岩石强度理论

1、岩块强度：岩块抵抗外力破坏的能力。岩块破岩块破坏方式坏方式 脆性破坏脆性破坏塑性破坏塑性破坏(延性破坏）延性破坏）拉破坏拉破坏剪切破坏剪切破坏 一、单轴抗压强度一、单轴抗压强度 二、单轴抗拉强度二、单轴抗拉强度 三、剪切强度三、剪切强度 四、三轴压缩强度四、三轴压缩强度受受力力状状态态2.8 岩石强度理论岩石强度理论l 2 2. .8 8.1 .1 库仑强度准则库仑强度准则l 2 2. .8 8.2 .2 莫尔强度理论莫尔强度理论l 2 2. .8 8.3 .3 格里菲斯强度理论格里菲斯强度理论l 2.8.42.8.4Griffith强度准则的三维推广（强度准则的三维推广（Murrell强度准

2、则）强度准则）l 2.8.5 2.8.5 德鲁克一普拉格准则德鲁克一普拉格准则主要内容主要内容 岩体力学研究对象岩体力学研究对象: :岩体，岩体是岩块和结构面的组合体，其力学性质往往表现岩体，岩体是岩块和结构面的组合体，其力学性质往往表现为弹性、塑性、粘性或三者之间的组合。为弹性、塑性、粘性或三者之间的组合。 岩体基本力学问题求解基本单元岩体基本力学问题求解基本单元: : 岩体微分单元体，其基本求解过程如下：岩体微分单元体，其基本求解过程如下：2 2. .8 8 岩石强度理论岩石强度理论岩体本构关系岩体本构关系: :指岩体在外力作用下应力或应力速率与其应变或应变速率的关系。指岩体在外力作用下应

3、力或应力速率与其应变或应变速率的关系。 依据适合于岩体的强度理论，判断岩体的破坏及其破坏形式。依据适合于岩体的强度理论，判断岩体的破坏及其破坏形式。力的平衡关系（平衡方程）力的平衡关系（平衡方程）位移和应变的关系（几何方程）位移和应变的关系（几何方程）应力和应变的关系（物理方程或本应力和应变的关系（物理方程或本构方程）构方程）应力场应力场位移场位移场边界条件边界条件+= 岩石的强度岩石的强度是指岩石抵抗破坏的能力。是指岩石抵抗破坏的能力。 岩石材料破坏的形式岩石材料破坏的形式: :断裂破坏断裂破坏、流动破坏流动破坏（出现显著的塑性（出现显著的塑性变形或流动现象）。断裂破坏发生于应力达到强度极限

4、，流动破变形或流动现象）。断裂破坏发生于应力达到强度极限，流动破坏发生于应力达到屈服极限。坏发生于应力达到屈服极限。 强度准则：通过试验以及强度理论。强度准则：通过试验以及强度理论。 岩体的力学性质岩体的力学性质可分为变形性质和强度性质两类，可分为变形性质和强度性质两类，变形性质变形性质主要通过本构关系来反映，强度性质主要通过强度准则来反映主要通过本构关系来反映，强度性质主要通过强度准则来反映。2 2. .8 8 岩石强度理论岩石强度理论岩石强度理论岩石强度理论：研究岩石在一定的假说条件下在各种应力状态下的强度准则的理：研究岩石在一定的假说条件下在各种应力状态下的强度准则的理论。论。强度准则：

5、强度准则：又称破坏判据，岩石在极限应力状态下（破坏条件）的应力状态和岩又称破坏判据，岩石在极限应力状态下（破坏条件）的应力状态和岩石强度参数之间的关系。可表示为极限应力状态下的主应力间的关系方程，即石强度参数之间的关系。可表示为极限应力状态下的主应力间的关系方程，即: : 或处于极限平衡状态截面上的剪应力或处于极限平衡状态截面上的剪应力 和正应力和正应力 间的关系方程：间的关系方程：123,ff2 2. .8 8 岩石强度理论岩石强度理论 2.8.1 2.8.1 库仑强度准则库仑强度准则 岩石的破坏：剪切破坏。岩石的破坏：剪切破坏。 岩石的强度：抗摩擦强度等于岩石本身抗剪切摩擦的粘结力和剪切面

