号的有效带宽有多种定义方式，一般从功率谱的角度来定义。4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 43 -2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2N

31、=5N=15N=50N=5004 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 44 nnTTCttfTP2222d)(1 物理意义：物理意义：任意周期信号的任意周期信号的平均功率平均功率可以用频域的傅氏可以用频域的傅氏系数来确定。系数来确定。1式时域；式时域；2、3式频域，信号是实信号时可简式频域，信号是实信号时可简化为第化为第3式计算。（往往是哪种方法简单就采用那种方法）式计算。（往往是哪种方法简单就采用那种方法）信号的平均功率等于其所包含的直流、基波以及各次谐信号的平均功率等于其所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。波的平均功率之和。 周期信号的功率频谱：周期信号的功率频谱： |Cn

32、|2 （频谱的模的平方频谱的模的平方）随）随 n 0 的分布情况称为周期信号的功率频谱，简称的分布情况称为周期信号的功率频谱，简称|Cn|2为为功率谱功率谱。平均功率平均功率P：（：（帕什瓦尔帕什瓦尔( (Parseval) )功率守恒定理）功率守恒定理）12202nnCC4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 45 求包含在有效带宽有效带宽(0 2 / )内的各谐波平均功率，此时若采用时域的计算方法较麻烦。由于周期矩形脉冲的傅里叶系数为：信号的平均功率平均功率为：2 . 0d14d)(1401401222tttfTPTT例例3 3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02 /)内谐波分量

33、所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。 22TAtT)(tfnC0nTA /T/2022频谱图频谱图)2(Sa0nTACn4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 46 信号的平均功率平均功率为：2 . 0d14d)(1401401222tttfTPTT例例3 3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02 /)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。 22TAtT)(tfnC0nTA /T/2022频谱图频谱图)2(Sa0nTACn将A=1，T=1/4， = 1/20，0= 2/T = 8 代入上

34、式)5/(Sa2 . 0)40/(Sa2 . 00nnCn4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 47 信号的平均功率为：2 . 0d14d)(1401401222tttfTPTT例例3 3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02 /)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。 22TAtT)(tfnC0nTA /T/2022频谱图频谱图)5/(Sa2 . 0)40/(Sa2 . 00nnCn41=22044=21 |2 |nnnnCCCP1806. 0%90200. 01806. 01PP4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 4

35、8 2nC0n84040251周期信号的功率谱：功率谱：(区别于频谱图区别于频谱图)5(Sa25122nCn22TAtT)(tf)5/(Sa2 . 0nCn例例3 3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02 /)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。 %90200. 01806. 01PP4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 49 tttttf0000j2jjj2e2e34e3e2)(求f (t)的功率。2nnCP40C31C22C422343222222P4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 50 tttttf0000j2

36、jjj2e2e34e3e2)(求f (t)的功率。tttf002cos4cos64)(424216214)(12222dttfTPT22)2cos1 (21cos1220220ATTAdttnTAdttnATPTT2)cos(1220AdttnATT信号的平均功率等于其所包含的直流、基波以及各次信号的平均功率等于其所包含的直流、基波以及各次 谐波的平均功率之和。谐波的平均功率之和。4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 51 分析问题使用的数学工具为傅里叶级数最重要概念：频谱函数 Cn要点1. 频谱的定义、物理意义2. 频谱的特点3. 频谱的性质，应用性质分析复杂信号的频谱4. 功率谱的

37、概念及在工程中的应用周期信号的频谱分析小结周期信号的频谱分析小结4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 52 10t)(tf10141、如图示周期、如图示周期信号，其傅里信号，其傅里叶系数叶系数:C0410,2cos4cos64)(2000tttf、则此信号的平均功率则此信号的平均功率42T / 2 T / 23、如图示周期为、如图示周期为 T 的信号，定性判断其频谱成份：的信号，定性判断其频谱成份： .T / 2 T / 2t0f(t)A偶：余弦分量偶：余弦分量奇：正弦分量奇：正弦分量半波重叠：偶次谐波半波重叠：偶次谐波半波镜像：奇次谐波半波镜像：奇次谐波2)cos(1220Adttn

38、ATPT4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 53 *4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 54 kmNNmWmFNmFkf1)(IDFS10kmNNkWkfkfmF)(DFS10 IDFS:表示离散傅里叶级数反变换表示离散傅里叶级数反变换 DFS:表示离散傅里叶级数正变换表示离散傅里叶级数正变换NNW2j -etnnnCtf0j=e )(kmNmFNkfj10=e m1N2式中002T式中4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 55 周期为周期为N 的任意序列可分解为基本序列的任意序列可分解为基本序列kNm2je的和的和.kNmNmemFNmFkf2j101)(IDFS

