数理统计8-假设检验1

1、二、单个正态总体均值和方差二、单个正态总体均值和方差一一 、参数的假设检验、参数的假设检验 第四章 假设检验的假设检验的假设检验三、两个正态总体均值相等和方差相等三、两个正态总体均值相等和方差相等 的假设检验的假设检验例例怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？罐装可乐的容量按标准应是罐装可乐的容量按标准应是355355毫升毫升. .通常的办法是进行抽样检查通常的办法是进行抽样检查. . 每隔一定时间，抽查若干罐每隔一定时间，抽查若干罐 . . 如每隔如每隔1 1小时，抽查小时，抽查5 5罐，罐，得得5 5个容量的值个容量的值X X1 1，X X5 5，根据

2、这些值来判断生产是，根据这些值来判断生产是否正常否正常. . 很明显，不能由很明显，不能由5 5罐容量的数据，在把握不大的情罐容量的数据，在把握不大的情况下就判断生产况下就判断生产 不正常，不正常，也不能总认为正常，也不能总认为正常，有了问题不能及时发现，这也要造成损失有了问题不能及时发现，这也要造成损失. . 如何处理这两者的关系，假设检验面对的就如何处理这两者的关系，假设检验面对的就是这种矛盾是这种矛盾. . 在正常生产条件下，由于种种随机因素在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，每罐可乐的容量应在的影响，每罐可乐的容量应在355355毫升上下毫升上下波动波动. . 这些因素中没有哪一

3、个占有特殊重要这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位的地位. . 因此，根据中心极限定理，假定每因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的罐容量服从正态分布是合理的. .现在我们就来讨论这个问题现在我们就来讨论这个问题. .称称H H0 0为原假设为原假设（或零假设）；（或零假设）；H H1 1为备选假设为备选假设（或对立假设）（或对立假设）. .在实际工作中，在实际工作中，往往把不轻易往往把不轻易否定的命题作否定的命题作为原假设为原假设. . 0 H H0 0：（ = 355 = 355）0H H1 1：0 X1, , X5是取自正态总体是取自正态总体的样本，的样本，),(2

4、N是一个常数是一个常数. . 2 当生产比较稳定时，当生产比较稳定时，检验假设：检验假设：可从历史资料获得可从历史资料获得 的值的值 . . 那么，如何判断原假设那么，如何判断原假设H H0 0 是否成立呢？是否成立呢？较小时，可以认为较小时，可以认为H0是成立的；是成立的；当当X- |0 生产已不正常生产已不正常.当当较大时，应认为较大时，应认为H0不成立，即不成立，即- |X|0 问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质. .差异可能是由抽样的随机性引起的，称为差异可能是由抽样的随机性引起的，称为“抽样误差抽样误差”或或 随机误差随机误差这种误差

5、反映偶然、非本质的因素所引起的随机波动这种误差反映偶然、非本质的因素所引起的随机波动. .然而，这种随机性的波动是有一定限度的，然而，这种随机性的波动是有一定限度的，如果差异超过了这个限度，则我们就不能用抽样的如果差异超过了这个限度，则我们就不能用抽样的随机性来解释了随机性来解释了. .必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映了生产已不正常反映了生产已不正常. .这种差异称作这种差异称作“系统误差系统误差”是是“抽样误差抽样误差”还是还是“系统误差系统误差”所引起的？所引起的？根据所观察到的差异，根据所观察到的差异，这里用到人们在实践中普遍采用的一个

6、原则：这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：小概率事件在一次试验中基本上小概率事件在一次试验中基本上不会发生不会发生 .实际推断原理（小概率原理）实际推断原理（小概率原理）通过大量实践，通过大量实践， 人们对小概率事件（即在一次试验中发人们对小概率事件（即在一次试验中发生的概率很小的事件）总结出一条原理：生的概率很小的事件）总结出一条原理：小概率事件在一次试验中几乎不会发生小概率事件在一次试验中几乎不会发生并称此为实际推断原理，并称此为实际推断原理， 其为判断假设的根据。其为判断假设的根据。在假设检验时，在假设检验时，若一次试验中小概率事件发生了，就若一次试验中小概率事件发生了，就认为是不合

