第十章(稳恒磁场)

1、110.1 磁场磁场 磁感应强度磁感应强度1. 磁铁的磁场磁铁的磁场 磁磁 铁铁磁场磁场磁磁 铁铁 N、S极同时存在；极同时存在；同名磁极相斥，异名磁极相吸同名磁极相斥，异名磁极相吸. .NSSN第10章 稳恒磁场10.1.1 10.1.1 基本磁现象基本磁现象22. 电流的磁场电流的磁场奥斯特实验奥斯特实验电电 流流磁场磁场电电 流流3. 磁现象的起源磁现象的起源 运动电荷运动电荷磁场磁场运动电荷运动电荷310.1.2 磁磁 感感 应应 强强 度度 B 带电粒子在磁场中运动所受的力与运带电粒子在磁场中运动所受的力与运动方向有关动方向有关. 实验发现带电粒实验发现带电粒子在磁场中沿某一特定子在

2、磁场中沿某一特定直线方向运动时不受力，直线方向运动时不受力，此直线方向与电荷无关此直线方向与电荷无关.xyzo0F+v+vvv4 带电粒子在磁场中带电粒子在磁场中沿其他方向运动时沿其他方向运动时 垂直垂直于于 与特定直线与特定直线所组成的平面所组成的平面.Fv 当带电粒子在磁场当带电粒子在磁场中垂直于此特定直线运中垂直于此特定直线运动时受力最大动时受力最大.5FFFmaxvqFmax大小与大小与 无关无关v, qvqFmax6磁感强度磁感强度 的定义：的定义：当正电荷垂直于当正电荷垂直于 特定直线运动时特定直线运动时,受力受力 将将 在磁场中的方向定义为该点的在磁场中的方向定义为该点的 的方向

3、的方向. BmaxFvmaxFBvqFBmax磁感强度大小磁感强度大小:7单位单位 特斯拉特斯拉m)N/(A1)T( 1+qvBmaxF运动电荷在磁场中受力运动电荷在磁场中受力BqFv高高 斯斯T10)G(148IP*10.1.5 毕奥毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律(电流元在空间产生的磁场电流元在空间产生的磁场)20sind4drlIB30d4drrlIB真空磁导率真空磁导率 270AN104lIdBd30d4drrlIBB 任意载流导线在点任意载流导线在点 P 处的磁感强度处的磁感强度磁感强度叠加原理磁感强度叠加原理rlIdrBd912345678lId例例 判断下列各点磁感强度的方向和大小判断下

4、列各点磁感强度的方向和大小.R+1、5 点点 ：0dB3、7点点 ：204ddRlIB02045sin4ddRlIB2、4、6、8 点点 ：30d4drrlIB毕奥毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律10yxzIPCDo0r* 例例1 载流长直导线的磁场载流长直导线的磁场.Bd解解20sind4drzIBCDrzIBB20sind4dsin/,cot00rrrz20sin/ddrz 方向均沿方向均沿 x 轴的负方向轴的负方向Bd1r10.1.6 毕奥毕奥-萨伐尔定律萨伐尔定律应用举例应用举例221dsin400rIBzzd11）（2100coscos4rI 的方向沿的方向沿 x 轴的负方向轴的负方向.B2

5、1dsin400rIB无限长无限长载流长直导线的磁场载流长直导线的磁场.021002rIB）（2100coscos4rIB12PCDyxzoIB+12IBrIB20 电流与磁感强度成电流与磁感强度成右螺旋关系右螺旋关系半无限长半无限长载流长直导线的磁场载流长直导线的磁场rIBP40 无限长载流长直导线的磁场无限长载流长直导线的磁场r*PIo221IBX X13Ix 真空中真空中 , 半径为半径为R 的载流导线的载流导线 , 通有电流通有电流I , 称称圆圆电流电流. 求求其其轴线上一点轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小的磁感强度的方向和大小. 解解 根据对称性分析根据对称性分析sindBB

