[经济学]第12讲求导法则ppt课件

1、高等院校非数学类本科数学课程一.根本初等函数的导数 推导一些根本公式啊 ！1. y = C x R ( C为常数 )Qxyx0limxCCx0lim00lim0 x 0)( C 通常说成：常数的导数为零.2. 幂函数 122()( )()(1)()()2!nnnnnyf xxf xxxxn nnxxxxx 121)(!2)1()( nnnnnxxxnnnxxxxxxy 112100)(! 2) 1(limlim nnnnxxnxxxxnnnxxy 1)( nnnxx公公式式. 11)(011xxx 自变量对其本身的导数为 1 )(1dd1xxx211) 1(xx,12x.3)(23xx)()(

2、21xx211212121xx,21x例例1 13. 指数函数 xaaxyxxxxx00limlimQxaxaxxlnlim0)0( aayxxaaxxx1lim0aaxln ln)( aaaxx )( xxee )4(x )(xbabxbaaln)(abaxbln4ln4x)(xba) 0 (为常数、ba 例例2 24. 对数函数xxxxxln)ln(lim0Q)0( lnxxyxyx0lim100ln 11limlim ln 1xxxxxxxxx 1)(ln xxxyalog, )0,0(xa求y .Qaxxyalnlnlogxxxxaaxlog)(loglim 0 ln1)(log ax

3、xa100ln 111limlim ln 1lnln11lnxxxxxxaxaxax 故解解例例3 35ln1)(log5xx21ln1)(log21xx 2ln1x 1)(lnxx ln1)(logaxxaea例例4 4或重要极限5. 三角函数(1)xxxxxyxxsin)sin(limlim00Qxxxxx2sin2cos2lim02coslim0 xxxxysin cos)(sin xxxcos和差化积等价无穷小(2) 其它三角函数的导数xxxx222tan1seccos1)tan()cot1 (cscsin1)(cot 222xxxxxxsin)cos(这些公式普通运用后面所讲的方法进

4、展推导.仿照正弦函数的推导方法问题：如何求其他函数的导数？问题：如何求其他函数的导数？其他导数公式其他导数公式导数运算法那么导数运算法那么根本初等函数根本初等函数初等函数初等函数四那么四那么复合复合反函数反函数隐函数隐函数参数式参数式 导数的四那么运算法那么假设函 u(x)数, v(x) 均可导, 那么)()()()() )()( )2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()( )3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv(1) ( ( )( )( )( ),u xv xuxv xnininiixuxuxuxuxu1211)()()()()(nininiixuxxuxuxuxu

5、x1211)(d)(d)( )()(dd)()()()(211xuxuxuxunnii.推行至有限个可导函数的情形:11( ) )( ) ,nniiiiuxux11d( )d( )ddnniiiiu xu xxx( ), ( )u x v xx( )( )yau xbv xx( )( )( )( )yau xbv xau xbv x代数和函数的导数代数和函数的导数在点处可导，a，b为常数，在点处也可导，可推行到有限个代数和定理定理3.2：设函数那么线性函数且有)()() )()(xvxuxvxuxxvxuxxvxxuxvxux)()()()(lim ) )()( 0 xx lim0 xxuxx

6、ux)()(lim0)()(xvxuxxvxxvx)()(lim0)()(xuxxu)()(xvxxv证：解0)sin(cos2xxxxxxsincos2。求 , 1cossin2yxxxy)(2xy)(sinx)(cosx ) 1 ( 例例5 5，设nnnnnaxaxaxaxay121110 )()()()()(122110nnnnnaxaxaxaxay10nxna。求 y解由和的求导公式21) 1(nxnaxan221na 通常说, 多项式的导数仍是多项式, 其次数降低一次, 系数相应改动.例例6 6( ), ( )u x v xx( )( )yu xv xx ( )( )( ) ( )(

7、 ) ( )yu xv xu x v xu x v x乘积函数的导数乘积函数的导数在点处可导，在点处也可导，定理定理3.3：设函数那么函数且有证证)()()()() )()(xvxuxvxuxvxuxxvxuxxvxxuxvxux)()()()(lim) )()(00() ()( ) ()( ) ()( ) ( )limxu xx v xxu x v xxu x v xxu x v xx 0 ()( ) ()( ) ()( )limxu xxu x v xxu x v xxv xx 0lim ( )xvu xx )()()()(xvxuxvxu 由于可导必延续, 所以。时，0 0vx0lim

