复变函数第5章 (4).

1、第九章第九章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换9.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念 9.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 9.3 卷积卷积 9.4 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 9.5 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用 结束本章大纲要求本章大纲要求 理解拉氏变换的定义，了解拉氏变换的理解拉氏变换的定义，了解拉氏变换的存在定理。熟练掌握拉氏变换的线性性质、存在定理。熟练掌握拉氏变换的线性性质、微分性质、积分性质、位移性质及延迟性微分性质、积分性质、位移性质及延迟性质。质。 掌握用留数定理、部分分式及查表等求掌握用留数定理、部分分式及查表等求拉氏逆变换的方法。拉氏逆变换的方法。理解卷积

2、的概念，掌握理解卷积的概念，掌握卷积定理。会用拉氏变换求某些积分，并会卷积定理。会用拉氏变换求某些积分，并会用拉氏变换解一般的微分方程。用拉氏变换解一般的微分方程。结束9.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念问题的提出：问题的提出：傅里叶变换的缺点傅里叶变换的缺点： 函数在函数在 上绝对可积上绝对可积(,) 函数在函数在 上有定义上有定义(,) 为了克服上述缺点，可以将任意函数为了克服上述缺点，可以将任意函数 进行改造进行改造( ) t ( ) ( )(0)tt u t e 只要只要 选得恰当，一般来说这个函数的傅里叶变换选得恰当，一般来说这个函数的傅里叶变换总是存在的。总是存在的。 结束

3、( ) ( )(0)tt u t e 对函数对函数 取傅里叶变换可得：取傅里叶变换可得：( )( ) ( )tj tGt u t eedt ()0( )jtt edt 0( )sjstt edt 若再设若再设( )()sF sGj 0( )( ).stF st edt 则得：则得：结束在复平面在复平面s的某一域内收敛，则称的某一域内收敛，则称F(s)为为f(t)的的拉普拉普拉斯变换拉斯变换( (拉氏变换拉氏变换) )，记作：，记作：相应地称相应地称f(t)为为F(s)的拉普拉斯逆变换（简称的拉普拉斯逆变换（简称拉氏拉氏逆变换逆变换）记为：）记为：也称也称f(t)与与F(s)分别为分别为象原函数

4、象原函数和和象函数象函数。一、一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义0( )( )stF sf t edt 定义：设函数定义：设函数 是定义在是定义在 上的实值函数，上的实值函数，如果对于复参数如果对于复参数 积分积分sj( )f t0,)1 1( )f t ( ).F s ( )F s ( ).f t结束 ( )f t 拉氏变换与傅氏变换的关系：拉氏变换与傅氏变换的关系： 0( )stf t edt 0( )tj tf t eedt ( ) ( )tj tf t u t eedt ( ) ( )tf t u t e 结束二、拉普拉斯变换求法举例二、拉普拉斯变换求法举例例例9.1.1 分别求

5、单位阶跃函数分别求单位阶跃函数u(t)、符号函数符号函数sgnt以及函数以及函数f(t)=1=1的拉氏变换。的拉氏变换。结束te ()0011(Re);tsts tte edtesss te ()0011()(Re);tsts tteedtesss j te 1(Re0).()ssj 例例9.1.2 结束二、二、 拉氏变换存在定理拉氏变换存在定理 定理定理9.1.1 设函数设函数 满足：满足：( )f t（1）在）在 的任何有限区间上分段连续；的任何有限区间上分段连续；0t （2）当）当 时，时， 具有有限的增长性即存在具有有限的增长性即存在常数常数 及及 ，使得，使得 t ( )f t0M

6、0c ( )(0)ctf tMet 其中其中 称为称为 的增长指数。则象函数的增长指数。则象函数 在半在半平面平面 上一定存在，且是解析的。上一定存在，且是解析的。c( )f t( )F sResc 结束例例3 求函数求函数 的拉氏变换的拉氏变换( 为复常数为复常数)( )tf te te 0tste edt ()01s ttes 1(ReRe).ss 结束注：注：1、为简便起见，在不致引起混淆的情况下，通常、为简便起见，在不致引起混淆的情况下，通常 用用 来表示来表示( )f t( ) ( ).f t u t2、除了、除了 这类函数外，工程技术中所遇这类函数外，工程技术中所遇到的函数大部分都

