微积分(刘迎东版)11(集合与函数)

1、1数学 数学 而且是一种思维模式; 不仅是一种知识, 而且是一种素养; 不仅是一种科学, 而且是一种文化. 不仅是一种工具, 数学 23主讲主讲 邓小琴邓小琴联系方式联系方式:邮箱邮箱 办公室办公室 7110, 51682052-110手机手机学是科学的大门和钥匙数学是科学的大门和钥匙. . 培根培根4一、学科介绍及一、学科介绍及对数学的再认识对数学的再认识1.特点：特点：高度的抽象性；高度的抽象性；广泛的应用性广泛的应用性.2.研究对象：研究对象：变量和函数变量和函数.3.基本方法：基本方法：极限方法极限方法.5二、话说微积分二、话说微积分 ( (Calculus)

2、 )1. 数学的三大分支数学的三大分支分析分析 ( (Mathematical Analysis) )代数代数 ( (Algebra) )几何几何 ( (Geometry) )工科数学基础工科数学基础微积分，常微分方程：微积分，常微分方程：连续变量连续变量几何与几何与代数：代数：离散变量离散变量概率论与数理统计：概率论与数理统计：随机变量随机变量数学建模，数值计算，上机：数学建模，数值计算，上机：实验基础实验基础62. 对对微积分微积分作出巨大贡献的科学家作出巨大贡献的科学家第一阶段第一阶段(十七世纪中叶十七世纪中叶)牛顿牛顿(Newton英国人英国人, 1642-1727)莱不尼兹莱不尼兹(

3、Leibniz德国人德国人, 1646-1716)阿基米德阿基米德(古西腊数学家古西腊数学家)最早有微积最早有微积分的基本思想分的基本思想.给出微积分基本定理给出微积分基本定理-有了比较完整的有了比较完整的微积分思想微积分思想. 7第二阶段第二阶段( (十九世纪中叶十九世纪中叶) ) 柯西柯西( (Cauchy,1789-1857),1789-1857) 黎曼黎曼( (Riemann) () (德德) ) 维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯( (Weierstrass) )第三阶段第三阶段( (二十世纪初二十世纪初) ) 格拉斯曼格拉斯曼 ( (Grassman) )嘉当嘉当 ( (E.Cartan )

4、 ) 庞加莱庞加莱 ( ( Poincare, ,法国人法国人) ) 8三、教学目的三、教学目的(学好微积分的重要性学好微积分的重要性)1. 一般说，数学基础坚实，今后无论做什么一般说，数学基础坚实，今后无论做什么工工作成功的机会都会大；作成功的机会都会大； 2. 我们生活在变化的世界中。微积分既是描述我们生活在变化的世界中。微积分既是描述变化的科学语言变化的科学语言, 也提供了研究变化的方法。微也提供了研究变化的方法。微积分的发明是人类智慧的伟大成就。近积分的发明是人类智慧的伟大成就。近350年来年来, 微积分应用的范围不断扩大。现在除了传统的微积分应用的范围不断扩大。现在除了传统的在物理学

5、、工程科学的应用中起到关键作用外在物理学、工程科学的应用中起到关键作用外,特别在化学、生物学、医学、经济学、心理学特别在化学、生物学、医学、经济学、心理学和社会科学中起到了越来越大的作用。和社会科学中起到了越来越大的作用。 93. 同学们的同学们的后继课程后继课程中大量运用微积分的思想、中大量运用微积分的思想、基本概念和具体方法，以及线性代数和概率统计基本概念和具体方法，以及线性代数和概率统计，甚至更深的数学和计算方法，例如，微分方程，甚至更深的数学和计算方法，例如，微分方程 最优化最优化 变分法和变分法和Fourier分析等等。因此，你不分析等等。因此，你不愿意学也得学，否则毕不了业愿意学也

6、得学，否则毕不了业!4. 更重要的是今后工作中能否取得好成绩，往往更重要的是今后工作中能否取得好成绩，往往取决于你有没有数学地思考和分析问题的能力，取决于你有没有数学地思考和分析问题的能力，特别是用数学建模的思想和方法来观察特别是用数学建模的思想和方法来观察 分析和分析和处理问题的能力，努力学好微积分你将获得或体处理问题的能力，努力学好微积分你将获得或体会到这种能力的重要性；会到这种能力的重要性；105. 为考研作准备为考研作准备.高等数学高等数学 (82分分)线性代数线性代数 (34分分)随机数学随机数学 (34分分) 考考研研数数学学 150分分(数学数学 +外语外语+政治政治+专业课专业