7、理的。认为是不合理的。 小概率事件在一次试验中发生的概率小概率事件在一次试验中发生的概率记为记为，一般取，一般取1 . 001. 005. 0在假设检验中，称小概率在假设检验中，称小概率为显著水平、检验水平。为显著水平、检验水平。一、假设检验的思想方法一、假设检验的思想方法信息看在信息看在H0成立下会不会发生矛盾。成立下会不会发生矛盾。最后对最后对H0成立成立与否作出判断：与否作出判断：中居然发生，中居然发生，若小概率事件发生了，若小概率事件发生了， 则否定则否定H0。若不发生，则接受若不发生，则接受H0，并称并称 H0相容。相容。概率反证法的逻辑是：概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在一次试

8、验如果小概率事件在一次试验我们就以很大的把握否定原假设我们就以很大的把握否定原假设. .假设检验使用的方法是概率论的反证法：假设检验使用的方法是概率论的反证法：即先对所关心的问题提出原假设即先对所关心的问题提出原假设 H0 , 然后运用样本然后运用样本 不否定不否定H0并不是肯定并不是肯定H0一定对，而只是一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定说差异还不够显著，还没有达到足以否定H0的程度的程度 .所以假设检验又叫所以假设检验又叫“显著性检验显著性检验”由于作出结论的依据是下述由于作出结论的依据是下述小概率原理小概率原理小概率事件在一次试验中基本上不会发生小概率事件在一次试验中基本

9、上不会发生 .不是一定不发生不是一定不发生 如果如果H0成立，但统计量的实测值落入否定域，从成立，但统计量的实测值落入否定域，从而作出否定而作出否定H0的结论，那就犯了的结论，那就犯了“以真为假以真为假”的错误的错误 . 如果如果H0不成立，但统计量的实测值未落入否定域，不成立，但统计量的实测值未落入否定域，从而没有作出否定从而没有作出否定H0的结论，即接受了错误的的结论，即接受了错误的H0，那就，那就犯了犯了“以假为真以假为真”的错误的错误 .两类错误：假设检验会不会犯错误呢两类错误：假设检验会不会犯错误呢 假设检验的两类错误假设检验的两类错误H H0 0为真为真实际情况实际情况决定决定拒绝

10、拒绝H H0 0接受接受H H0 0H H0 0不真不真弃真弃真正确正确正确正确取伪取伪 P P 拒绝拒绝H H0 0| |H H0 0真真= ,= , P P 接受接受H H0 0| |H H0 0不真不真= .= . 犯两类错误的概率犯两类错误的概率: : 显著性水平显著性水平 为犯第一类错误的概率为犯第一类错误的概率. .P P 第一类错误第一类错误=P P 第二类错误第二类错误=何控制两类错误的概率的检验问题为例说明如值已知，方差以正态总体22),( NX），（ 100NnXU0100:HH对给定的显著性水平对给定的显著性水平，H H0 0关于关于 的接受域：的接受域：X),2/02/

11、0nunu（H0关于关于 的拒绝域：的拒绝域：U2|uu 把本来正确的东西给丢弃了这就范了把本来正确的东西给丢弃了这就范了“弃真弃真”的错误，的错误，其概率是其概率是2/0uUPHxP的拒绝域P拒绝拒绝H0| 真真=00:H正确。不真，）在（01100:2HH而结论是：若而结论是：若 落在落在H0的接受域内，就接受的接受域内，就接受H0，x但结论是：若但结论是：若 落在落在H0的拒绝域内，就拒绝的拒绝域内，就拒绝H0，x（1）在）在H0正确的情况下，正确的情况下， 落在落在R上的每一点都是可能的上的每一点都是可能的x范了范了“取伪取伪”的错误，的错误，）（）（正确接受2102102)(1022

12、12/02/021ununxdenHPnxnunu 注意：积分区间长度不变：注意：积分区间长度不变：,22/nu 但积分区间的中心但积分区间的中心0,/10故：nn（2 2）要同时降低两类错误的概率要同时降低两类错误的概率 或者要在或者要在 不变的条件下降低不变的条件下降低 ，需要增加样本容量，需要增加样本容量. . , （1 1）当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致）当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加另一类错误概率的增加. .因因 减少，积分区间长度：减少，积分区间长度：变大变长，nu2/2xdenPnxnunu2212/02/02)(21取伪 实际问题中，我们

13、希望两类错误都能得到控制。一实际问题中，我们希望两类错误都能得到控制。一般多是控制第般多是控制第I I类错误的概率到适当程度而不管第类错误的概率到适当程度而不管第II II类类错误的大小，这种检验叫显著性检验。错误的大小，这种检验叫显著性检验。4.2 单个正态总体均值与方差的假设检验单个正态总体均值与方差的假设检验设总体设总体),(2NXnXXX,21为为X的样本。的样本。我们对我们对,2 2作显著性检验作显著性检验一、总体均值一、总体均值的假设检验的假设检验1、已知、已知2 2，检验，检验00:H01:H（H1可以不写）可以不写）其中其中0 0是已知常数，是已知常数，在实际工作中，往往把不轻

