实变函数论课件4 n维空间中的点集、聚点、内点、界点

1、目的：掌握n维空间中集合的内点、边界点、 聚点、开集、闭集等概念，熟练理解 Bolzano-Weirstrass 定理、 Borel 有限 覆盖定理，能运用这些定理解决一些 问题。重点与难点：Bolzano-Weirstrass定理、 Borel有限覆盖定理。l定义：设X为一非空集合，d : XXR为一映射，且满足 d(x,y) 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性）则称(X,d)为度量空间. d(x,y)=d(y,x) （对称性） d(x,y) d(x,z)+d(z,y)（三角不等式） (X,d)为度量空间，Y是X的一个非空子集，若（Y,d）也是一个度量空间，称（Y,d）为 (X,

2、d) 的。12121221 (,.,) (,.,), () , , ( , ) ( , ).定义 对于中的任意两点及我们把非负实数称为与的欧几里德距离 简称与的距离记作或者NNNNiiiRxx xxyy yyxyxyxyx yd x y ( , )0; ( , )0 ; ( , )( , ); ( , )( , )( , ). ix yx yxyiix yy xiiix yx zz y命题距离有如下三条基本性质：（）当且仅当（ ）（ ）（三角不等式）| )()(|max),(tytxyxdbtaniiiyxyxd12)(),(yxyxyxd10),(121( ,)max;( ,);niiiii

3、ix yxyx yxy000000 1 ,0. , , (, ). ,.NNxRRpppU pp定义设中到的距离小于的所有点组成之集称为以为中心以为半径的球形邻域简称的邻域 记作当没必要指出和时 就简称为球形邻域或邻域0(, )0 | (, )pUp d pp1122 ( , ); ( , ), 0 ( , )( , ); ( , ),( ,), 0 ( , )( , ), 1,2. ,( , )( , ),( ,iii x U xii y U xU yU xiiix U xx U xU xU xiivxyU xU yU x命题 球形邻域有如下四条基本性质：（）（ ）则存在使（ ）若则使（ ）

4、若存在和使)( , )U y);,(),( 0),( xUyUxUyii 使使）（).,(),( ),( ,)(),(),(),( ,),( ),( . 0 ),( xUyUxUzxyyzxzyzyUzxyii 于是于是故故从而从而则则若若则则）令）令仅证（仅证（证明证明12312311000 2 , ( , , ), . , , , , NnnnnNnnx xxRx xxxxxxRxUKnKxUxx定义设是中的一列点点列可记作或有时简记作若对于含的任一邻域总存在自然数使当时就称为点列的极限 称000 , lim .nnnnxxxxxx是一个收敛于的点列 记作或010000 2 , . lim

5、(,)0, , lim .NNnnnnnnnnxRxRd xxxxxxxx定义设是中的一点列若 称为点列的极限记作或 3 , ( , )inf( , ).x Ay BA Bd A Bd x y定义两个非空的点集 的距离定义为 3 ,= , ( , )inf( , ).y BA BAxd x Bd x y定义两个非空的点集 的,若则点到集合的距离定义为 a.,d,0;0,0,1 .xBx BxB注： 若则反之则不一定成立，如.(0A1/ n ,B1/ n若，则, )；反之则不一定成立，如（都是闭集） bABd A Bnn. , , 5 是有界集则称使若存在开区间中一点集为设定义MMIIRMN4

6、( )sup ( , ).x Ay AAAd x y定义 一个非空的点集 的直径定义为 5 , (), .NMRMM 定义设为中一点集 若则称是有界集1212 , , . . , , . 0 00 , NNNNNNNiNNx xxRRNRRxx xxRxiixixR定义分量都是实数的有序数组（）之全体称为空间 简称称为的维数的元素（）又称为的点点的第个分量又称为它的第个坐标（当点记为时，它的第个坐标通常记为 ）点（ ， ， ， ）称为的原点 .记作12111222 , (1,2,). ,|, 1,NiiiiNNNNababiNRx xxaxbIaxbaxb定义6设、是实数中的点 集（）（ ）1

7、12211221122, ,;,;,. 1 , 1,2, , ,;,;,. 1 , 1,2, , (,;,;,. NNiiiNNiiiNNa b a babaxbiNIa b a babaxbiNIa b a bab称为开区间记作（） 若把（）中的诸不等式换成则称为闭区间 记作 若把（）中的诸不等式换成，则称为半开区间 记作11221, , ;,;, , ;1,2,.NNiiIa b a baba b iN把（）中任意多个“ ”号换成“ ” 相应的点集统称为区间 ，当无必要区别是何种区间时就统记作（此记号有时还写成）（）（1 ,|, 22211121 NNNNbxabxabxaxxxI1221