7、课)11四、基本内容四、基本内容1. 内容内容一元微积分一元微积分多元微积分多元微积分级数级数常微分方程常微分方程-本学期学习本学期学习 -下学期学习下学期学习 微微积积分分微积分微积分向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何线性代数线性代数 高等数学高等数学 解析几何与线性代数解析几何与线性代数 123. 参考书参考书2. 课时课时上学期上学期166=96下学期下学期165=806学分学分5学分学分4. 本学期总评本学期总评成绩成绩:平均平均 40% (3次月考各占次月考各占10%，作业，作业+考勤占考勤占10%) 期末考试期末考试 60%答疑时间答疑时间确定后再通知确定后再通知.135

8、. 教材的处理：教材的处理：微积分微积分对开普勒问题对开普勒问题的应用部分内容，不讲的应用部分内容，不讲, 供有兴趣的同学自学供有兴趣的同学自学.14五、学习方法和要求五、学习方法和要求 (2)学习过程：学习过程：理解理解练习练习综合综合1. 学会学习学会学习(1)听课过程：听课过程：预习预习听课听课复习复习 (3)看书过程看书过程：先将书读厚（加进自己的理解）；先将书读厚（加进自己的理解）； 再再将书读薄（对知识概括总结）将书读薄（对知识概括总结）学数学最好的方式是做数学学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学习 , 天才在于积累天才在于积累 .学而优则用学而优则用 , 学而优则创学

9、而优则创 .152. 要求每人准备一个笔记本，两个练习本要求每人准备一个笔记本，两个练习本, 练习本练习本上写上上写上班级班级, 姓名姓名, 学号学号, 每周一交作业每周一交作业, 每班的科代每班的科代表收好后交给助教表收好后交给助教.3. 科代表电话号码科代表电话号码. 学习方法学习方法：Learning mathematics is doing mathematics. 要把脑、手、嘴和耳都调动起来要把脑、手、嘴和耳都调动起来。勤思考、多动手，多做题，学会和老师。勤思考、多动手，多做题，学会和老师 同学同学交流讨论交流讨论(倾听、提问、切磋倾听、提问、切磋).164. 取消学生考核资格规定

10、取消学生考核资格规定任课老师有权对该门课程中任课老师有权对该门课程中学习不认真学习不认真、不办理、不办理任何手续任何手续不到课堂听课不到课堂听课、不按要求不按要求完成实践教学完成实践教学环节的学生取消该门课程考核资格环节的学生取消该门课程考核资格. 被取消考核被取消考核资格的学生，该课程成绩记为零分，同时失去对资格的学生，该课程成绩记为零分，同时失去对该课程任课教师评价的资格该课程任课教师评价的资格. 17一、集合一、集合二、函数的概念二、函数的概念三、函数的一些重要属性三、函数的一些重要属性四、函数的运算四、函数的运算五、初等函数五、初等函数第1章 函数18具有某种特定性质的事物的具有某种特

11、定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集,Ma ,Ma 集合的表示：集合的表示： 列举法，描述法列举法，描述法. .一、集合一、集合19,2 , 1 Ae.g.,0232 xxRxB.BA 则则规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.集合间的关系集合间的关系:数集数集.RQZN Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集N-自然数集自然数集.,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx )(BA .,相相等等与与就就称称集集合合且且若若BAABBA )(BA .的的真真子子集集是是，则则称称

12、但但若若BABABA )(BA 20,是二集合是二集合、设设BA.是是全全集集I例如，例如，,10|, xxARI若若.10| xxxACI或或则则集合的运算：集合的运算：;|BxAxxBA 或或并并集集： ;|BxAxxBA 且且交交集集： ;|BxAxxBA 且且差集：差集：.)(AIACI 集集：补补余余212. 区间区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做这两个实数叫做区间的端点区间的端点.,baRba 且且bxax 称为称为开区间开区间, ,),(ba记作记作bxax 称为称为闭区间闭区间,ba记作记作oxaboxab22bxax bx

13、ax 称为称为半开区间半开区间,称为称为半开区间半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离( (线段的长度线段的长度) )称为称为区间的长度区间的长度.233. 邻域邻域:. 0, 且且是是两两个个实实数数与与设设a).,( aUo记作记作. ),( axaxaUxa a a ,邻邻域域的的去去心心点点 a. 0),( axxaUo,邻邻域域的的称称为为点点数数集集 aaxx ,叫叫做做这这邻邻域域的的中中心心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 ).,(aa