8、()xuv xxx 设 u C ( C为常数 ) , v = v(x) 可导, 那么 通常说成: 常数因子可以提到导数符号外面) )()()() )(xvCxvCxvC) )(xvC例例7 7设bxay)( bxay则 直线上恣意一点处的切线就是它本身.)()(bxaaxa)( 线性函数的导数为一个常数.例例8 8)(logxya。求 , logyxya解axlnln)(lnln1xaaxln1 ln1)(log axxa例例9 9 知) 3( )2)(1() 3)(2( ) 1(xxxxxxy)2)(1()3)(1()3)(2(xxxxxx2) 23)(13 () 33)(13 () 33)

9、(23 (| 3xy故。求 , )3)(2)(1(3xyxxxy解解)3)(2)(1(xxx例例1010(1)(2)(3) ( )(3)yxxxG x x(1)(2)(3)( )(3)( )(3)( )yxxxg x xyg x xg x3 ?xy( ), ( )u x v xx( )( )u xyv xx2( )( ) ( )( ) ( )( )( )u xu x v xu x v xyv xvx商的函数的导数商的函数的导数在点处可导，在点处也可导，定理定理3.4：设函数那么函数且有故)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv,)()()( xvxux 令)()(

10、)()()(xvxxvxxu)()()()()(xvxvxxux )0)( xv, )( 可导则x),()()( xvxxu且)()()()()(2xvxvxuxvxu 用乘法公式证明除法公式)(cotxyxxx222sincossin解解xxsincos x2sin1x2csc)cot1 (2x。求 yxy , cotxx sin)(cos)(sincosxxx2sinxx2sin1)(cotx2csc)cot1 (2x例例1111设函数 v(x) 可导, 且 v(x) 0, 证明令 u(x) =1, )()()(1 2xvxvxv证证由商的导数公式, 得)()(1)() 1 ()(12xv

11、xvxvxv)()(2xvxv例例1212)(xeyxxee2解解. , yeyx求xe12)()(1) 1 (xxxeee xxee1例例1313)(secxyxx2cossin. , secyxy求解解:xcos1xx2cos)(cosxxsectan sectan)(sec xxx例例1414点 (x, y) 处的切线一样.yTA(x,y)xxOy假设 y = (x) 的反函数 x = f (y) 存在, 那么 x = f (y) 与 y = (x) 的图形一样, 故x = f (y) 与y = (x) 在 是 y = (x)的图形与x 轴正向的夹角. 是 x = f (y)的图形与x

12、轴正向的夹角. )( tan yf 2 三.反函数的导数)2tan(tan)(yf) 0)( x 反函数的导数是其直接函数导数的倒数.)(1tan1cotx)(1)(yxf定理3.5设单调函数 x = (y) 在区间 I 内可导,(x) 0 ,某区间 J 内单调、可导, 且 该定理阐明：一个函数单调、延续、可导,那么它的反函数存在, 且单调、延续、可导.那么它的反函数 y = f (x) 在相应的 这里仍指严厉单调它是 x = sin y的反函数 22)(y且导数不为0,上单调、延续、可导,又yxxyxydd1dd)(arcsin故。求 yxxy , ) 11( arcsin解解sin 在yx

13、= 2 ,2)(yycos1)(sin1 他觉得做完了吗？例例1515而于是221sin1cosxyy211cos1)(arcsinxyxy)11(x 1)1( 11)(arcsin 2xxx。求 ),11( ,arccosyxxy它是 x = cos y , , ), 0(的反函数y 0sin)(cosddyyyx解解例例1616 cos (0, ) , xy又在内单调、连续、可导 且故)(cos1dd1dd)(arccosyyxxyxy ) 11( 11)(arccos 2xxx2211cos11sin1xyy)11(x ,2,2 , tan )(的反函数它是yy x又0tan1)(tan

14、2yy故)(tan1)(arctanyxy),(x解解。求yxxy ),( ,arctany2tan11211x例例1717 x=tany ,且满足定理的条件 ),( 11)(arctan 2xxx类似可得 ),( 11)arccot( 2xxx四.复合函数的导数且)()()(xxfxfxuuyxydddddd或定理3.6设 u = (x) 在点 x 处可导, y = f (u) 在对应 点 u ( u = (x) ) 处也可导, 复合函数 y = f ( (x)在U(x) 内有定义, 那么 y = f ( (x) 在点 x 处可导,Q y = f (u) 在相应点 u 处可导, uuufuu

15、ufy)()o()( 当 u 0, 0 )以 x 除上式, 得xuxuufxy)(证证给 x 以增量 x, 相应地 u = (x) 有增量 u,对于u, y = f (u) 有增量 y.对上式两边取 x 0 的极限,由 u = (x) 在点 x 处可导, 得)()(limlimlim)(lim0000 xufxuxuufxyxxxx即)()()()()(xxfxufxf或xuuyxydddddd例如,，)()( :)( xhvvuuyxhfy那么在各函数可导且 f (h(x) 在 U(x) 有定义时,)()()()( (xhvufxhfy或xvvuuyxydddddddd)()()( xhxh

