初中数学-四边形(1)

1、平行四边形对四边形的研究从边、角、对角线三方面展开：对四边形的研究从边、角、对角线三方面展开： 对边（没有公共端点的两条边）对边（没有公共端点的两条边） 邻边（有一个公共端点的两条边）邻边（有一个公共端点的两条边） 对角（没有公共边的两个角）对角（没有公共边的两个角） 邻角（有一条公共边的两个角）邻角（有一条公共边的两个角） 对角线：不相邻的两个顶点连成的线段对角线：不相邻的两个顶点连成的线段 将四边形问题化归为三角形问题来处理是本专题起主导地位的思想方法.平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，它是研究特殊四边形的基础，它是研究特殊四边形的基础，是研究

2、线段相等、角相等和直线平行的平台是研究线段相等、角相等和直线平行的平台.两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的定义要抓住两点，平行四边形的定义要抓住两点，即即“四边形四边形”和和“两组对边分别平两组对边分别平行行”ABDC文字表述：文字表述：平行四边形是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的邻角互补、对角相等；平行四边形的邻角互补、对角相等；平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分 oDACB四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形符号语言表述：符号语言表述：如图

3、，如图，ABCD中，中，AECD于于E，B=55，则则C=_，DAE=_ ABCDE若四边形四个内角的比为若四边形四个内角的比为3:4:5:6，则最小的内角为则最小的内角为_345636020 xxxxx6012535例例1. 在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，A：B2：3，求各角的度数，求各角的度数 分析：分析：在平行四边形中，邻角是互补的，而对角是相等的，所以A与B必是邻角，其和为180，可据此列式求出角度36k 解得：，72108ACBD 则：， 180ABAB 解：由于、是平行四边形的两个邻角，所以，2 3AB 又因为，2323180AkBkkk不妨可设，则，例例2. 已知平行四

4、边形已知平行四边形ABCD的周长为的周长为28 cm， AB：BC3：4，求它的各边的长，求它的各边的长 分析：平行四边形的对边相等，所以周长为邻边之和的2倍，可以据此列式求出各边长. ,2814:3 : 43,4341423648cmcmABCDABCD ADBCABCDABBCCDDAABBCABBCABK BCKKKKABKBCK解：在中的周长所以因为设则解得则0已知平行四边形的一个内角为6 度，过平行四边形的一个顶点向两条对边分别作高线，求这两条高线的夹角.FEADBCFEADBC60120考虑问题要考虑问题要周全周全分分类讨论类讨论1、将、将40cm长的木条截成四段，围成一个平行四边

5、形，使其长边与短边的比为长的木条截成四段，围成一个平行四边形，使其长边与短边的比为3:2，则较长的木条长则较长的木条长 cm，较短的木条长，较短的木条长 cm（12cm，8cm)2、如图，、如图，ABCD中，已知中，已知AC、BD相交于点相交于点O，AC与与BD的和为的和为36cm，CD=5cm，则，则OCD的周长为的周长为 cm3、若、若ABCD的周长为的周长为100cm ,两条对角线相交于点两条对角线相交于点O， AOB的周长比的周长比BOC的周长少的周长少10cm， 则则AB= cm，BC= cmoDACB10503020BCABBCABBCAB1()18223CODOACBDCODOC

6、D 注意：（1）平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半。（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差. 例：在平行四边形在平行四边形ABCD中，对角线中，对角线AC和和BD交于点交于点O，若若AC=6，BD=8，则边长，则边长AB的取值范围是（的取值范围是（ ）A.1AB7B.2AB14C.6AB8 D.3AB4oDACB,13,2142,17ABCDAOACBOBDABCBOAOABBOAOAB分 析 ： 在中在中则A 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的一边的一边AB的长为的长为7，一条对，一条对角线角线AC的长为的长为8，则其另一条对角线，则其另一

7、条对角线BD的取值范围是的取值范围是_ oDACB,7,814,2,112622ABCDABACAOACABCABAOBOABAOBOBDBOBD分 析 ： 在中在中则 3用三种不同的方法把平行四边形面积四等分（在所给的图形中，画出你的设计方案，画图工具不限） 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，EFBC，GHAB，EF、GH的交点的交点P在在BD上，图中有哪几对四边形面积相等，上，图中有哪几对四边形面积相等，它们是它们是_ ABCDHGPFE四边形四边形PEAD与与PHCD，四边形四边形ABPG与与BCFP，四边形四边形AEPG与与PHCF，四边形四边形ABHG与与EBCF，

8、四边形四边形AEFD与与CDGH从边看两组对边分别平行一组对边平行且相等两组对边分别相等从对角线看对角线互相平分从角看两组对角分别相等的四边形是平行四边形符号语言表达 /,/,/,11,22ABCD ADBCABCD ADBCAB CD AD BCABCDABCADCBADBCDAOCOAC BODOBD （）四边形是平行四边形oDACB 已知四边形已知四边形ABCD中，中，AC交交BD于点于点O，如果只给出条件，如果只给出条件“ABCD”，那么还不能判定四边形那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法为平行四边形，给出以下四种说法如果再加上条件“BCAD”，那么四边形ABCD

