材料力学课件第10章能量法

1、1太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院第第10章章 能量法能量法2太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院 10.1 10.1 概概述述 10.2 10.2 杆杆件应变能的计算件应变能的计算 10.3 10.3 应应变能的一般表达式变能的一般表达式 10.4 10.4 互互等定理等定理 10.5 10.5 卡卡氏定理氏定理 10.6 10.6 虚虚功原理功原理 单位载荷法单位载荷法 10.7 10.7 莫莫尔定理尔定理 10.8 10.8 计计算莫尔积分的图乘法算莫尔积分的图乘法3太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院 能量法具有下列优点：能量法具有下列优点： （

2、1）应用简单、方便等。）应用简单、方便等。 （2）公式统一，适用于计算机编程计算和分析。）公式统一，适用于计算机编程计算和分析。 VWVW 对于复杂的超静定结构，工程上常采用能量原理来进行对于复杂的超静定结构，工程上常采用能量原理来进行结构的分析和计算。结构的分析和计算。 在弹性变形的过程中，忽略其它形式的能量如动能、热在弹性变形的过程中，忽略其它形式的能量如动能、热能等的损失，认为外力功能等的损失，认为外力功W全部转变成应变能全部转变成应变能V ,即即 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为积蓄的能量，称为弹性应变能弹

3、性应变能，简称，简称应变能应变能。4太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院 一、轴向拉伸与压缩一、轴向拉伸与压缩 12WFl12VWF l轴向力轴向力F所做的功为所做的功为杆件的应变能为杆件的应变能为5太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院若杆件为若杆件为等截面直杆且轴向力仅作用于杆两端等截面直杆且轴向力仅作用于杆两端时，有时，有, NNF lFFlEA 应变能为应变能为 22NF lVEA若杆件为若杆件为阶梯杆或有轴向力作用于杆中间部分阶梯杆或有轴向力作用于杆中间部分时，应变能为时，应变能为22Ni iiiF lVE A若杆件为若杆件为连续变截面杆或轴向力沿轴线分布连续变

4、截面杆或轴向力沿轴线分布时，应变能为时，应变能为2( )2( )NlFxVdxEA x6太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院二、扭转二、扭转扭转力偶矩所做的功扭转力偶矩所做的功12eWM圆轴在扭转时的应变能为圆轴在扭转时的应变能为12eVWM7太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院若圆轴为若圆轴为阶梯轴或扭转力偶矩作用于轴中间部分阶梯轴或扭转力偶矩作用于轴中间部分时，应变能为时，应变能为若若圆圆轴为轴为等直圆轴且扭转力偶矩仅作用于轴两端等直圆轴且扭转力偶矩仅作用于轴两端时，应变能为时，应变能为 若圆轴为若圆轴为连续变截面轴或扭转力偶矩沿轴线分布连续变截面轴或扭转力偶矩沿轴

5、线分布时，应变能为时，应变能为 22PT lVG I22iiiPiT lVG I2( )2( )PlTxVdxGIx8太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院三、三、 纯弯曲纯弯曲弯曲力偶矩弯曲力偶矩Me所做的功所做的功12eWM梁的应变能为梁的应变能为12eVWM若梁为等截面梁时，有若梁为等截面梁时，有, ezMlMMEI梁的应变能为梁的应变能为22zM lVEI9太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院dx微段的弯曲应变能为微段的弯曲应变能为211( )dd( )dd22zMxVWM xxEI四、横力弯曲四、横力弯曲整个梁的弯曲应变能为整个梁的弯曲应变能为21( )d2zl

6、MxVxEI10太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院 22122vG切应力为切应力为z*zsbISF 故故221()2*szzF SvGbI剪切应变能密度为剪切应变能密度为梁的剪切应变能为梁的剪切应变能为2222221d() d d () d d22*szszzzVl AlAFSFSVvVA xA xG bIGIb11太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院引入记号引入记号22() d*zzASAkAIb2222221d() d d () d d22*szszzzVl AlAFSFSVvVA xA xG bIGIb65k 109k k只与梁的横截面形状有关，称为截面的剪切形

