理论力学复习要点

1、复习要点 静力学 物体的受力分析，受力图的画法； 会用坐标矩阵法求力系向O点简化，或求力对点的矩和力对轴的矩。 二力构件的受力特点，三力汇交平衡；力偶系平衡 物体系统平衡问题。复习要点 运动学 会利用不同连体基的关系求机构位形 刚体的基本运动（定轴转动和平行移动）； 点的合成运动，科氏加速度 刚体的平面运动，速度分析（瞬心法、基点法、速度投影法），加速度（基点法）。复习要点 动力学 基本物理量的计算：动量、动量矩、动能； 动力学普遍定理的综合应用，包括含附加项的动量矩定理 惯性力系的简化，用达朗贝尔原理求解。 虚位移原理求解静力学问题。 用Lagrange方程求解动力学问题空间中力对点之矩的计

2、算对于参考基又显然即，力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。这样就有当注意到并由：与力对轴之矩比较得 得： 是以矢量 的三个投影为元构造的反对称矩阵，将此阵称为矢量 的叉乘矩阵。又：于是有：其中： 本课程中称 阵为 坐标方阵 。 且 图示曲杆支承于点 O ，在其端点 C 作用一与 AB 杆平行的力 ，求力 对点 O 之矩。例 2-2解1： 选参考基对应列出坐标阵 直接计算力对轴之矩。（几何法）解法2：得：解法1例 2-3 在图示的结构中，钢丝绳所受的张力为300kN。求绳子张力对点 O 的矩。 解： 作用在 A 点的绳子之张力为 ， 而 。 显然其坐标阵力 的坐标阵：选参考基

3、 设 A 点的位置矢量为 ，写出该矢量的坐标阵： 坐标方阵为：最后得：对应 的坐标阵运算1.建立参考基2. 列出所有力的矢量式：3. 计算并列出与单位矢量 对应的坐标阵4. 计算力的坐标阵5. 画出每个力作用点的位置矢量6. 计算并列出对应位置矢量的坐标阵7. 根据矢量运算找出同一参考基下的坐标阵运算比如：8. 根据坐标阵运算的结果得到题目要求的答案运算步骤小结矢量运算式坐标阵运算式矢量运算与同基下的坐标阵运算关系 在图示的结构中，钢丝绳所受的张力为 F。求绳子张力对点 O 的矩。例 2-3 公式法 O解： 先计算力的三个投影套用公式求力对点的矩：O几何解法： 分别计算力对各轴的矩：分解力?

4、?例例1-4 CABPFAxFAyFBxFByFCxFCyACCBAC例例1-4 FAxFAyFCFCFBFACABPFCPP例例1-5 CABPQCBACFAxFAyPFCFCFBQACBCCABPQFCyFCxQFCxFCyFAxFAyFBPCBACFAxFAyFCFBFCFC1yFC1xCABPQFC1y FC1xPQCABFAxFAyFBPQCA例例1-6 不计自重的三铰刚架受力如图，试分别画出刚架AC、刚架CB、销C及整体的受力图。CABFBPCBFAFBFC1FC2FC1FC2PCFA 自重为 P = 100 kN 的 T 字形刚架， l =1m， M = 20kNm，F = 40

5、0 kN，q = 20 kN/m ，试求固定端A 的约束反力。BDqMP P P例 3-4A静定组合梁如图，已知 Q = 10kN，P = 20kN，p = 5kN/m，q = 6kN/m和 2a = 1m。梁自重不计，求A，B的支座反力。2a2a2a2aaa例3-7ABCDpqQPv画出系统的受力图。v未知量有四个，必须拆分系统！见后续 可见，AC段有5个未知量，CD段有3个未知量，可先研究CD段。AC2a2aaPpBDCqQ2a2aal分别画出AC段、CD段的受力图。见后续 解法一：1、以CD为对象 NB = Q 2 + 4qa 3 = 9 （ kN )= 0 YC 2a Q a + YC

6、 = Q 2 - qa 3 = 4 （ kN )Q = 10kN，q = 6kN/m 2a = 1mBDCqQ2a2aa见后续 2、再以AC为对象AC2a2aaPp见后续 可不必去求 XC、YC ，而直接去研究整个系统。解法二：1、以CD为对象Q = 10kN，q = 6kN/m 2a = 1mBDCqQ2a2aa由解得见后续 2、以系统为研究对象，画受力图。p2a2a2a2aaaABCDqQP由解得ENDMAOC（b）动系固结在 上。（c） 牵连运动是 ； 相对运动是 ； 绝对运动是 ； 图示M为一小圆环，套在杆OA和固定的大圆环上，已知杆OA的角速度为。欲求小环M沿大环滑动的速度。 （a）