6、上法岩石的强度：抗摩擦强度等于岩石本身抗剪切摩擦的粘结力和剪切面上法向力产生的摩擦力。平面中的剪切强度准则（图向力产生的摩擦力。平面中的剪切强度准则（图 7-6 ）为：）为：|tanc|tanc或或（7-277-27） cAOBD131313L图图7-6 7-6 坐标下库仑准则坐标下库仑准则2 2. .8 8 岩石强度理论岩石强度理论固体内任一点发生剪切破坏时，破坏面上的剪应力固体内任一点发生剪切破坏时，破坏面上的剪应力( ()应等于或大于材料本应等于或大于材料本身的抗切强度身的抗切强度( (C)C)和作用于该面上由法向应力引起的摩擦阻力和作用于该面上由法向应力引起的摩擦阻力( (tgtg)

7、)之和。之和。 若规定最大主应力方向与剪切面（指其法线方向）间的夹角为若规定最大主应力方向与剪切面（指其法线方向）间的夹角为 （称为岩石破（称为岩石破断角），则由图断角），则由图7-67-6可得：可得：22故：故：sin)(21)(213131ctgc若用平均主应力若用平均主应力 和最大剪应力和最大剪应力 表示，上式变成：表示，上式变成： cossincmm其中：其中：13311,22mm (7-29)(7-29) mm 2.8.1 2.8.1 库仑强度准则库仑强度准则 由图由图7-67-6可得：可得：并可改写为：并可改写为：若取若取 ，则极限应力，则极限应力 为岩石单轴抗压强度为岩石单轴抗压

8、强度 ，即有：，即有：sin12sin1sin131ctgcsin12ctgcc利用三角恒等式，有：利用三角恒等式，有：24tan24sin1sin122ctg031c（7-317-31） (7-30)(7-30)剪切破断角关系式剪切破断角关系式 可得：可得：将方程（将方程（7-317-31）和（）和（7-327-32）代入方程（）代入方程（7 73030）得：）得：2421sintan1sin213tanc(7-32)(7-32) 2.8.1 2.8.1 库仑强度准则库仑强度准则Oarc tan( )2c13c21tan图7-7 13坐标系的库仑准则 坐标系统中库仑准则的坐标系统中库仑准则的

9、完整强度曲线。如图完整强度曲线。如图 7-67-6所示，极所示，极限应力条件下剪切面上正应力限应力条件下剪切面上正应力 和和剪力剪力 用主应力用主应力 表示为：表示为：3113131311cos 2221sin 2 2(7-34)(7-34) 由方程（由方程（7-277-27）式并取）式并取 ，得：，得：tanf13311| -sin 2 - cos222fff (7-35)(7-35) 2.8.1 2.8.1 库仑强度准则库仑强度准则 根据方程（根据方程（7-277-27）式，如果方程（）式，如果方程（7-367-36）式小于）式小于 ，破坏不会发生；如果，破坏不会发生；如果它等于（或大于）

10、它等于（或大于） ，则发生破坏。令，则发生破坏。令 方程（方程（7-357-35）式对）式对 求导可得求导可得 由此给出由此给出 的最大值，即的最大值，即21313max11|122fff(7-36)(7-36) f/12tan| - fcc则方程（则方程（7-367-36）式变为）式变为2213211cffff|fc（7-377-37） 2.8.1 2.8.1 库仑强度准则库仑强度准则上式表示（图上式表示（图7-8 ) 7-8 ) 的的直线交直线交 于于 ，且：，且：交交 轴于轴于 。注意：注意： 并不是单轴抗拉强度并不是单轴抗拉强度221ccff2021scff 1c30s0s0AP-S3

