北京航空航天大学线性代数第六章6-3-惯性定理

1、线性代数朱立永朱立永北京航空航天大学 数学与系统科学学院答疑时间：星期二晚上18:0020:30 星期四晚上18:0020:30答疑地点：J4-102Email: 线性代数6.1 二次型及其矩阵表示 6.2 化二次型为标准形 6.3 惯性定理6.4 正定二次型和正定矩阵第六章第六章 二次型二次型 线性代数6.3.1 实二次型的规范形及唯一性实二次型的规范形及唯一性 6.3 6.3 惯性定理惯性定理对于实二次型,其标准形除平方项排列顺序外是唯一确定的在用可逆线性变换化二次型为标准形时,情况就不一样了.线性代数， ， 例如对于二次型321321100111311yyyxxx1 22 31 3262

2、,fxxx xxx经可逆线性变换可化为标准形222123123,226.g y yyyyy线性代数， ， 若用可逆线性变换又可化为标准形3213213100312111211zzzxxx2221321212,zzzzzh.3223zf线性代数， ， 1.二次型的标准形不是唯一的,它与所作的可逆线性变换有关.2.尽管g与h不同,但它们的系数非零的项数是相同的,系数为正的项数也是相同的.下面将会看到,这并不是巧合.由上例可以看出：由上例可以看出：线性代数， ， 设2222211nnydydyd(6.3.1) 其中,),(1nxxf是一个实二次型,由定理6.2.1可知, f必可由可逆线性变换化为只含

3、平方项的标准形., 2 , 1,niRdi线性代数， ， 相应地,二次型ndddB21由于合同的矩阵具有相同的秩,而f的矩阵 A经过合同变换化为对角形B的秩就 是主对角线上非零元的个数,故标准形中系数非零的平方项个数是确定的,即 R(A).线性代数， ， 这样,适当排列变元次序后,22221111pppprrd yd ydyd y(6.3.2) 其中,f的标准形(6.3.1)可写为 0(1,2, )idir为正实数, .rn由于在实数域上正数总可开平方,对(6.3.2)继续作下列可逆线性变换 线性代数， ， 则式(6.3.2)变为111222111,1,1,.rrrrrnnyzdyzdyzdy

4、zyz(6.3.3) 线性代数， ， 式(6.3.4)称为实二次型221221rppzzzz(6.3.4) ),(1nxxf的规范形,它完全被r,p这两个数所决定.由于r为 f的秩,故r是完全由 f确定的.那么规范形(6.3.4)中系数为正的平方项个数是否唯一确定呢? 线性代数， ， 定理6.3.1（惯性定理） 任意一个实二次型f经过适当的可逆线性变换必可化为规范形,且规范形是唯一的.线性代数 证 定理的前一个论断已由式(6.3.2)、 (6.3.3)、 (6.3.4) 证明,只需证明规范形的唯一性即可.由于规范形中的数r是确定的,实际上只要证明规范形式(6.3.4)中的数p是唯一的即可. 设

5、实二次型YABBYAXXfTTT)(221221rppyyyy而),(1nxxf经过可逆线性变换XBY化成规范形 XCZ化为f经另一个可逆线性变换线性代数， ， 要证明ZACCZAXXfTTT)(221221rqqzzzzZACCZYABBYfTTTT)()(得221221rppyyyy221221rqqzzzz(6.3.5) 由于YBCBYCZ)()(11 (6.3.6) qp .用反证法.设 pq,则由 XCZ,则1ZC X,从而 线性代数， ， 记则式(6.3.6)给出了由变元nnnnggggGBC11111.,112121211111nnnnnnnnnygygzygygzygygz(6

6、.3.7) nzz,1到1,nyy的可逆线性变换 线性代数， ， 考虑线性方程组它是含有. 0, 0, 0, 01111111npnqnqnnyyygygygyg(6.3.8) n个未知数 12,ny yy且含有 )(pnq个方程的齐次线性方程组.由假设 pq,则 线性代数， ， 故方程组(6.3.8)必有非零解,设为nqpnpnq)()(Tnppyyyy,11Tnppkkkk,11(6.3.9) 则由式(6.3.8)的后01npkk将式(6.3.9)代入式(6.3.5)左边得 0221pkkpn 个方程可知线性代数， ， 再把式(6.3.9)代入式(6.3.7),由式(6.3.8)的前q个方

7、程可知再代入式(6.3.5)右边得这样,01qzz, 0221rqzz12,ny yy的一组非零的值代入(6.3.5)的左、右两边得到不同的值,由此说明假设pq是不对的.故必有 .pq线性代数， ， 交换p,q的位置,同法可证 定义6.3.1 实二次型 有了上述概念,就可以把惯性定理另外叙述如下.qp.综合上述两种情况,有pq. .证毕. f的规范形中正平方项的个数f的正惯性指数;负平方p称为项的个数 rp称为f的负惯性指数;二者的差rpprp2)(称为 f的符号差.线性代数 定理6.3.2 实二次型关于实二次型的惯性定理的矩阵叙述如下.定理6.3.3 任一实对称矩阵fff的标准形中系数为正的

8、平方项个数是唯一确定的,它等于的正惯性指数;系数为负的平方项个数也是唯一确定的,它等于 的负惯性指数.一个如下述形状的对角矩阵A必合同于 线性代数， 001111B (6.3.10) 2pr其中,B的主对角线上1的个数 p及1的个数 rp(r是A的秩)都是唯一确定的,分别称为 A的正、负惯性指数.它们的差 称为 A的符号差. 线性代数， ， 推论 两个n阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩和相同的正惯性指数(或相同的符号差).例6.3.1 求实二次型 222123122331( ,)()()()f x x xxxxxxx的正、负惯性指数. 解 用配方法得 2212312323113(

9、 ,)2()()222f x x xxxxxx2212322yy故实二次型的正、负惯性指数分别为2,0.线性代数6.3.2 复数域上二次型的规范形复数域上二次型的规范形 现在考虑复数域上二次型可以化为什么样的标准形.由二次型化为标准形的一般性定理6.2.1可知,任何数域P上的n元二次型 ,2222211rrydydyd , 0, 1,2, (), iidPdirrn其中,必能由可逆线性变换化为标准形f域的数皆可开平方,再进行下列线性变换r为f的秩.若P是复数域,由于复数线性代数则得到如下标准形.,1,1112111nnrrrrzyzyzdyzdy22221rzzz(6.3.11) 线性代数称式(6.3.11)称为复二次型 定理6.3.4 任意一个复数域上的n元二形.显然它完全由二次型的秩r 唯一确定.于是有以下定理.),(1nxxf的规范元二次型 ),(21nxxx