7、 选 为动点。vavevr试回答下列问题： 小环MOA杆OA杆的定轴转动（d） 画出速度平行四边形。沿OA杆的直线运动沿大圆环的圆周运动（e） 有没有科氏加速度？若有，指向如何？aCvavevraCvavevraCEND画加速度合成图MAOvavevrvavevrvavevraCCaraCCO 图示偏心轮以角速度绕O轴转动，求从动杆O1M的 角速度。 ENDO1OCMvevrva（b）动系固结在 上。（c） 牵连运动是 ； 相对运动是 ； 绝对运动是 ；（a） 选 为动点。试回答下列问题： （d） 画出速度平行四边形。（e） 有没有科氏加速度？若有，指向如何？O1M杆上M偏心轮偏心轮的定轴转动

8、沿偏心轮轮廓的曲线运动以O1M为半径的圆周运动evevrvavevrvaaCaCaC画加速度合成图O1OCMvevrvaevevrvavevrvaaCaCaCO1OCeaC图示机构OA杆角速度，角加速度 绕O轴转动，求从动杆O1B的角速度、角加速度。OAO1vavevr选动点A销，动系O1B杆！OAO1araC1B11已知十字杆由两根相同的均质杆AB、OD固结而成，可绕轴O定轴转动。若两杆的质量均为m，长为l，固结点C为两杆中点，角速度为，试求该十字杆的动量、对轴O的动量矩及动能。 解：质心C的速度为OCABDvC十字杆对轴O的转动惯量为十字杆对轴O的动量矩为十字杆动能为十字杆的动量为END已

9、知十字杆由两根相同的均质杆AB、OD固结而成，可绕轴O定轴转动。若两杆的质量均为m，长为l，固结点C为两杆中点，角速度为，角加速度为，试将该十字杆的惯性力系进行简化。OCABD两根质量均为m、长均为l的均质杆OA与AB在A处铰接，两杆水平时角速度均为零，角加速度分别为 1和 2。求该瞬时系统的惯性力系简化的结果，并画出各惯性主矢和惯性主矩的方向。 解：OA作定轴转动,ABC1C2AB作平面运动, 由基点法式中所以ABC1C2FI1FI2已求得OA作定轴转动,惯性力系向轴O简化：AB作平面运动,所以惯性力系向质心C2简化：讨论 如何求两杆静止释放瞬时，两杆的角加速度？轴承O及铰链A的约束力？ma

10、C1ABC1C2maC2ABC2maC2已知滑轮机构物块m1， m2，均质轮m3，r， 图示瞬时速度v，求系统的动能、对水平轴O的动量矩。Om1m2m3rv 解：滑轮的角速度为系统对轴O的动量矩为系统的动能为vNext已知质量为m长为l的均质细杆AB两端各固接质量为m的小球，系统绕水平轴O以角速度转动，求系统的动能及对水平轴O的动量矩。OABmvmv解：系统的动能为系统对轴O的动量矩为Next已知质量为m长为l=4r的均质细杆AB两端各固接质量为m半径为r的均质圆轮，系统绕水平轴O以角速度转动，求系统的动能及对水平轴O的动量矩。OABrr解：系统的对水平轴O的转动惯量为l系统对轴O的动量矩为系

11、统的动能为已知均质杆AB质量为m，长为l，B端点速度为v，求该杆的动量、对质心C的动量矩及动能。 杆的动能为解：杆做平面运动，瞬心为P，杆对质心C的动量矩为质心C的速度为杆的角速度为杆的动量为杆对瞬心P的转动惯量为解毕已 知 平 面 机 构 ， 均 质 杆OA=AB=l、均质轮半径为r，质量同为m，OA杆角速度，试求图示瞬时系统的动能。OBAC 30vAvBBAB系统的动能AB杆、B轮的速度瞬心为P和D。P DEnd均质杆OA的质量为m，长为l，杆端A处铰接一质量为2m，半径为r的均质盘，从虚线位置落下，初瞬时系统静止。当杆落至水平时，杆的角速度为，求该瞬时，系统的动量、对轴O的动量矩及动能。

