哈尔滨工程大学微积分课件

1、 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学第八章第八章 多元函数微分法多元函数微分法第二节第二节 偏导数偏导数学习要点学习要点理解偏导数的概念理解偏导数的概念熟练掌握偏导数的计算熟练掌握偏导数的计算 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学v 偏导数的定义偏导数的定义000000( , )(,)(),zf x yP xyU Pyyxxx 设设函函数数在在点点的的某某邻邻域域内内有有定定义义 当当 固固定定在在 ，而而 在在处处有有增增量量时时相相应应地地函函数数有有增增量量0000(,)(,),f xx yf xy 0000000(,)(,)lim,( , )(,),xf xx y

2、f xyxzf x yxyx 若若存存在在 则则称称此此极极限限为为函函数数在在点点处处对对的的偏偏导导数数:记记为为00000000(,)(,)(,)(,), xxxyxyxyzffxyzxx或或 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学000( , )(,)zf x yP xyy 同同理理可可以以定定义义函函数数在在处处对对于于的的偏偏导导数数: :00000(,)(,)limyf xyyf xyy 记记为为00000000(,)(,)(,)(,), yyxyxyxyzffxyzyy 或或( , )( , ),( , ),zf x yDx yxx yzf x yx 如如果果函函数数在

3、在区区域域 内内任任意意一一点点处处对对的的偏偏导导数数都都存存在在, ,那那么么这这个个偏偏导导数数就就是是的的函函数数称称为为对对自自变变量量 的的偏偏导导数数 记记作作,( , )xxzfzfx yxx 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学( , )( , ).yyzf x yyzfzfx yyy 函函数数对对自自变变量量 的的偏偏导导数数，记记作作， ， 或或偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如u=f(x, y, z) 在在(x, y, z)处处 0(, , )( , , )( , , )lim,xxf xx y zf x y zfx y

4、zx 0( , )( , , )( , , )lim,yyf x yy zf x y zfx y zy 0( , ,)( , , )( , , )lim.zzf x y zzf x y zfx y zz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学v 偏导数的几何意义偏导数的几何意义0000000(,)( ,),( ,)(,)xx xxdfxyf x ydxf x yfxy 由由于于故故只只需需弄弄清清一一元元函函数数的的几几何何意意义义，就就可可以以得得到到的的几几何何意意义义. .0000000, (,)( ,)(,).xfxyzf x yP xy zOx 从从而而表表示示曲曲线线上上点

5、点处处的的切切线线对对轴轴的的斜斜率率,( , ).Oxyzzf x yS 在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示一一张张曲曲面面01,yyS 用用平平面面去去截截曲曲面面得得交交线线为为平平面面曲曲线线100( , ):,( ,).zf x yzf x yyy 即即 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学yNzS),(000yxMO0P 0tanMfx ( , )zf x y 10( , ):zf x yyy x0000(,)( , ).xfxyzf x yyyPOx 表表示示与与的的交交线线在在处处的的切切线线对对轴轴的的斜斜率率 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数

6、学TzS000(,)Mxy 0tanMfy ( , )zf x y 20( , ):zf x yxx xOy0P00(,).yfxy 类类似似得得的的几几何何意意义义0000(,)( , ).yfxyzf x yxxPOy 表表示示曲曲面面与与平平面面的的交交线线在在点点 的的切切线线对对轴轴的的斜斜率率 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学22( , ),xxxxzzzfx yxxx 22( , );yyyyzzzfx yyyy ( , )( , ),( , )f x yf x yxyf x y如如果果偏偏导导函函数数和和的的偏偏导导数数也也存存在在 则则称称它它们们是是的的二二阶

7、阶偏偏导导数数, ,fx关关于于 的的二二阶阶偏偏导导数数fy关关于于 的的二二阶阶偏偏导导数数v 高阶偏导数高阶偏导数 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学2( , ),xyxyzzzfx yyxx y 2( , ).yxyxzzzfx yxyy x fxy先先对对 后后对对 的的二二阶阶混混合合偏偏导导数数fyx先先对对 后后对对 的的二二阶阶混混合合偏偏导导数数:()( , ),xyyxxyyxf x yffff 定定理理混混合合偏偏导导数数定定理理如如果果函函数数的的两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数连连续续 那那麽麽就就有有 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学

8、221.3(1,2).zxxyy 求求在在点点处处的的偏偏导导数数2.,.yzzzxxy 设设求求和和4.,xyze 设设求求二二阶阶偏偏导导数数. .3.,zxyzyuu u ux 求求225.(),xxzf xyz 求求例例6.0,zyxxyzxzy 已已知知求求 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学223(1,2).zxxyy求求在在点点处处的的偏偏导导数数解法解法1:23 ,zxyx 2 13 28,(1,2)zx 解法解法2:(26)8(1, 2)1zxxx 2(32 )7(1, 2)yzyy 32zxyy 3 12 27(1,2)zy 2113,xzyy 2264,yzx