6、Bx20d4drlIB例例2 圆形载流导线的磁场圆形载流导线的磁场.rBdBBlIdpRo*14xxRp*20dcos4drlIBxlrlIB20dcos4222cosxRrrRRlrIRB2030d42322202）（RxIRB20d4drlIBoBdrlId152322202）（RxIRBRIB20 3）0 x3032022xISBxIRB，4）Rx2） 的方向不变的方向不变( 和和 成成右螺旋右螺旋关系）关系）0 xBIB1）若线圈有）若线圈有 匝匝N2322202）（RxIRNB讨讨论论x*BxoRI16oI2R1R（5）* Ad（4）*o（2R）I+R（3）oIIRo（1）RIB20

7、0RIB400RIB8001010200444RIRIRIBdIBA40 x0B17+ + + + + + + +pR+ +*例例3 载流直螺线管的磁场载流直螺线管的磁场 如图所示，有一长为如图所示，有一长为l , 半径为半径为R的载流密绕直螺的载流密绕直螺线管，螺线管的总匝数为线管，螺线管的总匝数为N，通有电流，通有电流I. 设把螺线管设把螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.2/322202）（RxIRB解解 由圆形电流磁场公式由圆形电流磁场公式oxxdx18op1xx2x+ + + + + + + + +2/32220d2dxRxInRB

8、cotRx 2222cscRxR212/32220d2dxxxRxRnIBBdcscd2Rx21dsin20nI21dcscdcsc233230RRnIB2119120coscos2nIB 讨讨 论论（1）P点位于管内点位于管内轴线中点轴线中点212/ 1220204/2cosRllnInIB2222/2/cosRll21coscosnIB0Rl 若若20(2) 无限长的无限长的螺线管螺线管 nIB021（3）半无限长半无限长螺线管螺线管0,221或由或由 代入代入0,21120coscos2nIBnI021xBnI0OnIB021IS磁偶极矩磁偶极矩neISmmne3202xIRBmISne

9、n302exmB302xmB 说明说明：只有当圆形电流的面积：只有当圆形电流的面积S很小，或场点距很小，或场点距圆电流很远时，才能把圆电流叫做圆电流很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子磁偶极子. 例例2 2中圆电流磁感强度公中圆电流磁感强度公式也可写成式也可写成22+qr运动电荷的磁场运动电荷的磁场30d4drrlIB毕毕 萨萨定律定律 vlqnSlSjlIddd30d4drrlqnSBvlnSNdd304ddrrqNBBv运动电荷的磁场运动电荷的磁场实用条件实用条件cv+BvvrBSjl dq23Ro解法一解法一 圆电流的磁场圆电流的磁场rrrrIdd22drrIBd22dd00B, 0向外向外

10、 例例4 半径半径 为为 的带电薄圆盘的电荷面密度的带电薄圆盘的电荷面密度为为 , 并以角速度并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴转绕通过盘心垂直于盘面的轴转动动 ，求求圆盘圆盘中心中心的磁感强度的磁感强度.Rrrd2d2000RrBR, 0向内向内B24解法二解法二 运动电荷的磁场运动电荷的磁场200d4drqBvrrqd2drvrBd2d02d2000RrBRRorrd251. 磁感线磁感线III 切线方向切线方向 的方向；的方向； 疏密程度疏密程度 的大小的大小.BB10.1.3 磁通量26SNISNI272. 磁通量磁通量BSSNB磁场中某点处垂直磁场中某点处垂直 矢量的单位面积上矢量

11、的单位面积上通过的磁感线数目等于该点通过的磁感线数目等于该点 的数值的数值.BB28 磁通量：磁通量：通过通过某曲面的磁感线数某曲面的磁感线数BSBScosSeBSBnBsSdBsBsBne 匀强磁场下，匀强磁场下，面面S的磁通量为：的磁通量为：一般情况一般情况sdSB290dd111SB0dd222SB0dcosSBS 物理意义：物理意义：通过任意闭合曲面的磁通通过任意闭合曲面的磁通量必等于零（量必等于零（故磁场是故磁场是无源的无源的）. 9.1.4磁场高斯定理磁场高斯定理0d SBSBS1dS11B2dS22B30 xIB20 xlxISBd2dd0 例例 如图载流长直导线的电流为如图载流