12、 系统的动能AOAm,l2m,r解：系统落下过程中，杆作定轴转动，圆盘作曲线平动，vCvA系统的动量 系统对轴O的动量矩vCvA见后续 讨论若均质杆OA与均质盘固结为一体，其余条件同上，则系统的动量、对轴O的动量矩及动能如何求？ AOAm,l2m,r习题13-9 已知均质圆柱A、B的重量均为P，半径均为r， 求（1）圆柱B下落时质心的加速度aB ；（2）若在圆柱A上作用一矩为M的逆时针转向力偶，能使圆柱B质心上升的条件。ABrr(1)(2)ABrrMaB已知P，r，求（1）圆柱B下落时质心的加速度；解法一 见后续式中分别研究圆柱A、B ，画受力图。对圆柱A ，根据定轴转动微分方程，有ABrAB

13、对圆柱B ，根据刚体平面运动微分方程，有（2） （1） （3） 须通过运动分析补充方程。AvD对时间求导得（4） 联立以上4式，得aBvDvBDvBBDB所以vDvDvBDvB解法二研究圆柱A、B 系统，已知P，r，求（1）圆柱B下落时质心的加速度；ABABBA圆柱A、B 系统对定轴A的动量矩为根据质点系动量矩定理，有aBr求导，得式中：所以，分别研究圆柱A、B ，已知P，r，力偶M ，求（2）能使圆柱B质心上升的条件。对圆柱A ，有对圆柱B，有（2） （1） （3） 补充运动分析方程。（4） 能使圆柱B质心上升的条件为解得ABaBrAB已知P=mg，r，求圆柱B下落时质心的加速度；解法三用达

14、朗贝尔原理求解。ABrBA研究圆柱A、B 系统，画受力图。补充运动分析方程。根据质系达朗贝尔原理,有解得式中例13-6 已知磙子C、滑轮O均质，重量、半径均为Q、r。磙子沿倾角为的斜面向下作纯滚动，借不可伸长的绳子提升重W的物体，同时带动滑轮O绕轴转动，求 (1)磙子质心C的加速度aC； (2)系在磙子上的绳子的张力； (3)轴承O处的反力。CO续例13-6 已知Q，r，W，求(1)质心C的加速度。系统受力如图，解：(1)用功率方程求aC ，系统动能为CvWCO系统所有力的功率为P = (QsinW )vC代入功率方程得QOFOyDFFNW vCQFOxO(2)分别研究轮O和重物，求磙子上绳子

15、的张力及轴承O处的反力。由质心运动定理，有FT2FT2aW由定轴转动微分方程，有对重物，有又联立式、即可解得研究轮O，受力如图，OQFT1WFOyFOxWaW研究轮O及重物系统,受力如图，由质点系动量矩定理已求得且即(2)研究轮O和重物系统求磙子上绳子的张力及轴承O处的反力。OOQFT1FOyFOx由质点系质心运动定理O联立式、即可解得C aCCFFNQFT1续例13-6 求磙子上绳子的张力还可以通过研究磙子C。磙子C作平面运动，受力如图 根据平面运动微分方程，有 即可解得或对瞬心D用动量矩定理 D即即可解得已求得CQOFOyDFFNW aQFOxWgaQgaJCJOWOQFT1FOxWgaF

16、OyJOa研究轮O及重物系统,受力如图， 由达朗贝尔原理，则联立即可解得物A质量为2m，鼓轮半径为r、R=2r，质量M=3m ，对质心C的回转半径为 =2 r，滚动而不滑动。 均质O 轮质量为m ，半径为r 。斜面倾角为=30，求 (1)重物A的加速度； (2)鼓轮与O 轮间绳子的张力； (3)地面对鼓轮的约束力。OArRCDFOyFOxOArRCDFOyFOxOCr系统受力如图，解：(1)用功率方程求aA ，设重物速度为v，则系统动能为已知求 (1) aA；系统所有力的功率为代入功率方程得已知已求得系统动能为OArRCDFOyFOxOCr则鼓轮质心加速度求 (1) aA；研究鼓轮， 求鼓轮与

17、O 轮间绳子的张力及地面对鼓轮的约束力。根据平面运动微分方程CD已求得xy已知联立即可解得C式中已知P，Q，回转半径 ， r、R，纯滚动。O 轮质量不计。求 重物A的加速度；解解研究系统，COArRCDFNF系统动能为C由动能定理当重物下降dh = vdt 时系统所有力的元功为解得式中 dhFOyFOx所以例13-7 已知质量为m、长为l的均质杆OA绕水平轴O转动，杆的A端铰接一质量为2m半径为r的均质圆盘，初始时OA杆水平，杆和盘静止；求杆落至与水平线成 角时杆的角速度、角加速度。AOA 见续后续例13-7解：先分析圆盘的运动。根据对质心的动量矩定理，有即：盘为平动！系统落至角处，受力如图，

