第四章线性ARMA模型1ppt课件

1、第四章：平稳时间序列模型学习目标 简单滑动平均(MA)模型 简单自回归(AR)模型 混合自回归滑动平均(ARMA)模型平稳时间序列n几个重要的平稳过程和模型n白噪声过程nMA过程nAR过程nARMA过程白噪声白噪声1） t独立同分布称为独立白噪声，记为tI.I.D(0, 2) 假设t还服从正态分布，则该过程t称为为高斯白噪声。白噪声白噪声2弱白噪声随机过程满足aE(t)=0 ， 对所有tbE(t2)=2 对所有tcE(ts)=0, 对任意ts，或Cov(t, s)=0简称白噪声。记为tWN(0, 2) 4.1线性时间序列线性时间序列Yt : 如果它能表示成当前和过去白噪声序列的加权线性组合，即

2、这里， 为白噪声. -时刻t的新信息(innovation)(4.1)i称为 的 权重tY0iititeYtete02ii(4.1)有意义要求：所以 必须是收敛序列，即当 时i02i2i,jj通常，我们取 其中 . 11j221tttteeeY那么从而有, 0)(tYE)1 ()(22etYVar,)1 (),(221ettYYCov),(1ttYYCorr,)1 (),(22ekkttYYCovkkttYYCorr),(4.1.1)(4.1.1) 是平稳过程的间隔为 的自协方差为k0200)(),cov(ikiiejjktjiitikttkaaEYY对于一般线性过程),0(tYEtY类似地有

3、. 0k对2211tttteeeY121)(iitYVar因此， 权重与 的自相关系数有如下关系：tY0,11200kiiikiikk其中，10对若平稳序列而言， 当 时i, 0i从而随着 的增加 收敛到0ll4.2 滑动平均模型4.2.1滑动平均模型介绍当4.1仅仅有有限个 权重为非零时，我们称之为滑动平均过程，即（4.2）我们称(4.2)为 MA(q)模型或者q阶滑动平均模型.qtqtttr11其中t 是白噪声过程. 这里，和i, i=1,2,q称为参数或系数。注：q0 滑动平均模型滑动平均模型 1-阶滑动平均模型阶滑动平均模型 其中t 是白噪声过程.（4.2-1）11tttr和为参数或系

4、数。表达式4.2-1是1阶滑动平均模型，用MA1表示例如rt=0.1+t0.3 t1MA(1)n另一种表达方式n本质是一个只包括常数项的回归模型，但残差存在自相关。容易知道MA(1)存在一阶自相关。11tttttuurq-阶滑动平均模型和过程阶滑动平均模型和过程判断下面是几阶MA模型 a) Yt=0.1+t0.2 t1 0.1 t2 b) Yt=0.1+t0.3 t1 0.21 t2 0.1 t3 c) Yt=0.1+t0.3 t44.2-2 MA模型的性质MA(1)模型MA(q)模型2212212)1 ()var(tr2221)1 ()var(qtrqtqtttr1111tttr自相关函数自

5、相关函数MA(1)模型：为简单起见，假定对两端乘以 ，我们有, 0ltr1l0l当 时，注意到,)1 ()var(221tr我们有) 1(0,1, 121110llMA(1)模型在间隔为1以后的是截尾的2121111111),cov()(),cov(ttttttttrrErrMA(2)模型自协方差函数自相关系数是2211ttttr)2(0,1,122212222212111llMA(2)模型在间隔为2以后的是截尾的,)(22111e,222e)2(0llMA(q)模型自相关系数qtqtttr11qkforqkforqqkqkkkk0, 2 , 112212211MA(q)模型在间隔为q步以后的

6、是截尾的，MA(q)模型具有有限记忆性MA过程ACF图基本结论MA(q)过程的自相关函数q步截尾练习题P59. 4.19P59. 4.20P58. 4.4P58. 4.1P58. 4.25. 计算 的自相关函数。43215 . 05 . 03 . 06 . 0ttttttrn作业1.证明 MA(q)过程自相关函数应满足的关系式.3. 4.12 (a)2. P59 4.144.3 自回归模型自回归模型 其中 t 是白噪声过程。 ， 表达式(4.3)是P-阶自回归模型 rt 为p-阶自回归过程 ,表示为AR(p) 是未知参数或系数。(4.3)tptpttrrr1100pp,10自回归模型是用自身做

7、回归变量AR(1)过程tttrr110（4.3-1）21201)var(tr121因方差非负，要求（4.3-1定义的AR1模型是平稳的充分必要条件是1|1在平稳性条件下101)(trE注意到 与 独立，t1tr（4.3-2）AR(1)模型的自相关函数 进一步有递推式：0011211lllel,11ll因 ，故10ll1这个性质表明弱平稳AR(1)序列的自相关函数从 开始以比率为 的指数速度衰减。101由4.3-2），我们有tttrr)(11自协方差函数自相关函数0lAR(1)参数t=0.1+0.5t-1 +t t=0.1-0.5t-1 +t =0.1/(1-0.5)=0.2 = 0.1/(1+

8、0.5)j=0.5j j =(-0.5)j AR(2)模型ttttrrr221100,2211llll两边乘以 导致自相关协方差函数满足这个结果称为平稳AR(2)模型的矩方程2101)(trE均值函数满足,)1 (210利用AR(2)模型可以写为ttttrrr)()(2211ltr上面的结果表明平稳AR(2)序列的ACF满足二阶差分方程,2211lll0)1 (221lBB其中，B是向后推移延迟，滞后算子，即平稳AR(2)模型的自相关系数函数满足2111, 101l1llB有时用L表示延迟算子，如1ttrLr与前面的差分方程对应的是二次(特征)多项式 时间序列文献中称这两个解的倒数为AR(2)模型的特征根01221xx这个方程的解是2221124x平稳性：平稳性：AR(2)时间序列的平稳性条件是它的两个特征根时间序列的平稳性条件是它的两个特征根的模都小于的模都小于1对应对应AR(1)模型模型:. 011x特征根为,/11xtttrr110从而 是平稳的，我们有tr1|1AR(2)模型的平稳性要求模型的平稳性要求 ，其中，其中2221124x1|/1|x这导致，, 121, 121及, 1|2特征