中科院课件---《现代信号处理的理论与方法》课程回顾

1、现代信号处理的理论与方法现代信号处理的理论与方法课程回顾课程回顾v信号分析基础v时频分析方法v高阶统计和高阶谱方法v多抽样率信号处理技术v盲信号处理技术解析信号解析信号v对于实信号s(t)，它的Hilbert变换为： 11ss ts th ts tdtt jtz ts tjs ta t e 22a ts ts t arctans tts t由此可得解析信号为： 幅值和相位分别为： 瞬时频率瞬时频率v瞬时频率：表征了信号在局部时间点上的瞬态频率特性，整个持续期上的瞬时频率反映了信号频率的时变规律。 1arg2idf tz tdt 信号的中心频率是其瞬时频率在整个时间轴上的加权平均。201( )|

2、 ( )|tx tdtE 信号的时宽和带宽信号的时宽和带宽v信号的“时间中心”及“时间宽度”，频率的“频率中心”及“频带宽度”分别说明了信号在时域和频域的中心位置及在两个域内的扩展情况。22002222220011| ( )|;|( )|211() | ( )|;() |( )|2ttt x tdtXdEEttx tdtXdEE 定义 2,2t分别是信号的时宽和带宽，定义 t为信号的时宽带宽积。 不确定原理不确定原理v对于能量有限信号，其时宽和带宽的乘积总能满足下面的不等式，即14tf 式中， t表示信号有效持续时间，f表示信号的有效带宽。 频域分辨率和时域分辨率不能同时任意小，即不可能存在既

3、是带限又是时限的信号波形。 信号的分解与变换信号的分解与变换 *22*j2,*2,:( ),; ( ),:STFT ( ,)(),e,( ),:( ,defjftjftfuxt fjnFtmnmnxnnnnx gxX t fx tt ff xg xf x gx dxFT X fx tex tXfeSTFTt fx u g utx uguGaborax ttx ttmTeWT WT a b 信号综合（变换）：；信号分解（反变换）：时频内积：变换：分析： ,11)( ),( )( )():,:,:,:aba bjxjjvtxnknktbx tttaaWVD WtR teP tR teAF AvR

4、teEMD x tcr时频分布时频分析时频分析v线性时频分析方法（STFT,Gabor变换,WT）使用时间和频率的联合函数描述信号的频谱随时间的变化情况；v非线性时频分析方法（时频分布）使用时间和频率的联合函数描述信号的能量密度随时间变化的情况。短时傅里叶变换短时傅里叶变换 *-j2*j2,STFT ( ,)( )() e(),e,( )fuzfut ft fz u g utduz u g utz ugu tg ut不断地移动 ，即不断地移动窗函数的中心位置，取出信号在分析时间点 附近的傅立叶变换（称之为“局部频谱”）。v 由于受不定原理的制约，窗函数的有效时宽和带宽不可能同时任意小，窗宽应该

5、与信号的局域平稳长度相适应。v 对时间分辨率和频率分辨率只能取一个折中，一个提高了，另一个就必然要降低，反之亦然。 *z t g tZfG fGabor变换变换 2*22( )( )(),( )( ),( )mnmnmnjnFtmnmnjnFtmnmnjnFtmnmnmnGaborx tagtag tmT eGaborax ttx ttmTettmT eTFaGaborg tgtm nGaborg t 展开：变换:其中，时间采样间隔； -频率采样间隔；展开系数；母函数；阶基函数，它是由做移位和调制生成的。vGabor变换与STFT的区别与联系：STFT的窗函数必须是窄窗，而Gabor变换的窗函

6、数无此限制，可以将Gabor变换看成是一种加窗的傅立叶变换，它的适用范围比STFT适用范围更广泛；STFT(t,f)是信号的时频二维表示，Gabor变换系数相当于信号的时间移位-频率调制二维表示。小波变换小波变换*1( , )( )d( ),( )0sabtbWT a bs tts ttaaa其中，a0 被称为尺度因子，b反映小波函数在变换中的位移，(t)称为基小波或“母小波函数”， 是母小波经移位和伸缩所产生的一组函数，称为小波基函数，或简称小波基。 ( )abt,1( )()a btbtaan 小波变换的特点小波变换的特点 小波变换的时频关系受不确定原理的制约，在时频平面上的分析窗是可调的

7、，但分析窗的面积保持不变。 采用不同的尺度a作处理时，各个(a)的中心频率和带宽都不一样，但是它们的品质因数Q却是相同的，即“中心频率带宽”为常数。作为小波函数所应具有的大致特征：即 是一带通函数，它的时域波形应是振荡的。此外，从时频定位的角度，希望 是有限支撑的，因此它应是快速衰减的。这样，时域有限长且是振荡的这一类函数即是被称作小波（wavelet）的原因。)(t)(ttcd| )(|)(201. 容许条件 由此，可以得到离散化小波变换 def*,= WT,( )( )dj kxj kcj kx tttj=0,1,2,; kZ Z称cj,k为离散小波变换系数，简称为小波系数。 在实际的工作