18、圆盘受力如图，求导且注意到解得法一：由动能定理，有OA2mgA mg mg mg mgFOxFOy2mg2mg2mgYAYAYAYA2mg2mg2mg2mgXAXAXAXAA已知杆m、l，圆盘2m、R，初始时OA杆水平，系统静止；求角时杆的角速度、角加速度。所以 见续后B法二：由动量矩定理OA mgFOy2mg例13-7 已知杆m、l，圆盘2m、R，初始时OA杆水平，系统静止；求角时杆的角速度、角加速度。注意到积分得所以B 见续后FOx例13-7讨论（一）OA mgFOn 2mgB已求得轴承O处约束反力如何求？FOyFOxFO 用质心运动定理！式中即可解得 见续后若初始时OA杆水平静止，而圆盘

19、角速度为A，求杆落至与水平线成 角时杆的角速度、角加速度。例13-7讨论(二)AOAAA圆盘为平面运动！角速度始终为A！初始动能 角时动能 角时动量矩 见续后m2m例13-7讨论（三） 若杆与圆盘固接为一体，则杆落至与水平线成 角时，杆的角速度、角加速度？轴承O处约束反力？解毕。OA mg2mgB系统对轴O的动量矩为系统对轴O的转动惯量为系统的动能为例13-8 均质杆OA=l=1m，质量m=6kg，可绕轴O在铅垂面内自由转动。当OA杆铅直时，角速度为0=10rad/s，转至水平处恰好将弹簧压缩了=0.1m，此时角速度为零。试求 （1）弹簧的刚性系数k； （取g=10m/s2) （2）杆水平时，

20、轴承O处的约束反力。kOA 见续后OAk续例13-8 已知l=1m，m=6kg，0=10rad/s， =0.1m 求(1) 弹簧的刚性系数k； (2)杆水平时O处反力。 mg解：(1)用动能定理求弹簧k(2)杆水平时受力如图，代入数据得 mg根据定轴转动微分方程，有 mg mg mg已求得：弹簧的刚性系数杆转至水平时，根据质心运动定理，有代入数据，得解毕。杆转至水平时，角速度为零，即OAk mg例12-8另解均质细杆AB长2l，质量为m，B端搁在光滑的地板上，A端靠在光滑的墙壁上，A、B均在垂直墙壁的同一铅直平面内。初瞬时，杆与墙壁的夹角为0，由静止开始运动。求杆的角加速度、角速度及墙壁和地面

21、的反力（表示成 的函数）BAC见后续在动量矩定理一章中，已用刚体平面运动微分方程求解出、 ，现再用动能定理求解，试作一比较。已知杆m，2l；0，求 时杆、及A、B处的反力。AB回顾：回顾：研究杆，画受力图。用平面运动微分方程求解。上列三方程中未知量数必须找补充方程。根据几何关系，有xC=lsin,yC=lcos,对时间t求二阶导数，得ll又杆对质心的转动惯量为Cmg5个。mgmgmgFNBFNA联立求解 式，得代入式，得ABCmgll现在求杆的角速度，式代入式、，得例12-8续FNBFNAAB解：用动能定理求运动量。杆的速度瞬心为P，对时间 t 求导数，得CmgmgmgmgPvC杆的动能为所有

22、力的功率为根据功率方程得所以，杆的角加速度为FNBFNA已知杆m，2l；0，求 时杆、及A、B处的反力。已求得杆的角加速度为AB杆在运动过程中，质心C的轨迹为以墙角O为圆心的圆周，再求杆的角速度，O两边积分，得杆的角速度为所以，质心C的加速度为ABFNBFNAPmg已求得质心C的加速度为于是得A、B处的反力为根据质心运动定理，得ABFNAPmgFNB讨论（一）问：AB杆什么时候开始脱离墙壁？ABAB杆脱离墙壁的条件是什么？杆脱离墙壁的条件是什么？此时，令得AB杆开始脱离墙壁的角度为FNA= 0 !ABFNAPmgFNB 均质杆 AB 长为 l，质量为 m。杆在地面与墙面上无摩擦地滑动。 试利用