7、状系数。只与梁的横截面形状有关，称为截面的剪切形状系数。矩形截面，矩形截面， ；圆形截面，；圆形截面， ；薄壁圆环截面；薄壁圆环截面k=2。22d2slkFVxGA12太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院横力弯曲时梁的应变能为弯曲应变能和剪切应变能之和，即横力弯曲时梁的应变能为弯曲应变能和剪切应变能之和，即22( )dd22szllkFMxVxxEIGA 对于细长梁，剪切应变能与弯曲应变能相比，一般很小，对于细长梁，剪切应变能与弯曲应变能相比，一般很小，可以忽略不计，所以只需计算弯曲应变能。但对于短梁，应考可以忽略不计，所以只需计算弯曲应变能。但对于短梁，应考虑剪切应变能。虑剪切应

8、变能。 13太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院 式中，式中，F为广义力，为广义力，为与广义力对应的广义位移。为与广义力对应的广义位移。 dlVWF功及应变能可统一写成功及应变能可统一写成12VWF 对于非线性弹性问对于非线性弹性问题，应变能的计算公式题，应变能的计算公式为为14太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院例例10.1 图示悬臂梁承受集中力图示悬臂梁承受集中力与集中力偶矩的作用。试计算与集中力偶矩的作用。试计算梁的应变能。设弯曲刚度为常梁的应变能。设弯曲刚度为常数。数。xl解：解：建立图示坐标系，弯矩方建立图示坐标系，弯矩方程为程为 (0)eMFxM xl 梁的

9、应变能为梁的应变能为2222 3201d() d22622leeelFM lM lMF lVxFx MxEIEIEIEIEI15太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院22 321101d() d226llMF lVxFxxEIEIEI2222201dd222leelM lMVxMxEIEIEI当梁上只作用横向力当梁上只作用横向力F时，其应变能为时，其应变能为当梁上只作用弯曲力偶矩当梁上只作用弯曲力偶矩Me时，其应变能为时，其应变能为在产生同种变形的外力作用下弹性体的应变能不能由各个外在产生同种变形的外力作用下弹性体的应变能不能由各个外力单独作用下的应变能叠加求得。力单独作用下的应变能

10、叠加求得。2222 3201d() d22622leeelFM lM lMF lVxFx MxEIEIEIEIEI12VVV显然显然16太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院例例10.2 试求图示矩形截面简支梁的弯曲应变能和剪切应变能，试求图示矩形截面简支梁的弯曲应变能和剪切应变能，并比较之。并比较之。12sFF1(0)2x 12MFx1(0)2x 解：解：由于左、右两段对称，所以由于左、右两段对称，所以全梁应变能能等于段的两倍。全梁应变能能等于段的两倍。AC段内的剪力和弯矩分别为段内的剪力和弯矩分别为梁的弯曲应变能和剪切应变能分别为梁的弯曲应变能和剪切应变能分别为222 32210

11、01dd2222296llzzFxxMxF lVEIEIEI222222002d2d2228llskFkFkF lVxxGAGAGA17太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院 对于矩形截面梁，对于矩形截面梁，26, 512zIhkA22112:(1)5eehVVl2(1)EG再利用再利用 ，得，得取取=0.3，当当h=0.2l 时，时， V 2 :V 1=0.125；当；当h=0.1l 时，时， V 2 :V 1=0.0312；当当h=0.05l时，时，V 2 :V 1=0.0078。对于粗短梁应考虑剪切应变能，对于细长梁可忽略不计剪切对于粗短梁应考虑剪切应变能，对于细长梁可忽略不计

12、剪切应变能。应变能。21212:zEI kVVGAl18太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院 弹性体弹性体(线性或非线性线性或非线性)在在变形过程中储存应变能的数值变形过程中储存应变能的数值，只决定于，只决定于外力和位移的最终外力和位移的最终值值，而与加载的次序无关。，而与加载的次序无关。前提：小变形，线弹性前提：小变形，线弹性各个外力可以表示为各个外力可以表示为 kF1、kF2、kFn相应的位移可以表示为相应的位移可以表示为 k 1、k 2、k n19太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院外力在此位移增量上做的功分别为外力在此位移增量上做的功分别为 1122331 12

