数学空间角的计算新人教A选修PPT学习教案

1、会计学1数学空间角的计算新人教数学空间角的计算新人教A选修选修空间的角：空间的角：空间的角常见的有：空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。线线角、线面角、面面角。 空间两条异面直线所成的角可转化为两条相空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角时，就主要求角时，就主要求 范围内范围内 的角；的角；0,2 斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在面内这些特殊情况，线面角的范围也是面内这些特殊情况，线面角的范围

2、也是 ；0,2 两个平面所成的角是用二面角的平面角来两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量。它的范围是度量。它的范围是 。 0, 总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。角。第2页/共48页异面直线所成角的范围：异面直线所成角的范围： 0,2ABCD1D, 与 的关系？CD AB思考：思考：, 与 的关系？DC AB结论：结论：cos|cos,| a b|一、线线角：一、线线角： ab，ab，设直线的方向向量为 ，的方向向量为CAaBbD

3、aabb第3页/共48页所以 与 所成角的余弦值为A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则： Cxyz11CC(1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：11(,0,1),2 AF111( ,1)22 BD11cos, AF BD1111| AF BDAFBD113041053421BD1AF3010例一：例一：090 ,中，现将沿着Rt ABCBCAABC平面的法向量ABC1，BCCACC11求与所成的角的余弦值.BDAF111平移到位置，已知ABC1111取、的中ABAC111111取

4、、的中点、 ，ABACDF第4页/共48页练习：练习：在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD= ，14,AA1112,为上的一点,且MBCB M1点 在线段上，NAD1.ADAN1.(1)求证：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4), AM1(0,8, 4), AD10 AM AD1.ADAM（2）求与平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M简解：简解：第5页/共48页2n BA ，直线与平面所成角的范围： 0,2ABO, 设平面 的法向量为 ，则与 的关系？nn BA思考思考：结论：结论：sin|cos

5、,| n AB 二、线面角：二、线面角： nnBAAB2n BA ，第6页/共48页例二：在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD= ，14,AA1112,为上的一点,且MBCB M1点 在线段上，NAD1.ADAN1.(1)求证：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD1(0,8, 4), AD（2）求与平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos, AD AD2 55与平面所成角的正弦值是ADANM2 55简解：简解：1111(1) 由知，又，所以平面所以是平面的法向量。ADAMADANAMANAADAMNAD

6、AMN所以所以第7页/共48页练习： 1111ABCDABC D的棱长为1.111.B CAB C求与 面所 成 的 角正方体ABCD1A1B1C1Dxyz(0 0 0)A ， ，1(101)B， ，(110)C ， ，设正方体棱长为设正方体棱长为1，1AB AD AA ， ，为单以以1(101)(110)ABAC ， ， ，1(111)C， ，11(010)BC 则， ，1()ABCnxyz设为， ，平平面面的的法法向向量量100n ABn AC 则，0=10= -1xzxyn =(1 -1 -1)， ， ，xyz所所以以取取得得故故位位正正交交基基底底，可可得得110 1 03cos313

7、n BC ，1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABC第8页/共48页l将二面角转化为二面角的两个面的方向向量将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。夹角。如图，设二面角如图，设二面角 的大小为的大小为 ，其中其中l,ABl ABCDl CDcoscos,AB CDAB CDAB CD DCBA三、面面角：三、面面角：方向向量法：方向向量法：二面角的范围：0, 第9页/共48页 例三：例三：如图如图3 3，甲站在水库底面上的点，甲站在水库底面上的点A A处，乙站在水坝斜面上的处，乙站在水坝斜面上的点点B B处

8、。从处。从A A，B B到直线到直线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长为的长为 , AB, AB的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 labcd解：解：如图，如图，. dABcCDbBDaAC ，化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法则有根据向量的加法法则有DBCDACAB 222)(DBCDACABd )(2222DBCDDBACCDACBDCDAB DBACbca 2222DBCAbca 2222于是，得于是，得22222dcbaDBCA 设向量设向量 与与 的夹角为的

