大学物理力学篇_01运动的描述

1、1 第一章第一章 运动的描述运动的描述1-1 1-1 参考系参考系 坐标系坐标系 物理模型物理模型1-2 1-2 运动的描述运动的描述1-3 1-3 相对运动相对运动21.1.1 运动的绝对性和相对性运动的绝对性和相对性例如例如,观察表明：观察表明：v地日地日30kms-1, 这说明，一切运动都是绝对的，因此只有讨论相对意义上这说明，一切运动都是绝对的，因此只有讨论相对意义上的运动才有意义。的运动才有意义。v日银日银25kms-1, 英国大主教贝克莱：英国大主教贝克莱：“让我们设想有两个球，除此之外空让我们设想有两个球，除此之外空无一物，说它们围绕共同中心作圆周运动，是不能想象的。无一物，说它

2、们围绕共同中心作圆周运动，是不能想象的。但是，若天空上突然产生恒星，我们就能够从两球与天空不但是，若天空上突然产生恒星，我们就能够从两球与天空不同部分的想对位置想象出它们的运动了同部分的想对位置想象出它们的运动了”。v银银银银600kms-13运动描述的相对性：运动描述的相对性：即选不同的参考系，运动的描述是不即选不同的参考系，运动的描述是不同的。同的。V例如，在匀速直线运动的火车上所作的自由落体运动，例如，在匀速直线运动的火车上所作的自由落体运动，火车上的观察者：物体作匀变速直线运动；火车上的观察者：物体作匀变速直线运动；地面上的观察者：物体作平抛运动。地面上的观察者：物体作平抛运动。 描述

3、物体运动时被选作参考（标准）的物体或物体群描述物体运动时被选作参考（标准）的物体或物体群称为参考系。称为参考系。1.1.2 参考系参考系4日心系日心系ZXY地心系地心系o地面系地面系地球地球卫星地球地球51.1.3 坐标系坐标系 z k r 0 j y i x zyxp、prx极轴极轴0r0o 为定量地描述物体位置而引入。为定量地描述物体位置而引入。YOX0ss 0rxyzP 常用的有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、球面坐标常用的有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、球面坐标系或柱面坐标系等。系或柱面坐标系等。 61.1.4 物理模型物理模型 对真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题的基本要对

4、真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题的基本要求对其进行理想化的简化，抽象为可以用数学方法描述的理求对其进行理想化的简化，抽象为可以用数学方法描述的理想模型。想模型。*关于物理模型的提出关于物理模型的提出（）明确所提问题；（）明确所提问题；（）突出主要因素，提出理想模型；（）突出主要因素，提出理想模型； “理想模型理想模型”是对所考察的问题来说的，不具有绝对意义。是对所考察的问题来说的，不具有绝对意义。（）分析各种因素在所提问题中的主次；（）分析各种因素在所提问题中的主次；（）实验验证。（）实验验证。7 1、 理想质点模型理想质点模型 真实的物体不满足上述条件时，则可将其视为满足第一个真实的物

5、体不满足上述条件时，则可将其视为满足第一个条件的质点系。条件的质点系。选用质点模型的前提条件是：选用质点模型的前提条件是： 物体自身线度物体自身线度l与所研究的物体运动的空间范围与所研究的物体运动的空间范围r相比可以忽略；相比可以忽略；两个条件中，具一即可。两个条件中，具一即可。或者物体只作平动。或者物体只作平动。82、理想刚体模型、理想刚体模型 刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。 当物体自身线度当物体自身线度l与所研究的物体运动的空间范围与所研究的物体运动的空间范围r比不可比不可以忽略；物体又不作平动时，即必须考虑物体的空间方位，以忽略；物体又不

6、作平动时，即必须考虑物体的空间方位，我们可以引入刚体模型。我们可以引入刚体模型。 刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布的质点系。的质点系。91)位置坐标位置坐标 1、位置矢量位置矢量 r 质点质点P在直角坐标系中的位置可由在直角坐标系中的位置可由P所在点的三个坐标所在点的三个坐标（x，y，z）来确定）来确定 1.2.1位矢、位移、速度和加速度在直角坐标系中的表示式位矢、位移、速度和加速度在直角坐标系中的表示式参照系参照系rYZXoP(x,y,z)102)位置矢量位置矢量 r z k r 0 j y i x 其在直角坐标系中为其在直

