高数行列式

1、行列式的概念是从解线性方程组问题引进21122211211112221122211122221121122211 , ,0aaaaababxaaaaababxaaaaD 方程组有唯一组解时当 ）（）（解线性方程组21 22221211212111bxaxabxaxa例1用加减消元法 21111222112221121111222211211222111222 12 21ababxaaaaaaababxaaaaaa ）（）得（）（）（）得（）（给定 a、b、c、d 四个复数，称bcaddcba 为一个二阶行列式。为了便于记忆，定义二阶行列式，为方便记.2112221122211211aaaaaa

2、aaD其中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标，第二个下标 j 为列指标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。131 7( 2) 31327 例如:主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算 对角线法则对角线法则11a12a22a21a则上述结论为 D0D0，则方程组有唯一组解 DDxDDx2211 ，22211112111121222121122221DbabaababDabababab ，称为克莱姆法则类似讨论三元一次方程组 3 333323213123232221211313212111）（ bxaxaxabxaxaxab

3、xaxaxa331312222111211333331232211311123331323222131211333131232221131211 , , , baabaabaaDabaabaabaDaabaabaabDaaaaaaaaaD 令则三阶行列式如下定义：定义：322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 3 2 1， iDDxii为使克莱姆法则也成立，即 D0D0，方程组（3 3）有唯一组解333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa322

4、113aaa 312213aaa 332112aaa 322311aaa 323122211211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaa312312aaa按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 411)2()2(2)3(2)4( 48243264 .14 2-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式例2 406321321321xxxxxxxxx解方程组例3411011611 141101161 114110116 111111111 321 DDDD. , 332211DDxDDxDDx ，所所以以 111111111

5、 D1 1 1 )1( 1 4 1 114110116 1 D6 0 )4( 0 6 4 4 141101161 2 D0 4 0 )6( 4 8 6 411011611 3 D4 6 6 )4( 0 12 0 406321321321xxxxxxxxx解方程组例3411011611 141101161 114110116 111111111 321 DDDD3 2 1 332211 DDxDDxDDx，所以，4 ，4 ，8 ，12 =例4 证明证明322)(11122 babbaababa2222223222232232233()22()22 2222 33aabababb aba ba b

6、aa babababba ba baa babbab左边（）右边0 : , ,010100 22 bababaabba满足条件是满足条件是所以所以例5010100 , abbaba满足什么条件有满足什么条件有.1 的的代代数数余余子子式式称称为为）（；记记为为的的余余子子式式，阶阶行行列列式式称称为为素素按按原原顺顺序序排排成成的的低低一一所所在在行行与与列列，剩剩下下元元行行列列式式中中划划去去jijijijijijijiaMAMaa 定义定义 一般来说，低阶行列式的计算比高阶行列式计算要简单，于是我们自然考虑把一个高阶行列式用几个低阶行列式来表示，为此先引进余子式和代数余子式概念。3332

7、31232221131211 aaaaaaaaaD 如三阶行列式如三阶行列式,)1( ,)1( ,)1( , , ,131331131212211211111111323122211333312321123332232211MMAMMAMMAaaaaMaaaaMaaaaM 21 2 0121291 29524 6154 601504321 2332232312211212 MAMMAM）（，）（，如三阶行列式如三阶行列式322311332112312213322113312312332211333231232221131211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD )( )

8、()(312232211331233321123223332211aaaaaaaaaaaaaaa 131312121111MaMaMa 131312121111AaAaAa 行列式按第一行展开）(),( 3111按第一行展开即 kkkAaD ), ( 31行展开按第同理iAaDkkiki )3, 2, 1,( ) ( 31 jijAaDkjkjk列展开按第（1 1）定理称为行列式按行（列）展开法则， 可用数学归纳法证明。 (2(2）定理是将行列式降阶运算法则，适用某行（列）零元素较多情况。 例6 计算行列式计算行列式277010353 D27013 D.27 按第按第1行展开，得行展开，得27

9、005 77103 按第按第2行展开，得行展开，得2727330)1(0232221 AAAD |4144434241343332312423222114131211431333231232221131211321211222112221121121 iijijiijijiijijAaaaaaaaaaaaaaaaaaDAaaaaaaaaaaDAaaaaaaaaaDaaD四阶行列式：四阶行列式：三阶行列式：三阶行列式：二阶行列式：二阶行列式：一阶行列式：一阶行列式：则则阶行列式阶行列式nnnnaaaaDn1111 n 2 , 1 ( 1，行展开）按第， iiAaDnkikik的代数余子式的代数余

10、子式为为其中其中列展开）列展开）按第按第，或或 21 ( 1ijijnkkjkjaA， n， , jjAaD 用一阶行列式定义二阶行列式, 二阶行列式,定义三阶行列式 ，（n -1）阶行列式,定义 n 阶行列式 为递推式定义。 11110070222204034 D阶阶行行列列式式计计算算例例73433323100703AAAAD ）（行展开行展开第第286800867 11122204317 32 ）（）（例例8.8.计算行列式 4433221100000000ababbabaD 行列式 D D 第一行零元素较多,按第一行展开，将4阶行列式化为3阶行列式计算。 000000004332214

11、33221babbabaabbaa 4433221100000000ababbabaD 行展开，别按第第一，第二个行列式分3 )(32324141bbaabbaa 解332241332241Dabbabbabbaaa 按第一行展开dcdcbabaDnn 2 2 阶行列式又如何计算例9. 证明上三角行列式 nnnnnnaaaaaaaaa221122211211000 列列展展开开按按第第为为零零即即主主对对角角线线下下的的元元素素均均，（特特点点： 1 ,) 0jiaij nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD2211444334332211133322322111122211211000000)1(000 列列展展开开按按第第类似可证下三角行列