12、长直导线的电流为 , 试求试求通过矩形面积的磁通量通过矩形面积的磁通量.I 解解1d2dlIxoB120ln2ddIl21d2d0ddSxxIlSB3110.2.1 安培环路定理安培环路定理lRIlBld2d0oIRl 设闭合回路设闭合回路 为圆形为圆形回路回路（ 与与 成成右右螺旋螺旋）IlllllRIlBd2d0IlBl0dBldRIB20 载流长直导线的磁感强载流长直导线的磁感强度为度为10.2 安培环路定理32oIRBldlIIlBl0200d2dd2d2d00IrrIlB若若回路绕向化为回路绕向化为逆逆时针时，时针时，则则对任意形状的回路对任意形状的回路IlBl0drldB 与与 成

13、成右右螺旋螺旋lIlId33Ild2dd02211IlBlB0dd2211lBlB0dlBl电流在回路之外电流在回路之外20210122rIBrIB，d1dl1r2r2dl1B2B34 多电流情况多电流情况321BBBB 以上结果对以上结果对任意任意形状形状的闭合电流（伸向无限远的闭合电流（伸向无限远的电流）均成立的电流）均成立.)(d320IIlBl1I2I3Il 安培环路定理安培环路定理niiIlB10d35安培环路定理安培环路定理niiIlB10d 即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 沿任沿任一闭合路径的积分的值，等于一闭合路径的积分的值，等于 乘以该闭合路

14、径乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和所包围的各电流的代数和.B0 电流电流 正负正负的规定的规定 ： 与与 成成右右螺旋时，螺旋时， 为为正正；反反之为之为负负.IILI注意注意36）（210II 问问 1） 是否与回路是否与回路 外电流有关外电流有关？LB3I2I1IL1I1I)(d21110IIIIlBL2）若若 ，是否回路，是否回路 上各处上各处 ？ 是否回路是否回路 内无电流穿过内无电流穿过？0BL0d lBLL3710.2.2 安培环路定理的应用举例安培环路定理的应用举例 例例1 求长直密绕螺线管内磁场求长直密绕螺线管内磁场 解解 1 ) 对称性分析螺旋管内为均匀场对称性分析螺旋管

15、内为均匀场 , 方向沿方向沿轴向轴向, 外外部磁感强度趋于零部磁感强度趋于零 ，即，即 .0B38PMOPNOMNllBlBlBlBlBdddddIMNnMNB0nIB0 无限长载流螺线管内部磁场处处相等无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场外部磁场为零为零.2 ) 选回路选回路 .L+B 磁场磁场 的方向与的方向与电流电流 成成右螺旋右螺旋.BILMNPO39dRNIRBlBl02dLNIB0当当 时，螺绕环内可视为均匀场时，螺绕环内可视为均匀场 .dR2 例例2 求载流螺绕环内的磁场求载流螺绕环内的磁场RNIB202）选回路选回路 .解解 1） 对称性分析；环内对称性分析；环内 线

16、为同心圆，环外线为同心圆，环外 为零为零. BBRL2令令40RI例例3 无限长载流圆柱体的磁场无限长载流圆柱体的磁场解解 1）对称性分析对称性分析 2）选取回路选取回路Rr IrB02rIB20IRrlBRrl220d0IRrrB2202202RIrBIlBl0dIBdId.BRLrRB41,0Rr,Rr 202RIrBrIB20RIRI20BRor 的方向与的方向与 成右螺旋成右螺旋BI420B例例4 无限长载流圆柱面的磁场无限长载流圆柱面的磁场rIB20IlBl0d,Rr ,0Rr0dllBRI1Lr2LrBRorRI20解解4344B B描写电流元在磁场中受安培力的规律。描写电流元在磁

17、场中受安培力的规律。 由实验发现，由实验发现，电流元在磁场中受电流元在磁场中受到的安培力大小：到的安培力大小：sin BdlIdF写成等式：写成等式：sin BdlIkdF在在 SI 制中：制中：k = 1l lId45sin BdlIdF用矢量式表示：用矢量式表示：B Bl lF FIdd方向：方向：从从 dl l 右旋右旋到到 B B，大拇指指向。，大拇指指向。外磁场外磁场l lIdB BF FdF FdB Bl lId46 计算一段电流计算一段电流在磁场中受到的安在磁场中受到的安培力时，应先将其培力时，应先将其分割成无限多电流分割成无限多电流元，将所有电流元元，将所有电流元受到的安培力矢