39、mFkf一一对应4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 56 mkNNNkNWkkmFDFS104 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 57 周期序列 fk = cos(k/6) 的频谱122j122je21e21kkkfkkWW1212661211, 65016mmmmF0,102011, 16mmmmF11m6023Fm1111N=12NNW2j -ekmNNmWmFNmFkf1)(IDFS104 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 58 当m=0, N, 2N, 时有Mk10fkMNNMNMN+MkmNMMkmF2jemNMmNmMN2j) 1(2j2je1eeNmMN

40、msin12sin12 MmF4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 59 - 3 0- 2 0- 1 001 02 03 0- 1012345mF m - 3 0- 2 0- 1 001 02 03 0- 5051 01 52 02 5mF m N=30M=2N=30M=124 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 60 DFSDFSDFS2121kfbkfakbfkaf4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 61 14kfk0123DFSmFWnkfmnNDFSlmFkfWlkNk-4 -3 -2 -1012345674kf4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 62

41、 DFSmFkfDFSmFkf fk为实序列mFmF fk为偶对称实序列 fk为奇对称实序列Fm为奇对称虚序列 (实部为零) Fm为偶对称实序列4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 63 0 1 2 3kN=40 1 2 3kN=54偶对称kNfkfkf奇对称kNfkfkf0 1 23kN=40 1 24 kN=534 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 64 DFSDFSDFS2121kfkfkfkfDFSDFS1DFS2121kfkfNkfkf4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 65 211021nkfnfkfkfNnkfkfkf0123k4110 1 2 3k41

42、210 1 2 3k42 2, 2nfN0 1 2 3n41 1kfkf4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 66 kf0 1 2k1 1-1-21, 3nfN0 1 2 3n11-1-21 nf0 1 2 3n41 12nf0 1 2 3n4110 1 2 3k4121kRkfkfN4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 67 (1) 周期卷积的结果一般和线性卷积不一样。(2) 通过对序列补零可使周期卷积的结果和线性 卷积的结果一样。4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 68 n非周期信号的频域分析：非周期信号的频域分析：一一、连线非周期信号的频谱、连线非周期信号的频谱

43、二二、常见连续信号的频域分析、常见连续信号的频域分析三、连续时间傅里叶变换的性质三、连续时间傅里叶变换的性质 *四、离散时间傅里叶变换及其主要性质四、离散时间傅里叶变换及其主要性质4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 69 一、连线非周期信号的频谱一、连线非周期信号的频谱4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 70 ttfTCTTnTnde )(122tj0ttfttftTTtnTTde)(de)(limj22j0可见其物理意义可见其物理意义: F(j )是单位频率所具有的信号频谱。是单位频率所具有的信号频谱。是一种密度谱、连续谱的概念，表达信号频谱密度的分布情况。常称称F(j

44、)为非周期信号的为非周期信号的频谱密度函数频谱密度函数，即傅里叶正变换。，即傅里叶正变换。fCTCjFnfnT0limlim)(由周期信号的傅氏系数，讨论由周期信号的傅氏系数，讨论T（即周期信号变为非周（即周期信号变为非周期信号时）：期信号时）：nTTClim)(jF4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 71 ( (课本用花体字，这里用课本用花体字，这里用FTFT表示运算符）表示运算符）)j ()()()j (1FFTtftfFTF)j ()(:FtfFT或tnnnCtf0j=e )(展开式形式相似：与周期信号的傅氏级数dtf(t)eTC tTttjn n000001式相似：与周期信号

45、傅氏系数形de)j (21)(jtFtfttfFde)()j (tj从时域到频域从时域到频域 从频域到时域从频域到时域注意变量符号的任意性！下式成立：ttfaFade)()j(t )j(4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 72 tnnnCtf0j=e )(展开式形式相似：与周期信号的傅氏级数dtf(t)eTC tTttjn n000001式相似：与周期信号傅氏系数形傅里叶反变换的傅里叶反变换的物理意义：物理意义：非周期信号可分解为无数个频率为，复振幅为F(j)/2d 的虚指数信号虚指数信号ej t的线性组合。de)j (21)(jtFtfttfFde)()j (tj 从信号分解的角度

