数学建模第三讲

1、第三讲第三讲 微分法建模微分法建模3.1 存贮模型存贮模型3.2 森林救火森林救火工厂工厂贮备原材料。贮备原材料。存贮的普遍性存贮的普遍性存贮问题是人类社会活动，存贮问题是人类社会活动，特别是生产活动中一个普遍特别是生产活动中一个普遍存在的问题。存在的问题。商店商店存贮商品。存贮商品。农业部门农业部门贮备种子，化贮备种子，化肥等。肥等。军事部门军事部门存贮武器弹药存贮武器弹药等。等。信息时代信息时代存贮大量的信存贮大量的信息息 。3.1 存贮模型存贮模型v惊人的资金占用惊人的资金占用据有关资据有关资料表明，到料表明，到1993年底，我国年底，我国全民库存积压产品达全民库存积压产品达2700亿亿

2、元，到元，到1995年初，我国国有年初，我国国有企业闲置资产和积压产品高企业闲置资产和积压产品高达达5000亿元。亿元。存贮存在的风险存贮存在的风险v大量的库存物资还会引起某大量的库存物资还会引起某货物劣化变质，造成巨大损货物劣化变质，造成巨大损失（药品，水果，蔬菜等）。失（药品，水果，蔬菜等）。v在市场经济条件下，过多地在市场经济条件下，过多地存贮物资将承受市场价格波存贮物资将承受市场价格波动的风险。动的风险。 存贮需要解决的主要问题存贮需要解决的主要问题要解决的主要问题：要解决的主要问题：v何时补充？何时补充？v每次补充多少库存？每次补充多少库存？ 根据前面的分析知道，一个工商企业为了为了

3、根据前面的分析知道，一个工商企业为了为了使生产和经营活动有条不紊地进行，需要贮备物资使生产和经营活动有条不紊地进行，需要贮备物资 ，但过多又有巨大的风险。那么，究竟应存放多少物但过多又有巨大的风险。那么，究竟应存放多少物资为最适宜呢？资为最适宜呢？ 存贮系统存贮系统存贮存贮补充补充需求需求信息反馈信息反馈 补充时间和补充数量称为补充时间和补充数量称为存贮策略存贮策略。 存贮策略的存贮策略的优劣衡量标准优劣衡量标准，最直接的是计算该，最直接的是计算该策略所耗用的平均费用多少。策略所耗用的平均费用多少。存贮策略执行所涉及的费用存贮策略执行所涉及的费用u存贮费：占用资金应付的利息，使用仓库、保管存贮

4、费：占用资金应付的利息，使用仓库、保管货物、损坏变质等支出的费用。货物、损坏变质等支出的费用。 u订货费：（订货费：（1 1）订购费订购费手续费、电信往来、人员手续费、电信往来、人员外出费；（外出费；（2 2）货物的成本费（可变费）货物的成本费（可变费） 。u生产费：（生产费：（1 1）装配费，如更换模具等（固定）；装配费，如更换模具等（固定）；（2 2）材料费、加工费（可变费）。材料费、加工费（可变费）。 u缺货费：当存贮供不应求时所引起的损失，如失缺货费：当存贮供不应求时所引起的损失，如失去销售机会的损失、停工待料的损失、不能履行合去销售机会的损失、停工待料的损失、不能履行合同而缴纳罚款等

5、。同而缴纳罚款等。 配件厂配件厂存贮模型存贮模型问问 题题 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。即所需数量可在很短时间内产出。 已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件，生产准备费件，生产准备费5000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1元。试安排该产品元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。

6、期），每次产量多少，使总费用最小。要要 求求 不只是回答问题，而且要建立生产周期、不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。问题分析问题分析 每天生产一次每天生产一次，每次，每次100件，无贮存费，准件，无贮存费，准备费备费5000元。元。 日需求日需求100件，准备费件，准备费5000元，贮存费每元，贮存费每日每件日每件1元。元。每天费用每天费用5000元元 50天生产一次天生产一次，每次，每次5000件，贮存费件，贮存费4900+4800+100 =122500元，准备费元，准备费5000元，元，总计总计127500

7、元。元。平均每天费用平均每天费用2550元元1010天生产一次平均每天费用最小吗天生产一次平均每天费用最小吗? ? 10天生产一次天生产一次，每次，每次1000件，贮存费件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费元，准备费5000元，元，总计总计9500元。元。平均每天费用平均每天费用950元元 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数目标函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大贮存费少，准备费多贮存费少