14、易否定的命题作为原假设在实际工作中，往往把不轻易否定的命题作为原假设. . 提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设 第一步：第一步：1.1.已知已知),(2NX2 已知，已知，第二步：第二步：取统计量，在取统计量，在H H0 0成立下求出它的分布成立下求出它的分布) 1,0(0NnXZ第三步：第三步：查表确定临界值查表确定临界值, ,使使|2ZZP对给定的显著性水平对给定的显著性水平0100:HH检验假设检验假设的过程分为五个步骤：的过程分为五个步骤：0100:HH),(2Z),(2Z或或得得H0否定域否定域2Zk 第四步：第四步：将样本值将样本值 代入算出统计量代入算出统计量nxxx,21

15、1 . 001. 005. 0选择假设选择假设H1 表示表示Z Z可能大于可能大于0 0，也可能小于，也可能小于0 0。这称为双边假设检验。这称为双边假设检验。nxZ00由于取用的统计量服从由于取用的统计量服从 Z(U)Z(U)分布，分布，第五步：判断第五步：判断20|ZZ则否定则否定H0，接受，接受H120|ZZ则则H0相容，接受相容，接受H0故称其为故称其为Z(U) 检验法。检验法。0 x)(x22z2z例例1 某车间生产铜丝，某车间生产铜丝，X的大小。的大小。铜丝的主要质量指标是折断力铜丝的主要质量指标是折断力由资料可认为由资料可认为)8 ,570(2NX今换了一批原料，今换了一批原料，

16、从性能上看，从性能上看， 估计折断力的方差不会有变换，估计折断力的方差不会有变换， 但不知但不知折断力的大小有无差别。折断力的大小有无差别。解解 方差已知方差已知228570:1H抽出抽出10个样品，测得其折断力（斤）为个样品，测得其折断力（斤）为584596572570570572568570578572进行检验。进行检验。提出假设提出假设570:0H（ =0.05=0.05）第一步：第一步：第二步：第二步：取统计量，在取统计量，在H H0 0成立下求出它的分布成立下求出它的分布) 1,0(108570NXZ第三步：第三步：查表确定临界值查表确定临界值, ,使使|2ZZP对给定的显著性水平对

17、给定的显著性水平96. 12ZZ得得H0否定域否定域2Z第四步：第四步： 将样本值将样本值 代入算出统计量代入算出统计量nxxx,2105. 02 .575x96. 1055. 28102 . 51085702Zxz96. 1025. 02 ZZ第五步：判断第五步：判断说明小概率事件竟在一次试验中发生了，说明小概率事件竟在一次试验中发生了，故否定故否定H0.可以接受可以接受H1。2、未知、未知2 2，检验，检验00:H01:H（H1可以不写）可以不写）未知未知2 2，可用样本方差，可用样本方差212)(11nkkXXnS代替代替2 2检验步骤检验步骤提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设 0

18、100:HH第一步：第一步：第二步：第二步：取一检验统计量，在取一检验统计量，在H H0 0成立下求出它的分布成立下求出它的分布) 1(0ntnSXT第三步：第三步：查表确定临界值查表确定临界值) 1(2nt, ,使使对给定的显著性水平对给定的显著性水平确定确定H0的否定域。的否定域。1 . 001. 005. 0即即“ ”“ ”是一个小概率事件是一个小概率事件 . . ) 1(|2ntT)1(|2ntTP)1(,(2nt), ) 1(2nt或或由于取用的统计量服从由于取用的统计量服从t t分布，分布，第四步：第四步：得得 H0否定域否定域将样本值将样本值 代入算出统计量代入算出统计量nxxx

19、,21nSxT00第五步：判断第五步：判断) 1(|20ntT则否定则否定H0，接受，接受H1) 1(|20ntT则则H0相容，接受相容，接受H0故称其为故称其为t 检验法。检验法。抽取抽取6 6件件, , 得尺寸数据如下得尺寸数据如下: :),(2NX232.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.0332.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03问这批产品是否合格问这批产品是否合格? ?某工厂生产的一种螺钉，某工厂生产的一种螺钉， 标准要求长度是标准要求长度是32.532.5毫米毫米. .实际生产的产品其长度实际生产的产品其长