14、 ,的的右右邻邻域域点点a).,( aa,的的左左邻邻域域点点a244. 常量与变量常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对 “过程过程” 而言的而言的.通常用字母通常用字母 a, b, c 等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.用字母用字母 x, y, t 等表示等表示变变量量.,BA若若的的充充分分条条件件；称称为为则则BA.的的必必要要条条件件称称为为AB,BA 若若.,的的充充要要条条件件称称为为是是等等价价的的与与则则称称BABA是是两两个个命命题题，设设BA,25因变量

15、因变量自变量自变量.)(,000处处的的函函数数值值为为函函数数在在点点称称时时当当xxfDx 函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy f 的定义域也可记为的定义域也可记为Df .二、函数的概念二、函数的概念),(DxxfyyY 如果对于每个数如果对于每个数,Dx 1. 定义定义: 设设x和和y是两个变量是两个变量, D是一个给定的数集是一个给定的数集 变量变量y按照一定法则按照一定法则f 总有总有唯一确定的数值和它对应，则称唯一确定的数值和它对应，则称y是是x的的函数函数，记作，记作 .)(,fRDf或或或记为或记为称为函数的值域

16、称为函数的值域26()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f2. 函数的函数的两要素两要素: 定义域与对应法则定义域与对应法则.xyDW约定约定: 定义域定义域是自变量所能取的使算式有意义是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D27例例 求下列函数的定义域求下列函数的定义域:)16(log)1(2)1(xyx )12ln(2712arcsin)2(2 xxxxy解解 )1().4 , 2()2 , 1(022 xx.2 , 1()1 ,21(01 x11 x1712 x定义

17、域是定义域是定义域是定义域是012 x0162 x )2(112 x283. 分段函数：分段函数： 在定义域的不同部分上要用不同的式在定义域的不同部分上要用不同的式子来表示的函数，称为子来表示的函数，称为分段函数分段函数. 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy29 10 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当4. 几个特殊的分段函数举例几个特殊的分段函数举例1-1xyoxxx sgn3020 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶

18、梯曲线阶梯曲线x 5 . 25 2 2 . 55 9 . 77 5 5 . 2 3 . 1 xxx有有,Rx 31 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo30 狄利克雷函数狄利克雷函数3240 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg33”首字母的倒写”首字母的倒写”表示“任意”，是“”表示“任意”，是“”首字母的倒写”首字母的倒写”表示“存在”，是“”表示“存在”，是“符号：“符号：“AllExist 上上的的一一个个上上界界；在在为为上上有有上

19、上界界在在则则称称函函数数XxfKXxf)(,)(1,)(,)1(11成成立立有有若若KxfXxRKDX ,)(上上有有下下界界在在则则称称函函数数Xxf,)(,)2(22成立成立有有若若KxfXxRKDX 1. 函数的有界性函数的有界性:三、函数的一些重要属性三、函数的一些重要属性.)(2上上的的一一个个下下界界在在为为XxfK34M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x.)()(上既有上界又有下界上既有上界又有下界在在上有界上有界在在XxfXxf.,)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf,)(, 0,)3(成成立立有有若若MxfXxMDX .)

20、,max(21即可证明即可证明取取KKM 35例例.1)(xxf f(x)在在(0, 1)上上无界无界f(x)在在(1, )上上有界有界f(x)在在(0, )上上无界无界36).(1)(2在定义域内为在定义域内为函数函数xxxf A. 有上界无下界有上界无下界B. 有下界无上界有下界无上界C. 有界有界, , 且且21)(21 xf解解21)(xxxf 21|xx |2|xx 21 |)|21(2xx C解题提示解题提示将函数取绝对值将函数取绝对值, , 然后用不等式然后用不等式放缩法放缩法.21)(21 xf故故37六个常见的有界函数六个常见的有界函数, 1|sin| x,|arccos|

21、x, 1|cos| x),( x,2|arcsin| x,2|arctan| x,|cotarc| x),( x1 , 1 x382.函数的单调性函数的单调性:,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ;)(上是单调增加的上是单调增加的在区间在区间则称函数则称函数Ixf),()()1(21xfxf 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数39)(xfy )(1xf)(2xfxyoI.)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果