9、夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。就是库底与水坝所成的二面角。CADB 因此因此.cos22222dcbaab ABCD 所以所以.2cos2222abdcba 所以库底与水坝所成二面角的余弦值为所以库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba 第10页/共48页ll三、面面角：三、面面角：二面角的范围：0, 法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos12cos, n ncos12cos, n n注意注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法

10、向量夹角的补角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角第11页/共48页,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0如所示，ABC D 是一直角梯形， ABC =90S平面求面与面所成二面例：角的余弦值四ABCDSxzyA- xyz解： 建立空直角坐系如所示,A( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量11(1,0),(0, 1)22 CDSD2( , , ), SCDnx y z的法向量22, nCD nSD由得：设平面设平面0202yxyz22yxyz2(1,2,1) n任取1212126

11、cos,3| n nn nnn63即所求二面角得余弦值是 方向朝面外，方向朝面外， 方向朝方向朝面内，属于面内，属于“一进一出一进一出”的情况，二面角等于法向的情况，二面角等于法向量夹角量夹角1n2n第12页/共48页小结：小结：1.异面直线所成角： cos|cos,| a b2.直线与平面所成角： sincos, n AB|ABCD1DABOnaban第13页/共48页lcoscos,AB CDAB CDAB CD DCBA3.二面角：ll 1n 1n 2n 2n 一进一出，一进一出，二面角等于二面角等于法向量的夹法向量的夹角；角；同进同出，同进同出，二面角等于二面角等于法向量夹角法向量夹角

12、的补角。的补角。cos12cos, n ncos12cos, n n第14页/共48页2 2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是影的方向向量分别是 = =（1 1，0 0，1 1），）， = =（0 0，1 1，1 1），那么这条斜线与平面所成的角是），那么这条斜线与平面所成的角是_ _ . .3 3、已知两平面的法向量分别、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为则两平面所成的钝二面角为_ ._ .练习练习:1 1、已知、已知 =(2,2,1),

13、=(4,5,3),=(2,2,1), =(4,5,3),则平面则平面ABCABC的一个法向量是的一个法向量是_ ._ .AB AC 6001350ab第15页/共48页4. 三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E为为PC中点中点 ,则则PA与与BE所成角的所成角的余弦值为余弦值为_ . 5. 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中, A1A=2, AB=AC=1, 则则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成角的余弦值为角的余弦值为_ . 6.正方体中正方体中ABCD-A1B1C1D1中中E为为A1D1的的中点中点, 则二面角则二面角E-BC-A的大小是的大小是_090B

14、AC090BAC6631 01 0045第16页/共48页7.正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的中点，的中点，当当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值。的余弦值。111CBAABC 11BCABCBCD1CADBC1B1A18.8.已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2 2， O为为AC和和BD的交点，的交点，M为为 的中点的中点 （1 1）求证：）求证： 直线直线 面面MAC; （2 2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值. .1111DCBAABCD1DDOB1CMAB1 B1A1 C1D1DCBAOM第17页/共48页)0,21,23(aaA)0 ,0(aB)0 ,41,43(a

15、aD), 0 , 0(1bC),0(1baB 解法一：如图，以解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为设底面三角形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b,则则 C(0,0,0)故),21,23(1baaAB), 0(1baBC11,ABBC2211102AB BCab 22ba则可设 =1， ，则B(0,1,0) a22b)0 ,41,43(D)22, 0 , 0(1CyxzCADBC1B1A1FE作作 于于E, 于于F，则则 即为二面角即为二面角 的大小的大小1BCCE 1BCDF FDEC,CBCD1在在 中，中， 即即E分有向线段分有向

16、线段 的比为的比为BCCRt121222211abBCCCEBECBC12112(0,)33E12(0,)33EC 第18页/共48页由于 且 ，所以 ACBDABCCC面1DCBD1在 中，同理可求 BDCRt1)42,21,0(F)42,41,43(FDcos = FDEC ,22463341FDECFDEC即二面角 的余弦值为 CBCD122yxzCADBC1B1A1FE第19页/共48页解法二解法二：同法一，以：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面在坐标平面yoz中中 1CC B设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 BDC1),(zyx