8、1 , ;1,2, (1,2,) , () . () .iiiiNiiiNiiia b iNbaiNibabaI对于区间我们把称为它的第个边长把称为它的对角线长把称为它的体积， 记为. 的对角线长的对角线长超过超过中任何两点的距离都不中任何两点的距离都不显然区间显然区间II. 2 , , . 2 ,0 , 1 的意义下均指在定义特别声明若无今后凡说区间的意义不是区间按照定义），例如（区间数学分析中所说的无限注. , 2 2 的任何一种区间可以是除闭区间外因此空集允许定义注iiba 二聚点、内点、边界点与Bolzano- Weirstrass定理问题问题1 1：给定给定R Rn n中一个集合中一

9、个集合E E及点及点P P，P P与与 E E有几种可能的关系？有几种可能的关系？定义定义1 设 ，（i）若存在 ，使 ，则称 为 的内点内点。（ii）若存在 ，使 ，则称 为 的外点外点。（iii）若对任意 ， 则称 为 的边界点边界点。nnRPRE0,00(, )U PE0PE0(, ),( , )(),cU PEU PE 000PEE0P0(, )cU PE定义定义2 若对任意 ， 中总有 中除 外 的点，即 ,则称 为 聚聚 点点。注：有限点集没有聚点。00( (, ) )U PPE 00(, )U P0PEE0P证明： 显然，下证) 1 ()2()3()3() 1 (定理1：下列条件

10、等价： (1) p0为E的聚点 (3)存在E中互异的点所成点列pn, 使得0limppnn0(, )0(0,()pOEp 即：有）P0 Pn),(00, 0, 0, 0),(limpnnnOpNnNppd有即若0limppnn定义：称点列pn 收敛于p0 , 记为： (2)点p0的任意邻域内，含有无穷多个属于E而异于p0的点001230 1 , .xEExx xxx命题是的聚点中存在着 一列异于的点收敛于.lim 故 , 1），（ . 且 使 存在点 ,)1,( , 则对任意自然数 ,的聚点 是 设 .充分性是显然的 : 证明000000 xxnxxExxxxExnxUnExnnnnnn. )

11、,( , , 1 000的点中都含有无限多个属于的任何邻域则的聚点是若不难得知由命题ExUxEx , .EEEE的内点必为的聚点 但的聚点未必是的内点00000 3 , . , (, ), .NN ERxR xEU xx ExE定义设是中一点集是中一点若且存在邻域其中除外没有属于的点，就称是的孤立点 , .EEEEE的聚点可能属于也可能不属于但的孤立点一定属于 .EE的边界点不是聚点 便是孤立点 000 oU PPEU PE不难看到，如果对任意，则，中一定含中无穷多个点。 4 (1) , .EEE定义点集的所有内点组成的集称为的内部(开核)记作0 :( );ExU xE存在 , .EEE(2)

12、点集的所有聚点组成的集称为的导集 记作 :( )( ) ;ExU xU xEx 任意， , .EEE(3)点集的所有边界点组成的集称为的边界 记作 :( )( )( );cExU xU xEU xE 任意，(4) :( )( ) ;ExU xU xEx的孤立点存在，(5)EEEE称为 的闭包，记为 :( )( );ExU xU xE 任意， oEEEEEEE的孤立点全体11 1 , , . . .NNRRRR例中 自然数集的导集是空集有理数集的导集是的导集是空集的导集是空集ccccEEEE)()()()(闭包和内部的对偶关系：定理定理2 2 若若 ，则，则定理定理3 3 若若 ，则，则 nRB

13、A,ABnnRBRA,BABA)(,ooAB.AB定理3的证明： 由于 ，由定理2立得 。现设 ，则对任意 ，从而 含 或 中点，由定理1，知存在一串互异的点 ，使BABBAA,)(BABA( , ) )()U PPAB B)(BAPA0( , ) U PPBAPn 中必有无穷多个都属于 或都属于 ，不妨设 ，则由 ，知 。如果有无穷多个在 中，则将会有 ，总之 。从而 。 综上 。证毕。 , 0),(nnPPP), 2 , 1( ,iAPinBABA)(AAPB0),(PPinBBPBAPBABA)(* *定理定理4 4 （波尔察诺（波尔察诺- -外尔斯特拉斯（外尔斯特拉斯（Bolzano-Bolzano- Weierstrass Weierstra