22、对于区间如果对于区间xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数403. 函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD ),()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf.)(为偶函数为偶函数称称xf41有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD ),()(xfxf 奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy .)(为奇函数为奇函数称称xf42:,)(证证明明关关于于原原点点对对称称的的定定义义域域设设例例Dxf使使得得函函数数及及奇奇上上的的偶偶函函数数必

23、必存存在在),()(xhxgD).()()(xhxgxf 证证),()(21)(xfxfxg 作作).()(21)(xfxfxh 则则),()()(xfxhxg )()(21)(xfxfxg )()(21)(xfxfxh ),(xg ).(xh )7(12P43(1) 不要把奇偶函数当作两个完全相反的不要把奇偶函数当作两个完全相反的(2) 奇偶性是对对称区间而言的奇偶性是对对称区间而言的,否则无从谈否则无从谈奇偶函数的运算性质奇偶函数的运算性质:(1) 奇奇(偶偶)函数的代数和仍为奇函数的代数和仍为奇(偶偶)函数函数;(2) 偶数个奇偶数个奇(偶偶)函数之积为偶函数函数之积为偶函数; 奇数个奇

24、函数的积为奇函数奇数个奇函数的积为奇函数.(3) 一奇一偶的乘积为奇函数一奇一偶的乘积为奇函数.注注概念概念.奇、偶奇、偶.444. 函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的通常说周期函数的周期周期是指其是指其最小正周期最小正周期）.,)(Dxf的的定定义义域域为为设设函函数数如如果果存存在在一一个个不不为为零零的的.)()(恒成立恒成立且且xflxf 为为周周则则称称)(xfDlxDxl )(,有有使使得得对对于于任任一一数数.)(,的的周周期期称称为为期期函函数数xfl2l 2l23l 23l45例例上且周期是可约的上且周期是可约的试证定义在试证定义在),(两周期函数两周期函数即两周期

25、的比是有理数即两周期的比是有理数)(.的和也是周期函数的和也是周期函数.6tan74tan5)(的周期的周期并求并求xxxf 解解,)()(2121TTxfxf的周期分别为的周期分别为，设设),(21互互质质且且nmNnmnmTT , 021 mTnTT令令)()()(21xfxfxF 则则)()()(21TxfTxfTxF )()(2211mTxfnTxf )()()(21xFxfxf 466tan74tan5)(xxxf 对于对于 441,4tan5)(11 Txxf 661,6tan7)(22 Txxf3221 TT.123)(1 TTxf的周期的周期所以所以471. 反函数反函数：,)

26、(,)(的的反反函函数数称称为为的的函函数数这这样样就就确确定定了了一一个个从从xfyDDf ,)(,),(yxfDxDfy 使使得得有有唯唯一一的的每每个个)(),(1Dfyyfx 记为记为四、函数的运算四、函数的运算Dxxfy ，设设)(如果如果不同的不同的x对应不同的值对应不同的值，则函数，则函数f在其定义在其定义域域D和和f(D)之间建立了一个之间建立了一个一一对应一一对应的关系的关系.)(),()(1DfyyfxDxxfy ，反函数反函数移项移项公式公式48)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(1xfy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反

27、函数的图形关于直线 对称对称.xy xxffDx )(:1.)(:)(1yyffDfy 且且反函数性质反函数性质49,uy 设设,12xu 21xy 定义定义: :,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因因变变量量y3. 复合函数复合函数：)()(xgfxgf 记为记为fgDR 严格复合条件严格复合条件50注意注意: (1) 不是任何两个函数都可以复合成一个不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的复合函数的;,arcsinuy 例例如如;22xu )2arcsin(2xy (2) 复合函数可以由两个以上的函数经过复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合构成.,2cotxy 例例如如,uy

28、 ,cotvu .2xv 复合函数是有序的复合函数是有序的.51(3) 反过来反过来,一个复杂的函数根据需要也可以一个复杂的函数根据需要也可以分解为若干简单函数的复合分解为若干简单函数的复合.,211xey ,ey ,1 u.12xv 复合函数的分解复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数复合函数拆成几个简单函数), 由函数的由函数的最外层最外层运算一层层剥到最运算一层层剥到最里边里边, 切不可漏层切不可漏层.如如uv剥皮法剥皮法52由以上两式可推测由以上两式可推测:21)(nxxxfn 由数学归纳法可证明上式成立由数学归纳法可证明上式成立.)()(23xffxf )(1)(222xfxf 2

