第5章 特殊随机变量

1、第第5章章 典型的随机分布典型的随机分布东华大学理学院内容提要内容提要5.1 二项分布5.2 泊松分布5.3 超几何分布5.4 均匀分布5.5 正态分布5.6 指数分布5.8 正态分布产生的分布5.1 二项分布二项分布l实例掷10枚硬币，正面朝上的硬币数；定点投篮5次，投中的次数；旅店预订出320个房间，不来入住的房间数；.5.1 二项分布二项分布l伯努利伯努利(Bernoulli)试验试验：在一次试验中，其结果可以归为“成功”和“失败”两类。l伯努利分布：伯努利分布：5.1 二项分布二项分布l例：掷5枚骰子，求其中正好出现2个“6点”的概率？正好出现k个“6点”的概率？l假设：5枚骰子独立同

2、分布。l对于每个骰子， s-出现“6点”, f-不出现“6点”。 P(s)=p=1/6, P(f)=5/6l正好出现2个“6点”的概率正好k个6点的概率k=0,1, 55.1 二项分布二项分布l二项分布二项分布：伯努利试验“成功”的概率每次都为p, 这样独立进行n次，那么“成功”的总次数X服从参数为(n, p)二项分布 ，记为XB(n,p)。l二项分布的质量函数：二项分布的质量函数：5.1 二项分布二项分布5.1 二项分布二项分布5.1 二项分布二项分布5.1 二项分布二项分布l单调性单调性P(X=i)当i(n+1)p递减。l用用Excel计算计算概率质量函数概率质量函数Binomdist(i

3、,n,p,0)分布函数（累计质量函数）分布函数（累计质量函数）Binomdist(i,n,p,1)5.1 二项分布二项分布l例1 某公司生产的光碟次品率为0.01，每个光碟之间是相互独立的。公司卖出光碟10个一盒，并保证如果每盒中超过1张次品碟就全额退款。问退款的概率有多大？如果某人买三盒，问恰退货一盒的概率有多大？l答案：0.004266，0.012695.1 二项分布二项分布l例2 假设一家计算机硬件制造商生产的芯片10%为次品。如果我们订100个这样的芯片，令我们收到的次品芯片数量为X，则X是一个二项随机变量吗？l条件独立性(每个芯片是否次品相互独立)；重复性（每个芯片是次品的概率10%

4、）。5.1 二项分布二项分布l二项分布的伯努利分解二项分布的伯努利分解：设XB(n, p)，那么其中Xi相互独立，且为相同的伯努利分布l数学期望和方差数学期望和方差：设X B(n, p) ，那么l可加性可加性: 如果X与Y独立, 且XB(n, p)，YB(m,p)，那么X+YB(n+m, p) 。习题习题lP128 ex2, ex5, ex65.2 泊松分布泊松分布l实例某个地区一周内发生的交通事故数；某个网页一天的访问量；银行网点10分钟的顾客数；一页书的印刷错误数;.5.2 泊松分布泊松分布l称随机变量X服从参数为的泊松泊松(Poisson)分分布布，如果X只取非负整数值0,1,2，且其概

5、率质量函数为l单调性单调性： i 时递减。lExcel计算计算：概率质量函数Poisson(i, , 0)分布函数Poisson(i, , 1)5.2 泊松分布泊松分布 =45.2 泊松分布泊松分布l泊松分布矩母函数l泊松分布数学期望和方差5.2 泊松分布泊松分布l二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似：设XB(n, p) 。当n很大p很小时，其分布近似于参数为 =np的泊松分布，即l证明：5.2 泊松分布泊松分布l例(1)某微信群有20人，每人在1小时内发言的概率为0.1，且相互独立。求1小时内发言人数超过3人的概率。l解：二项分布l(2)某微信群有200人，每人在1小时内发言的概率为0.01

6、，且相互独立。求1小时内发言人数超过3人的概率。l解：用泊松分布近似5.2 泊松分布泊松分布l例3 假设某段高速公路平均每周发生的事故数为3。计算一周至少发生一起事故的概率。5.2 泊松分布泊松分布l泊松分布的可加性泊松分布的可加性: 独立的泊松随机变量之和仍为泊松随机变量. l具体地说，设X1和X2为相互独立的泊松随机变量，它们的均值分别为1和2, 那么X1+X2为均值是1+2的泊松随机变量。l证明：利用矩母函数。5.2 泊松分布泊松分布l例 4 如果保险公司平均每天处理的索赔数量是5，且不同天的索赔数量是相互独立的。问：从长期来看，索赔数量小于3件的天数所占的比例是多少？ 5天中恰好有3天

7、的索赔数量是4件的概率是多少？ 5天中索赔数量总数是12件的概率是多少？例例5设随机变量)4(),2() 1( , )(XPXPXPPX求且习题习题lP256 ex11, ex13, ex165.3 超几何分布超几何分布l模型：一个盒子里有N只白球，M只黑球。随机选取(没有重复) n只，则取得的白球数服从超几何分布。l称随机变量X服从参数为(N, M, n)的超几何分超几何分布布，如果概率质量函数为5.2 超几何分布超几何分布l用Excel计算组合数Combin(N,i)概率质量函数Hypgeomdist(i,n,N,N+M)l例 = Combin(15,4)=15141312/24=1365

