复变函数与积分变换第1章

1、第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数本章讨论复数的概念，相关的运算，几何表示；本章讨论复数的概念，相关的运算，几何表示；复变函数的概念。复变函数的概念。第一节第一节 复数及其几何表示复数及其几何表示本节给出复数的概念，表示方法本节给出复数的概念，表示方法以及相应的运算。以及相应的运算。1.1.1 1.1.1 复数的概念复数的概念1.1. 1.1. 复数在平面上的几何表示复数在平面上的几何表示1: 虚虚单单位位i 12 i即即iyxz12iix,y为为虚虚单单位位，为为实实数数，其其中中，yzxz)Im()Re(虚虚部部：实实部部：比比较较大大小小。地地，任任意意两两个个复复数数不不能能注

2、注：与与实实数数不不同同，一一般般11,431, 122ziii例例: :错误的错误的! !( (imaginary part)imaginary part)(real part)复数：复数：1.1.2 1.1.2 复数的平面几何表示复数的平面几何表示iyxz一一对应一一对应),(yx实实数数对对的的点点纵纵坐坐标标为为平平面面内内横横坐坐标标为为yx,一一对应一一对应一一对应一一对应平平面面）复复平平面面（平平面面虚虚轴轴轴轴实实轴轴轴轴zyx（1 1）点表示（复平面表示）点表示（复平面表示）iyxz0 xyxyiyxz向量表示向量表示).(20 xyxy的的向向量量一一一一对对应应。到到点

3、点与与从从原原点点复复数数iyxzoz（2）平面内向量经过平移后，对应的复数是不变的。）平面内向量经过平移后，对应的复数是不变的。注：注：对对应应的的复复数数的的向向量量终终点点为为平平面面内内起起点点为为21211zzzz ,)(12zz 1z2zxy0oz向向量量方向方向长度长度辐角辐角模模iyxz复数复数的的模模，为为复复数数的的长长度度称称向向量量zyxoz22 22yxrz 记记作作复数的模复数的模: :性质性质: :zyzxyxz,）（ 1o1z2z12zz xy12zz 21zz对对应应着着向向量量21zz 间的距离。间的距离。与与表示点表示点21zz的的几几何何意意义义：122

4、zz )(例：例：表示表示方程方程21 iz的的圆圆周周为为圆圆心心，半半径径为为平平面面内内以以点点21i 复数的辐角复数的辐角: :iyxz00 xyxy为为终终边边的的角角的的弧弧度度数数以以向向量量以以实实轴轴的的正正向向为为始始边边，ozzArg记记作作(argument:(argument:辐角辐角, ,变元变元) )的的整整数数倍倍。值值相相差差有有无无穷穷多多个个值值，每每两两个个 2Arg z的的辐辐角角称称为为复复数数ziyxz针为负角度针为负角度逆时针为正角度，顺时逆时针为正角度，顺时规定：规定：辐角主值辐角主值:00 的的辐辐角角满满足足条条件件zarg记记作作iyxz

5、00 xyxykzzArg2 arg),(210 k注注: :算算的辐角，辐角主值的计的辐角，辐角主值的计给定复数给定复数z应应的的向向量量；所所处处复复平平面面的的象象限限及及对对确确定定复复数数iyxza .;arg,(arg),2,2(arctan.zzxyb及及二二者者的的关关系系；得得到到从从图图形形上上确确定定 )., 1, 0(2arg.kkzzArgc辐辐角角,(arg),2,2(arctan zxy?arctanargxyz ,(arg),2,2(arctan zxyxyzarctanarg 在第一、四象限：在第一、四象限： xyzarctanarg在第二象限：在第二象限：

6、xyzarctanarg在第三象限：在第三象限：2arg zy正半轴：正半轴：2arg zy负半轴：负半轴： zxarg负半轴：负半轴：iz221xy2-21argz22arctg22arctanarg1 z4 kzzArg211 arg,1024 kk的的辐辐角角，辐辐角角主主值值。求求复复数数izz312i, 221例例: :O2zarg312iz -131313arctgarctg 13arctanarg2z 31 kzzArg2arg22 , 1, 0,232 kk ,2z3 1O32 iyxz三角表示式三角表示式)3(0 xyxy)sin(cosirz zyxzrarg,22但通常取