11、t1cc/2 =13图图7-8 7-8 1 13 3坐标系中的库仑准则的完整强度曲线坐标系中的库仑准则的完整强度曲线 2.8.1 2.8.1 库仑强度准则库仑强度准则由：由：2cos21ff 有：有：221321111ffff或：或：22221321111ffffff由于由于 ，故若，故若 ，则有：，则有：2213110ffff方程（方程（7-377-37）式与（）式与（7-387-38）式联立求解可得：）式联立求解可得：112c)2cos1 ()2cos1 (231210f0 (7-38)(7-38) 岩石发生破裂（或处于极限平衡）时岩石发生破裂（或处于极限平衡）时 取值的下限确定：取值的下

12、限确定： 考虑到剪切面（图考虑到剪切面（图 7-6 7-6 ）上的正应力）上的正应力 的条件，这样在的条件，这样在 值条件下，由方值条件下，由方程（程（7-347-34）式得：）式得：10 2.8.1 2.8.1 库仑强度准则库仑强度准则 图图 7-8 7-8 中直线中直线 APAP代表代表 的有效取值范围。的有效取值范围。 为负值（拉应力），由实验知，可能会在垂直于为负值（拉应力），由实验知，可能会在垂直于 平面内发生张性破裂。平面内发生张性破裂。特别在单轴拉伸特别在单轴拉伸 中，当拉应力值达到岩石抗拉强度中，当拉应力值达到岩石抗拉强度 时，岩石发生时，岩石发生张性断裂。基于库仑准则和试验结

13、果分析，由图张性断裂。基于库仑准则和试验结果分析，由图 7-87-8给出的简单而有用的准则可给出的简单而有用的准则可以用方程表示为：以用方程表示为：0AP-S3t1cc/2 =132213112ffffc 112c31 112c图图7-8 7-8 1 13 3坐标系中的库仑准则的完整强度曲线坐标系中的库仑准则的完整强度曲线133130,0t(7-39)(7-39) 2.8.1 2.8.1 库仑强度准则库仑强度准则 在此库仑在此库仑准则条件下，岩石可能发生以下四种方式的准则条件下，岩石可能发生以下四种方式的破坏。破坏。 (1)(1)当当 时，岩石属单轴拉伸破裂；时，岩石属单轴拉伸破裂； (2)(

14、2)当当 时，岩石属双轴拉伸破裂；时，岩石属双轴拉伸破裂； (3)(3)当当 时，岩石属单轴压缩破裂；时，岩石属单轴压缩破裂； (4)(4)当当 时，岩石属双轴压缩破裂。时，岩石属双轴压缩破裂。 另外，由图另外，由图 78 中强度曲线上中强度曲线上A A 点坐标点坐标 可得，直线可得，直线 A P的倾的倾角角 为：为： 在主应力在主应力 坐标平面内的库仑准则可以利用单轴抗压强度和抗拉强度来坐标平面内的库仑准则可以利用单轴抗压强度和抗拉强度来确定。确定。2arctantc1301 2ct 1301 2ct 131 20cct131 20cct130c130c), 2/(tc31, 2.8.1 2

15、.8.1 库仑强度准则库仑强度准则+=+=+=+=+=2/45)sin1/(cos2sin1sin1sin1cos223131tgccfctgCcc 2.8.1 2.8.1 库仑强度准则库仑强度准则按照库仑-纳维尔理论，岩石的强度包络线是一条斜直线，破坏面与最小主平面的夹角恒等于45/2。库仑-纳维尔判据适用于坚硬、较坚硬的脆性岩石产生剪切破坏的情况，而不适用于拉破坏的情况。该判据没有考虑中间主应力2的影响。 2.8.2 2.8.2 莫尔强度理论莫尔强度理论2.8 岩石强度理论岩石强度理论 莫尔（莫尔（MohrMohr，19001900年）把库仑准则推广到考虑三向应力状态。最主要的贡献年）把库