7、角坐标系中为 xyzrijk222xyzr 由坐标原点引向考察点的矢由坐标原点引向考察点的矢量，简称位矢。量，简称位矢。 r的方向余弦是的方向余弦是 rx cosry cosrz cos1222coscoscos在极坐标系中在极坐标系中 0rrr 在自然坐标系中在自然坐标系中 ( ) srr113）运动方程和轨道方程）运动方程和轨道方程表示为：表示为： ).(,)(,)(tzztyytxx或或 ( ) trr运动方程是时间运动方程是时间t的显函数。的显函数。 a、质点在运动过程中，空间位置随时间变化的函数式称为运、质点在运动过程中，空间位置随时间变化的函数式称为运动方程。动方程。 b、质点在空

8、间所经过的路径称为轨道（轨迹）。、质点在空间所经过的路径称为轨道（轨迹）。 从上式中消去从上式中消去t即可得到轨道方程。即可得到轨道方程。轨道方程不是时间轨道方程不是时间t显函数。显函数。122 2、位移和路程、位移和路程1 1）位移）位移 ra、定义、定义 ：由起始位置指向终了位置的有向线段；：由起始位置指向终了位置的有向线段；21rrrt 时间内位置矢量的增量时间内位置矢量的增量rr 位移的模位移的模 与矢量模的增量与矢量模的增量 不是同一个量不是同一个量21| |rrr|12rrrXYZ1r2rrABS1r2rrAB1r221r rrr212212212zzyyxx21212122222

9、2zyxzyx13b b、位移在直角坐标系中的表示式、位移在直角坐标系中的表示式 kzj yi xr2）路程）路程S位移和路程的比较与联系位移和路程的比较与联系联系：联系： 在在t 0时，时， dsrddrrdt 时间内质点在空间实际运行的路径。时间内质点在空间实际运行的路径。不同处：不同处：r 只与始末位置有关；只与始末位置有关；S S与轨道形状和往返次数有关；与轨道形状和往返次数有关；sr 因此，一般情况下因此，一般情况下r是矢量，是矢量， S S是是标量；标量；但仍是但仍是 dr ddr143、速、速 度度1）平均速度与平均速率）平均速度与平均速率 trvtsv读成读成t时刻附近时刻附近

10、t时间内的平均速度（或速率）时间内的平均速度（或速率） z A 0 0vv B 1r 2r 3r 0 y x 1r2r描述质点位置变化和方向变化快慢的物理量描述质点位置变化和方向变化快慢的物理量 152）瞬时速度与瞬时速率）瞬时速度与瞬时速率 dtrdtrtv0limdtdststv0limvdtdsdtrdv0vv vv 在一般情况下在一般情况下ktzjtyitxv在直角坐标系中在直角坐标系中0是轨道切线方向上的单位矢。是轨道切线方向上的单位矢。可见速度是位矢对时间的变化率。可见速度是位矢对时间的变化率。可见速率是速度的模。可见速率是速度的模。可见速率是路程对时间的变化率。可见速率是路程对时

11、间的变化率。16dtrdvkvjvivzyx在直角坐标系中的表示式在直角坐标系中的表示式 v3 3）kdtdzjdtdyidtdxkzj yi xr设222zyxvvvvv222dtdzdtdydtdx174 4、加速度、加速度a描述质点速度大小和方向变化快慢的物理量描述质点速度大小和方向变化快慢的物理量 为描述机械运动的状态参量为描述机械运动的状态参量 v ,r 称为机械运动状态的变化率称为机械运动状态的变化率 a1）平均加速度与瞬时加速度）平均加速度与瞬时加速度 tva220dtrddtvdtvtalimAo BAvBvvBvAv18dtvda2 2）加速度在直角坐标系中）加速度在直角坐标

12、系中akdtdvjdtdvidtdvzyxkajaiazyxkdtzdjdtydidtxd222222222zyxaaaa222222222dtzddtyddtxd222dtdvdtdvdtdvzyx19例例1.1如图如图1.5，一人用绳子拉着小车前进，小车位于高出绳，一人用绳子拉着小车前进，小车位于高出绳端端h的平台上，人的速率的平台上，人的速率v0 不变，求小车的速度和加速度大小不变，求小车的速度和加速度大小. 解解小车沿直线运动，以小车前进方向为x轴正方向，以滑轮为坐标原点，小车的坐标为x，人的坐标为s，由速度的定义，小车和人的速度大小应为0.dsvdt人由于定滑轮不改变绳长，所以小车坐