20、度 X X 假定服从正态分布假定服从正态分布 ，未知，未知， 现从该厂生产的一批产品中现从该厂生产的一批产品中例例2 2（ =0.01=0.01）提出假设提出假设5 .32:5 .32:10HH解解 已知已知2 未知未知. .),(2NX取一检验统计量，在取一检验统计量，在H H0 0 成立下求出它的分布成立下求出它的分布)5(65 .32tSXT01. 0得否定域得否定域0322. 4)5(2/0tT对给定的显著性水平对给定的显著性水平查表确定查表确定故不能拒绝故不能拒绝H H0 0 . .将样本值代入算出将样本值代入算出 T T0 0的值的值, ,没有落入没有落入拒绝域拒绝域0322. 4

21、997. 20T正态总体均值的假设检验小结正态总体均值的假设检验小结的检验均值单个总体一),(.2NX检验）的检验（已知，关于Z2.1），（ 1000NnXZH0100:HHH0接受域接受域20|ZZ检验）的检验（未知，关于t2.20100:HH) 1(00ntnSXTH)1(|20ntTH0接受域接受域0 x)(x2) 1(2nt) 1(2nt测量值测量值X X服从正态分布服从正态分布, ,取取 =0.05=0.05 )? )?解解: : 提出假设提出假设 H H0 0： = =112.6112.6；H H1 1：112.6112.6) 1(0ntnSXT用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底

22、温度用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度, ,重复测量重复测量7 7次，测得温度次，测得温度():():112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6而用某种精确办法测得温度为而用某种精确办法测得温度为112.6(112.6(可看作真值可看作真值),),试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差( (设温度设温度因为未知方差因为未知方差2 2，故采用，故采用t t检验法。检验法。取统计量取统计量例例3 34469. 2)6() 1(02

23、5. 02tnt查表查表由样本算得由样本算得这里这里466. 0|7135. 16 .1128 .112|0TH H0 0相容，接受相容，接受H H0 0。22135. 18 .112Sx4469. 2)6(025. 0t即即用热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差。用热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差。由于由于S2为为2 2的无偏估计，自然想用的无偏估计，自然想用S2与与2 2进行比较进行比较若若22/S过大或过于接近过大或过于接近0， 则说明则说明2 2 偏离偏离0 02 2较大。较大。因此有理由否定因此有理由否定H0。三、关于三、关于2 2假设检验假设检验在显著性水平在显著性水平 条件下检验假设

24、条件下检验假设0100:HH其中其中0 0是已知常数，是已知常数，取统计量取统计量).1()(222nXXk222) 1(Sn提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设 第一步：第一步：第二步：第二步：取一检验统计量，取一检验统计量，第三步：第三步：查表确定临界值查表确定临界值对给定的显著性水平对给定的显著性水平确定确定H0的否定域。的否定域。1 . 001. 005. 00100:HH2022) 1(Sn).1()(22020nXXHk)(22n2 yfx)(221n2) 1(),1(212nn或或H0否定域否定域) 1(2212n) 1(222n第四步：第四步：在样本值在样本值nxxx,21

25、下计算下计算20220) 1(Sn第五步：判断第五步：判断若若) 1(22120n) 1(2220n或或则否定则否定H0。若若20221) 1(n) 1(22n则接受则接受H0。例例1 已知某种延期药静止燃烧时间已知某种延期药静止燃烧时间T,),(2NT今从一批延期药中任取今从一批延期药中任取10副测得静止燃烧时间（单位副测得静止燃烧时间（单位秒）数据为秒）数据为3804. 1857. 13836. 14059. 13405. 13424. 14021. 13789. 14053. 13760. 1问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为的方差为)05

26、. 0(.025. 022我们的任务是根据所得的样本值检验我们的任务是根据所得的样本值检验221220025. 0:025. 0:HH提出假设提出假设第一步：第一步：第二步：第二步：取统计量，取统计量，第三步：第三步：查表确定临界值查表确定临界值对给定的显著性水平对给定的显著性水平05. 02022) 1(Sn).1()(2202nXXk221220025. 0:025. 0:HH7 . 2) 9 () 1(2975. 0221n023.19) 9 () 1(2025. 022n或或得得 H0否定域否定域) 1(2212n) 1(222n解解根据样本值算得根据样本值算得6176. 7025.