16、仑准则推广到考虑三向应力状态。最主要的贡献是认识到材料性质本身乃是应力的函数。他总结指出是认识到材料性质本身乃是应力的函数。他总结指出“到极限状态时，滑动平面到极限状态时，滑动平面上的剪应力达到一个取决于正应力与材料性质的最大值上的剪应力达到一个取决于正应力与材料性质的最大值”，并可用下列函数关系，并可用下列函数关系表示：表示： (7-40)(7-40)式在式在 坐标系中为一条对称于坐标系中为一条对称于 轴的曲线，它可通过试验方法求轴的曲线，它可通过试验方法求得，即由对应于各种应力状态（单轴拉伸、单轴压缩及三轴压缩）下的破坏莫尔得，即由对应于各种应力状态（单轴拉伸、单轴压缩及三轴压缩）下的破坏

17、莫尔应力圆包络线，即各破坏莫尔圆的外公切线（图应力圆包络线，即各破坏莫尔圆的外公切线（图7-9) ，称为莫尔强度包络线给定。，称为莫尔强度包络线给定。f(7-40)(7-40) 莫尔包络线的具体表达式，可根据试验结果用拟合法求得。莫尔包络线的具体表达式，可根据试验结果用拟合法求得。 包络线形式有：斜直线型、二次抛物线型、双曲线型等等。包络线形式有：斜直线型、二次抛物线型、双曲线型等等。 斜直线型与库仑准则基本一致，库仑准则是莫尔准则的一个特例。斜直线型与库仑准则基本一致，库仑准则是莫尔准则的一个特例。 主要介绍二次抛物线和双曲线型的判据表达式。主要介绍二次抛物线和双曲线型的判据表达式。图图7-

18、9 完整岩石的莫尔强度曲线完整岩石的莫尔强度曲线t3c112=3单轴拉伸单轴压缩三轴压缩莫尔破坏包络线2.8.2 2.8.2 莫尔强度理论莫尔强度理论 1 1、二次抛物线型、二次抛物线型 岩性较坚硬至较弱的岩石。岩性较坚硬至较弱的岩石。式中：式中： 为岩石的单轴抗拉强度；为岩石的单轴抗拉强度；n n 为待为待定系数。定系数。 利用图利用图 7-107-10中的关系，有：中的关系，有：2tn33ct20132 2(+) =tnM(,)1.1.双向压缩应力圆，双向压缩应力圆，2.2.双向拉压应力圆，双向拉压应力圆，3.3.双向拉伸应力圆双向拉伸应力圆图图7-10 二次抛物型强度包络线二次抛物型强度

19、包络线4272sin)(212)(213131ctgt (7-41)(7-41) (7-42)(7-42) 2.8.2 2.8.2 莫尔强度理论莫尔强度理论其中：其中：消去式中的消去式中的 ，得二次抛物线型包络线的主应力，得二次抛物线型包络线的主应力表达式为：表达式为：单轴压缩条件下，有单轴压缩条件下，有 ： )437()(412csc2sin1)(22)(tttnnnctgddn22131324tnnn22220ctcnn解得：解得： (7-43)(7-43) （7-447-44） c13, 0（7-457-45） 利用（利用（7-417-41）式（）式（7-447-44）式和（）式和（7-

20、467-46）式可判断岩石试件是否破坏。）式可判断岩石试件是否破坏。22ctttn（7-467-46） 2.8.2 2.8.2 莫尔强度理论莫尔强度理论 2 2、双曲线型、双曲线型 砂岩、灰岩、花岗岩等坚硬、较坚硬岩石的强度包络线近似于双曲线砂岩、灰岩、花岗岩等坚硬、较坚硬岩石的强度包络线近似于双曲线（图（图 7-11 ) 7-11 ) ，其表达式为：，其表达式为：式中，式中，1 1为包络线渐进线的倾角，为包络线渐进线的倾角，2221tanttt11tan32ct（7-477-47） 02CtC渐近线包络线0图图7-11 7-11 双曲线型强度包络线双曲线型强度包络线2.8.2 2.8.2 莫

