第4章导热问题的数值解基础

1、第四章第四章 导热问题导热问题的数值解基础的数值解基础Basic for Numerical Methods Basic for Numerical Methods of Heat Conductionof Heat Conduction4-1 数值计算的基本思想数值计算的基本思想 数值求解数值求解通常是对微分方程直接进行数值积分或者把微通常是对微分方程直接进行数值积分或者把微分方程转化为一组代数方程组再进行求解。这里要介绍的是分方程转化为一组代数方程组再进行求解。这里要介绍的是后一种方法。后一种方法。 如何实现从微分方程到代数方程的转化又可以采用不同如何实现从微分方程到代数方程的转化又可以采

2、用不同的数学方法，如的数学方法，如有限差分法有限差分法、有限元法有限元法和和边界元法边界元法等。这里等。这里仅简要地介绍用仅简要地介绍用有限差分析方法有限差分析方法从微分方程确立代数方程的从微分方程确立代数方程的处理过程。处理过程。 有限差分法的基本思想有限差分法的基本思想是把原来在时间和空间坐标中连是把原来在时间和空间坐标中连续变化的物理量（如温度、压力、速度和热流等），用有限续变化的物理量（如温度、压力、速度和热流等），用有限数目的离散点上的数值集合来近似表达。有限差分的数学基数目的离散点上的数值集合来近似表达。有限差分的数学基础是用础是用差商差商代替代替微商微商（导数），而几何意义是用函

3、数在某区（导数），而几何意义是用函数在某区域内的平均变化率代替函数的真实变化率。域内的平均变化率代替函数的真实变化率。 导热问题一般数学描述为导热问题一般数学描述为: :边界条件).,( 0)(zyxftqttcv上述问题的解法有以下两种上述问题的解法有以下两种: :1. 1. 理论解理论解(analytical method)(analytical method): : 通过对上述方程积分求得通过对上述方程积分求得( (有限有限情况情况) )。2. 2. 数值解数值解(numerical method)(numerical method): : 用某种方式把微分方程化为关用某种方式把微分方程

4、化为关于各个离散点于各个离散点( (节点节点) )的代数方程的代数方程, ,通过解代数方程获得问题近通过解代数方程获得问题近似解的方法。似解的方法。 连续连续离散离散( (任意情况任意情况) ) 4-1 4-1 导热问题数值求解的基本思想导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立及内节点离散方程的建立 数学描述数学描述区域离散化区域离散化建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程设立迭代初场设立迭代初场求解代数方程组求解代数方程组解的分析解的分析数值求解的基本步骤数值求解的基本步骤数学描述数学描述 导热问题一般为导热问题一般为: :边界条件).,( 0)(zyxftqttcv无限

5、长棱柱（如图）导热、无限长棱柱（如图）导热、沿高度各截面的温度分布相沿高度各截面的温度分布相同，可简化为二维问题。同，可简化为二维问题。)(constbttbytthytyqxtaxxtxytyt )( 0 0 002222x ht qbtt 0aby2. 2. 区域离散化区域离散化有限差分法原理有限差分法原理 finite differencefinite difference有限元法有限元法 finite elementfinite element边界元法边界元法 boundary elementboundary element有限分析法有限分析法 finite analysisfinit

6、e analysis 网格划分网格划分 grid grid 节点节点(node): (node): 网格线交点网格线交点. .控制容积控制容积(control volume): (control volume): 节点代表的区域节点代表的区域 , ,其边界位于两其边界位于两点之间点之间. .界面界面(interface): (interface): 控制容积的边界控制容积的边界. .均分网格均分网格: :constconst yx节点编号节点编号: : 从小往大排从小往大排网格划分方法网格划分方法: : practice A practice A 先确定节点，后定界面先确定节点，后定界面 pr

7、actice B practice B 先确定界面，后定节点先确定界面，后定节点3. 3. 代数方程的建立代数方程的建立)( 0! 31! 2143,332,22, 1xxxtxxtxxtttjijijijiji（1 1）Taylor Taylor 级数展开法级数展开法 对点对点(i,j)(i,j)作作Taylor Taylor 展开展开: :)( 0, 1,xxttxtjijiji)(0 x代表二阶导数和更高阶导数之和，称为截断误差代表二阶导数和更高阶导数之和，称为截断误差一阶向前截差公式一阶向前截差公式)( 0! 31! 2143,332,22, 1xxxtxxtxxtttjijijiji

8、ji)( 0, 1,xxttxtjijiji一阶向后截差公式一阶向后截差公式3. 3. 代数方程的建立代数方程的建立)( 0! 31! 2143,332,22, 1xxxtxxtxxtttjijijijiji两式相减两式相减: :（1 1）Taylor Taylor 级数展开法级数展开法 对点对点(i,j)(i,j)作作Taylor Taylor 展开展开: :)( 0! 31! 2143,332,22, 1xxxtxxtxxtttjijijijiji)( 022, 1, 1,xxttxtjijiji一阶导数的中心差分表达式，比一阶准确一阶导数的中心差分表达式，比一阶准确)(02)(22, 1

9、, 1,22xxtttxtjijijiji代入微分方程得代入微分方程得: :0222,1,1,2, 1, 1ytttxtttjijijijijiji对于正方形网格对于正方形网格 则有则有: :yx04,1,1, 1, 1jijijijijittttt同理同理两式相加两式相加: :)(02)(221,1,22yytttytjijijiji（2 2）热平衡法（热力学第一定律）热平衡法（热力学第一定律）xttyjijiw, 10snewxttyjijie, 1yttxjijiN,1,yttyjijis,1,0)2()2(1,1, 1, 1jijijijijijitttyxtttxy说明说明: : 用