18、量受到的安培力矢量求和求和-矢量积分。矢量积分。F FF FdB Bl lIdl lIdB B47BF FF FdbaB Bl l)(dIbaL Ll ldbaB BL LF FI由于由于sinILBFLabIB Bl lIdba 均匀磁场中曲线电流受的安培力，等均匀磁场中曲线电流受的安培力，等于从起点到终点的直线电流所受的安培力。于从起点到终点的直线电流所受的安培力。481. .分割电流元；分割电流元；2. .建立坐标系；建立坐标系；3. .确定电流元所受的安培力确定电流元所受的安培力; ;4. .求分量求分量 Fx、Fy；, xxdFF5. .由由22yxFFF求安培力。求安培力。 yyd

19、FF49例例1：在无限长载流在无限长载流直导线直导线 I1 傍，平行放傍，平行放置另一长为置另一长为L的载流的载流直导线直导线 I2 ,两根导线两根导线相距为相距为 a，求导线，求导线 I2所受到的安培力。所受到的安培力。La 1I 2I解：解： 由于电流由于电流 I2 上各点到电流上各点到电流 I1 距离相同，距离相同，I2 各点处的各点处的 B B 相同，相同，50I2 受到的安培力方受到的安培力方向如图所示，安培向如图所示，安培力大小：力大小：sin12LBIF2aIB2101其中其中1B BF F 2I 1ILa512sin2102aILIFaLII2210 I2 受到受到 I1 的引

20、的引力，同理力，同理 I1 也受到也受到 I2 的引力，的引力，即：即：同向电流相吸同向电流相吸,异向电流相斥。异向电流相斥。 2I 1ILa1B BF Fsin12LBIF52例例2：在无限长载流在无限长载流直导线直导线 I1 傍，垂直傍，垂直放置另一长为放置另一长为 L 的的载流直导线载流直导线 I2 , I2 导导线左端距线左端距 I1 为为 a，求导线求导线 I2 所受到的所受到的安培力。安培力。解：解：La 1I 2I建立坐标系建立坐标系,坐标原点选在坐标原点选在 I1上，上，ox53I1 在电流元处产生在电流元处产生的磁场方向垂直向的磁场方向垂直向里，电流元受力方里，电流元受力方向

21、向上。电流元受向向上。电流元受安培力大小为：安培力大小为：sin12dxBIdF2,2101xIB其中其中 2I 1ILaoxF Fd1B Bxdx分割电流元，分割电流元， 长度长度为为 dx , , 54 分割的所有电流元受分割的所有电流元受力方向都向上，离力方向都向上，离 I1 近的电流元受力大，近的电流元受力大，离离 I1 远的电流元受力远的电流元受力小，所以小，所以 I2 受到的安受到的安培力为：培力为：dFFLaaxdxII2102dxBILaa2sin12 2I 1ILaoxF Fd1B BxdxaLaIIln221055例例3：在均匀磁场中，在均匀磁场中，放置一半圆形半径放置一半

22、圆形半径为为 R 通有电流为通有电流为 I 的载流导线，求载的载流导线，求载流导线所受的安培流导线所受的安培力。力。R解：解：由均匀磁场中曲线电流受力的结论：由均匀磁场中曲线电流受力的结论：半圆形电流受到的安培力相当于沿直径半圆形电流受到的安培力相当于沿直径电流受到的安培；电流受到的安培；2sinILBFRIB2oB BIF F56例例4：在无限长载流在无限长载流直导线旁，距直导线旁，距 a 放放置一半径为置一半径为 R 通有通有电流为电流为 I 的载流圆的载流圆环，求载流圆环受环，求载流圆环受到的安培力。到的安培力。解：解：分析：分析： I2 电流上各点距电流上各点距 I1 的距离不同，的距