17、m 同 法 一 ， 可 求同 法 一 ， 可 求 B(0,1,0)0 ,41,43(D)22, 0 , 0(1C) 0 ,43,43(DB)22,41,43(1DC可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 BCC1nyxzCADBC1B1A1由由 得得mDBmDC,113120,442CD mxyz 04343yxmDB解得解得 zyx263 所以，可所以，可取取 )6, 3, 3(m二面角二面角 的大小等于的大小等于 CBCD1nm, cos = nm,22233nmnm即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 CBCD122 方向朝面外，方向朝面外， 方向朝方向朝面内，属于面内，属

18、于“一进一出一进一出”的情况，二面角等于法向的情况，二面角等于法向量夹角量夹角nm第20页/共48页8. 证明：以证明：以 为正交基底为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得，建立空间直角坐标系如图。则可得1DA DC DD 、 、1(2 0 0)(0 2 0)(0 01)(2 2 2)(110)ACMBO， ， ， ， ， ，。1(2 01)(0 21)( 112)MAMCBO 所以， ， ， ， ， ， ，1120200220BO MABO MC ，11BOMABOMC 所以 ， 11BOMABOMCMAMCC即 ， 。又1BOMAC所以平面 8.8.已知正方体已知正方体 的边长为的边长

19、为2 2， O为为AC和和BD的交点，的交点，M为为 的中点的中点 （1 1）求证：）求证： 直线直线 面面MAC; （2 2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值. .1111DCBAABCD1DDOB11BMA C B1A1 C1D1DCBAOMxyz第21页/共48页1BOMAC由知 平面 B1A1 C1D1DCBAOMxyz1BOMAC所以是平面的一个法向量1(2 0 0)(0 01)(2 2 2)AMB由， ， ， ，得1()B MAnxyz设平面的一个法向量为， ，1(2 01)(2 21)MAMB ， ， ， ，10020021-2220n MAn MBxzzxyxyz 所以，即

20、 取 = 得 = ， =1(12 2)B MAn 所以平面的一个法向量为， ，1( 112)BO 且， ，11246cos669BOn ，166BMAC所以二面角的余弦值为。第22页/共48页习题课习题课第23页/共48页例例1 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形，侧棱形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的中点，的中点，作作EFPB交交PB于点于点F.(1)求证：求证：PA/平面平面EDB(2)求证：求证：PB平面平面EFD(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F第24页/共48页ABCDP PE

21、EF FXYZG解：如图所示建立空间直角坐标系，点解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，为坐标原点，设设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2APE依依题题意意得得)021,21(，的坐标为故点是此正方形的中心，所以点是正方形，因为底面GGABCD第25页/共48页ABCDP PE EF FXYZG)21, 0 ,21(),1, 0 , 1 (EGPA且EGPAEGPA/2，即所以EDBPAEDBEG平面且平面而,EDBPA 平面所以，/(2)求证：求证：PB平面平面EFD第26页/共48页A

22、BCDP PE EF FXYZ) 1, 1 , 1 (),0 , 1 , 1 (2PBB）证明：依题意得（021210),21,21, 0(DEPBDE故又DEPB 所以,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。第27页/共48页ABCDP PE EF FXYZ的平面角。是二面角故）可知由（）解：已知（DPBCEFDDFPBEFPB,2,3) 1,(),(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF 因为( , ,1)(1,1, 1)( , ,)x y zkk kk所所以以kzkykx1,即0DFPB因为0131)1 ,() 1, 1 , 1

23、 (kkkkkkk所以31k所以第28页/共48页)323131(，的坐标为点F)21,21, 0(的坐标为又点E)61,61,31(FE所以2131613666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因为.60,60的大小为即二面角所以DPBCEFD第29页/共48页例例2、如图，在四棱锥、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面中，底面ABCD为平为平行四边形，侧面行四边形，侧面SBC 底面底面ABCD。已知。已知 AB=2，BC= ，SA=SB= .(1)求证求证 (2)求直线求直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。045ABC3.SABCSAB