46、看，F(j )与Cn的物理意义是可以统一的！所以，二者都常统称为 频谱函数频谱函数。从时域到频域从时域到频域 从频域到时域从频域到时域4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 73 （1）周期信号的频谱）周期信号的频谱Cn为离散频谱，为离散频谱， 非周期信号的频谱非周期信号的频谱F(j )为连续频谱。为连续频谱。非周期信号频谱非周期信号频谱T TCn的分布，表示每单位带宽内所有的分布，表示每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱的密度。谐波分量合成的复振幅，即频谱的密度。（可以理解为单位频率宽度内的值） 两者关系：两者关系：00)j (nnTFCCnF(j )（2）周期信号频谱）周期信

47、号频谱Cn的分布，表示每一个谐波分量的复的分布，表示每一个谐波分量的复 振幅。振幅。（可以理解为频率点的值）fCTCjFnfnT0limlim)(4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 74 tj=0e lim)(nnnTCtftj0=0e2)j (limnnTFd)j (21jteFT时：n0成为连续变量，用表示。0成为无限小量，用d表示。即记为： n0 = 0 = d而无限小量的求和，可用积分表示。由周期信号的傅氏级数展开式，以及由周期信号的傅氏级数展开式，以及Cn与与F(j ) 的关系，的关系，讨论讨论T时情况：时情况：tnnnCtf0j=e )(0 = 2/T000)j (nnT

48、FC4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 75 Dirichlet条件是充分条件，不是必要条件。条件是充分条件，不是必要条件。后续内容将会后续内容将会看到，有些信号不满足其充分条件，也存在傅里叶变换。看到，有些信号不满足其充分条件，也存在傅里叶变换。（1）非周期信号在无限区间上绝对可积（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。ttfd)(傅氏变换的条件：狄利克雷傅氏变换的条件：狄利克雷(Dirichlet)条件条件4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 76 一般地，能量信号都能满足一般地，能量

49、信号都能满足Dirichlet的充分条件，故都存在傅的充分条件，故都存在傅氏变换，而很多氏变换，而很多功率信号功率信号（比如（比如周期信号周期信号）虽然不满足绝对可积条）虽然不满足绝对可积条件，但在引入广义冲激函数件，但在引入广义冲激函数(t)后，也存在傅氏变换，因此对信号的后，也存在傅氏变换，因此对信号的分析方法就可以统一起来。对常见周期信号，既可展开为傅氏级数分析方法就可以统一起来。对常见周期信号，既可展开为傅氏级数，也可用虚指数信号，也可用虚指数信号ej t的线性组合来表示，即既可求频谱的线性组合来表示，即既可求频谱Cn ，也可，也可以求频谱密度函数以求频谱密度函数 F(j ) 。周期信

50、号频谱周期信号频谱Cn ，表示每一个谐波分量的复振幅分布情况，是，表示每一个谐波分量的复振幅分布情况，是离散的谱线；而离散的谱线；而非周期信号频谱非周期信号频谱 F(j ) ，表示每单位带宽内所有谐表示每单位带宽内所有谐波分量合成波分量合成后的复振幅分布情况，是连续的谱线。一定条件下，后的复振幅分布情况，是连续的谱线。一定条件下， Cn 可以从可以从F(j )中取样得到，从信号的分解的角度看，二者完全一致！中取样得到，从信号的分解的角度看，二者完全一致！可以说傅氏变换是本课程涉及的几大变换的基石。对信号进行可以说傅氏变换是本课程涉及的几大变换的基石。对信号进行频谱分析频谱分析和对信号进行和对信

51、号进行傅里叶变换、求频谱函数傅里叶变换、求频谱函数具有同样的含义。具有同样的含义。4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 77 例例 求图示非周期矩形脉冲信号的频谱密度函数。22tA)(tf解：解： 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为2/| 02/| )(ttAtf，由定义式，可得tAttfFttdede )()j (22jj)2(Sa A22A)j (F44 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 78 2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得。3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间，工程中

52、往往将此宽度作为有效带宽。5. 脉冲宽度 越窄，高频分量越多，有效带宽越宽。 即信号信息量大、传送信号所占用的频带越宽。（因为B=2）1. 周期信号当周期趋于无限大时，成为非周期信号，离散频谱变为连续频谱，二者的包络线相似。4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 79 单边指数信号 双边指数信号 e a |t| 单位冲激信号 (t) 直流信号 符号函数信号 单位阶跃信号 u(t)二、常见连续时间信号的频谱二、常见连续时间信号的频谱 虚指数信号 正弦型信号 单位冲激串4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 80 )(e)(tutftattfFtde )()j (j221)j (aF)