8、中，最常见的情况是取a0=2，b0=1，此时a取值为 20,21,2j。此时，连续小波变换中的基函数ab(t)记为jk(t), )2(2)(2kttjjjk相应地，离散小波变换可表示为 tttxkjjkxd)()(),(WT*000WT (,),WT,jjxxaka bj k简记为时频分布的定义时频分布的定义 22,22,jjRz t ztdtPRedRz tztdtR tutz uzuduP tR ted*相关函数：功率谱：对非平稳信号，加窗后得局部相关函数：时变功率谱（信号能量的时频分布）：二次叠加原理设 1 122( )( )( )z tc z tc z t则 12122122*121

9、2,12,( ,) |( ,) |( ,)( ,)( ,)zzzz zzzP tcP tcPtc c Ptc c Pt式中： 和 分别称为z1(t)和z2(t)的自时频分布; 和 分别称为z1(t)对z2(t)和z2(t)对z1(t)的互时频分布。这种互时谱形成了二次时频分布的交叉项。 1zP2zP12,z zP21,zzPWigner-Ville分布 *-j,2222W ( ,)ed22zzututz tR tktut z uzuduz tzttz tzt*取时间冲激函数作窗函数，即则的瞬时相关函数 将kz(t,)称为瞬时自相关函数，那么WVD就是信号瞬时自相关函数的傅里叶变换。模糊函数模糊

10、函数*jj( , )e d22t,e dvtzvtzAvz tzttkt模糊函数在频率域的定义是 *j1( , )ed222zvvA vZZ v WVD中交叉项的抑制：中交叉项的抑制：对信号求模糊函数，由于模糊函数的自项始终在 平面的原点处，而交叉项远离原点，故可以设计一个二维低通滤波器，来抑制模糊函数中的交叉项；对滤波后的模糊函数作二维傅立叶变换，得到信号的维格纳变换，此时的WVD即是抑制了交叉项的新WVD。v,dtdtdd12uut1t2tt同一信号AF及WD互项与自项的位置示意图 v由于Wigner分布的核函数是全通函数，它对AF的互项无抑制作用，因此，其WD也就存在着较大的交叉项。v消

11、除干扰项的方法：应该选择 平面上的二维低通函数来作为核函数。 , v高阶矩与高阶累积量高阶矩与高阶累积量v 单个随机变量x的高阶矩与高阶累积量： 0( )0lnln0defj xj xkkkkdefkdefkkkkxkE ef x edxmE xjdcjjd 矩生成函数：累积量生成函数：v 随机信号的高阶矩与高阶累积量：考查平稳随机信号 x(t),令 1211,kkx tx txtx txtx t随机信号 x(t)的k阶矩： 1111,kxkkmE x t x tx t随机信号 x(t)的k阶累积量： 1111,kxkkccum x tx tx t矩和累积量的估计矩和累积量的估计 111111

12、,Nkxkktmx t x tx tN矩的估计： 2213123121214123412313223131211,NxxxnNxxnxxxxxxxxcmRx n x nNcmx n x nx nNcmRRRRRR 累积量的估计：高阶谱高阶谱v高阶谱又称多谱，是多个频率的能量谱。 1 12 2121 12 23 312322123121234123,jxxjxxjxxSceBceTce 二阶谱即为功率谱，是单个频率的谱；三阶谱称为双谱，即两个频率的谱：四阶谱称为三谱，即三个频率的谱：双谱具有下列对称性质，即*12211221122112121212,xxxxxxxxBBBBBBBB 随机信号通过

13、线性系统的高阶统计分析随机信号通过线性系统的高阶统计分析v设x(k)是一个实随机序列，均值为零，并平稳到三阶以上。h(n)是一个线性移不变系统，它可以是因果的或非因果的。则系统的输出为 33*12121212,kyxkkkyxy nh k x nkcm nE y p y pm y pnh k h kh kcmkk nkkBHHHB v如果输入是一个平稳、零均值、非Gauss独立、同分布的随机序列，则有 11,111111,11*1,11,1111,kkxkk xkkkykk xkkkykk xkkcnnnncum xnnncnnh k h knh knBHHH通常将上述一般结果称为Bartle

14、tt-Brillinger-Rosenblatt公式，简称BBR公式。 223123124123412322*2*1231212*1234123123,yxxkyxkyxkyxxyxyxBBRcnRnh k h kncn nh k h kn h kncn n nh k h kn h knh knBBRPHHHBHHHTHHHH 累积量的常用公式：谱、双谱和三谱的公式：FIR系统辨识系统辨识nmLL1234561112220 3123121,2,yxkcn nh k h kn h knLn nL v闭合公式法从原则上说明利用系统输出的高阶累积可以实现系统辨识的目的，如果准确地知道系统输出的三阶或