13、 23 3dddddW kFk kFk kFkFFFk k11 12 23 31 12 23 30111d222WFFFk kFFF1 12 23 3111222VWFFF如参数如参数k有一个增量有一个增量dk，位移的相应增量分别为，位移的相应增量分别为 1dk、 2dk、 ndk弹性体的应变能为弹性体的应变能为线弹性体的应变能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之线弹性体的应变能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。这一结论称为一的总和。这一结论称为克拉贝依隆克拉贝依隆(Clapeyron)原理原理。20太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院 组合变形组合变形在产生不同种类变

14、形的外力作用下弹性体的应变能可由各个在产生不同种类变形的外力作用下弹性体的应变能可由各个外力单独作用下的应变能叠加求得。外力单独作用下的应变能叠加求得。微段内的应变能为微段内的应变能为Ns1111dd( )d( )d( )d( )d2222VWFxlT xM xkF x21太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院Ns1111dd( )d( )d( )d( )d2222VWF xlT xM xkF x 2222Nspdd( )d( )d2222FxxkFxxTxxMxxEAGIEIGA通过积分，即可求出整个杆件的总应变能通过积分，即可求出整个杆件的总应变能 2222spdd( )d( )

15、d2222NllllFxxkFxxT xxM xxVEAGIEIGA上式是针对圆截面杆件。若截面为非圆截面，则将上式中右边上式是针对圆截面杆件。若截面为非圆截面，则将上式中右边第二项中的第二项中的Ip应改为应改为It。若杆件为细长杆件，上式第四项可以。若杆件为细长杆件，上式第四项可以略去。略去。22太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院例例10.3 在刚架在刚架ABC自由端自由端C处作处作用集中力用集中力F，如图，如图10.10所示。已所示。已知刚架的抗弯刚度知刚架的抗弯刚度EI和抗拉压刚和抗拉压刚度度EA为常量，不计剪力对变形为常量，不计剪力对变形的影响，试求刚架的应变能，并的影响

16、，试求刚架的应变能，并求求C点的铅垂位移。点的铅垂位移。 解：解：(1)计算刚架的应变能计算刚架的应变能 刚架的应变能由杆件刚架的应变能由杆件AB和杆件和杆件BC应变能组成，即应变能组成，即ABBCVVV23太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院选择如示坐标系，则选择如示坐标系，则AB杆的轴力方杆的轴力方程和弯矩方程分别为程和弯矩方程分别为11111( )0, ( )NFxM xFxBC杆的轴力方程和弯矩方程分别为杆的轴力方程和弯矩方程分别为1222( ), ( )NFxFM xFl刚架的总应变能为刚架的总应变能为 2222111222111222dd( )d( )d2222NNll

17、llFxxFxxMxxMxxVEAEIEAEI24太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院 2222111222111222dd( )d( )d2222NNllllFxxFxxM xxM xxVEAEIEAEI2222112000d() d() d222lllFxFxxFlxEIEAEI2 322 32 32262232F lF lF lF lF lEIEAEIEIEA (2) 计算计算C点的铅垂位移点的铅垂位移根据能量原理根据能量原理 ，得，得12cVWFy343CFlFlyEIEA25太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院(3) 讨论讨论 C点的铅垂位移由两部分组成：一部

18、分是弯曲引起的位移点的铅垂位移由两部分组成：一部分是弯曲引起的位移yC1和轴力引起的位移和轴力引起的位移yC2，它们分别为，它们分别为3124, 3CCFlFlyyEIEA22124433CCyAllyEIi对于细长杆件，惯性半径对于细长杆件，惯性半径i远小于杆件的长度远小于杆件的长度l。通常忽略刚架类结构中轴力和剪力对位移的影响。通常忽略刚架类结构中轴力和剪力对位移的影响。26太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院一、功的互等定理一、功的互等定理(1)先加先加F1再加再加F2，梁内的应变能梁内的应变能11112221121122VFFF(2) 先加先加F2再加再加F1，梁内的应变能