24、CDOxyz第30页/共48页SABDOC02 222452BCOBABABCOA则由得，又，得证明：证明：(1)取取BC中点中点O，连接，连接OA、OS。090AOBAOBC即SBCABCDAOABCDSBCABCDBCAOSBC又平面平面，平面且平面平面，平面 231AOSOAO=SASO。又，22202390OBSBSBSOOBSOB又，BCSOBCAOSOAOOBCSOABCSA，平面，第31页/共48页(2)求直线求直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。(1)SOOABCOAOBOS解：由知，两两垂直。故以、为正交基底建立空间直角坐标系如图。则SABCOxyzD(

25、0 01)( 2 -2 2 0)( 2 0 0)(02 0)SDAB， ， ， ，( 22 21)( 2 01)(021)SDSASB ， ， ， ， ， ()SABnxyz设平面的一个法向量为， ， ，则2000120 xzn SAn SBxyz ，得取得(122)SABn 平面的一个法向量为， ，则4cos55SDn ，所以直线所以直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值为所成角的正弦值为4 5555第32页/共48页例例3 如图如图,在四棱锥在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为矩形，为矩形，侧棱侧棱PA底面底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在线段，在线段BC上是否存在一点上

26、是否存在一点E,使使PA与平面与平面PDE所成角的大小为所成角的大小为450? 若存在，确定点若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。的位置；若不存在说明理由。 3DBACEPxzy第33页/共48页(0,0,1),(3,0,1),(3,1,0)APDPDEm ( ,),30,3 ,(3 )0,(3) ,PD Enx y znD P nD Exzzxmxyym x 设 平 面的 法 向 量 为则解 得1,(1, 3, 3),xnm令得2345sin45,4( 3)PAPDEm与平面所成角的大小为32323245mmBEPAPDE解得或（舍），因此，当时，与平面所成角的大小为。解：以解：以A为

27、原点，为原点，AD、AB、AP所在的直线分所在的直线分别为别为X轴、轴、Y轴、轴、Z轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，(0,0,0),(0,0,1),( 3,0,0),( ,1,0),APDE m设设BE=m，则，则第34页/共48页例例4、(2004，天津，天津)如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P-ABCD中，中，底面底面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的中点。的中点。(1)证明：证明：PA/平面平面EDB；(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz第35页/共48页ABCDP

28、EGxyz(1)证明：设正方形边长为证明：设正方形边长为1，则，则PD=DC=DA=1.连连AC、BD交于交于G点点DADC DP 以， ， 为正交基底建立空间直角坐标系。如图所示。则(0 0 0)(0 01)(10 0)(010)(110)DPACB， ， ， ， ， ，(101)PA ， ，1 1(0)2 2EPCE又 为中点，点坐标为 ，1 1(0)2 2GBDG 为中点，点坐标为，11(0)22EG ， ，2/PAEGPAEGPAEGPAEG 可得。因为与不共线，所以/PAEDBEGEDBPAEDB又平面，平面平面第36页/共48页(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所

29、成的角的正切值。ABCDPEGxyz(1)(0 0 0)(0 01)1 1(110)(0)2 2DPBE由知， ， ， ， ，PDABCDPDABCD 解：因为平面，所以是平面的法向量。11(0 01)(1)22PDEB ， ， ，10062cos6312PD EB ，所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为66所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值为所成的角的正切值为55第37页/共48页zxy 方向朝面内，方向朝面内， 方向朝方向朝面外，属于面外，属于“一进一出一进一出”的情况，二面角等于法向的情况，二面角等于法向量夹角量夹角mn第38页/共48页1、

30、如图，已知：直角梯形、如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值所成的角的余弦值 (2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 (3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值OABCSxyz【练习练习】 第39页/共48页OABCSxyz(1)OAOC OS 解：以， ， 为正交基底建立空间直角坐标系如图。(0 0 0)(0 01)(2 0 0)(110)OSAB则， ， ， ， ，(2 01)(110)SAOB ， ， ， ，20010cos552SAOB ，1、如图，已知：直角梯形、如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的所成的 角的余弦值角的余弦值 第40页/