15、四阶累积量，就可以辨识系统，而不需要假定系统是最小相位的。 33334444,0,1,0, ,0,0,1,0,0yyyyyyyycL kcL kh kkLcLLcLcL L kcLkh kkLcLLLcLv累积脉冲响应方程： 112221110111011,1, , , ,1,2,1,2,1,2,KKKKqpysuipK xsryqujrK xrpvyyh ih il cmm ininh jh jm clljnjnq s u mrslpqnvucch k基于上述两种情况，于是可得：给定一定值，可以得到一定的方程式，根据这些方程可以实现依据估计的输出累积和求解脉冲响应。 232221122110

16、023212131331,0,1,0,2,3()110,0,0,LLyyijxxxxyyyyyyyqsulKKGiannakisMendel GMhi cinh j cjnnmcincimcmirmicjncjmcmj mjGM 1、利用输出自相关和三阶累积辨识FIR系统方程：取则可得方程：记且可得方程原形式： 322003,2 .LLxyyijxhi rmih j cmj mjLmL其中， 33333332332003222223223,333601122330,11,122,233,33,0303, 33, 332,xyyijxyyyyyyyyxxyyyyLhi rmih j cmj mj

17、mjmhrmhrmhrmhrmhcm mhcmmhcmmhcmmmhrhccrhm 时，时时 33332202132, 213, 32, 213, 3132yyyyyyyyrhrchcchchrr 4412312031204312120341,0,2,3,41,1,110,LyixLyjxLyyjxxqsuKKh i h il cin inh j cl jnjnlLhh L cn nh j cL jnjn4、利用输出三阶累积和四阶累积辨识FIR系统方程：取则可得：令则MA阶数的辨识阶数的辨识vGiannakis和Mendel定阶方法,0,00, ,0kykycqcq nnnqMAqn 的阶数

18、应该是满足上式的最小正整数 。v奇异值分解（SVD）定阶方法0,01,0,01,0,0,00,001kykykykykyMAkykyMAcccqccqccqcqrank cq构造累积量矩阵：多抽样率信号处理技术多抽样率信号处理技术 v“多抽样率数字信号处理” 的核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。v抽取与插值v滤波器组信号的抽取信号的抽取1(2)/011100( )(),1()()11( )()()()MjjkMkMMkMkMMMkky nx MnnY eX eMY zX z WY zX zWMM 或或v抽取滤波器的频响特性：v防止抽取后在 中出现混叠的方法是在对 抽取前先进行低通滤波，压缩

19、其频带。)(jeY)(nx|1()0jMH e其它11101(2)(2)01( )()()1()()()MkkMMMMkMjkjkjMMkY zX zWH zWMY eX eH eM信号的插值信号的插值()0, 2 ,( )0()()( )()()1jj LLjx n LnLLnV eX eV zX zX eLL其它在的范围内，的带宽被压缩了 倍，同时产生了个映像。v插值滤波器的频响特性： 实现有效插值的方法是将 再通过一个低通滤波器，即|()0jcLH e其它)(n图5.3.3 插值后的滤波 注：见胡广书现代信号处理教程图5.3.3抽取与插值相结合的抽样率转换抽取与插值相结合的抽样率转换(

20、)( ) ()ky nx k h MnLk信号的多相表示信号的多相表示1100000( )()()( )()( )( )()( )MMlMnlMllnlnnllnnlIH zzh Mnl zz E zE zh Mnl ze n ze nh Mnlh nFIRIIR类型多相表示：其中，记为的多相分量。上面的多相表示对和系统均适用，由此可以得到基于多相分解的滤波器实现结构。 00( )(),( )( )x ncx nncnx nx nx nx n如果其中 和 是常数，即是纯延迟后的信号，则称是的准确重建(PR）。实现PR的滤波器组称为PR系统。滤波器组的基本概念滤波器组的基本概念滤波器组的种类及有

21、关滤波器滤波器组的种类及有关滤波器v最大均匀抽取滤波器组v正交镜像滤波器组v第M带滤波器v半带滤波器v互补型滤波器两通道滤波器组两通道滤波器组注：见胡广书现代信号处理教程图7.1.100( )( )( )()( )( )x nx nx ncx nncnx nx nPR如果或，其中 和 为常数，则称是对的准确重建（）。v各信号间的关系：0011111122220001110011220011000111( )( )( ),( )( )( )11( )()(),( )()()22( )( )( )( )( )( )(),( )()()()1( )( )( )2()()XzX z HzXzX z H zV zXzXzV zXzXzX zUz G zU z G zUzV zU zV zHzHzX zG zG zH zHz卷积关系：抽取关系：卷积关系：插值关系：( )()X zXz001100110011001111( )( )( )( )( )( )()( )()( )()221( )( )( )( )( )21( )()( )()( )2( )( )( )( )()( )01( )( )( )2X zHz G zH z G z X zHz G zHz G z XzT zHz G zH z G zF zHz G zHz G zX zT z X zF z XzF zX