19、梁内的应变能22221112211122VFFF27太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院12 VV112221FF上式表明，力上式表明，力F1在由力在由力F2引起的位移引起的位移 12上所作的功等于力上所作的功等于力F2在由力在由力F1引起的位移引起的位移 21上所作的功。上所作的功。第一组力在第二组力引起的位移上做的功，等于第二组力在第一组力在第二组力引起的位移上做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上做的功。这就是第一组力引起的位移上做的功。这就是功的互等定理功的互等定理。28太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院二、位移互等定理二、位移互等定理2112在在 中，令

20、中，令F1 F2 ，则有，则有112221FF力力F2引起力引起力F1(大小与大小与F2相等相等)作用点沿作用点沿F1方向的位移方向的位移 12，等于力，等于力F1引起力引起力F2作用点沿单位力作用点沿单位力F2方向的位方向的位移移 21。这就是。这就是位移互等定理位移互等定理。29太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院 例例10.4 如图如图a所示连续梁所示连续梁AD。当支座当支座A下沉下沉 时，引起时，引起D端的端的挠度为挠度为 (如图如图b)。若无支座下。若无支座下沉，当沉，当D端向下作用集中力端向下作用集中力F时时(如图如图c)，求支座，求支座的反力。的反力。解解: 把图把图

21、b所示受力看作第一组力，把图所示受力看作第一组力，把图c所示受力看作第二组所示受力看作第二组力，则第一组力在第二组力引起的位移上所做的功为零，而第力，则第一组力在第二组力引起的位移上所做的功为零，而第二组力在第一组力引起的位移上做的功为二组力在第一组力引起的位移上做的功为RA +F 。故有。故有0ARF ( )ARF 30太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院任一外力任一外力Fi有一个增量有一个增量dFi，则应变，则应变能能V 的相应增量为的相应增量为12,inVVF FFFdiiVFFdiiVVFF梁的应变能为梁的应变能为当先作用当先作用dFi，在作用，在作用F1、F2、Fi、Fn

22、弹性体的应变能为弹性体的应变能为1ddd2iiiiFVF 31太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院1dddd2iiiiiiVFVFVFF 略去二阶微量略去二阶微量 ，得，得1dd2iiF iiVF 应变能对任一外力应变能对任一外力Fi的偏导数，等于的偏导数，等于Fi作用点作用点 Fi方向的位移，方向的位移，这就是这就是卡氏第二定理卡氏第二定理，通常称为，通常称为卡氏定理卡氏定理。注注:卡氏定理只适用于线卡氏定理只适用于线 弹性结构。弹性结构。32太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院 下面把卡氏定理应用于几种特殊情况。下面把卡氏定理应用于几种特殊情况。梁弯曲梁弯曲2( )

23、()2iiiLVMxdxFFEI 桁架杆件受拉压桁架杆件受拉压njjjjNEALFV1221nN jjN jijijiFLFVFEAF 圆轴扭转圆轴扭转( )( )iiPiLVT xT xdxFGIF LidxFxMEIxM)()(组合变形组合变形 p( )( )( )( )( )ddddNNssilllliiiiFxFxkF xF xT xT xM xM xxxxxEAFGIFEIFGAF 33太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院 例例10.5 图示外伸梁的抗弯刚度图示外伸梁的抗弯刚度EI已已知，求外伸端知，求外伸端C的挠度的挠度wC和左端截面和左端截面A的转角的转角A。1111

24、1( )1ACCxFaM xR xMMxll111()MxaxFl 解：解：建立图示坐标系建立图示坐标系111( )1CM xxMl在在BC段内段内222()MxFx222()MxxF22()0CMxM在在AB段内段内34太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院根据卡氏定理，外伸端根据卡氏定理，外伸端C的挠度的挠度Wc为为 dClM xM xVwxFEIF111222001d()()dlaCMFaaxmxxFxxxEIlll111122221200()()()()ddlaMxMxMxMxxxEIFEIF231363CM alFa lFaEI35太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科