7、作辐角主值但通常取作辐角主值，只要取辐角值之一即可只要取辐角值之一即可其中，其中， ）指指数数表表示示式式（4irez sincosryrxr sincosiei 由欧拉公式：由欧拉公式：例例: :达达式式的的三三角角表表达达式式，指指数数表表求求i 31231i331 )arg(i解解: :三角表示式三角表示式: :指数表示式指数表示式: : 1.2 1.2 复数的运算复数的运算复数的运算满足实数运算的一般规律复数的运算满足实数运算的一般规律( (交换律交换律, ,结结合律合律, ,分配律分配律) )设设, ,定义运算如下定义运算如下: :加法加法: :减法减法: :乘法乘法: :除法除法:

8、 :21zz)()(12212121yxyxiyyxx21zz)()(22222211iyxiyxiyxiyx共轭运算共轭运算:iyxziyxz的的共共轭轭复复数数：复复数数性质性质: :2121zzzz2121zzzz)0(22121zzzzz) 1 (zz (2)(4)izzzzzz2)Im(2)Re(2zzz(3)zz zzIm,Rez zi258251612564)2582516)(2582516(iiz z例例设设求求解解: :)43)(43()43)(21 (iiiiz ii52 iii5225211 )5(5)5)(2(25211iiiii2516)Re(z258)Im(ziii

9、iz524321 练习13,Re( ),Im( ).1izzzzzii 设复数求与解：131izii 因为3 (1)31()(1)(1)22iiiiiiii2231315Re,Im,( )()22222zzzz 所以问题的提出问题的提出-复数的乘法，除法复数的乘法，除法的的再讨论再讨论 是否可以找到一种是否可以找到一种“简单简单”的运算规则满足：有的运算规则满足：有效的给出运算前后复数的效的给出运算前后复数的“数字特征数字特征-模，辐角模，辐角”的的变化？是否可以将乘除法运算进行推广？变化？是否可以将乘除法运算进行推广？)cos( )sin( 预备知识：预备知识： sinsincoscos c

10、ossinsincos1.2.1 1.2.1 两个复数的乘法两个复数的乘法: :1111sincos irz2222sincosirz)cossinsincos()sinsincoscos(212121212121212121 rrrrirrrrzz.)()2(, (1)21212121ArgzArgzzzArgzzzz结论结论 P3-(1.2)P3-(1.2) 注注: :等式等式(2)(2)的理解的理解所表示的辐角的全体或辐角的所表示的辐角的全体或辐角的集合相同集合相同，即左端集合中的一个元素总可在右端集合，即左端集合中的一个元素总可在右端集合中找到，反之亦成立。中找到，反之亦成立。)sin

11、()cos(212121 irr类似地类似地, ,可分析两个可分析两个复数的除法复数的除法运算运算: :1111sincosirz2222sincosirz)sin()cos(21212121 irrzz结论结论【P3-P3-（1.31.3）】.)()2( (1)21212121ArgzArgzzzArgzzzz)2)(3()3)(2)(1(iiiiiz 已知已知则则?z思考题思考题: :)()()(iiiiiz23321iiiii233212解：解：),sin(cos21 irzzz),sin(cos(irz 幂运算）：若幂运算）：若推广推广注注: :都都成成立立。此此公公式式对对于于任任意

12、意整整数数 n) 1 (.sincossincos棣棣莫莫弗弗公公式式 ninin时时，特特别别地地，当当1)2(r)2sin2(cos2212irzzz 则则)sin(cosninrznn 则则两个复数乘法两个复数乘法 的特殊情况：的特殊情况：21zz 1.2.2 1.2.2 复数的幂运算复数的幂运算1073355)sin(cos)sin(cos ii复数复数 的指数表示式？的指数表示式？例：例：解解: :1073355)sin(cos)sin(cos ii1073355)sin()(cos()sin(cos ii)sin()cos(sincos 30303535ii 6565sincosi

13、 65ie表示表示利用利用例：将例：将sin,cos3cos解解: :sinRecoscos333i 3)sin(cos3sin3cos iikkkkiC3303)sin()(cos )sinsincos(sincoscos322333 i2333sincoscoscos 表示？表示？利用利用将将思考题：思考题：sin,coscosn1.2.3 1.2.3 复数的方根复数的方根次次根根，的的为为的的复复数数称称满满足足方方程程nzwnwzwn)2, 0( 。或或记记作作nnzz1 sincos ,sincos iwirz设设)sin(cos ninwnn则则 sinsin,coscosrnrn