53、arctan()(atttdeej0aaaaj10)j(e)j(t求信号的频谱函数或频谱分析，实际上就是作傅里叶变换， 实数a a 0 0，信号满足狄氏条件，则傅里叶变换为：a a为为0的实数的实数4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 81 221)j (aF)arctan()(a单边指数信号及其单边指数信号及其幅度频谱幅度频谱与与相位频谱相位频谱t01)(tf0a/1)j (F0)(2/2/0)(e)(aa，tutft4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 82 ea|t|，a为0的实数2200| |211ddd)j (aaaaaaajjteeteeteeFtjttjttjt2

54、22)j (aaF0)(关于关于t为实偶函数的信号，其频谱是关于为实偶函数的信号，其频谱是关于 的实偶函数。的实偶函数。4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 83 (t)?de)()(jtttFTt单位冲激信号单位冲激信号( (时域里变化最剧烈的理想信号时域里变化最剧烈的理想信号) )的频谱是一种的频谱是一种均匀谱均匀谱，其频谱包括所有的频率分量，为一个常数，又称白色谱。其频谱包括所有的频率分量，为一个常数，又称白色谱。0t)(t) 1 (01)j (F14 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 84 4. 单位直流信号单位直流信号 f(t)=1， t 不满足不满足绝对可积条件，绝

55、对可积条件，不好按定义求。不好按定义求。将其与将其与双边指数函数双边指数函数相乘，相乘，再取极限的方法求出。再取极限的方法求出。e1 lim1 |0tFTFTaa2lim220aaa)(20,20,02lim220aaaa2)arctan(2limd2lim0220aaaaa结果很像结果很像 函数的定义，若对其积分能得到一个常数，即能确定下来：函数的定义，若对其积分能得到一个常数，即能确定下来：4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 85 利用利用 (t) 的傅氏变换形式求之。已知的傅氏变换形式求之。已知 (t)的正变换：的正变换：de121de121de)j (21)j ()()(jj

56、j1tttFFFTt1de)()()(jtttFTjFt对对F(j )作傅氏反变换：作傅氏反变换：因为因为: (t)= (-t)(2de1 1 tFTtj一般直流信号一般直流信号A：)(2deAtAAFTtj也可将矩形脉冲的脉宽趋于也可将矩形脉冲的脉宽趋于 时求得时求得4. 单位直流信号单位直流信号 f(t)=1， t 还有什么方法求之？还有什么方法求之？4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 86 对照对照冲激、直流冲激、直流时频曲线可看出一般规律时频曲线可看出一般规律: 0t10)2()j (F时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越窄的

57、信号，其频域的频谱越宽。时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。直流信号直流信号及其及其频谱频谱4. 单位直流信号单位直流信号 f(t)=1， t0）4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 97 三、连续时间傅里叶变换的性质三、连续时间傅里叶变换的性质4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 98 ，；若)j ()( )j ()(2211FtfFtfFTFT)j ()j ()()(2121bFaFtbftafFT则其中a和b均为常数。4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 99 当f(t)为实函数时，有|F(j)| = |F(j)| ， )(je)j ()j (FF)j (j)j

58、 (IRFF)j()j(),j()j (IIRRFFFFF(j为复数，可以表示为)j ()(FtfFT若)j(*)(*FtfFT则)j (*)(*FtfFT4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 100 当f(t)为实偶函数时，有F(j) = F*(j) ， F(j)是的实偶函数 当f(t)为实奇函数时，有F(j) = F*(j) ， F(j)是的虚奇函数 )j ()(FtfFT若)j(*)(*FtfFT则)j (*)(*FtfFT4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 101 )j ()(FtfFT若0j0e)j ()(tFTFttf则式中t0为任意实数tttfttfFTtde

59、)()(j00令 x = t t0，则dx = dt，代入上式可得xxfxxfttfFTxtxtde )(ede )()(j j)(j000)j (e)(j0Ft 信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。附加相移，而幅度频谱保持不变。4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 102 试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(j)0A2t2)(tf0At)(1tfT解：解： 无延时且宽度为 的矩形脉冲信号f(t) 如图，)2(Sa)j ( AFTFFj1e )j ()j ()()(1TtftfTAje

60、)2(Sa因为故，由延时特性可得其对应的频谱函数为4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 103 )j ()(FtfFT若)j (1)(aFaatfFT则tatfatfFTtde)()( j)j (10,de )(10,de )(1)(jjaFaaxxfaaxxfaatfFTxaxa令 x = at，则 dx = adt ，代入上式可得时域压缩时域压缩(|a|a|1)，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。4 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 p 104 0A2)2(2F0A)(F22)2( tftA44)(21tft0)(tft220A21)21(2