7、存在拉氏变换，应用范围较广。到的函数大部分都存在拉氏变换，应用范围较广。22,ttete3、指数级函数、指数级函数 的增长指数不是唯一的。的增长指数不是唯一的。( )f t4、象函数、象函数 在在 内解析，由解析函数内解析，由解析函数的理论的理论,可将其解析开拓到全平面上可将其解析开拓到全平面上.以后求象函数以后求象函数时不必再注条件时不必再注条件( )F sResc Re.sc 5、拉氏变换存在定理的条件是充分的，而不是必、拉氏变换存在定理的条件是充分的，而不是必要的。要的。结束6、满足拉氏变换存在定理条件的函数、满足拉氏变换存在定理条件的函数 在在 处有界时处有界时( )f t0t 0(

8、)stf t edt ( )f t0( )stf t edt ( )f t0( )stf t edt ( )f t000( )0( )0,( )0stf ttf t edtf tt ，在处有界，在处有界在处包含脉冲函数在处包含脉冲函数结束0( )stt edt ( )t 0( )stt edt ( )stt edt 01stte ( )( )tteteu t 0( )( )ttsteteu t edt 1s 结束练习练习:求下列函数的拉氏变换求下列函数的拉氏变换:.)()1(ttf .)()2(2ttf .sin)(cos)()()3(ttutttf 122 ss21s32s结束设设f(t)是

9、是 内以内以T为周期的函数，且为周期的函数，且f(t)在一个在一个周期上是连续或分段连续的周期上是连续或分段连续的，则：则：01 ( )( )1TstsTf tf t edte ), 0 结束9.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 设设 ，一、线性与相似性质一、线性与相似性质 1、线性性质：线性性质：( )( )( )( )f tg tF sG s1 1( )( )( )( )F sG sf tg t)()(sFtf )()(sGtg 结束5111( )23(1)(2)12sF sssss 由于由于1tes 1( )F s223ttee 例例5 已知已知 ，求，求1 151( )(1)(

10、2)sF sss ( )F s例例4 求求 与与 的拉氏变换。的拉氏变换。 1cos2j tj ttee 1j tesj 22111cos2stsjsjs 22111sin2tj sjsjs cost sint 结束2 2、相似性质：、相似性质：1 ()( )sf atFaa 01( )sxx ataf x edxa 0()stf at edt ()f at1()( )tF asfaa - -1对任意常数对任意常数 有有0 a结束1 1、导数的象函数：、导数的象函数：用途：解微分方程（组）的初值问题。用途：解微分方程（组）的初值问题。二、微分性质二、微分性质 ( )( )(0)ftsF sf

11、( )12(1)( )( )(0)(0)(0)nnnnnfts F ssfsff 结束例例6、求解微分方程：、求解微分方程：2( )( )0,(0)0,(0)yty tyy解：方程两边同时取拉氏变换得到：解：方程两边同时取拉氏变换得到：22( )(0)(0)( )0s Y ssyyY s 22( )Y ss ( )siny tt 例例7、求、求 为整数为整数 的拉氏变换的拉氏变换 1()( mttfm)结束例例8求函数求函数22( )sin( )cosf tttg ttt 及的拉氏变换及的拉氏变换 sintt 22dds s 2222()ss 21( )(1cos2 )2g ttt由于由于22

12、costt2221124dsdsss 2 2、象函数的导数：、象函数的导数：( )F s ( )tf t( )( )( 1)nnFs ( )nt f t结束1 1、积分的象函数：、积分的象函数：01( )( )tf t dtF ss 0001( )( )tttnndtdtf t dtF ss 2 2、象函数的积分：、象函数的积分：( )sF s ds ( )f tt( )sssndsdsF s ds ( )nf tt三、积分性质：三、积分性质： 例例9、求函数、求函数sin( )tf tt 的拉氏变换的拉氏变换(cot )arcs结束四、延迟与位移性质四、延迟与位移性质 1 1、延迟性质：、延