14、nnnr , 2, 1, 0,2kkn, 1, 0,2knk sinsin,coscosnn)2sin2(cosnkinkrzwnn )sin(cos00ninrwkn )2sin2(cos, 11ninrwkn ) 1( 2sin) 1( 2(cos, 11nninnrwnknn )2sin2(cos,nninnrwnknn 0w 111wwnkn,的圆周上的圆周上为圆心，半径为为圆心，半径为个根均匀分布在以原点个根均匀分布在以原点nrn,2, 1,0 k1,.,2 , 1 , 0 nk其其中中，n n个根是于中心在原点个根是于中心在原点, ,半径半径为为r r1/n1/n的圆的的圆的内接内

15、接正正n n边形的边形的n n个顶点个顶点. .)2sin2(cosnkinkrzwnn 1,.,2 , 1 , 0 nk其其中中，的模，的模，为复数为复数 zr值值的的辐辐角角中中的的任任意意一一个个取取为为复复数数 z 个个不不同同的的根根。共共有有次次根根的的复复数数nnz:注注: :结论：结论：zarg但通常取作辐角主值但通常取作辐角主值41i计计算算例例：解解: : 因为因为)sin(cos4421ii 所以所以41i 82 )sin(cos424424kik ),(3210 k即即)sin(cos1616280iw )sin(cos169169281iw )sin(cos16171

16、617282iw )sin(cos16251625283iw 四个根是内接于中心在原点四个根是内接于中心在原点, ,半径为半径为2 21/81/8的圆的正方形的四个顶点的圆的正方形的四个顶点. .820w2w1w3wxyi 1o的根。的根。求方程求方程例：例：014z解解: :14z移项移项, ,得得41z所求方程的根就是所求方程的根就是)0sin0(cos1i因为因为所以所以, ,420sin420cos14 kik),(3210 k思考：思考：多多边边形形的的面面积积？的的根根的的对对应应点点为为顶顶点点的的以以方方程程iz1576 68它它们们的的模模为为多多少少？共共有有多多少少个个？

17、的的复复数数满满足足等等式式zz020102011:思考题：思考题：1.3 1.3 复球面及无穷大复球面及无穷大oNxyP 对复平面内任一点对复平面内任一点z, 用用直线将直线将z与与N相连相连, ,与球面相与球面相交于交于P点点, ,则则球面上除球面上除N点外点外的所有点的所有点和和复平面上的所有复平面上的所有点点有有一一对应一一对应的关系的关系. .z zP N点在平面内对应的点在平面内对应的点可代表无穷远点点可代表无穷远点, ,记作记作 .S无穷远点无穷远点: :无限远离原点的无限远离原点的所有点所有点扩充复平面扩充复平面-复平面引进一个复平面引进一个“理想点理想点”: : 无穷远点无穷

18、远点 .),0(0aa),(0aa)(aa)0( aaa)(aaa约定约定: :球面所有点球面所有点和和扩充复平面上的所有点扩充复平面上的所有点一一对应一一对应这样的球面称作这样的球面称作复球面复球面. N点在平面内对应的点可代表无穷远点点在平面内对应的点可代表无穷远点, ,记作记作 .无意义。无意义。 ,00,0,小小 结结1.熟练掌握熟练掌握:复数的几种代数表达形式间的相互转化复数的几种代数表达形式间的相互转化.2.熟练掌握熟练掌握:计算复数的模计算复数的模,辐角辐角,辐角主值辐角主值.复数的乘法，复数的乘法，除法，幂运算，方根运算除法，幂运算，方根运算(复数的复数的n次方根有次方根有n个

19、不同取个不同取值）值）3.理解：理解：无穷远点无穷远点(与实数情形的区别与实数情形的区别).iyxz)sin(cos irz irez 第二节 复 变 函 数区域的概念；复变函数的定义；复变函数的性质2.1 区域与曲线2.1.1 区 域00z平面上以 为中心，为半径的00z称为 的的邻域,0,zz圆的内部点的集合000zzz 所确定的点集称为 的去心邻域.1.邻域： 2内点： 0GzG该邻域内的所有点都属于 ，则称 为 的内点.00GzGz设 是平面点集， 为 中任一点，如果存在 的一个邻域，3开集： GG如果 中的每一个点都是内点，称 为开集.4余集： CGGG平面上不属于 的点的全体称为

20、的余集，记做，开集的余集称为闭集.5边界： .GG的边界点全体称为 的边界0CzGG如果点 的任意邻域内既有 的点又有的点，0,zG则称 是 的边界点6孤立点： 0.zG则称 是 的一个孤立点000,zGzzG若在 的某一邻域内 外不含 的点7有界集与无界集： GG称 为有界集，否则称 为无界集.0zG如果存在一个以点为中心的圆盘包含 ，例如：G有界开集边界孤立点0z内点0z的 邻域 :|GzzR是开集； |GzzR：是闭集，|CGzzR因为它的余集：是开集；|.zRG是 的边界1连通： 设G中任何两点都可以用完全属于G的折线连接起来，则称G是连通的 2区域： 连通的开集称为区域，记为D 3闭