8、 = Hypgeomdist(4,6,15,20)=0.352175.3 超几何分布超几何分布l例6 从20个有用的组件中随机地选出6个组件，组成了一个6个组件系统。当6个组件中至少有4个组件合格，则所组成的系统能够运作。如果20个组件中有15个组件合格，那么所组成的系统能够运作的概率为多少？5.3 超几何分布超几何分布l设随机变量X服从参数为(N, M, n)的超几何分超几何分布布，则l其中p=N/(N+M)l证明参照第4章习题33.5.3 超几何分布超几何分布l模型：一个盒子里有N只白球，M只黑球。独立重复随机选取n只（取一个记颜色后放回再取下一个），取得的白球数服从什么分布？l答：二项分

9、布B(n, N/(N+M)l超几何分布的二项分布近似：当N和M比起n大很多，参数为(N, M, n)的超几何分布近似超几何分布近似于于B(n, N/(N+M) 。5.3 超几何分布超几何分布l模型：设有两个盒子都有大量白球和黑球，其中白球的比例都为p，现从两个盒子分别取n, m只球。那么两个盒子取出的白球数分别服从B(n,p)和B(m,p)。l问题：若已知两个盒子取出的白球数之和是k, 问第一个盒子取出的白球数服从什么分布？l答：参数为(n, m, k)的超几何分布超几何分布例例7假设X，Y相互独立),(),(pmBYpnBX计算)|(kYXiXP习题习题lP129 ex18, ex205.4

10、 均匀分布均匀分布定义：定义：设随机变量X在区间, 上等可能取值，则其密度函数称为区间, 上的均匀均匀分布分布。均匀分布密度函数5.4 均匀分布均匀分布性质（1）均匀分布的分布函数为xxxxxF10)(（2）的长度),()(IIXP5.4 均匀分布均匀分布例8 公交车上午7点出发每隔15分钟在某站停靠一次，也就是说在该站的停靠时间为7:00,7:15,7:30,7:45等等. 如果一个乘客到达该站的时间在7:00和7:30之间并且服从均匀分布，解出他等待公交的时间的概率(a) 等待公交的时间小于5分钟；(b) 等待公交的时间至少为12分钟。7：007：157：305.4 均匀分布均匀分布l数学

11、期望和方差：设X服从区间, 上的均匀分布，那么5.4 均匀分布均匀分布二维均匀分布：随机变量X, Y在二维区域R上服从均匀分布如果它们的联合密度函数在区域R上为常数，在区域R外为0。其密度函数：其中c为区域R的面积的倒数。的面积的面积RRDDYXP),(5.4 均匀分布均匀分布l例9（第4章习题13, 三角形上的均匀分布）给定X和Y的联合密度函数为：(a) 计算X的密度函数；(b) 计算Y的密度函数； (c) X和Y是否独立？习题习题lP130, ex21, ex225.5 正态分布正态分布l实例学生考试成绩；测量误差；成年男性的身高和体重；上海的年平均气温；通讯中的噪声干扰信号；5.5 正态

12、分布正态分布l定义：一个随机变量称为服从参数为和2的正态分布正态分布,记为X N(, 2), 若其密度函数为l数学期望和方差数学期望和方差 EX=, Var(X)=2l特别地，标准正态分布特别地，标准正态分布N(0,1)5.5 正态分布正态分布l命题1：（正态随机变量的线性函数仍是正态分布）设X N(, 2), 那么对任意a, b0, Y=a+bXN (a+b, b22).l推论（正态随机变量的标准化）设X N(, 2), 则 5.5 正态分布正态分布l正态分布的计算(查表)转化为标准正态分布查标准正态分布函数表 (x), x0利用标准正态的对称性 (-x)=1- (x). l利用Excel(

13、x)=Normsdist(x)5.5 正态分布正态分布例10 若X为一均值为3，方差为16的正态随机变量，求：(a) PX-1;(c) P2X7.5.5 正态分布正态分布：如果数据集是近似近似正态的，且样本均值和样本标准差分别为约68%的数据值在 内。约95%的数据值在 内。约99.7%的数据值在 内。5.5 正态分布正态分布l例11 假设有一种二进制消息，即由0或1构成的，需要使用电报从A传送到B。 但是，由于存在信道噪声的干扰，从而可能会出现传输错误，拍电报时，如果消息是1，则发送2，如果消息是0，则发送-2，设在A 处发送的是x(x=2或-2)，则在B处收到R，这里R=x+N，N是信道噪