29、31xx 22221121xxxx 例例设设,1)(2xxxf 求求 次次nxfff)(解解)()(2xffxf )(1)(2xfxf 221xx 222111xxxx 53例例.)3(,212101)(的的定定义义域域求求函函数数设设 xfxxxf解解 231 ,2130 ,1)3(xxxf 21 ,210 ,1)(xxxf 12,223,1xx1, 3 D故故54例例设设0 x，函函数数值值21)1(xxxf ，求求函函数数)0()( xxfy的的解解析析表表达达式式. 解解设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故)(2xf求求ux1 ,11)(2xxxf 2222)(11)

30、(xxxf .1124xx 55例例解解,01)( QxQxxD设设.)().21(),57(的的性性质质并并讨讨论论求求xDDDD , 1)57( D, 0)21( D, 1)( xDDoxy1有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)不是单调函数不是单调函数,56例例解解)32lg(2arcsin16251)(2 xxxxfy求函数求函数的定义域的定义域. 03202121016252xxxx 232145xxxx.45, 123 xx且且5710 幂函数幂函数)( 是常数是常数 xy oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 五、初等函数五、初

31、等函数1. 五类基本初等函数五类基本初等函数5820 指数函数指数函数),1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 特别特别5930 对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 特别特别60正弦函数正弦函数xysin xysin 定义域为定义域为),( 值域为值域为.1 , 1 11 xyO 2 2 23 2 23 240 三角函数三角函数61xycos xycos 余弦函数余弦函数定义域为定义域为),( 值域为值域为.1 , 1 11 xyO 2 2 23 2 23 25 62正切函数正切

32、函数xycot 余切函数余切函数xytan xytan xycot 定义域定义域).,( 值域值域 Znnx ,212 定义域定义域).,( 值域值域Znnx , xyO2 2 23 23 xyO 22 2 23 63三角函数常用公式三角函数常用公式;sincoscossin)sin()(1yxyxyx ;sinsincoscos)cos()2(yxyxyx ;1sincos)3(22 xx;cossin22sin)(5xxx . 1cos2sin212cossincos)4(2222 xxxxx64xyarcsin xysinArc 定义域定义域值域值域,1 , 1 .2,2 主值主值反正弦

33、函数反正弦函数xyO2 2 11 50 反三角函数反三角函数 21arcsin6 1arcsin2 65xyarccos 定义域定义域值域值域,1 , 1 ., 0 主值主值反余弦函数反余弦函数xycosArc xyO 11 3 21arccos )21arccos(32 0arccos2 66xyarctan 主值主值定义域定义域值域值域),(.2,2 反正切函数反正切函数xytanArc xyO2 2 反余切函数反余切函数xyArccot xyO2 主值主值xycotarc 定义域定义域值域值域),()., 0( 幂函数、指数函数、对数函数、三角幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角

34、函数统称为函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.67xarcsin xarccos2 2cotarctan xarcx同理可证同理可证xxarccos2arcsin 只要证只要证sin)cos(arccos x x 22)arccos2( ,arcsin ，又又 xx结论成立结论成立,arcsin)arccos2(xx )arccos2(x sin)(arcsin xx 682. 初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数, 称为

35、称为初等函数初等函数.如如)11ln(8sin3222 xaxyx)3ln(1xy 都是初等函数都是初等函数. .注注一般分段函数不叫初等函数一般分段函数不叫初等函数,不是用不是用一个式子一个式子表达出来的表达出来的.因为它因为它69,0,0, xxxxy如如 可看作分段函数可看作分段函数,是否又可看作是初等函数是否又可看作是初等函数?答答: 0,0,xxxxy2|xx 故又可看作是初等函数故又可看作是初等函数.是是! ! 由于由于702shxxeex xych xysh ),(: D奇函数奇函数.2chxxeex ),(: D偶函数偶函数.1) 双曲函数双曲函数xey21 xey 21 叠加

36、法叠加法3. 双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数双曲正弦双曲正弦双曲余弦双曲余弦xyO71 xxxchshth奇函数奇函数,),(:D有界函数有界函数,双曲正切双曲正切xxxxeeee xyO72双曲函数常用公式双曲函数常用公式;)(chxshyshxchyyxsh ;)(shxshychxchyyxch ;122 xshxch;22shxchxxsh .222xshxchxch 732) 反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,),(: D内内在在),(xyarsh )1ln(arsh2 xxxy yxsh由由可得可得 反双曲正弦反双曲正弦yxsh 是是的反函数的反函数,2yyee 单调增加单调