8、，准备费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多寻找最佳的周期和产量，使总费用（二者寻找最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小。之和）最小。模模 型型 假假 设设 1. 产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮每天每件产品贮存费为存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）天生产一次（周期）, 每次生产每次生产Q件，件，当贮存量为零时，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时件产品立即到来（生产时间不计）；间不计）； 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。量处理。模模 型型 建建

9、立立0tq 设设q(t)表示表示t时刻的时刻的贮存量，贮存量，t=0生产生产Q件，件，q(0)=Q， q(t)以需求速以需求速率率r递减，递减，q(T)=0。TQr一周期一周期总费用总费用TQccC221AcdttqcT202)(一周期贮存费为一周期贮存费为A=QT/22221rTcc rTQ 模型求解模型求解Min2)(21rTcTcTC求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型分析模型分析QTc,1QTc,2QTr,每天总费用平均每天总费用平均值（目标函数）值（目标函数）2)(21rTcTcTCTC模型应用模型应用c1=5000, c2=1，r=100T=10(天天),

10、 Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答问题回答问题 经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式公式）用于订货、供应、存贮情形用于订货、供应、存贮情形 每天需求量每天需求量 r，每次订货费，每次订货费 c1,每天每件每天每件贮存费贮存费 c2 ，T天订货一次天订货一次(周期周期), 每次订货每次订货Q件，件，当贮存量降到零时，当贮存量降到零时，Q件立即到货件立即到货。不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型212rccT 212crcrTQ允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型 当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，出现缺货，造成损失。造成损失。原模型假设

11、：贮存量降到零时原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产件立即生产出来出来(或立即到货或立即到货)。AB0qQrT1t现假设现假设：允许缺货：允许缺货, 每每天每件缺货损失费天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足缺货需补足。T1rTQ 周期周期T, t=T1贮存量降到零。贮存量降到零。AcdttqcT2021)(一周期贮存费一周期贮存费BcdttqcTT331)(一周期缺货费一周期缺货费2)(2213121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天总费用平均值（目标函数）每天总费用平均值（目标函数）Min),(QTC求求

12、 T ,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ为与为与不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型相比，相比，T记作记作T , Q记作记作Q212rccT 212crcrTQ不允不允许缺许缺货模货模型型QQTT,332ccc 记记1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货3c第一，第一，调节气候调节气候，改善，改善环境环境。 调节调节了林了林区区和周和周围环围环境的境的气气候，候，创创造造了一了一个个森林生境。森林生境。 第二，涵第二，涵养养水源，保持水土。水源，保持水土。 五五万亩万亩森林的森

13、林的储储水量水量 = 一百一百万万立方立方米米的小型水的小型水库库。二十公分厚的表土二十公分厚的表土层层，如果被雨水，如果被雨水冲冲刷刷干净干净，林地需要，林地需要57.7万万年年 草地需草地需要要8.2万万年年 耕地耕地46年年 裸地裸地18年。年。第三，防第三，防风风固沙，保固沙，保护农护农田。田。 一条一条防防护护林帶，可使林帶，可使树树高高20至至25倍倍范范围围的的风风速降低速降低50%。 第四，第四，净化净化大大气气，防治，防治污染污染。 森林的吸碳量占森林的吸碳量占70%，空，空气气中氧中氧气气的的60%是來自森林是來自森林植被植被。 3.2 森林救火森林救火森林的功能森林的功能

14、 从从20102010年年7月月30日开日开始俄罗斯森林发生的大始俄罗斯森林发生的大火，除了大片草木化为火，除了大片草木化为片片焦土，更引发连锁片片焦土，更引发连锁反应：俄罗斯经济分析反应：俄罗斯经济分析师估计，火灾导致的短师估计，火灾导致的短期损失可能为期损失可能为150亿美元，亿美元，相当于俄罗斯相当于俄罗斯2010年国内年国内生产总值的生产总值的1%; 首都莫首都莫斯科也未能逃脱火灾的斯科也未能逃脱火灾的影响，整座城市笼罩在影响，整座城市笼罩在大火产生的烟雾中大火产生的烟雾中 森林大火的影响森林大火的影响森林火灾有偿扑救森林火灾有偿扑救我国部分省林业厅规定：我国部分省林业厅规定：森林火灾