25、学学院这里这里wC和和A皆为正号，表示它们的方向分别与皆为正号，表示它们的方向分别与F和和MC相同。相同。 dAlCCMxMxVxMEIM左端截面左端截面A的转角的转角A为为163CM lFalEI111122221200()()()()ddlaCCMxMxMxMxxxEIMEIM111011 d0lCCMxFaxMxEIlll36太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院例例10.6 试求图示平面刚架截面试求图示平面刚架截面A的转角。的转角。EI为已知为已知解：解：设想在截面设想在截面A上增加一个力偶矩上增加一个力偶矩ma(如图如图b)，ma称为附加称为附加力偶矩。此时，在力偶矩。此时

26、，在q和和ma共同作用下的支座反力为共同作用下的支座反力为, , 22aaCxCyDmmqlqlRqlRRll(a)DBC(b)BCD37太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院11( ) 0M x 11()0aMxm2222( )2aDaamqlM xR xmxml222()1aMxxml在在AB段内段内 在在DA段内段内在在CB段内段内22333333111( )222CxM xR xqxqlxqx33()0aMxm38太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院根据卡氏定理，截面的转角为根据卡氏定理，截面的转角为 dAlaaMxMxVxmEIm在上式中令在上式中令ma=0，就

27、可以求得仅在，就可以求得仅在q作用下截面作用下截面A的转角为的转角为312AqlEI31312am lqlEI333311112222123000()()( )( )()()ddd22lllaaaMxMxM xM xMxMxxxxEImEImEIm2220101d02laamxqlxmxEIll39太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院 一、虚功原理一、虚功原理(1)虚位移虚位移 虚位移表示是其它因素引起的位移，以区别杆件原有外虚位移表示是其它因素引起的位移，以区别杆件原有外力引起的位移。力引起的位移。(2)虚功虚功 杆件上的力在虚位移上做的功称为杆件上的力在虚位移上做的功称为虚功虚

28、功。 虚位移应满足虚位移应满足边界条件边界条件和和连续光滑条件连续光滑条件，并符合，并符合小变形小变形要求。要求。40太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院外力在虚位移上做的总虚功为外力在虚位移上做的总虚功为*1 12 23 3( ) ( )dlWFvFvFvq x v xxF1，F2，F3，表示作用于杆件上的广义集中外力。表示作用于杆件上的广义集中外力。v1*，v2*，v3*，表示集中外力作用点处沿其方向的虚位移。表示集中外力作用点处沿其方向的虚位移。q(x)，表示作用于杆件上的广义分布外力。表示作用于杆件上的广义分布外力。v*(x)，表示分布外力作用处沿其方向的虚位移。表示分布外

29、力作用处沿其方向的虚位移。41太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院在微段的虚变形过程中，内力做的虚功为在微段的虚变形过程中，内力做的虚功为*NddddSWFlMFTdd( l)*为微段为微段两端截面的两端截面的相对轴向位移。相对轴向位移。d *为微段两端截面的为微段两端截面的相对转角。相对转角。d *为微段两端截面的为微段两端截面的相对错动。相对错动。d*为微段两端截面的为微段两端截面的相对扭转角。相对扭转角。42太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院总虚功为总虚功为*NdddSlWFlMFTd *1 12 23 3N( ) ( )ddddSlllllFvFvFvq x

30、v xxFlMFTd故有故有 在虚位移中外力做的虚功等于内力在相应虚变形上做的在虚位移中外力做的虚功等于内力在相应虚变形上做的虚功。这就是虚功。这就是虚功原理虚功原理。虚功原理既适用于虚功原理既适用于线弹性材料线弹性材料，也适用于，也适用于非线性弹性材料非线性弹性材料。43太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院例例10.7 试求图示桁架各杆的内力。设各试求图示桁架各杆的内力。设各杆的横截面面积、材料相同，且是线弹杆的横截面面积、材料相同，且是线弹性的。性的。123, coslvllv 2N1N2N32, coscosEAEAEAFvFFvvlll解：解：由于结构和载荷均对称，由于结构

