工程力学教程_第四章

1、第四章第四章 空间力系空间力系cosyFFcoszFF直接投影法直接投影法1 1. .力在直角坐标轴上的投影力在直角坐标轴上的投影cosFFx41 41 空间汇交力系空间汇交力系间接（二次）投影法间接（二次）投影法sinxyFFsin cosxFFsin sinyFFcoszFF合矢量（力）投影定理合矢量（力）投影定理2 2. .空间汇交力系的合力与平衡条件空间汇交力系的合力与平衡条件合力的大小合力的大小222R()()()xyzFFFF方向余弦方向余弦空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力 iFFRxixxFFFRyiyyFFFRzizzFFFRRR),cos(FFiFxRR),cos(FFj

2、FyRR),cos(FFkFz空间汇交力系平衡的充分必要条件是：空间汇交力系平衡的充分必要条件是：-称为空间汇交力系的平衡方程称为空间汇交力系的平衡方程0 xF 0yF 0zF 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点线通过汇交点. . 空间汇交力系平衡的空间汇交力系平衡的充要条件充要条件：该力系中所有各力在三：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零个坐标轴上的投影的代数和分别为零. .该力系的合力等于零，即该力系的合力等于零，即0RF 1 1. .力对点的矩以矢量表示力对点的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢42 42

3、 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩( )OM Fr F （3 3）作用面：力矩作用面）作用面：力矩作用面. .（2 2）方向）方向: :转动方向转动方向三要素：三要素：(1(1）大小）大小: :力力 与力臂的乘积与力臂的乘积FxyzFF iF jF krxiyjzk()()()zyxzyxyFzF izFxF jxFyF k( )()() ()OxyzMFrFxiyjzkFiF jFk( )OzyxMFyFzF ( )OxzyMFzFxF ( )OyxzMFxFyF 力对点力对点 的矩在三个坐标轴上的投影为的矩在三个坐标轴上的投影为O2.2.力对轴的矩力对轴的矩 力与轴相交或与轴平

4、行（力与轴在同一平面内），力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零力对该轴的矩为零. .( )()zOxyxyM FM FFh( )()()()xxxxyxzzyMFMFMFMFFyFz( )()()()yyxyyyzxzMFMFMFMFFzFx 3 3. .力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 ( )zyxMFFxFy ( )( )OzyxxMFyFzFMF ( )( )OxzyyMFzFxFMF ( )( )OyxzzMFxFyFMF 43 43 空间力偶空间力偶1 1. .力偶矩以矢量表示力偶矩以矢量表示力偶矩矢力偶矩矢1212FF

5、FF空间力偶的三要素空间力偶的三要素（1 1） 大小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积；（3 3） 作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。 （2 2） 方向：转动方向；方向：转动方向；BAMrF( ,)( )()OOOABMF FMFMFrFrF ( ,)()OABMF FrrFM 2 2. .力偶的性质力偶的性质FF（2 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。(1(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . .（3 3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移

6、转，）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变作用效果不变. .RRR1212111(,)()(,)BABABABABAM FFrFrFFrFrFrFM F F = = = =(4)(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变. .211FFF332FFF= = = = =(5)(5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡力偶没有合力，

7、力偶只能由力偶来平衡. .定位矢量定位矢量力偶矩相等的力偶等效力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量自由矢量自由矢量滑移矢量滑移矢量3 3力偶系的合成与平衡条件力偶系的合成与平衡条件111222,.,nnnMrF MrFMrF= = =iMMM为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和. .222()()()xyzMMMM合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦,xxyyzzMMMMMM-称为空间力偶系的平衡称为空间力偶系的平衡方程方程. .000 xyzMMM0M 空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是 :

8、 :合力偶矩矢等于零，即合力偶矩矢等于零，即 cosxMMcosyMMcoszMM44 44 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主主矢和主矩矩1.1.空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化iiFF()iOiMMF空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系. .RixyzFFF iF jF k 主矩主矩()OiOiMMMF()()()OxyzMMF iMF jMF k主矢主矢空间力偶系的合力偶矩空间力偶系的合力偶矩由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力 有效推