27、0023. 092220023.197 . 220则则H0相容，接受相容，接受H0 。2025. 0可信这批延期药的静止燃烧时间可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为的方差为显然显然第四步：第四步：第五步：判断第五步：判断（ =0.05=0.05）解解: : 提出假设提出假设某次统考后随机抽查某次统考后随机抽查2626份试卷份试卷, , 测得平均成绩测得平均成绩: :试分析该次考试成绩标准差是否为试分析该次考试成绩标准差是否为已知该次考试成绩已知该次考试成绩取统计量取统计量例例2 2查表查表分分，样本方差1625 .752Sx分左右。12),(2NX12:12:100HH).1()(2202n

28、XXk2022) 1(Sn12.13)25(2975. 0646.40)25(2025. 0根据样本值算得根据样本值算得125.281216225220646.4012.1320则则H0相容，故接受相容，故接受H0 。显然显然表明考试成绩标准差与表明考试成绩标准差与12无显著差异。无显著差异。关于关于2 2假设检验假设检验已知，已知，0100:HH其中其中0 0是已知常数，是已知常数，取统计量取统计量).()(220220nXHk),(2NX或或H0否定域否定域)(2212n)(222n，设),(),(222211NYNXYX和分别是分别是且且X X与与Y Y独立独立, ,X X1 1, ,X

29、 X2 2,1nX是取自是取自X X的样本的样本, ,取自取自Y Y的样本的样本, ,分别是样本方差分别是样本方差, ,均值均值, ,2221SS 和1. 1. Y Y1 1, ,Y Y2 2,2nY是是样本样本2122221未知时，设i提出假设提出假设 H H0 0： 1 1= = 2 2 ；H H1 1： 1 1 2 2 四四. . 检验两正态总体均值相等检验两正态总体均值相等的无偏估计为其中22122221122) 1() 1(nnSnSnSw取统计量，取统计量，)2(|212nntT拒绝域的形式拒绝域的形式对给定对给定查表确定查表确定)2(1111)(212121210nntSnnYX

30、SnnYXTwHw1. 1. 22221未知时，设i提出假设提出假设 H H0 0： 1 1= = 2 2 ；H H1 1： 1 1 2 2 则否定则否定H0，接受，接受H1则接受则接受H0)2(|212nntT若)2(|212nntT若即认为两个正态母体均值无显著差异即认为两个正态母体均值无显著差异即认为两个正态母体均值有显著差异，显著性水平即认为两个正态母体均值有显著差异，显著性水平为为由样本值由样本值 代入算出统计量代入算出统计量,wsyx，wSnnYXT2111已知时，i. 2) 1 , 0(/)(222121NnnYXU2/uU H H0 0： 1 1= = 2 2 ；H H1 1：

31、 1 1 2 2 取统计量取统计量提出假设提出假设), 0(222121nnNYX拒绝域的形式拒绝域的形式给定显著性水平给定显著性水平，设),(),(222211NYNX且且X与与Y独立独立,1. 2122221未知时，设i提出假设提出假设 检验两正态总体均值之差检验两正态总体均值之差210:H211:H取统计量取统计量)2(1121210nntSnnYXTHw)2(|212nntT拒绝域的形式拒绝域的形式给定给定算出统计量算出统计量则否定则否定H0，接受，接受H1则接受则接受H0wSnnYXT2111)2(|212nntT若)2(|212nntT若即认为两个正态母体均值无显著差异即认为两个正

32、态母体均值无显著差异21012注意注意 在关于在关于的假设检验中的假设检验中, , 通常遇到的情况是通常遇到的情况是，即检验，即检验与与是否相等是否相等. . 20118212.68x65.58y1 . 0例例3 3 某苗圃用两种育苗方案对杨树进行育苗试验某苗圃用两种育苗方案对杨树进行育苗试验, , 已知在两组育苗试验中苗高的标准差分别为已知在两组育苗试验中苗高的标准差分别为cm, cm, cm. cm. cm, cm, 设杨树苗高服从正态分布设杨树苗高服从正态分布, , 试在显著性水平试在显著性水平下下, , 判断两种试验方案对平均苗高有无显著影响？判断两种试验方案对平均苗高有无显著影响？现各抽取现各抽取80株树苗作为样本株树苗作为样本, 算得苗高的样本均值分别为算得苗高的样本均值分别为cm.XY)20,(21NX)18,(22NY210:H211:H) 1 , 0(0222121NnnYXUH解解 设第一种方案的苗高为设第一种方案的苗高为第二种方案的苗高为第二种方案的苗高为则则, , 检验假设检验假设选取检验统计量选取检验统计量 该拒绝域为该拒绝域为2222121znnyxu1 . 0645. 105. 02 zz8021 nn12.68x65.58y201182U15. 38018802065.5812