21、尔强度理论莫尔强度理论 莫尔强度理论实质莫尔强度理论实质: :剪应力强度理论。剪应力强度理论。 优点：优点： (1)(1)适用塑性岩石及脆性岩石的剪切破坏；适用塑性岩石及脆性岩石的剪切破坏； (2)(2)反映岩石抗拉强度远小于抗压强度特性反映岩石抗拉强度远小于抗压强度特性; ; (3) (3)能解释岩石在三向等拉时破坏，在三向等压时不会破坏（曲线在受压区不能解释岩石在三向等拉时破坏，在三向等压时不会破坏（曲线在受压区不闭合）的特点。闭合）的特点。 缺点缺点: : (1) (1)忽略了中间主应力的影响，忽略了中间主应力的影响，与试验结果有一定的出入。与试验结果有一定的出入。 (2)(2)该判据只

22、适用于剪破坏，受拉区的适用性还值得进一步探讨，不适用于膨胀该判据只适用于剪破坏，受拉区的适用性还值得进一步探讨，不适用于膨胀或蠕变破坏。或蠕变破坏。2.8.2 2.8.2 莫尔强度理论莫尔强度理论2.8.3 2.8.3 格里菲斯强度理论格里菲斯强度理论2.8 岩石强度理论岩石强度理论 格里菲斯（格里菲斯（Griffith ，1920年）认为年）认为:脆性材料断裂的起因是分布在材料中的脆性材料断裂的起因是分布在材料中的微小裂纹尖端有拉应力集中（这种裂纹称之为微小裂纹尖端有拉应力集中（这种裂纹称之为Griffith裂纹）。裂纹）。 格里菲斯确定断裂扩展的能量不稳定原理认为格里菲斯确定断裂扩展的能量

23、不稳定原理认为:当作用力的势能始终保持不变当作用力的势能始终保持不变时，裂纹扩展准则可写为：时，裂纹扩展准则可写为：0decWW 式中：式中：C为裂纹长度参数；为裂纹长度参数；Wd为裂纹表面的表面能；为裂纹表面的表面能；We为储存在裂纹周围的弹性应变能。为储存在裂纹周围的弹性应变能。式中：式中：a a为裂纹表面单位面积的表面能；为裂纹表面单位面积的表面能；E E为非破裂材料的弹性模量。为非破裂材料的弹性模量。2EaC3PP13311t=-8t3t=-图图7-12 7-12 平面压缩的平面压缩的GriffithGriffith裂纹模型裂纹模型 图图7-13 Griffith7-13 Griffi

24、th强度曲线强度曲线 19211921年，年，GriffithGriffith把该理论用于初始长度为把该理论用于初始长度为2C2C的椭圆形裂纹的扩展研究的椭圆形裂纹的扩展研究中，并设裂纹垂直于作用在单位厚板上的均匀单轴拉伸应力中，并设裂纹垂直于作用在单位厚板上的均匀单轴拉伸应力的加载方向。的加载方向。当裂纹扩展时满足下列条件：当裂纹扩展时满足下列条件：2.8.3 2.8.3 格里菲斯强度理论格里菲斯强度理论 双向压缩下裂纹扩展准则（双向压缩下裂纹扩展准则（Griffith强度准则）强度准则） : : 条件：条件：1)1)不考虑摩擦对压缩下闭合裂纹的影响；不考虑摩擦对压缩下闭合裂纹的影响；2)2

25、)假定椭圆裂纹将从最大拉应假定椭圆裂纹将从最大拉应力集中点开始扩展的情况下（图力集中点开始扩展的情况下（图7.127.12中的中的P P点）。点）。3PP13311t=-8t3t=-图图7-12 7-12 平面压缩的平面压缩的GriffithGriffith裂纹模型裂纹模型 图图7-13 Griffith7-13 Griffith强度曲线强度曲线21313133138(0)(0)t （7-507-50） 2.8.3 2.8.3 格里菲斯强度理论格里菲斯强度理论结论：结论： (1)(1)材料的单轴抗压强度是抗拉强度的材料的单轴抗压强度是抗拉强度的8 8倍，其反映了脆性材料的基本倍，其反映了脆性材