23、离不同，各点的电流方向不同，所以各点受力大小各点的电流方向不同，所以各点受力大小和方向也不同。和方向也不同。 1IaR 2I57分割电流元分割电流元; 电流元处磁电流元处磁场方向和受力的场方向和受力的方向如图；方向如图；电流元受力大小电流元受力大小sin 12BdlIdF根据电流环的对称性，根据电流环的对称性，找出找出 dl 在在 x 轴下方轴下方的一个对称点的一个对称点 dl F Fdl ld 2I 1IaRxoydFxdF1B B58dl l 和和 dl l 在磁场在磁场中受力中受力 dF F与与 dF F进行分解，进行分解，由对由对称性可知称性可知 dF F 与与 dF F 在在 x 方

24、向分方向分量大小相等方向量大小相等方向相同，在相同，在y方向分方向分量大小相等方向量大小相等方向相反，相互抵消。相反，相互抵消。22yxFFFF Fdl ldx 2I 1IaRoydFxdF1B Bl ldF FdydFxdFxF59xFFcos12dlBIRddl其中其中)cos(201RaIBdcosdFF Fdl ldx 2I 1IaRoydFxdF1B BxdF6020102 cos)cos(2dRRaIIF2221011RaII61ne M,N O,PBBMNOPIne1. 磁场作用于载流线圈的磁力矩磁场作用于载流线圈的磁力矩如图如图 均匀均匀磁场中有一矩形载流线圈磁场中有一矩形载流

25、线圈MNOP12lNOlMN21FF21BIlF 43FF)sin(13 BIlF041iiFF3F4F1F1F2F2F10.3.3 磁场对载流线圈的作用62sinBISM BPBeISMnBeNISMn线圈有线圈有N匝时匝时12lNOlMNsinsin1211lBIllFMB1F3FMNOPIne2F4Fne M,N O,PB1F2F63IB.FF. . . . . . . . . . . . . . . . .FIBB+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + IFmax,2MM 0 ,0M 稳定平衡稳定平衡不不稳定平衡稳定平衡讨讨 论论

26、1） 方向与方向与 相同相同Bne2）方向相反）方向相反3）方向垂直）方向垂直,0M 力矩最大力矩最大64 结论结论: 均匀均匀磁场中，任意形状磁场中，任意形状刚刚性闭合性闭合平面平面通电线圈所受的力和力矩为通电线圈所受的力和力矩为BPMF,02/,maxPBMMBPne与与 成成右右螺旋螺旋I0稳定稳定平衡平衡非稳定非稳定平衡平衡0,/MBPneNISP 磁矩磁矩65 例例1 边长为边长为0.2m的正方形线圈，共有的正方形线圈，共有50 匝匝 ，通，通以电流以电流2A ，把线圈放在磁感应强度为，把线圈放在磁感应强度为 0.05T的均匀磁的均匀磁场中场中. 问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大

27、？磁问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大？磁力矩等于多少？力矩等于多少？解解sinMNBIS得得max,2MM250 0.05 2 (0.2) N mMNBIS 0.2N mM 问问 如果是任意形状载流线圈，结果如何？如果是任意形状载流线圈，结果如何？66IBRyzQJKPox 例例2 如图半径为如图半径为0.20m，电流为，电流为20A，可绕轴旋转，可绕轴旋转的圆形载流线圈放在均匀磁场中的圆形载流线圈放在均匀磁场中 ，磁感应强度的大小，磁感应强度的大小为为0.08T，方向沿，方向沿 x 轴正向轴正向.问线圈受力情况怎样？问线圈受力情况怎样？ 线线圈所受的磁力矩又为多少？圈所受的磁力矩又为多少

28、？解解 把线圈分为把线圈分为JQP和和PKJ两部分两部分N64. 0)2(kkRBIFJQPN64. 0)2(kkRBIFPKJxsinddFdlBxIxMdd,sinRlRx以以 为轴，为轴， 所受磁力矩大小所受磁力矩大小OylIdd67dsind22IBRM 2022dsinIBRMkRIkISP2iBBjBRIikBRIBPM22sindddlBxIFxMdd,sinRlRx2RIBM IBRyzQJKPoxxd682. 磁电式电流计原理磁电式电流计原理aM aBNIS KNBSaI实验实验测定测定 游丝的反抗力矩与线圈转过的角度游丝的反抗力矩与线圈转过的角度 成正比成正比.NS磁铁磁铁