31、和载荷均对称，A点只有点只有铅垂位移铅垂位移v。由此引起杆。由此引起杆1和杆和杆2(杆杆3)的的伸长分别为伸长分别为由物理关系可以求出三杆的内力分别为由物理关系可以求出三杆的内力分别为 44太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院设节点设节点A有一虚位移有一虚位移 v。外力在此虚位移上做的虚功为。外力在此虚位移上做的虚功为F v。*N11N11dlEAFlFlvvl*3N22N22dcoslEAFlFlvvl *3N11N2221 2cosEAFlFlvvl31 2cosEAFvvvl杆杆1的内力虚功为的内力虚功为 杆杆2和杆和杆3的内力虚功均为的内力虚功均为整个杆件的内力虚功为整个杆

32、件的内力虚功为由虚功原理得由虚功原理得45太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院312 cosFlvEA2N1N2N333cos, 1 2cos1 2cosFFFFF31 2cosEAFvvvl46太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院二、单位载荷法二、单位载荷法N( ),( ), ( )SFx M xFx 求刚架求刚架A点沿某一点沿某一 方向方向aa的位移为的位移为 。 把刚架在原有外力作用下的位移把刚架在原有外力作用下的位移(图图a)作为虚位移。由虚功作为虚位移。由虚功原理原理 N1SllllFx dlM x dFx dT x d 在单位力作用下，刚架在单位力作用下，刚

33、架的轴力、弯矩和剪力分别为的轴力、弯矩和剪力分别为 47太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院杆件轴向拉伸或压缩杆件轴向拉伸或压缩 NdlFxl 杆件的弯曲杆件的弯曲dlMx 杆件扭转杆件扭转dlTx NSllllFx dlMx dFx dTx d 48太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院例例10.8 图图a所示集中力作用于简支梁所示集中力作用于简支梁，梁跨度中点，材料的应力，梁跨度中点，材料的应力-应变关应变关系为系为 。式中。式中C为常量，为常量，和和皆取绝对值。求集中力皆取绝对值。求集中力F作用点作用点D的的铅垂位移。铅垂位移。C解：解：弯曲变形时，梁内离中性层为弯

34、曲变形时，梁内离中性层为y处的应变为处的应变为 =y由应力由应力-应变关系得应变关系得=CyC49太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院132211dA=CdAAAMyy3*2d AAIy22*1MC I引入记号引入记号横截面上弯矩为横截面上弯矩为1d, d2FxMx式中式中50太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院 故有故有22222*1dddd 4MF xxxxCICI 2xMx 232 422*dd 8256DllF xF lM xxCICI在在D点作用铅垂向下的单位力点作用铅垂向下的单位力(图图b)，其弯矩为，其弯矩为D的铅垂位移为的铅垂位移为51太原科技大学应用科

35、学学院太原科技大学应用科学学院 若材料是线弹性的，则杆件的弯曲、拉伸若材料是线弹性的，则杆件的弯曲、拉伸(或压缩或压缩)和扭转和扭转变形分别为变形分别为 ( )ddzM xxEIddNFxlEA( )dd( )PT xxGIx单位载荷法相应的位移计算公式可以写为单位载荷法相应的位移计算公式可以写为 ( )dzlM x MxxEI 1nNN iiiiFFlEA ( )d( )PlTx TxxGIx 弯曲弯曲扭转扭转桁架桁架52太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院llplNNxIExMxMxIGxTxTxAExFxFd)()(d)()(d)()(对于组合变形：对于组合变形：用上面公式求

36、解位移的方法称为用上面公式求解位移的方法称为莫尔积分法莫尔积分法或称为或称为莫尔定理莫尔定理。 若求结构上两点的相对线位移，则在这两点上沿它们的若求结构上两点的相对线位移，则在这两点上沿它们的连线作用一对方向相反的单位力，然后利用莫尔定理计算，连线作用一对方向相反的单位力，然后利用莫尔定理计算，就可以求得相对位移。若求结构上两截面的相对转角，则在就可以求得相对位移。若求结构上两截面的相对转角，则在这两个截面上作用一对方向相反的单位力偶矩，然后利用莫这两个截面上作用一对方向相反的单位力偶矩，然后利用莫尔定理计算，就可以求得相对转角。尔定理计算，就可以求得相对转角。53太原科技大学应用科学学院太原