13、标的变化率等于拉小车的绳长的变化率，即dxdt车，图图1.5dxdldtdt车203222022dvv hadtxh车又由图1.5可以看出有 ，两边对t求导得222hxl22dldslsdtdt或02222vsv ssvlshsh人人车同理可得小车的加速度大小为211.2.2 曲线运动的描述曲线运动的描述1）物体作抛体运动的运动学条件：）物体作抛体运动的运动学条件： 00000夹角且常量vaav与2）重力场中抛体运动的描述）重力场中抛体运动的描述 (1)(1)速度公式速度公式 gtvvvvyxsincos00(2)(2)坐标公式坐标公式 20021sincosgttvytvx1、平面曲线运动的

14、直角坐标系描述、平面曲线运动的直角坐标系描述以抛体运动为例以抛体运动为例XY0v22(3) 几个重要问题几个重要问题 (i)射高射高 :gvtvHysin, 00这时将将tH代入坐标公式代入坐标公式y中中 得得 gvH2sin220（或看成（或看成竖直上抛）竖直上抛）sin0v(ii)射程：射程： gvtTHsin220飞行总时间飞行总时间 代入坐标公式代入坐标公式x中中 得得 gvR2sin20讨论：讨论： 当当 时，时，射程最大射程最大 4gvR20 当当 时，时， 有最大射高有最大射高 2gvH22023）自然坐标系）自然坐标系 (1)(1)坐标架单位矢坐标架单位矢： 00, n方向通常

15、指向前进方向，方向通常指向前进方向， 0方向指向曲线凹侧方向指向曲线凹侧 0n/o/0/0n/r0s0s0r00nprd2、曲线运动的自然坐标系描述、曲线运动的自然坐标系描述 质点作曲线运动，将质点运动的轨迹曲线作为一维坐标的质点作曲线运动，将质点运动的轨迹曲线作为一维坐标的轴线轴线自然坐标。自然坐标。 从从O/点起，点起，p点的弧长为点的弧长为S 弧坐标弧坐标)(srr(2)位置表示法位置表示法242）切向加速度和法向加速度）切向加速度和法向加速度 tBCtvatt00limlimtvtvtnt00limlimvnvtvvnt0lim(3)(3)元位移元位移 0dsrd P1P2vvvABC

16、vvvvvnv25a、切向加速度切向加速度 00vvt;tvat0limdtvdab、法向加速度法向加速度 00nvvtn;tvantn0limdtvdann0dtdv022dtsdtvt00lim0dtdv0limntv0ndtdv0ndtdv0ndtdsdsdv02ndsdv26dsdkddsk102nvan020nvdtdvaaatgan1的夹角与22222 vdtdvaaanxayaaxynaaa 将将a向不同的坐标轴中投影向不同的坐标轴中投影注意注意 的区别的区别dtdvdtvd与引入曲率、曲率半径引入曲率、曲率半径27例例1.2以速度以速度v0 平抛一小球，不计空气阻力，求平抛一小

17、球，不计空气阻力，求t时刻小球的时刻小球的切向加速度量值切向加速度量值a 、法向加速度量值、法向加速度量值an和轨道的曲率半径和轨道的曲率半径. 解：由图可知解：由图可知 singa xg2220tggtgygcosgan22200tgg22202tgtg2222 23/2200()xynnvvg tvaagv283、圆周运动、圆周运动位矢 ),(srr速度 ,00vdtdsv加速度 020nvdtdvaaan匀速率圆周运动：匀速率圆周运动： a 0常数Rvan2元位移 0dsrd 1）圆周运动的线量描述）圆周运动的线量描述292）圆周运动的角量描述）圆周运动的角量描述 t 角位置角位置12角

18、位移角位移 dtdtt0lim角速度角速度角加速度角加速度220limdtddtdtt2p 2r 1r 1p 0 1 2 （1）基本知识）基本知识30（2）匀角加速圆周运动）匀角加速圆周运动请与匀速率圆周运动区别。请与匀速率圆周运动区别。 当我们用平面极坐标描述圆周运动时，只有一个变量当我们用平面极坐标描述圆周运动时，只有一个变量，故其可与匀变速直线运动类比。故其可与匀变速直线运动类比。 匀变速直线运动匀变速直线运动1221222000221xxavvattvxxatvv匀角加速圆周运动匀角加速圆周运动1221222000221ttt常数即313）线量与角量的关系）线量与角量的关系 同一种运动