9、x 例例1 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学,.yzzzxxy 设设求求和和,yx视视为为常常数数 对对求求导导数数得得到到1yzyxx ,xy视视为为常常数数 对对求求导导数数得得到到lnyzxxy 解解应用幂函数应用幂函数求导公式求导公式应用指数函数应用指数函数求导公式求导公式例例2 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学解解 yxz; 1 xz zxy; 1 zy zyx; 1 yx1 yxzyxz0,zyxxyzxzy 已已知知求求例例3 ,.zzxyfx 是是一一个个整整体体符符号号, ,不不能能视视为为分分数数. .对对单单独独的的等等 没没有有赋赋予予独独立

10、立的的意意义义注意注意 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学例例2223(1,1, )221.yzxMxy 求求空空间间曲曲线线在在点点处处的的切切线线与与轴轴正正向向的的夹夹角角解解由偏导的几何意义由偏导的几何意义,tan(1, 1)zy 4 22(1)1 12dyydy 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学例例322lnzxy 验验证证函函数数满满足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程0.xxyyzz解解221ln(),2zxy ,22yxxxz ;22yxyyz ; )()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxz ; )(2222222yxyxyz 222222

11、22222222()()zzyxxyxyxyxy. 0 由由 x, y 的对称性的对称性, 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学0000:( , )(,),( , )(,)f x yxyff x yxyf问问题题二二元元函函数数在在点点偏偏导导数数存存在在在在这这点点是是否否连连续续？若若在在点点连连续续， 在在这这点点偏偏导导数数是是否否存存在在？v 可偏导与连续的关系可偏导与连续的关系二元函数在一点的连续性与可导性二元函数在一点的连续性与可导性(两个偏导是两个偏导是否存在否存在)没有关系没有关系!00(),().f PPf PP对对于于多多元元函函数数而而言言 即即使使它它在在

12、点点的的对对各各个个自自变变量量的的偏偏导导数数都都存存在在, ,也也不不能能保保证证在在连连续续 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学000,lim()().PPMf Pf P 所所谓谓曲曲面面在在连连续续 也也就就是是00,()().PPf Pf P即即 当当 从从任任何何方方向向沿沿任任何何曲曲线线趋趋于于时时的的极极限限都都是是00000000( ,)( ,)( , )(,)xfx yf x yxyyzf x yP xy z 而而存存在在，只只保保证证了了一一元元函函数数在在连连续续. .也也即即与与的的截截线线在在是是连连续续的的. . 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数

13、学高等数学,000lim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(00 xxfxffxxx ;000lim)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(00 yyfyffyyy 此函数在此函数在 (0, 0) 处不连续处不连续.例例4 1, 0( , )(0,0) 0, 0 xyf x yxy 讨讨论论函函数数在在点点处处的的偏偏导导数数存存在在性性与与连连续续性性。解解00lim( , )0 ,yxf x y 0lim( , )1,xy xf x y 00lim( , )yxf x y不不存存在在； 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学0(0,0)(,0)(0,0)limxzfxf

14、xx 例例5 讨论函数讨论函数22zxy 与偏导数存在性与偏导数存在性. 在点在点 (0, 0)处的连续性处的连续性解解,(0,0)f因因为为是是初初等等函函数数 所所以以在在点点连连续续. .20()limxxx (0,0)f所所以以 在在点点偏偏导导数数不不存存在在. .01,0lim1,0 xxxxx 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学几点说明几点说明:ux 是是整整体体符符号号，不不能能拆拆分分. . 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连续初等函数的混合偏导数与求

15、导顺序无关初等函数的混合偏导数与求导顺序无关. .,( ,),(0, 0),(0, 0).xyzf x yxyff 例例如如 设设求求0|0|0(0,0)lim0(0,0).xyxxffx 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学21sin,.zzzyxyxy . .设设求求和和练习练习22.sin(e ),. zuxyu 设设求求的的偏偏导导数数3.cos(2 )zxyxy 求求的的二二阶阶偏偏导导数数3225.xyzzey x 求求函函数数的的二二阶阶偏偏导导数数及及32322223322326.31zx yxyxyzzzzzzxy xx yyxx y 设设，求求，4.ecos,.a

16、xuby 设设求求二二阶阶偏偏导导数数 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学2sin,.zzzyxyxy 1 1. . 设设求求和和解解23coscoszyxy yyxyx 222 sincos2 sincoszyxyyxy xyyxyxyxy , )e(cos22zyyxyu . )e(cose2zzzyxu 2sin(e ),. zuxyu 2 2. . 设设求求的的偏偏导导数数解解, )e(cos2zxyxu 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学cos(2 )zxyxy 3 3求求的的二二阶阶偏偏导导数数. .sin(2 )zyxyx 由由2sin(2 )zxxyy 22cos(2 )zxyx 224cos(2 )zxyy 2sin(2 )zyxyy xy 12cos(2 )xy 22sin(2 )zxxyx yx 12cos(2 )xy 解解 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学22xye 322.xyzzey x 4 4. . 求求函函数数的的二二阶阶偏偏导导数数及及解解 :2xyzex 222xyzex 322 ( )zzy xxy x 22xyzey 2zy x 22 2xyzex y 222 4xyzey 22xye 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高等数学高等数学解解22333,zx yyyx 3229;zx yxyxy 2