16、xhf 该定理可推行到恣意有限次复合的情形.有)()(sin)(sinaxuaxyuau cos解解. , sinyaxy求Qaxuuy , sinaxacos)(sin axy 普通按 “由外向里层层求导 法求导 cosax )( ax cosaxa例例1818)(5 xey解解. ,5yeyx求)5(5xexxe55例例1919)0( , 1) |ln( xxx证明：证证0 , )ln(0 , ln|lnxxxxxyxxxx1)(ln) |ln ( , 0 时当xxxxxx1)(1) )(ln() |ln ( , 0 时当综上所述,. )0( , 1) |ln( xxx例例2020. ,

17、)ln(22yaxxy求)(ln(22axxy)1 (12222axxaxx)(12222axxaxx221ax 解解 1) )ln( 2222axaxx例例2121. ,22sinyyx求2sin2xy)(sin2ln22sin2xx)(cos2ln222sin2xxxxxx2cos2ln22sin2解解 )0 ( ln)( aaaaxx例例2222 1arctan)(xy.112x)1(1222xxx) () ( 1 1112xx解解例例23231arctanyyx，求. ,2cotyxy求)(2)2csc(2cot21)2(cot2cot212xxxxxy21)2csc(2cot212x

18、x2tan2csc412xx解解例例2424按复合函数求导法那么) 1ln (2xy) 1| ( 12xxx12212xx)( ) 1( ln21 2x解解留意利用函数 的性质例例25252 ln1 , | | 1 , .yxxy设求.xxxxy11lncos11lncos2xxxxxx11ln11lnsin11lncos2)1ln()1(ln(11ln2sinxxxx解解例例262621 cosln , ( 1, 1) , 1xyxyx 设求xxxx111111ln2sinxxx11ln2sin122并不难设 y = f (x) 可导, 那么 ) )(sinxf)()(cosxfxf ) )

19、(sin(xfxxfcos)(sin ) )(lnxf)()(xfxf )0)(xf ) )(ln(xfxxf1)(ln )()(xfe)()(xfexf ) )(xefxxeef)(证明：在(a, a)内可导的奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数。设f (x) 为( a, a) 内的偶函数, 那么f (x) = f (x).)()()() )( xfxxfxfQ)()( xfxf即偶函数的导数是奇函数.同理可证, 奇函数的导数是偶函数.证证 )()(xfxf例例2828) )()( xfxf而隐函数的求导法那么F ( x, f (x) ) 0对上式两边关于 x 求导：0),(ddyxF

20、x然后, 从这个式子中解出 y , 就得到隐函数的导数.方法：那么将 y = f (x) 代入方程中, 得到假设由方程F(x, y) = 0 确定隐函数y = f (x) 可导,求由方程0),(yxeexyyxF( x 0 )所确定的隐函数的导数 y, 并求 .0 xy 方程两边关于 x 求导：0yeeyxyyx故xeyeyyx由原方程可得： F(0, y) = 0y e0 + ey = 0从而00 xy解解例例2929 1 00 xyxxxeyey故求椭圆. ),( 1002222处的切线方程在点yxbyax对方程两边关于 x 求导得：02222byyaxyaxby22故所求切线的方程为：)

21、(002020 xxyaxbyy解解整理后, 切线方程为：12020byyaxx例例3030选择一个适当的参数 t 后,)()(tyytxxIt的方式, 此式称为函数y = f (x) 的参数方程.y = f (x) 可表示为1. 参数方程的概念六.参数方程求导法那么参数方程求导法那么：设)()(tyytxxIt txtyxy)(dd则且存在若 , 0)( , )(dtd ),(dtd txtxxtyytxtydddd利用反函数求导法那么可证明该法那么由微分方式不变性更是一目了然. 2 ,sincos 时的切线方程在求椭圆ttbytax椭圆上恣意一点x处的切线的斜率为tabtatbtatbxykcotsincos)cos()sin(dd02cot2abkt故, 02cos0axbby2sin0从而, 所求切线方程为： y = b . 解解 )( 00 xxkyy例例3030又的星形线 323232ayx)2, 0( sincos33ttaytax.ddxy求Oxytaa参数方程为 星形线是一种圆内摆线例例32324dd小大)cos()sin(dd33tataxyttattasincos3cossin322ttan),2(Znnt解解然后, 对方程两边关于 x 求导：) )(lnx