37、科技大学应用科学学院 例例10.9 图图a所示刚架的自由端所示刚架的自由端A作用集中载荷作用集中载荷F。刚架各段的。刚架各段的抗弯刚度为抗弯刚度为EI。若不计轴力和剪力对位移的影响，试计算。若不计轴力和剪力对位移的影响，试计算A点点的垂直位移的垂直位移yA及截面及截面B的转角的转角B。解：解：(1)计算计算A点的垂直位移点的垂直位移yA 取坐标如图所示，在取坐标如图所示，在A点作用铅垂向下的单位力点作用铅垂向下的单位力(图图b)。则。则有有54太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院 1111: ,ABM xFxM xx 22: ,BCM xFaM xa 11221200ddalAM

38、x M xM x M xyxxEIEI11120011ddalFxxxFaaxEIEI3213FaFa lEI55太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院如考虑轴力对点位移的影响如考虑轴力对点位移的影响，在上式中应再增加一项，在上式中应再增加一项 11dnNNNiNi iAliiFx FxF F lFlyxEAEAEA为了便于比较，设为了便于比较，设a=l ，则，则A点因弯矩引起的垂直位移为点因弯矩引起的垂直位移为3321433AFaFlyFa lEIEI对于细长杆件，这个比值是一个很小的数值，例如当截面是对于细长杆件，这个比值是一个很小的数值，例如当截面是边长为边长为b的正方形，且的

39、正方形，且l=10b 时，以上比值变为时，以上比值变为yA1和和yA 之比是之比是2123344AAyIiyAll 56太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院( (2) )计算截面计算截面B的转角的转角B213141600AAyiyl111: ,0ABM xFxM x 22:,1BCM xFaM x2011 dlBFalFaxEIEI 显然，显然，和和yA 比较，比较，yA1 可以省略。可以省略。式中负号表示式中负号表示B的方向与所加单位力偶矩的方向相反。的方向与所加单位力偶矩的方向相反。 在截面在截面B上作用一个单位力偶矩上作用一个单位力偶矩( (图图c) )，则有则有57太原科技

40、大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院lxIExMxMd)()(lxxMxMd)()(对于等直杆，对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需计算积分，可以提到积分号外，故只需计算积分在在 和和 两个函数中，只要有一个是线性的，以上积分两个函数中，只要有一个是线性的，以上积分就可简化。就可简化。)(xM)(xM在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分58太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院llxxMxxxMxMd )(tgd )()(CxCMlxxMxMd)()(lxxMxd)(其中：其中： 代表代表 图的面积，图的面积，

41、 xC 代表代表 图中形心图中形心C的横坐标。的横坐标。)(xM)(xMtg)( xxM图示为某直杆图示为某直杆AB的的 图和图和 图。图。)(xM)(xM所以所以所以所以59太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院 右图中给出了几种右图中给出了几种常用图形的面积常用图形的面积及其及其形心位置的计算公式。形心位置的计算公式。 其中其中抛物线顶点的抛物线顶点的切线与基线平行或与基切线与基线平行或与基线重合线重合。 MCM( )M x60太原科技大学应用科学学院太原科技大学应用科学学院(2)M图和图和 图位于同侧时图位于同侧时, 为正，反之为正，反之, 为负；为负；CMCMMCMlxxMxMd)()(注意：注意：(1)图乘法仅适用于等直截面杆；图乘法仅适用于等直截面杆；(3)当当M图或图或 由几段线段组成，则应以其转折点为界，把由几段线段组成，则应以其转折点为界，把弯矩图分成几段逐段使用图乘法，然后求其代数和；弯矩图分成几段逐段使用图乘法，然后求其代数和；M(4)当杆件上当杆件上M图比较复杂，不方便应用图乘法时，用叠加