26、料的基本力学特征。力学特征。 (2)(2)材料发生断裂时，可能处于各种应力状态。不论何种应力状态，材料发生断裂时，可能处于各种应力状态。不论何种应力状态，材料都是因裂纹尖端附近达到极限拉应力而断裂开始扩展，即材料的破材料都是因裂纹尖端附近达到极限拉应力而断裂开始扩展，即材料的破坏机理是拉伸破坏。新裂纹与最大主应力方向斜交，而且扩展方向会最坏机理是拉伸破坏。新裂纹与最大主应力方向斜交，而且扩展方向会最终趋于与最大主应力平行。终趋于与最大主应力平行。 GriffithGriffith强度准则只适用于研究脆性岩石的破坏。强度准则只适用于研究脆性岩石的破坏。 Mohr-coulombMohr-coul

27、omb强度准则的适用性一般的岩石材料。强度准则的适用性一般的岩石材料。2.8.3 2.8.3 格里菲斯强度理论格里菲斯强度理论7.3.47.3.4Griffith强度准则的三维推广（强度准则的三维推广（Murrell强度准则）强度准则）7.3 岩石强度理论岩石强度理论MurrellMurrell将将GriffithGriffith强度准则从二维推广到三维，得到强度准则强度准则从二维推广到三维，得到强度准则 特点：特点：1)1)形式简单，能够考虑中间主应力的影响，并且将单轴压拉强度比提形式简单，能够考虑中间主应力的影响，并且将单轴压拉强度比提高到高到1212。2)2)Murrell准则在主应力之

28、和小于准则在主应力之和小于3 3 时应为圆锥面，压拉强度比仍然是时应为圆锥面，压拉强度比仍然是8 8。3)3)该式并不能全部用来表示岩石的强度准则，否则就得到该式并不能全部用来表示岩石的强度准则，否则就得到3 3个主应力为零时材料也个主应力为零时材料也会屈服破坏这样的结论。因此必须考虑拉伸破坏时的强度准则。会屈服破坏这样的结论。因此必须考虑拉伸破坏时的强度准则。 平面平面Griffith强度准则的几何性质是，以强度准则的几何性质是，以13为对称轴的抛物线，与直线为对称轴的抛物线，与直线1 和和3 相切。在三维应力情形，假设强度准则具有类似的几何性质：相切。在三维应力情形，假设强度准则具有类似的

29、几何性质：以以123为对称轴的旋转抛物面，与直线为对称轴的旋转抛物面，与直线12 ，23 和和31 相切。相切。)(24)()()(321213232221ttttttt (7-51)(7-51) 子午面子午面2 23 3上，强度准则形状如图上，强度准则形状如图7-147-14。图图7-147-14GriffithGriffith强度准则的三维推广强度准则的三维推广PQR0A5tXN(y)B123= 222.8.4 Murrell2.8.4 Murrell强度准则强度准则 主应力空间点主应力空间点P P（ ， ， ）在）在OxyOxy坐标系的位置是（坐标系的位置是（0 0， ）。）。过该点的抛

30、物线切线过该点的抛物线切线2 23 3 就是图中的就是图中的PAPA，与主应力，与主应力1 1轴平行。切点轴平行。切点A A（x x，y y）满足：）满足： 主应力主应力1轴与对称轴轴与对称轴ON的夹角是的夹角是arccos（ ），与其垂直的方向是），与其垂直的方向是23。设对称轴的坐标为设对称轴的坐标为y y，垂直于对称轴方向坐标为，垂直于对称轴方向坐标为x x，则抛物面的方程为：，则抛物面的方程为：2Axy xyAxdxdyt32而：而：21tandxdy解解)24/(3tA切点坐标切点坐标ttyx3,623/1 (7-52)(7-52) tttt3t2.8.4 Murrell2.8.4 Murrell强度准则强度准则x，y用应力不变量的式表达，可得到用应力不变量的式表达，可得到MurrellMurrell准则即公式准则即公式(7-51)(7-51)。其成立范围只能是。其成立范围只能是切点以外的部分（图中实线），即切点以外的部分（图中实线），即 。而两切点之间并不是材料的强度准则。而两切点之间并不是材料的强度准则。用主应力表示，则分界面是：用主应力表示，则分界面是：1+2+33显然，显然，1 12 23 33