23、独立坐标法建立杆 AB的动力学方程 例14 - 5 解 建立参考基 和连体基（1）运动分析（2）受力分析杆的位形坐标：约束方程：显然自由度为 1 。 选 为独立坐标，拟建动力学方程。 为了使方程中不出现理想约束力，选择瞬心为矩心。（3）建立以独立坐标 表示的动力学方程 选用动量矩定理，即最后得：至于下面解释。显然求解方便太多！ 题毕例13-9 已知物块A、B的质量均为m，两均质圆轮C、D的质量为2m，半径均为R，无重悬臂梁CK长为3R； 求(1)物块A的加速度； (2)HE段绳的拉力； (3)固定端K的约束反力。 见续后CDKHAEB续例13-9（1）求物块A的加速度。解：设运动情况如图，系统

24、动能为式中所以D BvACDvBvAvAvACCCDDDvBvBvB 见续后A CCDKHAEB2mm2mm续例13-9（1）求物块A的加速度。系统受力如图，由功率方程可解得且所有力的功率为：CDKHAEBvACDvBmgmgFKxFKy2mg2mgMKmgmgmg2mg2mg2mgmgmgmg2mg2mg2mgFKxFKxFKxMKMKMKFKyFKyFKy 见续后已求得：FTFTFTECvAAC（2）求HE段绳的拉力；已求得2mgFCxFCy续例13-9取物块A与轮C系统为研究对象，受力如图，FEH由CDKHAEBvACDvB有式中且解得由质心运动定理，有求得mgFEHFEHFEH2mg2

25、mg2mgmgmgmgFCxFCxFCxFCyFCyFCy 见续后续例13-9已求得：(3)求固定端K处的约束反力。CKCDKHAEBvACDvBmgmgFKxFKyMK2mg2mg取悬臂梁CK为研究对象，受力如图，由FKxFKyFCxFcy解得MK又FKxFKxFKxFKyFKyFKyMKMKMKFcyFcyFcyFCxFCxFCx解毕。O O O例13-10 已知质量为m1的三棱柱放在光滑水平面上，质量为m2的均质圆柱体O由静止沿三棱柱的斜面向下纯滚动；求三棱柱的加速度。 见后续OOOsO例13-10 已知三棱柱m1；圆柱m2；纯滚动；光滑水平面；求a。m2gm1gFNv ve解：研究整个

26、系统，受力如图，Fx = 0，系统在水平方向动量守恒，所以FNFNFNm1gm1gm1gm2gm2gm2gv vevvevrvrvr设圆柱体O质心由静止沿斜面向下滚动距离s时，三棱柱的速度为v，圆柱中心速度为vo，系统动量为系统动量在x方向的投影选O为动点，三棱柱为动系，则由所以vO见后续vOvO例13-10 已知三棱柱m1；圆柱m2；纯滚动；光滑水平面；求a。 已求得对上式求导且知解得并将式(1)代入，即三棱柱的加速度。END由动能定理，有OsOv a vevrvO系统动能为FNm1gm2gO例13-10 已知三棱柱m1；圆柱m2；纯滚动；光滑水平面；求a。a aearaOO MIOm2ar

27、m2aem1a 解法二：设圆柱沿斜面滚下时三棱柱的加速度 为a，选O为动点，三棱柱为动系，则由所以研究整个系统，画受力图，并虚加惯性力且且FNm1gm2g设圆柱中心加速度为ao，圆柱角加速度为a aO aear图中惯性力偶为见后续Om2arm2a m1a FNm1gm2g例13-10 已知三棱柱m1；圆柱m2；纯滚动；光滑水平面；求a。m2arm2gFN1FsOD研究整个系统，由达朗贝尔原理，研究圆柱，由达朗贝尔原理，解得即三棱柱的加速度。解毕m2a 两根质量均为m、长均为l的均质杆OA与AB在A处铰接，两杆水平时角速度均为零，角加速度分别为 1和 2。求该瞬时系统的惯性力系简化的结果，并画出各惯性主矢和惯性主矩的方向。 解：OA作定轴转动,ABC1C2AB作平面运动, 由基点法 式中 所以 待续ABC1C2FI1FI2已求得 OA作定轴转动, 惯性力系向轴O简化： AB作平面运动, END 所以 惯性力系向质心C2简化：x质量为m 、长为 l 的均质杆一端用光滑铰链铰接于滑块，滑块在光滑的水平面上滑动，试用广义坐标x及表示AB杆的惯性力系简化结果。 待续ABCoxxABCox质量为m、长为 l 的均