10、此方法所得的边界方程是有用此方法所得的边界方程是有O(O( x x2 2) )精度精度 解析解是温度（物理量）的连续函数解析解是温度（物理量）的连续函数 数值解得出离散点上的数值数值解得出离散点上的数值 4-2 4-2 稳态导热的数值计算稳态导热的数值计算-内节点离散方程的建立内节点离散方程的建立以常物性、无内热源的二维稳态导热为例以常物性、无内热源的二维稳态导热为例04,1,1, 1, 1jijijijijittttt)(411,1, 1, 1,jijijijijittttt和周围节点温度有关，写出每个节点的离散方程，得到方程组和周围节点温度有关，写出每个节点的离散方程，得到方程组求解方程组

11、，得到各节点的温度求解方程组，得到各节点的温度只适用于内节点，对边界节点不适用，因为有边界条件只适用于内节点，对边界节点不适用，因为有边界条件热平衡法的优点热平衡法的优点对于边界节点要根据边界条件来对于边界节点要根据边界条件来确定。确定。1) 1) 第一类边界条件第一类边界条件, , 将边界温度直将边界温度直接代入即可接代入即可, ,方程封闭。方程封闭。1. 1. 边界上离散方程的建立边界上离散方程的建立2) 2) 第二类边界条件第二类边界条件, , 设边界的热流设边界的热流密度为密度为q qww，则边界的热平衡：，则边界的热平衡：022,1,1, 1yqyttxyttxyxttwjijiji

12、jijijixy)22(411,., 1,wjijijijixqtttt 3) 3)对于第三类边界条件对于第三类边界条件, , 对控制对控制体直接应用热力学第一定律体直接应用热力学第一定律 02)2(2)2(,1,1., 1fjijijijitxhtxhttt)(, jifwtthq其他不同条件下的边界节点的离散方程：其他不同条件下的边界节点的离散方程：P89, 表表4-14P90，例题，例题4-12. 2. 节点离散方程的求解节点离散方程的求解P91 P91 直接求解直接求解 矩阵求逆矩阵求逆 消元法消元法 迭代法迭代法 GaussSeidelGaussSeidel迭代迭代 点迭代点迭代 线

13、迭代线迭代 块迭代块迭代直接求解法直接求解法 内存大内存大迭代法迭代法 使用较多使用较多线性方程组线性方程组: :injjijBtA1可以写成可以写成: :iijNijjijjijiiiBtAtAtA111iiiiiijnijnjijnjijniABAtAtAt111)1()()(上角标为计算序号上角标为计算序号, ,计算时先给出计算时先给出t ti i 的初值的初值, ,然后用上式然后用上式进行迭代。进行迭代。 终止计算的方法：终止计算的方法：)()1()()1()(max . 2max . 1kikikikikittttt给定精度 Gauss-Seidel Gauss-Seidel 迭代迭

14、代3. 3. 例题例题针肋如右图所示，碳钢针肋如右图所示，碳钢 =43.2W/(m.K)=43.2W/(m.K)，求其温度，求其温度分布及换热量。分布及换热量。 解：解：m 03141. 0 dPC 1752520000mdhddhAhPmc1 33.33442103. 033.33mH)(0mHchxHmch)(0mHthmhP1030KmW 120C 25 C 2002000htt以上是精确解，现在我们用数值方法求解：以上是精确解，现在我们用数值方法求解：该问题的数学描述为该问题的数学描述为222mdxd31222222231)2( 2xmmx或42322)2(xm节点节点2 2：同理得节

15、点同理得节点3 3节点节点4 4 用热力学第一定律，导入的热量应等于对流散出的用热力学第一定律，导入的热量应等于对流散出的热量，固有：热量，固有：4432xhPxAc网格划分如右图：网格划分如右图：x10 x1234422432xm 342222xm342242322312222222xmxmxmxdxAc212214得得: 15 ,则类似可以得如采用粗网格x232231222222xmxm三种情况的计算结果如下三种情况的计算结果如下 温度分布温度分布热量计算：热量计算： 精确解精确解 =15.06 W=15.06 W 四节点四节点 =11.94 W 21% =11.94 W 21% 三节点三

16、节点 =10.52 W 30% =10.52 W 30% 如取如取5 5 节点节点, , 则则 的误差为的误差为 19%19%X 0 10 15 20 30 175 139.5 127.9 119.7 113.4 175 139.8 120.13 113.8 175 128.13 114.29 4-3 4-3 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法 多非稳态项多非稳态项 扩散项的处理方法与前一样扩散项的处理方法与前一样空间坐标空间坐标 x x 1 1 N N x x 空间步长空间步长数学描述数学描述区域离散化区域离散化建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程求解代数方程组求解代数方程组时间坐标时间坐标 1 1 I I 时间步长时间步长（i,ki,k）代表了时间空间）代表了时间空间 区域中的一个内节点区域中的一个内节点 t tk ki i常物性一维非稳态问题，时间向前常物性一维非稳态问题，时间向前22xtat211,222)(xtttxtkikikiki温度对温度对x 的二阶导数，中心差分：的二阶导数，中心差分：温度对时间温度对时间 的一阶导数，若采用向前差分：的一阶导数，若采用向前差分：kikikittt1,)(kikikikitxattxat21121212112x