21、区域： 区域D与它的边界一起构成闭区域，.D记为4有界、无界区域：（如上定义） 5圆环域： 112.rzzr满足不等式的所有点构成的区域例如 有界域：0,zzR112rzzr无界域：0,zzRIm0z 角形域： 0arg z带形域： Imazb例1:201rzzr圆圆环环：0z1r2r区域直线不是区域(不是开集)|xyiyxzD2直直线线： 例试说出下列各式所表示的点集是怎样的图形，并指出哪些是区域： (1)0,zz(2)|2| 1,zi (3) 0arg.3z解： (1)20,zzx0.x 即是表示右半平面，这是一个区域(2)|2)| |( 2)| 1zizi 21.i 这表示以为中心，以为

22、半径的圆周连同其外部区域，这是一个闭区域(3) 0argarg0arg.33zzz表示介于两射线及之间的一个角形区域2.1.2 曲线 在数学上, 经常用参数方程来表示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数, 则方程组代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程z=z(t) (atb)来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.)()()(btatyytxx 例 ( )cossin(02 )zz ttitt 方程表示怎么样的曲线？cos,sinxtyt02t 圆周参数方程 解： 例 (1) 01zi tt 方程，表示怎样的曲线？021

23、tz 当时，(01)xttyt解： 直线的参数方程yx或12(1) 0101zi ttzzi ，表示过点，的直线段2光滑曲线 ( ), ( )x ty t设函数满足：1( ),( ) , x ty ta b（）在区间内连续22(2) , ( )( )0ta bx ty t当时，( )( )zx tiy t则称曲线为光滑曲线 由若干段光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线 例 解： 22,xtyt它相当于yx 可得：容易验证： 0(0)(0)0,txy当时，有0t 曲线在处不光滑，因此该曲线是分段光滑曲线 3简单闭曲线 ( ), ( )( ),z a z bzz t分别称为曲线的起点与终点( )

24、()zz tatb 若曲线，满足下列条件：(1)( )( );z az b1212( )( )ttz tz t(2)当时，有；则称这条曲线为简单闭曲线 简单闭曲线 非简单闭曲线 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？)11( ,32 tittzoxy 例4求下列方程所表示的曲线 (1)2,zi(2)22,ziz (3) Im()4.iz解： 122zii（）表示与点距离为 的点的轨迹，2i即圆心为，半径为 的圆ii2,zi2zxiyzi化为直角坐标方程：将代入中，得：()2xiyi ，22(1)2xy即：，22(1)4.xy化简得：(2)2222zizi 到 与距离相等点的轨迹22i即表示曲线是连接

25、点 和的直段的垂直平分线，yx 化为直角坐标方程为：(3) Im()4.izzxiy设，(1)izxy i那么14y代入得：，3y 即：2.1.3 单连通区域,多连通区域为为单单连连通通区区域域；，则则称称区区域域属属于于而而曲曲线线所所围围成成的的部部分分总总，内内任任作作一一条条简简单单闭闭曲曲线线是是平平面面上上一一区区域域，若若在在定定义义：设设DDDD域）。域）。多连通区域（复连通区多连通区域（复连通区不是单连通的区域称为不是单连通的区域称为单连通域多连通域单连通区域的特征：属于D的任何一条简单闭曲线，在D内可经过连续变形而缩成一点 2.2 复变函数的概念是给定的复数集，是给定的复数

26、集，设设GivuwiyxzGf 复复数数).(zfwGf 上上的的复复变变函函数数，记记作作为为定定义义在在则则称称定义2.1说明： (1)( )zwf z若 的一个值对应着 的一个值，称为单值函数，( )f z若对应着两个或两个以上个值，称为多值函数；*GzwG而对应于 中所有的一切 值组成的集合 ，称为函数值的集合.2( )Gf z（ ） 这里 称为的定义集合（定义域），2zw ivuwiyxz ,令则xyiyxiyxivuw2)(222 与与一一对对二二元元实实变变函函数数函函数数2zw 22yxu xyv2 22),(yxyxuu xyyxvv2),( xyyxvvyxyxuu2),(