19、的两种描述方法，二者必有联系。同一种运动的两种描述方法，二者必有联系。 rv角速度矢量的方向：角速度矢量的方向：由右手螺旋法规确定。由右手螺旋法规确定。角速度矢量与线速度角速度矢量与线速度的关系。的关系。0rvRdds dtdsv dtdva Rvan2dtdRRdtdRR2R32例例1.3一飞轮以转速一飞轮以转速n1 500转每分转每分(rev/min)转动，受制转动，受制动后而均匀地减速，经动后而均匀地减速，经t50 s后静止后静止.(1)求角加速度求角加速度和从和从制动开始到静止飞轮的转数制动开始到静止飞轮的转数N；(2)求制动开始后求制动开始后t25 s时时飞轮的角速度飞轮的角速度；(

20、3)设飞轮的半径设飞轮的半径R1 m，求，求t25 s时飞时飞轮边缘上任一点的速度和加速度轮边缘上任一点的速度和加速度.22001=5050(50) =1250 rad 22tt解(1)由题知 ，当t50 s时0，故由式(1.26)可得： 0150022=50 rad/s60n050=3.14 rad/s50t 从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数分别为：1250625 rev2N33(2)t25 s时飞轮的角速度为：0t502525 rad/s(3)t25 s时飞轮边缘上任一点的速度为vR1 2578.5 m/s 相应的切向加速度和向心加速度为：2R3.14 m/sa 2232R1 (25

21、)6.16 10 m/sna 34 1、已知运动方程，求速度、加速度、已知运动方程，求速度、加速度(用求导法用求导法 )2、已知加速度、已知加速度(速度速度)，初始条件，求速度，初始条件，求速度(运动方程运动方程)(用积分的用积分的方法方法) ddtrvddtvadtdva ttvvadtdv00ttadtvv00设初始条件为设初始条件为 ：t = 0 时，时，x=x0，v = v0dtdxv ttxxvdtdx00ttvdtxx001.2.3 运动学中的两类问题运动学中的两类问题22ddtr35例例1.4已知一质点的运动方程为已知一质点的运动方程为r3ti 4t2 j，式中，式中r以以m计，

22、计，t以以s计，求质点运动的轨道、速度、加速度计，求质点运动的轨道、速度、加速度.x = 3t ，y = -4t2解将运动方程写成分量式解将运动方程写成分量式消去参变量消去参变量t，得轨道方程：，得轨道方程： 4x2 9y0，这是顶点在原，这是顶点在原点的抛物线点的抛物线.见图见图1.15.由速度定义得由速度定义得38drvitjdt其模为其模为 ，与，与x轴的夹角轴的夹角223(8 )vt8arctan.3t图图1.1536由加速度的定义得由加速度的定义得8dvajdt 即加速度的方向沿即加速度的方向沿y轴负方向，大小为轴负方向，大小为28/.m s37解由速率定义，有解由速率定义，有14d

23、svtdt 2281/nvam sR例例1.5一质点沿半径为一质点沿半径为1 m的圆周运动，它通过的弧长的圆周运动，它通过的弧长s按按st2 的规律变化的规律变化.问它在问它在2 s末的速率、切向加速度、末的速率、切向加速度、法向加速度各是多少？法向加速度各是多少？2t将将t2代入，得代入，得2 s末的速率为末的速率为1 4 29/vm s 其法向加速度为其法向加速度为由切向加速度的定义，得由切向加速度的定义，得 2224/.d sam sdt38解：解：因为因为 23 1224dtdtdtdt 例例1.6一飞轮半径为一飞轮半径为2 m，其角量运动方程为，其角量运动方程为23t4 (SI)，求

24、距轴心求距轴心1 m处的点在处的点在2 s末的速率和切向加速度末的速率和切向加速度.3t将t2 代入，得2 s末的角速度为23 12 (2)45/rad s 2 s末的角加速度为224 248/rad s 在距轴心1 m处的速率为 vR45 m/s切向加速度为248/aRm s 39例例1.7 一质点沿一质点沿x轴运动，其加速度轴运动，其加速度 a= kv2，式中，式中k为正常为正常数，设数，设t=0时，时，x=0，v=v0； （1）求）求v和和x作为作为 t 的函数的表示的函数的表示式；式； （2）求）求v作为作为x函数的表示式。函数的表示式。 分离变量得2dvkdtv 11vktc积分得0