29、69 设一均匀磁场设一均匀磁场B垂直纸面向外，闭合回路垂直纸面向外，闭合回路abcd的边的边ab可以可以沿沿da和和cb滑动，滑动，ab长为长为l，电流，电流I，ab边受力边受力 lBIF 方向向右方向向右ab边运动到边运动到a/b/位置位置时作的功时作的功 AF aaBI l aaIB SI 即即功等于电流乘以磁通量的增量。功等于电流乘以磁通量的增量。AI1 1、载流导线在磁场中运动时磁力所做的功、载流导线在磁场中运动时磁力所做的功 在匀强磁场中当电流不变时，磁力的功等于电流强度乘以在匀强磁场中当电流不变时，磁力的功等于电流强度乘以回路所环绕面积内磁通的增量回路所环绕面积内磁通的增量 即即

30、FlabcdIFa/b/B10.3.4 磁力的磁力的功功702 2、载流线圈在磁场中转动时磁力矩所做的功、载流线圈在磁场中转动时磁力矩所做的功 设线圈在磁场中转动微小角度设线圈在磁场中转动微小角度d时，使线圈法线时，使线圈法线n与与B之间的夹角从之间的夹角从变为变为+ d, ,线圈受磁力矩线圈受磁力矩 sin BISM 则则M作功，使作功，使减少，减少，所以磁力矩的功为负值，即所以磁力矩的功为负值，即coscosBIS d()I d(BS)I d 当线圈从当线圈从1位置角转到位置角转到2位置角时磁力矩作功位置角时磁力矩作功 21AI d B/2f2fmPdsindAM dBISd 71其中其中

31、1、2分别是在分别是在1位置和位置和2位置时通过线圈的磁通量。当位置时通过线圈的磁通量。当电流不变时，电流不变时， 2121()AI dI 在匀强磁场中，一个任意载流回路在磁场中改变位置或改变在匀强磁场中，一个任意载流回路在磁场中改变位置或改变形状时，磁力的功（或磁力矩的功）亦为形状时，磁力的功（或磁力矩的功）亦为 AI 3 3、对于变化的电流或非匀强场、对于变化的电流或非匀强场21AId21MdA或或72例例10.4载有电流载有电流I的半圆形闭合线圈，半径的半圆形闭合线圈，半径为为R，放在均匀的外磁场，放在均匀的外磁场B中，中，B的方向与线圈的方向与线圈平面平行，如图平面平行，如图9.30所

32、示所示.(1)求此时线圈所受求此时线圈所受的力矩大小和方向；的力矩大小和方向；(2)求在这力矩作用下，求在这力矩作用下，当线圈平面转到与磁场当线圈平面转到与磁场B垂直的位置时，磁力垂直的位置时，磁力矩所做的功矩所做的功.图图9.30解解(1)线圈的磁矩线圈的磁矩22mPISnIR n 在图示位置时，线圈磁矩在图示位置时，线圈磁矩Pm的方的方向与向与B垂直垂直.73图示位置线圈所受磁力矩的大小为图示位置线圈所受磁力矩的大小为 磁力矩磁力矩M的方向由的方向由PmB确定，为垂直于确定，为垂直于B的方向向上的方向向上.也可以用积分计算也可以用积分计算21sin22mMP BIBR(2)计算磁力矩做功计算磁力矩做功. 222111()(0)22AIII BRIB R 00022221sincos|2mmAMdP BdP BIB R 74xyzo一一 、带电粒子在电场和磁场中所受的力、带电粒子在电场和磁场中所受的力电场力电场力EqFe磁场力磁场力（洛仑兹力洛仑兹力）BqF vm+qvBmFBqEqFv 运动电荷在电运动电荷在电场和磁场中受的力场和磁场中受的力 方向：即以右手四指方向：即以右手四指