27、),(22相对应.例:上上的的复复变变函函数数是是定定义义在在区区域域设设Gzfw)( ivuwiyxz,),(),(yxvvyxuu),(),()(yxivyxuzfwivu)(zfw 复变函数复变函数与与一一对对二二元元实实变变函函数数 ),(),(yxvvyxuu相对应.的讨论。的讨论。元实变函数对元实变函数对的讨论就可以转化为二的讨论就可以转化为二关于关于),(),()(yxvyxuzfw 注:令代入函数，化简得所以， 例 将下列两个二元实变函数表示为复变函数， , z z即用表示：222222(1) ( , )( , )(0)xyu x yv x yxyxyxy，(2)3.wxiy2

28、21(1),xiyzwuivxyzzz11(2)33()()222wxiyzzizzzzi解： 复变函数的几何解释(函数图像)vuyxzfw,4)(个个变变量量涉涉及及复复变变函函数数 述述函函数数的的图图像像。我我们们需需要要两两个个平平面面去去描描平平面面。平平面面与与称称为为我我们们取取两两个个平平面面，分分别别wz,)(0zGzfwz 内内取取一一点点的的定定义义域域平平面面上上函函数数如如果果在在 对对应应。平平面面上上有有相相应应的的点点在在通通过过0)(wwzfw 与与之之对对应应。平平面面上上有有相相应应的的点点集集时时，取取遍遍点点集集当当*GwGz平面z平面w0z0wG)(

29、zfw xyvu*G 例 .wz研究函数构成的映射00w zzaibwabiz平面w平面zwwz若把 平面和 平面重叠在一起，则是关于实轴的一个对称映射. 例 2214wzxywz函数将 平面上曲线映成 平面上怎样的曲线？1wz22xiyxy2222,xyuvxyxy224xy由得：,44xyuv解： 221,4x yuv消去得：2214uv224xy2.wz研究函数构成的映射 例 (1)0argzzw将 平面上角形域映射到 成怎样域？(2)1zzw将 平面上给出圆周映射到 平面成怎样曲线？111,1,22zxxyyw(3)将 平面中直线映射到 平面怎样曲线？解： （1）由乘法的模与幅角定理可

30、知： 其象是2倍角域, 20arg2z即：2(2)11zz曲线222(3)()2wxiyxyi xy因为22( , ),( , )2u x yxyv x yxy所以1zx 平面上直线代入上式，21,2uyvy 得：，214vyu 消去 得：反函数（逆映射） ( ),wf zzG设函数定义集合为 平面上的集合wG函数值集合为 平面上的集合，GwG那么中每一点 将对应 中的点，( ),Gzw按函数定义，在上确定一个函数1( )( ).wf zwfz称为的反函数或逆映射，记内内，如如果果定定义义在在设设函函数数 00)(zzzfw使使得得当当有有正正数数存存在在，对对任任意意小小的的有有复复数数,

31、0, 0 A Azfzz)(00时时，有有.)(lim)(00AzfzzzfAzz时时的的极极限限，记记作作趋趋向向于于当当为为则则称称定义2.2:)()(0zzAzf当当或记作或记作 2.3 复变函数 极限)(zfw 时时任意路径趋近于任意路径趋近于从平面内沿任意方向，从平面内沿任意方向，当当0zz注：。都要趋向于同一常数都要趋向于同一常数Azf)(),(),()(yxvyxuzfw二二元元实实变变函函数数对对复复变变函函数数?复变函数的极限的极限的极限),(),(yxvyxu问题：定理2.100000,),(),()(ivuAiyxzyxivyxuzf 设设则00),(lim),(lim)

32、(lim00000vyxvuyxuAzfyyxxyyxxzz证明:充分性成立成立设设00),(lim,),(lim0000vyxvuyxuyyxxyyxx20 uu20 vvAzf)()()(00vviuu00vvuu 所以，Azf)( 即Azfzz)(lim0时，时，当当 00zz 20200)()(yyxx当时注：（1）复变函数极限是否存在的判定方法：)(lim0zfzz存在),(lim),(lim0000yxvyxuyyxxyyxx同时存在000),(),()(iyxzyxivyxuzf设设)(lim0zfzz（2）计算复变函数极限值的方法：),(lim),(limyxviyxuyyxxyyxx0000当 z0 时的极限不存在证 令 z = x + i y, 则由此得22( , ), ( , )0.xu x yv x yxy让 (x, y)沿直线 y = k x 趋于零, 我们有22201lim.(1)1xxkxk 22)(yxxzf例 证明函数zzzf)Re()(),(lim00yxuyx220limyxxkxyx故极限 不存在, ),(lim00yxuyx的极限不存在。的极限不存在。函数函数)(zf)(lim)(lim)()(lim)1 (000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim)2(000z