25、01vvvkt解解 (1)因为因为 2dvadtkv dt 因为t0时，v ， 所以 .代入，并整理得0v101cv 40再由dxvdt，将v的表示式代入，并取积分02020v1ln(1)1vdtxckv tcktk因为t0时，x0，所以 0.于是2c01ln(1)xkv tk413dvvkdxc-kx0vv e3lnkxvcdvdv dxdvavdtdx dtdx(2)因为 2vdvkvdx 所以有 分离变量，并取积分因为x0时，v ，所以 代入，并整理得0v30ln.cv 421-3 相对运动相对运动 引出：运动是绝对的，运动的描述具有相对性。引出：运动是绝对的，运动的描述具有相对性。以车

26、站为参照系以车站为参照系以汽车为参照系以汽车为参照系车站车站车站车站43一、运动参照系，静止参照系一、运动参照系，静止参照系 、“静止参照系静止参照系”、“运动参照系运动参照系”都是相对的。都是相对的。 对于一个处于运动参照系中的物体，相对于静止参照系的运动对于一个处于运动参照系中的物体，相对于静止参照系的运动称为称为绝对运动绝对运动;相对于观察者为静止的相对于观察者为静止的参照系参照系,称为称为静止参照系。静止参照系。相对于观察者为运动的相对于观察者为运动的参照系参照系,称为称为运动参照系。运动参照系。Xva b srdragrr相运动参照系相对于静止参照系的运动称为运动参照系相对于静止参照

27、系的运动称为牵连运动牵连运动;物体相对于运动参照系的运动称为物体相对于运动参照系的运动称为相对运动。相对运动。44Xv0 rror二、参照系彼此之间有相对运动二、参照系彼此之间有相对运动 （非相对论效应）（非相对论效应） 设设系相对系以速度系相对系以速度v运动，运动，P为为S/系中的一个质点，系中的一个质点， P对于对于O点的位矢为绝对位矢点的位矢为绝对位矢r O/对于对于O点的位矢为牵连位矢点的位矢为牵连位矢r0 P对于对于O/点的位矢为相对位矢点的位矢为相对位矢r0rrr在牛顿的时、空观中在牛顿的时、空观中即绝对位矢即绝对位矢=牵连位矢牵连位矢+相对位矢相对位矢SSYYOOPX45将将 两

28、边对两边对t t求导，求导， 即得即得绝对速度绝对速度v绝绝，牵连速度，牵连速度v牵牵，相对速度，相对速度v相相 ，且有，且有0absvvv 将上式再对将上式再对t求导，即可得绝对加速度，牵连加速度，相加对求导，即可得绝对加速度，牵连加速度，相加对速度速度 之间的关系之间的关系0absaaa0rrr两点说明：两点说明：上述各式均只在上述各式均只在vc时成立；时成立；上述结论只适用于两参考系间不存在转动的情况。上述结论只适用于两参考系间不存在转动的情况。46三、同一参照系内，质点系各质点之间的相对运动三、同一参照系内，质点系各质点之间的相对运动 两质点间的相对位矢，即两质点间的相对位矢，即B对对

29、A的位矢为的位矢为 BABArrrB对对A的相对速度的相对速度 BABAvvvB对对A的相对加速度的相对加速度 BABAaaa 若一质点系同在某一基本参若一质点系同在某一基本参考系内运动，如果我们讨论的考系内运动，如果我们讨论的是质点系内各质点间的相对运是质点系内各质点间的相对运动，则有时运用下面的方法要动，则有时运用下面的方法要方便些。方便些。 设设A、B为质点系内的两个质为质点系内的两个质点，它们同在点，它们同在OXYZ系内运动，系内运动，rA、rB为对为对O点的位矢，则点的位矢，则ArBrBAr47 后一种描述相对运动的方法可以统一到前一种方法中。例后一种描述相对运动的方法可以统一到前一种方法中。例如，将如，将A质点看成质点看成S/系，则系，则rA为牵连位矢，为牵连位矢，rBA为相对位矢，为相对位矢，则则rB为绝对位矢，于是有为绝对位矢，于是有BABArrr48(船换向时间忽略不计船换向时间忽略不计).例例1.91.9如图如图1.18(a)1.18(a)所示，河宽为所示，河宽为L L，河水以恒定速度，河水以恒定速度u u流动，岸边有流动，岸边有A A，B B码头，码头，A A，B B连线与岸边垂直，码头连线与岸边垂直，码头A A处有船相对于水以恒定速率处有船相对于水以恒定速率 开动，开动，证明：船