9、进力有效推进力RxF飞机向前飞行飞机向前飞行RyF 有效升力有效升力飞机上升飞机上升RzF 侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移OxM 滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x x轴滚转轴滚转OyM 偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯OzM 俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头（1 1） 合力合力ROdMF合力合力. .合力作用线距简化中心为合力作用线距简化中心为2 2空间任意力系的简化结果分析（最后结果）空间任意力系的简化结果分析（最后结果）RR0,0,OOFMFMR0,0OFM 过简化中心合力过简化中心合力RR()( )OOOMdFMFMF合力矩定理：合力对某点合力矩定理：合力对某点( (轴）之矩等于各分力对同一

10、点（轴）轴）之矩等于各分力对同一点（轴）之矩的矢量和之矩的矢量和. .（2 2）合力偶）合力偶一个合一个合力偶力偶，此时与简化中心无关。，此时与简化中心无关。R0,0OFM （3 3）力螺旋）力螺旋中心轴过简化中心的力螺旋中心轴过简化中心的力螺旋OOMFMF/, 0, 0RR钻头钻孔时施加的力螺旋既不平行也不垂直既不平行也不垂直RR0,0,OOFMF M力螺旋中心轴距简化中心为力螺旋中心轴距简化中心为RsinOMdF（4 4）平衡）平衡平衡平衡R0,0OFM 45 45 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件：空间任意力系平衡的充要条件：1 1. .空间任意力系

11、的平衡方程空间任意力系的平衡方程000 xyzFFF000 xyzMMM 空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零个坐标轴的矩的代数和也等于零. .该力系的主矢、主矩分别为零该力系的主矢、主矩分别为零. .3.3.空间力系平衡问题举例空间力系平衡问题举例2.2.空间约束类型举例空间约束类型举例000zxyFMM空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程46 46 重重 心心1.1.计算重心坐标的公式计算重心

12、坐标的公式1122.CnniiP xP xP xP xP xiiCPxxP1122.CnniiP yP yPyPyP y iiCPyyP1122.CnniiP zP zP zP zP z iiCPzzP计算重心坐标的公式为计算重心坐标的公式为iiCPzzPiiCPxxPiiCPyyP对均质物体，均质板状物体，有对均质物体，均质板状物体，有iiCVxxViiCV yyVi iCVzzViiCAxxAiiCAyyAi iCAzzA-称为重心或形心公式称为重心或形心公式2 2 确定重心的悬挂法与称重法确定重心的悬挂法与称重法（1 1） 悬挂法悬挂法（2 2） 称重法称重法1CP xF l1CFxlP

13、则则有有2CFxlP22211CFFzrlHPH cosllcossinCCxxhsinHl22coslHl例例4-14-1已知：已知：,nF 求：力求：力 在三个坐标轴上的投影在三个坐标轴上的投影. .nFsinnzFFcosnxyFFsincossinnxyxFFFcoscoscosnxyyFFF解：解：例例4-24-2已知：物重已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；030求：杆受力及绳拉力求：杆受力及绳拉力解：画受力图，列平衡方程解：画受力图，列平衡方程0 xF045sin45sin21FF0yF030cos45cos30cos45cos30sin21FFFA0zF030cos30s

14、in45cos30sin45cos21PFFFA123.54kNFF8.66kNAF 例例4-34-3求：三根杆所受力求：三根杆所受力. .已知：已知：P=1000N , ,各杆重不计各杆重不计. .解：各杆均为二力杆，取球铰解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受画受力图。力图。0 xF 045sin45sinOCOBFF0yF 045cos45cos45cosOAOCOBFFF0zF045sinPFOA1414NOAF （拉（拉）707NOBOCFF例例4-44-4已知：已知：, alF求：求：,xyzMFMFMFco sxMFFla co syMFF l sinzMFFla 解：把力解：把力