15、取消义务扑救，森林火灾取消义务扑救，实行补偿制。实行补偿制。一旦发生森林大火，森一旦发生森林大火，森林消防队扑救森林火灾所林消防队扑救森林火灾所发生的费用，将由森林火发生的费用，将由森林火灾的肇事单位和个人灾的肇事单位和个人“埋埋单单”。火灾原因不清的，。火灾原因不清的，由林权所有者支付。由林权所有者支付。 有利于森林消防队伍的有利于森林消防队伍的生存和发展，有利于增强生存和发展，有利于增强人们的森林防火意识。人们的森林防火意识。 森林救火队员派出模型森林救火队员派出模型森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员队员多，森林

16、损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。少，森林损失大，救援费用小。综合考虑综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。损失费和救援费，确定队员数量。问题分析问题分析问问题题 记队员人数记队员人数x, 失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)。 损失费损失费f1(x)是是x的减函数，由烧毁面积的减函数，由烧毁面积B(t2)决决定定。 关键是对关键是对B(t)作出合理的简化假设作出合理的简化假设. 失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 画出时刻画出时刻 t 森林烧

17、毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困比较困难，转而讨论森难，转而讨论森林烧毁速度林烧毁速度dB/dt. 救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数, 由队员人数和救火时由队员人数和救火时间决定间决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x), f2(x)之和最小。之和最小。模型假设模型假设解释解释 rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓均匀向四周呈圆形蔓延，半径延，半径 r与与 t 成正成正比比面积面积 B与与 t2成正比，成正比， dB/dt与与 t成正比成正比.1）0 t t1, dB/dt 与与 t成正比，

18、系数成正比，系数 (火势蔓延火势蔓延速度）。速度）。dtdBb0t1tt2xdtdB= tx(t t1)，(t1 t t2)dtdB= t， (0 t t1)2）t1 t t2, 降为降为 - x ( 为队员的平均灭火为队员的平均灭火速速度度)； 3） f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1 (烧毁单位面积烧毁单位面积损失费）；损失费）； 4）每个每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费一次性费用用c3 。xbtt12202)()(tdtdttdBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假设假设1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)(

19、)(),()(目标函数目标函数总费用总费用)()()(21xfxfxC假设假设3）4）xttt112假设假设2）)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx / 是火势不继续蔓延的最少队员数。是火势不继续蔓延的最少队员数。其中其中 c1,c2,c3, t1, , 为已知参数为已知参数3.3 血血 管管 分分 支支问题：问题： 血液在血管中流动时所消耗的能量分成血液在血管中流动时所消耗的能量分成两部分，一部分用于两部分，一

20、部分用于供给血管壁以营养供给血管壁以营养，一，一部分用来部分用来克服流动阻力克服流动阻力。在长期的进化中，。在长期的进化中，qq1q1ABB CHLll1rr1 血管的几何形状已达到血管的几何形状已达到了消耗能量最小的优化了消耗能量最小的优化状态。有时，一条粗血状态。有时，一条粗血管会分成两条细血管，管会分成两条细血管，试确定粗细血管半径的试确定粗细血管半径的比例和分岔角度。比例和分岔角度。q=2q1r/r1, ?模型假设模型假设1）一条粗血管和两条细血管在分支点对称地）一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面；处于同一平面；2）血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的）血液流动近似于粘性

21、流体在刚性管道中的运动；运动；3）血液给血管壁的能）血液给血管壁的能量随管壁的内表面积量随管壁的内表面积和体积的增加而增加，和体积的增加而增加，管壁厚度近似与血管管壁厚度近似与血管半径成正比。半径成正比。qq1q1ABB CHLll1rr1 模型建立模型建立qq1q1ABB CHLll1rr1 粘性流体在刚性管道中的运动粘性流体在刚性管道中的运动：利用流：利用流体力学知，粘性流体在刚性管道中流动时所体力学知，粘性流体在刚性管道中流动时所受阻力与流量的平方成正比，与半径的受阻力与流量的平方成正比，与半径的4次方次方成反比。设粗、细血管中的流量分别为成反比。设粗、细血管中的流量分别为q，q1，则所受阻力分别为则所受阻力分别为,42rqk,4121rqk k为比例常数。为比例常数。提供营养消耗能量提供营养消耗能量：管壁内表面积管壁内表面积 S=2 rl管壁体积管壁体积qq1q1ABB CHLll1rr1 lrdrv)(22. )2(2lrdd 由于管壁厚度由于管壁厚度d与与r成