14、声干扰。接收端B收到消息R后，按如下规则进行译码：若若R 0.5，则译为，则译为1; 若若R0.5，则译为，则译为0l设N是一标准正态随机变量时，求译码错误的概率。0.0668, 0.0062l如果直接发送消息码，错误概率多大？0.3, 0.35.5 正态分布正态分布l正态分布的矩母函数l证：5.5 正态分布正态分布l命题2 （独立正态随机变量的和仍是正态分布）假设 相互独立，且 ，则l推论：独立正态随机变量的线性函数仍是正态分布5.5 正态分布正态分布例12 根据美国国家海洋与大气委员会的统计数据显示洛杉矶的年降雨量是一个均值为12.08英寸，标准差为3.1英寸的正态随机变量.假设每年的降雨

15、量是独立的, 求(a) 未来2年年降雨量总和超过25英寸的概率；(b) 明年降雨量超过后年降雨量3英寸以上的概率。5.5 正态分布正态分布l例(P130ex25)某一地区年降雨量(单位：英寸)服从N(40,42)，则接下来的4年中有2年的年降雨量超过50英寸的概率为多少？(假设不同年份的年降雨量相互独立)l答案：0.0002285.5 正态分布正态分布lN(0,1)的百分位数：对0 L=0.95，其中X表示灯泡的亮度。)l答案：1860习题习题lP130 ex23, ex30, ex26, ex35, ex365.6 指数分布指数分布l实例某地区两次交通事故的间隔时间；某网页两次访问之间的间隔

16、时间；银行网点顾客等待服务的时间；书上两次印刷错误间隔的字符数；某车险两次理赔的间隔时间；.5.6 指数分布指数分布l 5.6 指数分布指数分布l矩母函数（参看第4章习题53）l数学期望和方差l应用背景：如果单位时间内“事件发生”数是参数泊松分布（称为泊松过程），那么两次“发生”之间的间隔时间长度就是参数的指数分布。5.6 指数分布指数分布l性质1（无记忆性）指数分布元件不会记住已有的寿命，它永远像新元件一样工作。l证明：5.6 指数分布指数分布l例13 假设一辆汽车在其电池耗尽之前行驶里程服从均值为10（千英里）的指数分布，若一人希望做一次5 （千英里）的旅行，请问她不需要更换电池情况下能完

17、成她的旅行的概率为多少？5.6 指数分布指数分布l性质2：设X1, X2, , Xn为一组独立的指数分布随机变量，参数分别为1, 2, , n ，则min(X1, X2, , Xn)服从参数为1+ 2+ + n的指数分布。l例14 串联系统能正常工作则要求组成系统的各个组件都能正常工作，对一个含有n个组件的串联系统，设其各个组件的正常工作时间独立地服从指数分布，参数分别为1, 2, , n ，则该系统能维持工作时间为t的概率为多少？习题习题lP131 ex37, ex395.8 正态分布产生的分布正态分布产生的分布l2分布：若Z1, Z2, , Zn相互独立, 且都服从N(0,1) ，则称其平

18、方和服从自由度n的2（卡方）分布，表示为X n2 。l数学期望和方差 EX=n, Var(X)=2n.5.8 正态分布产生的分布正态分布产生的分布l2分布可加性：当X1和X2分别为自由度为n1 和n2的2随机变量且相互独立时，则X1+X2服从自由度为n1+n2的2分布.l2分布的分位数：设X n2 ，若则称数2,n为上分位数或100(1- )%百分位数。5.8 正态分布产生的分布正态分布产生的分布l2分布的计算：查2 ,n的表使用Excel函数l求上分位数2,n =chiinv(, n). l求尾概率P(Xx)=chidist(x ,n)l例chiinv(0.05, 2)=5.991， chi

19、dist(5.991,2)=0.05.l例5.8.1 =1-chidist(30,26)l例5.8.2 =chiinv(0.05,15)5.8 正态分布产生的分布正态分布产生的分布l例15 假设需要在3维空间定位一个目标，3个坐标的误差(单位:米)独立地服从N(0, 4)，求定位的点与目标距离超过3米的概率。5.8 正态分布产生的分布正态分布产生的分布lt-分布分布：设ZN(0,1), X n2 ，且Z和X相互独立，则称随机变量服从自由度n的t-分布。学生t-分布可简称为t分布。英国统计学家Gosset于1908年以笔名student首先发表5.8 正态分布产生的分布正态分布产生的分布lt-分

20、布与N(0,1): 当n，TnN(0,1)l ETn=0 Var(Tn)=n/(n-2)l厚尾性(n=12为例)5.8 正态分布产生的分布正态分布产生的分布lt-分布的上分位数及其对称性5.8 正态分布产生的分布正态分布产生的分布lt分布的计算：查t ,n的表使用Excel函数l求双侧上分位数t,n =tinv(2, n). l求单尾概率P(Tx)=tdist(x ,n, 1)l求双尾概率P(|T|x)=tdist(x,n, 2)l例tinv(0.1, 2)=2.92， tdist(2.92,2,1)=0.05, tdist(2.92,2,2)=0.1.5.8 正态分布产生的分布正态分布产生的分布lF-分布分布：设X和Y分别服从自由度为n和m的2分布，且相互独立，称服从自由度为n和m的F-