13、迟性质：当当t0时时, ,f(t)=0，则对任一非负实数则对任一非负实数有：有： () ()( )sf tu teF s 例例12、求、求1 11.1ses ().2f t 例例11、设、设f(t)=sint，求求结束2 2、位移性质：、位移性质：( )() ()tef tF s 为一复常数为一复常数例例1 求函数求函数 的拉氏变换的拉氏变换 ktetfatsin)( 22)(kask 例例2 求求 的拉氏逆变换的拉氏逆变换 521)(2 ssssFtet2cos 结束9.3 卷积卷积一、卷积的概念一、卷积的概念 定义定义9.3.1 设函数设函数 满足条件：满足条件：当当 时，时，则将积分则将

14、积分称为称为 与与 的卷积，记作的卷积，记作)(),(21tftf0 t, 0)()(21 tftf tdtff021)()( )(1tf)(2tf)()(21tftf 12120( )( )( )()(0)tf tftfftdt 结束注：注：1、拉氏变换的卷积定义与傅氏变换的卷积、拉氏变换的卷积定义与傅氏变换的卷积定义是完全一致的。定义是完全一致的。 2、卷积的性质：、卷积的性质：1）交换律）交换律2）结合律）结合律3）分配律）分配律例例9.3.1求函数求函数12( )( )sinf ttftt与的卷积。与的卷积。结束二、卷积定理二、卷积定理定理定理9.3.1 如果如果 满足拉氏变换存在定满

15、足拉氏变换存在定理中的条件，且理中的条件，且 则则 的拉氏变换一定存在，且的拉氏变换一定存在，且)(),(21tftf)()(11sFtf )()(22sFtf )(*)(21tftf1212( )( )( )( )f tftF sF s1 1)()()()(2121tftfsFsF 结束00( )coscoscos cos()11coscos(2)( cossin )22ttf ttttdtt dttt 例例9.3.2 已知已知222( ),( )(1)sF sf ts 求求1( ).F s结束9.4 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换由拉氏变换与傅氏变换的关系可知：由拉氏变换与傅氏变换的关系可知

16、：1( )2js tjF s e dsj 反演积分公式反演积分公式一、反演积分公式一、反演积分公式 dteetutfjFsFtjt )()()()( dejFetutftjt)(21)()( deejFeetutftutfttjtt)(21)()()()()(, 0tft 结束1( )Re ( ), (0)nstkkf ts F s est 即：即：二、利用留数计算反演积分二、利用留数计算反演积分 nkkstjjstsesFsdsesFj1,)(Re)(21 定理定理9.4.19.4.1设设 除在半平面除在半平面 内有限个孤内有限个孤立奇点立奇点 外是解析的，且当外是解析的，且当 时，时， 则

17、：则：)(sFcs Reksss,21 s0)(sF结束例例9.4.1已知已知 求求( )Re ( ), 1Re ( ), 3ststf ts F s es F s e223132331233limlim(3)2!(1)ststsssssseess 例例9.4.2已知已知求求 23233( )(1)(3)ssF sss ( )f t 1 1( ).F s231313424ttette )2()1(1)(2 sssF( )f t 1 1( ).F s结束三、拉氏逆变换的求法三、拉氏逆变换的求法1、求、求 的拉氏逆变换。的拉氏逆变换。 )3)(2)(1()( sssssF.10315261)(32

18、ttteeetf 2、求、求 的拉氏逆变换。的拉氏逆变换。 11ln)( sssF).(1)(tteettf 结束3、求、求 的拉氏逆变换。的拉氏逆变换。 )()(222assasF 4、求、求 的拉氏逆变换。的拉氏逆变换。 221)(sesFs .sin1)(2ataattf 2),1(220 ,)(tttttf结束9.5 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用一、利用拉氏变换计算广义积分一、利用拉氏变换计算广义积分 0000( )(0),( )(0),( )( )f t dtFtf t dtFf tdtF s dst 结束例例9.5.1 计算下列积分：计算下列积分：301)cos2tetdt 01cos2)tte dtt 2201cos11ln2sttsedtts 由于