15、分解如图分解如图F例例4-5 4-5 已知：在工件四个面上同时钻已知：在工件四个面上同时钻5 5个孔，每个孔所受切削个孔，每个孔所受切削力偶矩均为力偶矩均为8080N Nm m. ., ,x y z求：工件所受合力偶矩在求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影轴上的投影 解：把力偶用力偶解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移矩矢表示，平行移到点到点A .mN802MMMiyymN1 .19345cos45cos541MMMMMizzmN1 .19345cos45cos543MMMMMixx求求: :轴承轴承A,B处的约束力处的约束力. .例例4-64-6已知：两圆盘半径均为已知：两圆盘半径均为200mm，

16、AB =800mm，圆盘面圆盘面O1垂直于垂直于z轴，圆盘面轴，圆盘面O2垂直于垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计构件自重不计. .解：取整体，受力图如图所示解：取整体，受力图如图所示. .0 xM0zMN5 . 1BxAxFFN5 . 2BzAzFF08004002BzFF08004001BxFF例例4-74-7求：正方体平衡时，力求：正方体平衡时，力 的关系和两根杆受力的关系和两根杆受力. .12,F F1122(,),(,),FFFF, ,不计正方体和直杆自重不计正方体和直杆自重. .已知：正方体上作用两个力偶已知：正方体上作用

17、两个力偶EACD2/解：两杆为二力杆，取正方体，画解：两杆为二力杆，取正方体，画 受力图建坐标系如图受力图建坐标系如图b以矢量表示力偶，如图以矢量表示力偶，如图c12MM设正方体边长为设正方体边长为a , ,有有1122MF aMFa有有12FF322AMFa2212ABFFFF杆杆 受拉，受拉， 受压。受压。12AA12BB0 xM 045cos31MM0yM 045sin32MM例例4-84-8 已知：已知：P=8kN,110kN,P 各尺寸如图各尺寸如图求：求： A、B、C 处约束力处约束力解：研究对象：小车解：研究对象：小车列平衡方程列平衡方程0zF01DBAFFFPP 0FMx10.

18、21.220DPPF 0FMy06 . 02 . 16 . 08 . 01DBFFPP5.8kN,7.777kN,4.423kNDBAFFF例例4-94-9已知：已知：2000N,F ,212FF ,60,30各尺寸如图各尺寸如图求：求：21,FF及及A、B处约束力处约束力解：研究对象，曲轴解：研究对象，曲轴列平衡方程列平衡方程0 xF 060sin30sin21BxAxFFFF 0yF00 0zF060cos30cos21BzAzFFFFF 0FMx040020020060cos20030cos21BxFFFF 0FMy0212FFDRF 0FMz12(sin30sin60 ) 200400

19、0BxFFF123000N,6000N,FF1004N,9397N,AxAzFF 3348N,1799N,BxBzFF 0 xF0txAxBxFFFF0yF0yByFF0zF0rzAzBzFFFF 0FMx 0FMy0trFRFz解：研究对象解：研究对象1 1：主轴及工件，受力图如图：主轴及工件，受力图如图03038876)76488(tyxBxFFFF038876)76488(rzBzFFF 0FMz又：又：,36. 0trFF kN2 .10tFkN67. 3rFkN64.15AxFkN19. 1BxFkN8 . 6ByFkN2 .11BzF例例4-104-10已知：已知：4.25N,xF 6.8N,yF 17N,zF ,36. 0FFr50mm,R 30mmr 各尺寸如图各尺寸如图求：求：（2 2）A、B处约束力处约束力（3 3）O 处约束力处约束力,rF F(1)(1)研究对象研究对象2 2：工件受力图如图：工件受力图如图, ,列平衡方程列平衡方程0 xF0 xOxFF0yF0yOyFF0zF0zOzFF 0FMx0100 xZMF 0FMy030yZMF 0FMz030100zyxMFF4.25kN,6.8kN,17kNOxOyOzFFF 1.7kN m,0.51kN m,0.22kN mxyzMMM 例例4-114