9、一定是平行四边形。如果再加上条件“BADBCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边如果再加上条件“AOOC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形如果再加上条件“DBACAB”，那么平行四边形ABCD一定是平行四边形其中正确的说法是（ ）A. 和B. 、和 C. 和 D. 、和 oDACB关于，由DBACAB，知OAOB，又ABCD知DBABDC，同理也会有OCOD，但OA不一定等于OC，如图就是一个反例 D C O A B 如图，ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF， 求证：EBFD是平行四边形DFCAEBDFCAEBFDBACE 如图所示，已知平行四边形如图所示，已知平行四边

10、形ABCD中，中，E、F分别是分别是AD、BC的中点，的中点，AF与与EB交于交于G，CE与与DF交于交于H，试说明四边形，试说明四边形EGFH为平行四边形为平行四边形 A E D G H B F C 分析：分析：本题考查平行四边形的识别，那么多的识别方法中，选择哪一种呢？考虑到平行四边形ABCD及中点，易知四边形AFCE和EBFD都是平行四边形，从而GEFH，GFEH，如若采取先确定识别方法，再找条件将会使解题复杂化。解：解：在平行四边形ABCD中，AD / BC,AD = BC 已知，已知E、F分别为AD、BC的中点所以AE / FC,ED / BF,AE =FC, ED=BF所以四边形A

11、FCE、EBFD都是平行四边形 所以AFEC，BEFD 即GFEH，GEFH 所以四边形EGFH为平行四边形 例：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点， 已知点E、F分别是AO、OC的中点，请你说明四边形BFDE是平行四边形FEDOACB解：因为四边形ABCD是平行四边形,所以OAOC，OBOD又因为E、F分别是AO、OC的中点，所以OEOF所以四边形BFDE是平行四边形,E FABCDBDDEBFAFCE如图：分别是的对角线的延长线上的点，求证：四边形是平行四边形如图，已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AO、CO的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形F

12、EODCABOHGFEADBCOHGFEADBC.ABCDAEBDECFBDFGHADBCEFGH如图，中，于 ，于 ， 、 分别为、的中点，求证：和互相平分 BHDGOGOHOBOD1 证四边形为平行四边形，可得， 2ABECDFBEDFOEOF再证，得到，从而 3.OGOHOEOFEFGH由，即和互相平分/.ABCDEFBDBEDFGHADCBAGCHGHBDOEG HF如图，已知中，点 、 在上，且，点 、在、上，且，于交于点 ，求证：OHFADBCEGOHFADBCEG64.ABCDCEDCBFABABBCEF如图，在中，是的平分线，是的中点，若，求的长EFDACB 必须知道的一个结论

13、：平行线+角平分线等腰三角形友情提示友情提示3 32 21 1EADBC 如图，已知如图，已知BD是是ABC的角平分线，的角平分线，E是是BD上一点，上一点，EFBC，交，交AB于点于点F，FGEC，交，交BC于于G，求证：求证：BFCG例3、如图,在平行四边形ABCD中,已知DM和BN分别是CDA、 ABC的平分线，求证：四边形BMDN也是平行四边形. MNCADB 例例. 平行四边形平行四边形ABCD的周长为的周长为32cm，ABC的平分线交AD边所在直线直线于点E，且AE：ED3：2，则AB_ 分析：分析：此题首先是根据题意画图，可有两种画法因为 BE 平分ABC，所以 ABEEBC A

14、D/BC , AEBEBC ABE=AEB ABAE 由AE：ED3：2 设AE3k，ED2k，则AD 5k 由ABBC 3k 5k 16 得 k2所以AB 3k6同图1有ABAE 由AE：ED3：2 设AE3k，ED2k，则AD k 由ABBC 3k k 16 得 k4所以AB 3k12分类讨论思想分类讨论思想梯形梯形ABCD中，中，AD/BC，B90,AD=18cm,BC=21cm,点点P从点从点A开开始，沿始，沿AD边以边以1cm/s的速度向点的速度向点D移动，点移动，点Q从点从点C开始，沿开始，沿CB边以边以2cm/s的速度向点的速度向点B移动。如果移动。如果P、Q分别从分别从A、C同

15、时出发，设移动时间同时出发，设移动时间为为t，求：，求：t为何值时，四边形为何值时，四边形PQCD为平行四边形为平行四边形.ABCDPQABCDPQ,2118,2 ,182 ,6APtADPDt CQtPQCDPDCQttt 分析：由题意得由知因为四边形是平行四边形 所以则解得EADBCF,ABCBCABDBCEACFDE EFAFED已知中 在的同侧分别作等边，等边，等边连接，求证：四边形是平行四边形.BDEBACDEAC可证，则，ACFACAF由等边可知，.DEAF所以CFECABAB可证，则FE，ABDABAD由等边可知，.FEAD所以EADBCFDEAFFEADAFED综上，由，所以四边形是平行四边形. 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，BC2AB，M为为AD中点，中点，CEAB于于E，求证：，求证：EMD3AEM解：延长